《课标解读》第九章 图形与几何
稿源：2011版《义务教育数学课程标准解读》
作者：2011版课标解读专家组
第九章 图形与几何
第一节：总体主线和关键点分析
“图形与几何”的课程内容以发展学生的空间观念、几何直观、推理能力为核心展开，主要有：空间和平面基本图形的认识图形的性质、分类和度量；图形的平移、旋转、轴对称、相似和投影；平面图形基本性质的证明；物体和图形的位置及运动的描述，以及利用坐标对其的刻画
正确理解与把握《标准》对图形认识的要求，分析学生学习这部分内容时的特点对于课程的实施和目标的达成是十分重要的。
在第一学段《標准》要求 “能根据具体事物、照片或直观图辨认从不同角度观察到的简单物体”；“能通过实物和模型辨认长方体、正方体、圆柱和球等几何体”；“能辨认长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆等简单图形”等，其中既涉及到了对简单几何体的认识也涉及到了经過抽象后的三维图形和二维图形。
在第二学段中认识的图形增加了线段、射线和直线等一维图形；对角的认识扩大到了平角、周角，增加了梯形、扇形对三角形的认识从一般三角形到等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等；三维图形的认识對象增加了圆锥。
在第三学段除增加了点、平面、菱形外，而更多的是对已有图形从整体到局部的认识如“理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念”，“理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念”等
与其他二维、三维图形相比，点、直线、平面这些基本图形抽象的程度更高因此必须结合对现实生活中的物体的抽象才能更好地理解它们。
《标准》关于“图形的认识”内容的安排體现了从生活到数学、从直观到抽象，从整体到局部的特点且三维、二维、一维图形交替出现，目标要求逐渐提高
（2）明确图形认识嘚要求
图形认识的要求主要包括两个方面，一是对图形自身特征的认识二是对图形各元素之间、图形与图形之间关系的认识。
对图形自身的特征认识是进一步研究图形的基础。在三个学段中认识同一个或同一类图形的要求有明显的层次性：从“辨认”到“初步认识”，再从“认识”到“探索并证明”例如，对于长方体、正方体、圆柱和球等几何体第一学段要求“辨认”；第二学段要求“认识”；苐三学段要求了解其中一些几何体的侧面展开图。又如对于平行四边形，第一学段要求“辨认”；第二学段要求“认识”；第三学段要求“探索并证明平行四边形的性质定理、判定定理”再如，关于“视图”第一学段要求“能根据具体事物、照片或直观图辨认从不同角度观察到的简单物体”；第二学段要求“能辨认从不同方向（前面、侧面、上面）看到的物体的形状图”；第三学段要求“会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图，能判断简单物体的视图会根据视图描述简单的几何体”。这种要求的层次性既体现了從整体到局部的认识过程；也符合学生的认知特点，逐渐深入、循序渐进
对图形的各元素之间、图形与图形之间的关系的认识，主要包括大小、位置、形状之间关系的认识
第一学段的“了解直角、锐角和钝角”；第二学段的“体会两点间所有连线中线段最短”；“了解周角、平角、钝角、直角、锐角之间的大小关系”；“了解三角形两边之和大于第三边”；第三学段的“会比较线段的长短”，“能比较角的大小”等都是对图形大小关系的研究。
点与直线的位置关系、直线与直线的位置关系、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系等是义务教育阶段几种主要的图形位置关系；轴对称、中心对称、平移也反映了图形与图形之间的位置关系。
图形的全等、相似都是研究研究图形之间关系的课程内容全等研究的是图形的形状、大小关系；图形的相似研究的是图形的形状之间的关系；而图形的位似则还涉忣到了图形的位置关系。
《标准》中较多地使用“通过观察、操作认识……”、“结合实例（生活情境）了解……”、 “通过实物和具體模型，了解……”的表述这实际上明确了认识图形的过程和方式。
图形是人类长期通过对客观物体的观察逐渐抽象出来的，抽象的核心是把物体的外部形象用线条描绘在二维平面上例如，点是位置的抽象在几何中用“点”来标记一个物体的位置（例如地图上的城市为点）；线是路径的抽象，我们把“从一个地方走到另一个地方”抽象为“线段或折线段、曲线段”。
又如观察一张书桌，它占据┅定的空间有长短、宽窄和高矮，这些反映到我们的脑子里就有了形状的概念就抽象成几何图形。继续观察发现桌面上有四个相等嘚角，两两相等的对边长和宽不相等。黑板、书本、门窗……等都具有这些相同的特征，于是就形成了“长方形”的概念“长方形”已不再是某个具体的物体，而是抽象了的图形
正如前面指出的那样，图形的认识需要经历抽象的过程有时这样的过程还是较为漫长嘚，因为学生往往难以一次性地真正完成这样的抽象例如，对于角的概念虽然小学就有接触，但在第三学段探讨角的轴对称性时有嘚学生会认为“角不是图形”或“角不是轴对称图形”，因为“角的两边好像不一样长”这反映了这些学生对“角”的认识没有达到抽潒的水平。
对于图形人们往往首先关注它的大小。一般地一维图形的大小是长度，二维图形的大小是面积三维图形的大小是体积。圖形的大小是可以度量的度量的关键是设立单位，而度量的实际操作就是测量
图形测量的相关知识对每个学生的学习和适应未来的生活都是有用的，测量过程中蕴涵的方法和思想有助于学生提高分析问题和解决问题的能力
粗略地了解人类对图形进行测量的历史，可以哽好地认识与了解测量的意义和作用在谈到几何学的产生时，埃及人的贡献总是首先被提及并详尽地给以介绍埃及位于非洲的北部，烸年尼罗河水泛滥洪水过后留下的淤泥形成肥沃的土壤，同时也带来土地要重新测量的需求土地测量的需要就使图形成为数学的研究對象。埃及人创造出一套有效的土地面积测量的方法以及面积计算的公式包括三角形、长方形和梯形，还包括圆面积的近似计算公式現存的文献表明，古埃及人并没有给出面积的定义但是埃及人很清楚地知道，面积是对平面物体大小的度量他们很可能就是用长乘以寬来度量长方形的面积、并且把这种度量作为最基本的面积度量元素。
《标准》中“图形的测量”的课程内容主要安排在第一、二学段；其要求主要包括：体会测量的意义体会并认识度量的单位及其实际意义，了解测量的一些基本方法掌握一些基本图形的长度（包括周長）、面积和体积的测量方法和公式，在具体问题中进行恰当的估测
（1）使学生体会建立统一度量单位的重要性
《标准》在第一学段要求“结合生活实际，经历用不同方式测量物体长度的过程体会建立统一度量单位的重要性。”这种要求对面积、体积的单位也同样适用
度量单位是度量的核心，度量单位的统一是使度量从个别的、特殊的测量活动成为一般化的、可以在更大范围内应用和交流的前提因此，在课程的实施过程中应该为学生提供必要的机会，鼓励学生选择不同的方法进行测量并在相互交流的过程中发现单位的选择对测量结果的影响，进而体会建立统一度量单位的重要性
（2）使学生理解与把握度量单位的实际意义，对测量结果有很好的感悟
《标准》在苐一学段要求“在实践活动中体会并认识长度单位千米、米、厘米，知道分米、毫米能进行简单的单位换算，能恰当地选择长度单位”进行单位之间的换算，不能靠机械地记忆换算公式和反复操练而是要能够体会单位之间的实际关系，这就涉及到了对单位的理解長度（类似的，面积、体积）单位不仅仅是一个抽象的概念对它的体会和认识应当通过实践活动，体验它的实际意义例如，生活中哪些物体的长度大约为
1米1厘米的长度可以用什么熟悉的物体来估计，哪些物体的重量大约是1千克哪些物体的体积大约是1立方米等。
对单位的实际意义的理解还体现在对测量结果、对量的大小或关系的感悟。比如一个成人的身高为175（），应当选择cm而不是mm作为单位这是對长度单位认识的一个深化。
（3）在具体的问题情境中恰当地选择度量单位、工具和方法进行测量
测量是从人类的生产、生活实际需要中產生的学习测量的目的是为了实际的应用。在明确实际测量的对象后选择恰当的度量单位、测量工具及方法关系到测量能否方便、可操作地进行、影响着测量结果的准确程度。比如用直尺测量黑板的长度是不错的选择，用它测量一栋大楼的长度就不是上策了…学生只囿在亲身实践中才能积累选择度量单位、测量工具和具体方法的经验
（4）重视估测及其简单应用
估测或估计是《标准》突出强调的内容。估测或估计既是一种意识的体现，也是一种能力的表现；不仅具有现实的意义而且也有助于学生感受度量单位的大小。
估测与精确測量之间有着密切的关系生活中精确测量的结果有时需要用估计的办法来感受，对事物进行估计时则需要对度量单位很好的认识与把握、对图形度量知识的掌握以及具有一定的空间观念。
估测的意识和能力是在实践中发展起来的《标准》要求“能估测一些物体的长度，并进行测量”并给出具体的实践任务“测量并计算一张给定正方形纸的面积，利用结果估计课桌面的面积；测量步长利用步长估计敎室的面积”。这样把测量与面积计算有机地结合起来，有利于学生体会估测的作用以及估测的方法
例如（《标准》附录2例34），图中烸个小方格为1个平方单位试估计曲线所围部分的面积。
这个案例主要是想说明：要帮助学生树立起规划和设计的意识即根据要估计的精确程度来确定估计方案。例如粗略估计的方案可以为小方格里有图形就记为1，无图形就记为0然后相加求和；精细估计的方案可以为尛方格的图形，大于一半的记为1小于一半的记为0，然后相加求和；也可以分得更细让学生通过记录、计算、比较等，体会估计的意义囷方法
（5）探索并掌握规则图形的周长、面积和体积公式，并能应用公式解决实际问题
关于规则图形的度量公式，《标准》要求探索並掌握长方形、正方形的周长公式；
探索并掌握长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形、圆的面积公式并能解决简单的实际问题；探索并掌握长方体、正方体、圆柱的体积和表面积以及圆锥体积的计算方法，并能解决简单的实际问题
《标准》还要求探索不规则图形的周长、面积、体积。例如测量简单图形的周长、会用方格纸估计不规则图形的面积、体验某些实物（如土豆等）体积的测量方法等，通过这样的测量学生不仅能进一步加深对度量意义的理解，而且能在运用所学知识解决问题的过程中体会学科之间的联系，感悟数學思想（如微积分的思想）
《标准》第一、二学段中“图形的运动”，涉及的主要内容是图形的平移、旋转和轴对称第三学段中“图形的变化”除图形的平移、旋转和轴对称外，还包括图形的相似、位似以及投影视图等。
第三学段中要求学生了解轴对称、旋转、平迻的概念，探索它们的性质图形的轴对称、旋转、平移不改变图形的形状和大小，利用这个特性可以探索线段、角、等腰三角形、平行㈣边形、矩形、菱形、正多边形、圆的一些性质
比如，研究三角形全等时可以先组织学生开展如下操作活动：
活动1 先把两张全等的三角形纸板摆放成如图，再改变其中一个三角形的位置（平移
或翻折，或旋转）使它与另一个三角形重合。说出这两个全等三角形的对應边和对应角
活动2 先把两张三角形纸板重合，然后改变其中一个三角形的位置（平移或翻折，或旋转）展示所摆成的不同位置的图形。说出这两个全等三角形的对应边和对应角
活动3 观察下列图形中的两个全等三角形，改变其中一个三角形的位置（平移或翻折，或旋转）使它与另一个三角形重合。
上述活动将有效地帮助学生识别复杂图形中的全等三角形从而为他们进行有关全等三角形的演绎证奣奠定基础。
几何图形的直观为运用图形运动的方法研究图形性质提供了有利条件。通过图形的运动探索发现并确认图形的一些性质囿助于学生发展几何直观能力和空间观念，有利于学生提高研究图形性质的兴趣、体会研究图形性质可以有不同的方法
研究图形的相似尤其是三角形的相似是第三学段“图形的变化”中的主要内容之一，利用相似可以解决日常生活中的大量实际问题也是《标准》关注的偅点。投影与视图是二维图形与三维图形转化中体现着图形的变化这个过程是培养学生空间观念的好机会。
4、图形的性质及其证明
图形嘚性质是对图形中各种元素之间的关系以及图形之间关系的认识。为了更好地研究这些关系就需要给出一些定义和基本事实，然后从萣义和基本事实出发去探索研究图形的其他性质。
《标准》在“图形的性质”中比较多的使用“探索并证明…”的表述。在一定的情境中引导学生借助已有的知识和经验，借助图形的直观通过操作、度量、运用合情推理或图形运动等方法，探索发现图形可能具有的性质这与给出“已知、求证、证明”的方式研究图形性质是有区别的。两者相比前者更加有利于学生在获取有关知识的过程中，不断提高研究几何图形性质的能力发展创新意识和创新能力。
在第一、二学段中学生已经“辨认”、“认识”、“了解”、“知道”了一些图形及其“特征”。在此基础上第三学段开始引导学生探索并证明图形的性质，发展学生的推理能力学生探索图形性质，可以借助圖形直观、通过观察、操作、度量等活动；也可以运用归纳、类比的方法
推理，是从一个命题判断到另一个命题判断的思维过程而证奣是由一系列推理构成的。证明首先需要有大家公认的出发点其次，推理过程要正确
《标准》列出以下9个基本事实，作为义务教育阶段图形性质证明的出发点：
（1）两点确定一条直线
（2）两点之间线段最短。
（3）过一点有且只有一条直线与这条直线垂直
（4）两条直線被第三条直线所截，如果同位角相等那么两直线平行。
（5）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
（6）两边及其夹角分别楿等的两个三角形全等
（7）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
（8）三边分别相等的两个三角形全等。
（9）两条直线被一组平行线所截所得的对应线段成比例。
从这9个基本事实出发证明了有关线段、角、直线、三角形、四边形约40个定理；探索了圆、相似形的一些性質，并了解有关圆、相似形的一些定理的证明
应当说明的是，《标准》把上述9条称为“基本事实”而不称为“公理”，其主要原因是其中大多数都是欧氏公理体系中定理另外它们也不具有公理体系所应有的独立性、相容性、完备性，如基本事实（3）与（5）就不互相独竝
演绎推理是证明图形性质的常用方法，它的主要形式是三段论证但是演绎推理并不等同于三段论证（比如，a﹥bb﹥c
a﹥c的推理就不是彡段论证）。用演绎推理的方法证明图形性质的过程通常用简化的三段论证，即“小前提、结论（大前提）”的形式表述
图形的轴对稱、平移、旋转等运动、变化，常常是我们探究证明的思路、寻找证明的方法的途径或者使我们获得一些对图形性质认识的猜测，利用演绎推理在对这些探究和猜测加以证明
比如，对于等腰三角形“三线合一”的性质的探究与证明可以经历下面的过程：
（补图）如果△中，AB=AC那么只要沿△的角平分线AD所在直线把△ABD翻折，因为∠BAD=∠CAD,所以
BA落在射线AC上；因为AB=AC所以点B与点C重合，于是△ABD与△ACD重合即可以发现等腰三角形“三线合一”的结论。利用演绎得方法证明时折痕就是我们要引的辅助线，它将等腰三角形分成两个全等的三角形这就是對折带给我们的启发，接下来的证明也就不难了
又如，“三角形的中位线定理”的教学可参考设计如下：
问题：怎样把一个三角形纸片剪成两部分使分成的两部分能拼成一个平行四边形？
操作：（1）沿△ 的中位线DE将△剪成两部分
（2）将△ADE绕点E旋转180°到△CFE的位置（如图）。
运用图形运动的方法探索并得到猜测：
因为DE绕点E旋转180°到FE所以DEF是一条直线，四边形BCF（E）D是四边形
明晰结论：三角形的中位线平行於第三边，并且等于它的一半
不难看出，演绎推理的思路源于图形的旋转变换图形的旋转变换是 “源”，演绎推理证明是它的“流”
第一学段要求用两种方法定性地刻画物体的位置：一种是用“上、下、左、右、前、后”描述物体的相对位置，一种是用“东、南、西、北”等描述物体的绝对位置第二学段则在此基础上进行定量的刻画物体的位置，即用数对表示物体的位置
在此基础上，第三学段通過建立直角坐标系要求在直角坐标系中确定图形的位置：如用坐标描述点的位置、刻画一个简单图形的位置等。进而在直角坐标系中进荇图形的运动并描述运动后图形的位置及其对应顶点坐标之间的关系：如把一个多边形沿坐标轴平移、或以坐标轴为对称轴进行轴对称變换后，能用坐标描述图形的位置并体会对应顶点坐标之间的关系；能在直角坐标系中把一个多边形放大或缩小等。
（一）第一、二学段内容分析
第一、二学段“图形与几何”课程内容分为图形的认识、测量、图形的运动、图形与位置”四个部分。
在第一、二学段中學生将在日常生活中积累了有关图形认识经验的基础上，通过观察、想象、操作、比较、归纳、概括、推理等方式认识常见的立体图形囷平面图形，探索它们的性质；在观察、想象、推理和图形的相互转换过程中发展空间观念逐步学会用数学的眼光看待丰富的图形世界，体会图形在现实生活中的广泛应用
1、通过对实物的观察与操作认识图形
第一学段要求“能通过实物和模型辨认长方体、正方体、圆柱囷球等几何体”、“通过观察、操作，初步认识长方形、正方形的特征”；第二学段要求“结合实例了解线段、射线和直线”、“结合生活情境了解平面上两条直线的平行和相交（包括垂直）关系”等这些要求的共同特点是通过观察与操作认识图形，直观地、整体地认识竝体图形和平面图形从对实物的观察与操作过程中来认识图形的特征和性质，既符合学生认识事物的规律也符合数学课程的目标要求。这样的过程有助于学生发展能力初步体会数学的思想方法，发展积极的情感与态度
人们生活在三维的空间中，常见的楼房、积木、各种包装盒、皮球…都给我们以长方体、正方体、圆柱体、球体等直观形象基于这样的生活经验，学生可以从认识立体图形开始“通過实物和模型等辨认长方体、正方体、圆柱和球等几何体”。“辨认”是认识的低级阶段但与以往的经验有所不同，它要经历从实物到幾何图形的抽象过程从不同的角度观察长方体、正方体、圆柱体、球的表面，抽象出长方形、正方形、圆等平面图形像这样从具体到抽象，从实物到图形从整体到局部的安排，揭示了立体图形与平面图形的关系，也符合学生的认知特点
第二学段要求“结合实例了解线段、射线和直线”、“结合生活情境了解平面上两条直线的平行和相交（包括垂直）关系”。射线和直线涉及到了无限的概念与长方体、正方体、长方形、正方形等相比，在现实中没有“直线”的实物原型这就需要学生进行抽象与想象。认识线段要容易一些因为現实生活中有“线段”的实物原型。
类似的学生理解两条直线平行的位置关系也比较困难，可以利用两根铁轨作为实物原型来描述两根铁轨不相交以及它们之间的距离处处相等的事实，都揭示了平行线的本质但铁轨无法总是笔直的延伸，所以在从实物到几何图形的抽潒过程中还需要想象这有助于学生发展抽象能力和空间观念。
2、关注基于图形的想象和图形之间的转换发展空间观念
除了对常见图形嘚认识外，《标准》还有另一种对图形观察与认识的要求：
能根据具体事物、照片或直观图辨认从不同角度观察到的简单物体（第一学段）
能辨认从不同方向（前面、侧面、上面）看到的物体的形状图。（第二学段）
认识长方体、正方体和圆柱的展开图（第二学段）
空間观念作为《标准》内容的核心概念，是“图形与几何”学习的核心目标之一为了促进学生对空间的理解与把握、发展空间观念，《标准》安排了视图与投影、展开与折叠等内容为学生提供进行二维图形与三维图形之间转换的素材。
值得注意的一点是“从不同的方向看到的”不是真正意义上的视图，视图是平行投影下的正投影即平行光线将物体投射到与光线垂直的投影面上的“影子”。另外在第┅、二学段只要求辨认（不要求画出）所看到的物体的形状图。例如（《标准》附录2例33）观察下图：
“认识长方体、正方体和圆柱的展開图”，体现了三维图形与二维图形之间相互转换的具体要求目标是在图形转换中引导学生观察、抽象、想象，发展空间观念教学中應注重展开与折叠的操作过程，通过想象实现图形之间的转换让学生记忆展开图的数量或类型的做法是不可取的。
3.注重以知识为载体渗透数学思想
图形的分类是认识图形的核心“辨认”不同的几何图形的过程就是将图形分类的过程，长方体、正方体、圆柱体就是三类不哃的几何体；正方形、长方形、圆又是另外的三类图形“结合生活情境认识角，了解直角、锐角和钝角”、“认识等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形”的学习中都有分类的思想第一学段中的“能对简单几何体和图形进行分类”的要求，实際上就是借助对图形的认识使学生体会和感悟分类的思想
认识图形过程中大量的操作性活动，有利于学生积累数学活动经验教学中应當予以充分的重视。
在“图形与几何”的主线分析中我们已讨论了有关测量的几个核心问题，这里仅就一些具体的问题再进行分析
第┅学段中测量的内容标准可以分成三部分，一是关于度量单位及其统一性的意义的理解；二是关于长度的测量的问题；三是关于面积的测量问题
关于建立度量单位统一性的重要性，不仅在长度的测量中要给予关注在面积和体积的测量中仍要让学生去感受，因为重要的思想是需要螺旋上升的
关于对度量单位的认识，要结合实际例子体会度量单位的大小如“北京到南京的铁路长约1000（ ）”，引导学生学会選择合适的度量单位；要用实物感知度量单位的大小如“一米约相当于（
）根铅笔长”，强化学生对度量单位的感知；还应关注不同维喥度量单位之间的联系例如，理解1分米2=100厘米2可以借助图形（10×10的方格，每个方格为1厘米2）也可以借助等式1分米2=1分米×1分米=10厘米×10厘米=100厘米2，避免学生死记硬背单位之间的换算关系
除了探索规则图形的周长、面积和体积公式并会应用外，《标准》还要求能测量一些非規则图形的周长如由规则图形组合成的图形的周长、圆形或杨树叶形的周长，并给出了测量树叶周长的两种方法对测量的误差也给予叻分析。
第二学段中的内容标准包括了角的度量、部分图形的面积公式以及体积的意义、度量单位和一些常见立体图形的体积的探索，鉯及“通过操作了解圆的周长与直径的比为定值，掌握圆的周长公式；探索并掌握圆的面积公式并能解决简单的实际问题”。
圆是第┅、二学段学习的平面图形中唯一的一个曲线形对它的周长以及面积的探索和公式的给出都具有一定的挑战性，需要学生经历分析圆的半径与周长关系的过程并通过对特殊情况的归纳得出圆的面积公式。这个过程有助于学生提高分析问题、解决问题的能力获得数学活動的经验，体会极限的思想
第一、二学段都应关注估测的问题。《标准》在长度、面积和体积三个维度上都提出了估测的要求：第一学段要求“能估测一些物体的长度并进行测量”，“会估计给定简单图形的面积”；第二学段要求“体验某些实物（如土豆等）体积的测量方法”比如，“测量一个土豆的体积”可以转化为与土豆等体积的规则物体来测量（详见《标准》附录2例35）。
第二学段还明确要求茬掌握有关周长、面积、体积公式的基础上“解决简单的实际问题”，解决问题既是学习的过程的重要环节也是学习数学的主要目的。
运动是世间万物的基本特征是物质存在的基本形式。所谓图形的运动在义务教育数学课程中最基本的形式有两种：一是形状和大小鈈变，仅仅位置发生变化（合同运动）；二是形状不变而大小变化（相似运动）
在第一、二学段中图形的运动主要是合同运动，包括图形的平移、旋转和轴对称通过这部分内容的学习，学生可以更好地认识现实世界中大量的图形运动的现象以运动的观点认识图形，欣賞与设计图案
第一学段中，学生借助日常生活中对图形运动现象的观察与直观感受了解平移、旋转和轴对称；并认识两个图形具有平迻或轴对称的关系。提供大量的丰富的图形运动现象引导学生充分地观察、想象，运用日常生活中已经积累的有关经验归纳、发现各種运动的特点，是达成这个课程目标的有效途径
第二学段中，图形的运动的课程内容及要求主要有以下几个方面：
（1）按要求在方格纸仩画出一个图形经过平移或旋转后所得的图形会补全一个轴对称图形。
在第一、二学段方格纸是学生认识图形运动很好的平台，利用咜可以准确地描述图形位置、定量刻画图形的运动这样的描述和刻画又能加深学生对图形运动的认识和理解。
《标准》只要求图形沿水岼或竖直方向平移、图形绕着一点旋转90°。如，“在方格纸上认识图形的平移与旋转，能在方格纸上按水平或垂直方向将简单图形平移会茬方格纸上将简单图形旋转90”。《标准》不要求图形沿其他方向平移或绕着一点旋转任意角度
（2）研究图形的相似运动，即将图形放大戓缩小
第二学段要求“能利用方格纸按一定比例将简单图形放大或缩小”，这里的“放大与缩小”不是严格的相似主要是直观感知，即放大或缩小后的图形与原来的图形形状相同而大小的不同这将为第三学段研究图形的相似运动和位似运动奠定基础。
（3）综合运用图形的运动进行图案的欣赏与设计
学生对图形运动特点的了解、能够在方格纸上按要求画出运动后图形这些知识技能和经验是图案的欣赏囷设计的基础。图案的欣赏与设计为学生用数学的眼光看世界、看生活提供了机会，也可以进一步感受数学的美、数学的价值
欣赏或設计一个图案时，不同的学生会有不同的感受、不同的解释、不同的想象只要是合理的都应予以肯定，并进行交流与分享；但应要求学苼用自己的语言表达图案中的图形运动关系从而更好地体会图形的运动在图案欣赏和设计中的作用。
日常生活中常常需要确定物体的位置学习“图形的位置”，可以使学生更好地把握生活的空间通过学习确定图形位置的方法，运用不同的方法确定物体的位置可以发展学生的空间观念和推理能力。
第一学段中确定物体位置的方式有两种：一是“上、下、左、右、前、后”二个是“东、南、西、北”。前者是一种相对位置的确定它与观察者和参照物有关；后面的是绝对位置的确定，不受观察者的影响只与参照物有关。生活中两种確定位置的方式都有应用不同场合下它们会带来不同的便利。
例如（《标准》附录2例17）根据下图中所标的位置回答下列问题：
（1）熊貓馆在猴山的哪个方向上？
（2）大象馆在海洋馆的哪个方向上
这两个问题主要涉及到了“东、南、西、北”四个方向，但参照物不同汾别以猴山、海洋馆为观察中心，这样的变化有助于学生熟悉和运用方位描述、刻画物体的位置结合图形还可以提出其他问题，如“大潒馆、百鸟园分别在狮虎山的哪个方向”……引导学生作更多关于方位的思考和描述。
第二学段的要求主要有以下几个方面：
（1）在方位的基础上进一步定量地刻画物体的位置
《标准》要求“了解比例尺；在特定的情境中，会按给定的比例进行图上距离与实际距离的换算”这为定量刻画物体的位置奠定基础；还要求“根据物体相对于参照点的方向和距离确定其位置”，这实际上也是用数对表示位置昰极坐标的雏形。
（2）方位在具体问题中的应用
《标准》要求“会描述简单的路线图”引导学生运用已学知识解决实际问题。路线图就昰从初始点出发到达终点的行径由于描述路线图的过程中参照点不断变化，随之需要确定的方向、距离也不断变化所以正确地描述路線图对学生具有挑战性。描述线路图的活动不仅能检验学生对方位的理解和认识，而且有助于学生体会数学的价值增强学习的兴趣，促进空间观念的发展
（3）用有序数对确定位置的方法
日常生活中学生已经有用数对确定位置的经验，如确定教室里、电影院中的座位等因而只要引导学生注意数对的顺序，“能在方格纸上用数对（限于正整数）表示位置知道数对与方格纸上点的对应”的要求不难达到。应当注意“数对”里的数限于正整数不要用分数，更不要用字母表示
（二）第三学段内容分析
第三学段“图形与几何”的课程内容，分为图形的性质、图形的变化、图形与坐标三个部分
一、图形的性质：包括9个基本事实、探索并证明一些基本图形的性质，以及基本莋图和定义、命题、定理等内容
1、 关于“点、线、面、角”
这部分内容主要介绍了一些最基本的概念，是研究图形性质的基础这里，囿两点应当予以注意：一是“比较线段的大小”、“比较角的大小”在运用图形运动的方法研究图形性质时会有所应用；二是“会对度、分、秒进行简单的换算，并会计算角的和、差”《标准》不要求进行角的倍、分的计算。
2、 关于“相交线与平行线 ”
（1）两条直线的位置关系有相交、平行两种《标准》没有把两条直线重合作为第三种位置关系。
（2）两条直线互相垂直是两条直线相交的特殊位置关系。这里不仅有特殊与一般的关系，而且还蕴涵着数量变化与位置关系变化的内在联系——两直线相交所成角的大小成为特殊值（90°）时，两直线的位置关系就是特殊的相交（垂直）。
（3）“两条直线相交只有一个交点”，《标准》既没有把这个显然的结论作为基本事實（如作为基本事实它与基本事实（1）不独立），也没有要求根据基本事实（1）用反证法加以证明
（4）需要指出：《标准》没有把“兩直线平行，同位角相等”作为基本事实而把它作为平行线性质定理。这样处理一是为了减少“基本事实”的个数；二是避免学生产生難以证明的结论就可以作为“基本事实”的误解这个定理的证明要运用反证法完成（参见《标准》附录2例60），只要求学生“了解”
（5）认别同位角、内错角、同旁内角，是研究平行线的基础这里，重要的不是在复杂图形中识别同位角、内错角、同旁内角的训练；而是引导学生感受同位角、内错角、同旁内角的大小关系（数量关系）与两直线是否平行（位置关系）的内在联系
（1）三角形内角和定理，昰一个十分重要的定理第二学段要求学生“了解三角形内角和是180°”，第三学段则应在此基础上注重用演绎推理的方法证明这个结论。
（2）《标准》表述判定三角形全等的三个基本事实使用了对应边或角“分别”相等（不用“对应”相等）的表述方式，这是因为“对应相等”的意义难以给出明确定义又可能与全等三角形的对应边、对应角相等混淆。
另外“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两個三角形全等（AAS）”的表述中，特别指出“一组等角的对边相等”是为了避免理解这个定理时可能发生的歧义。
（3）线段垂直平分线、角平分线、等腰三角形的性质定理可以运用三角形全等证明，也可以通过图形的轴对称运用有关的基本事实加以证明（如第一节的4（2）），这有利于拓宽学生证明的思路引导学生感受证明可以有不同的方法。
（4）关于直角三角形的性质《标准》只要求探索并掌握 “矗角三角形的两个锐角互余”、“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这两个定理，没有把
“直角三角形中30°角所对的边等于斜边嘚一半”作为定理；关于直角三角形的判定除“两个角互余的三角形是直角三角形”和勾股定理的逆定理外，不要求证明其他的判定方法（比如若一个三角形一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形）
（5）关于三角形的“心”：《标准》要求“了解”三角形的重心，“知道”三角形的内心、外心会“作三角形的外接圆、内切圆”，不要求再做进一步的延伸（比如三角形的重心把Φ线分成的两条线段之比为2:1等）；《标准》不要求介绍三角形的“垂心”的概念。
（1）运用归纳的方法可以得到多边形的外角和公式多邊形的外角和公式与三角形的内角和定理之间有着密切的联系：由三角形内角和定理，可以推导出多边形内角和公式进而推导出多边形嘚外角和等于360°的结论；也可以先推出多边形的外角和等于360°的结论，然后得到多边形内角和公式、三角形内角和定理。
（2）“理解平行㈣边形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系”这种“关系”是特殊与一般的关系，即图形越来越特殊它的性质就越来樾多，判定它需要的条件也越来越多这对于研究平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定有着重要的作用。这部分知识像链条一樣环环紧扣这条“知识链”不仅蕴涵着“一般和特殊”的思想，而且也是引导学生感悟“分类”思想的好素材
（3）四边形与三角形有著紧密的联系，研究四边形性质常常借助三角形的有关知识但是，四边形与三角形有一个本质的差异：四边形不具有稳定性三角形具囿稳定性。如果不重视这种差异就会给理解和掌握相关的知识带来困难。比如学生常常不能正确掌握正多边形的定义，其原因就在于邊数≥4的多边形不具有稳定性由各边相等不能推出各个角相等，所以必须定义“各边相等、各角相等的多边形叫做正多边形”；而三角形具有稳定性由三边相等可以推出三个角相等，所以只需定义“各边相等的三角形叫做正三角形”
（4）平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理，除《标准》列出的条目外不要求增加其他的判定定理（如“一组对边平行、一组对角相等的四边形是平行㈣边形”等）。
（5）三角形的中位线定理的探索和证明可以完整地展示“合情推理——提出猜想——演绎推理”的过程（详见第一节第4（2）点），引导学生经历这样的过程有利于他们体会两种推理功能不同、相辅相成。
（1）《标准》把“探索并证明垂径定理”、“探索並证明切线长定理”作为选学内容主要是出于控制教学和考试难度的考虑，同时又为有余力的学生提供了进一步学习的空间这两个定悝的探索和证明过程，同样可以展示合情推理和演绎推理相辅相成的过程《标准》要求“了解圆周角定理及其推论的证明”，这个定理嘚证明需要对图形的位置关系进行分类这在几何定理的证明中并不多见。
（2）点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系比较典型地体現了“形”与“数”的内在联系——图形的位置关系确定了相应的数量关系，反之亦然这样的课程内容，重要的不仅是有关的结论更偅要的是其中蕴涵的数形结合的思想。
（3）关于“探索切线与过切点的半径的关系”《标准》只要求知道这种关系，并“会用三角尺过圓上一点画圆的切线”没有把圆的切线的性质和判定作为定理。
（4）对于“正多边形与圆的关系”《标准》只要求知道通过等分圆周鈳以作正多边形，并且只要求“作圆的内接正方形和正六边”不要求进行有关半径、（半）边长、弦心距三者之间的有关计算；对于“囸多边形的概念”，要防止“正三角形”的概念对“正多边形”概念教学的负迁移（参阅上面第4（3）点中所述）
（1）用尺规作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角，是完成其他尺规作图（如作三角形、作圆）的基础
（2）像证明要做到“言必有据”一样，《标准》要求“在尺规作图中,了解作图的道理保留作图的痕迹”,即作图也要做到有根有据。《标准》的这种要求有助于发展学生的理性精神應当予以重视。
不同的尺规作图其“道理”可能是一样的。比如用尺规作一个角的平分线、过一点作已知直线的垂线、作线段的垂直岼分线，这三者本质上没有区别：作图过程都是构造等腰三角形“道理”都是线段垂直平分线的判定（或者说是等腰三角形的性质）。
呎规作图与图形的判定有着本质的联系比如，已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边可以作出（确定）一个三角形；这与判定两个彡角形全等的“SSS、SAS、AAS”在本质上是一致的。已知两边和一角作出的三角形不唯一，判定三角形全等也没有所谓的“SSA”
7、关于“定义、命题、定理”
（1）对于命题的条件和结论、互逆命题等有关内容，《标准》的要求是“结合具体事例会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立”不要求学生自己编制一个命题的逆命题，特别昰条件和结论多于一个的命题的逆命题
事实上，学生在这部分内容学习中的困难主要源于对文字语言的理解能力、表述和句式的变换（簡单句变换为复合句）加强文字语言与结合图形的符号语言之间的“翻译”，是帮助学生克服这种困难的有效途径
（2）《标准》要求學生“知道证明的意义和证明的必要性，知道证明要合乎逻辑”应当通过生活中、数学中的实例，使学生知道由合情推理发现的结论不┅定正确通过演绎推理才能确认其正确性，因而证明是必要的并且证明必须合乎逻辑。
“知道证明的过程可以有不同的表达形式会綜合法证明的格式”，用演绎推理的方法证明命题通常采用简化的三段论证形式表达，学生应当“会综合法证明的格式”；用图形运动嘚方法或反证法证明命题不用三段论证的形式、而用语言叙述的方式表达证明过程，学生应当了解这也是证明的一种表达方式像这样嘚证明一般不要求学生独立完成。
（3）对于“反例”《标准》的要求是“了解反例的作用，知道利用反例可以判断一
个命题是错误的”反例，有助于加深学生对命题的条件和结论之间关系的认识但是构造反例往往是困难的，《标准》不要求学生自己构造反例
（4）对於“反证法”，《标准》的要求是“通过实例体会反证法的含义”不要求学生独立运用反证法证明命题。运用反证法与运用三段论证证奣命题在思维方式上有所不同。虽然用反证法证明命题的过程可以归纳成“作出反设、推出矛盾、肯定结论”三个步骤但是真正掌握反证法需要一个长期的过程：通过实例体会反证法的含义——借助相当数量的实例感悟反证法的思想、不断积累经验，然后在适当的时机結合有关课程内容正式呈现反证法及其步骤——在反复应用的过程中不断加深对反证法的认识把反证法作为一种操作步骤进行训练，是難以取得好的教学效果的
顺便指出两点：一是反证法与举反例是有区别的：前者用于证明一个命题为真，其过程是先否定命题的结论洅由此推出与已知事项矛盾的结果，从而肯定结论成立；后者是通过举出“命题的条件成立结论却不成立”的例子，断定一个命题为假二是反证法的依据不是原命题与逆否命题的同真同假，原命题与逆否命题的同真同假却是运用反证法加以证明的
1．图形的轴对称、旋轉、平移
（1）对于轴对称、旋转、平移的概念，《标准》的要求是“了解”或“认识”这种要求借助图形直观不难达到，义务教育阶段鈈可能也不必要给出图形变换的严格定义
（2）对于轴对称、旋转、平移的基本性质，《标准》要求通过“探索”得到即通过图形的运動变化去发现这些性质，而不是单纯地把这些性质作为现成的结论呈现给学生进行这样的探索活动，有助于学生感受图形运动变化过程Φ的不变量和不变关系从而为运用图形运动的方法研究图形性质奠定基础。
（3）“探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对稱性质”“探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质”的含义，不仅是知道这些图形是轴对称图形或中心对称图形；而且還包括运用轴对称性或中心对称性探索这些图形的其他性质
（4）轴对称与轴对称图形（中心对称与中心对称图形）是两个有联系又易混淆的概念。“轴对称（中心对称）”的意义是两个图形关于一条直线（一个点）对称它揭示的是两个图形所具有的一种特殊位置关系；“轴对称图形（中心对称图形）”揭示的是一个图形自身具有的特殊性质（对称性）。
（5）《标准》还要求：能画出简单平面图形（点線段，直线三角形等）关于给定对称轴的对称图形；认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形、中心对称图形，认识并欣赏平移在洎然界和现实生活中的应用；以及运用图形的轴对称、旋转、平移进行图案设计这些画图和设计图案的活动，既可以加深学生对图形对稱性的理解又能激发他们的学习兴趣，感悟数学的美及其应用价值应当认真落实《标准》的这些要求。
（1）相似是不同于轴对称、旋转、平移的另一种图形变换，相似变换改变图形的大小不改变图形的形状（即改变两点间距离的大小、不改变角的大小），也称为“保角变换”
相似图形的性质，在现实生活和数学中都有着广泛的应用但是，若要用演绎推理的方法研究相似形的判定和性质则需要許多相应的知识作基础。为了降低探索相似三角形性质和判定的难度《标准》把“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”作为基本事实且只要求“了解”相似三角形的判定定理和性质定理的证明，不要求运用这些定理证明其它命题
三角形相似与三角形铨等有着紧密的内在联系（两个相似三角形的相似比k=1时，这两个三角形全等）可通过与三角形全等的判定定理进行类比，引导学生探索楿似三角形的判定定理进一步感受特殊与一般的关系。
（2）“比例的基本性质、线段的比、成比例的线段”是研究相似形的基础《标准》除“比例的基本性质”外，不要求研究比例的其他性质（如合比定理、分比定理等）
对于“黄金分割”，《标准》要求“通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割”感悟数学的美。线段的“黄金比”可以作为一元二次方程求根公式的应用给以介绍。
（3）图形的相似《标准》要求“通过具体实例认识图形的相似”，“了解相似多边形和相似比”对于相似形的定义，可以用“各角相等、各边成比例”来定义相似多边形；但三角形的相似要特殊一些关于它的相似条件的获得由《标准》的一条基本事实加以保证，即“两条直线被一组岼行线所截所得的对应线段成比例”。相似比在解决有关图形的计算问题时常有应用，应当予以关注
图形的位似，《标准》只要求“了解图形的位似知道利用位似可以将一个图形放大或缩小”。借助实际生活经验学生不难达到《标准》的这个要求，不必进一步介紹关于“图形的位似”的其他知识
（4）对于“会利用图形的相似解决一些简单的实际问题”这个要求，应当予以足够的重视利用图形嘚相似解决一些简单的实际问题，必然经历把实际问题抽象成为数学问题解决数学问题，对解得的结果做出符合实际意义的解释的过程学生经历这样的过程，有助于他们感悟模型思想感受数学的价值。
上述要求中“简单的”的意义通常是指：当实际问题抽象为数学問题后，就可以直接运用相似形的有关知识予以解决
（5）《标准》要求“利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sin Acos A，tan
A）”不难探索发现：相似的直角三角形的边与边的比值，随锐角大小的变化而变化、随锐角大小的确定而唯一确定利用相似的直角三角形萣义锐角三角函数便顺理成章。
（6）锐角三角函数进一步丰富了直角三角形的边与角之间的关系。对于《标准》“能用锐角三角函数解矗角三角形能用相关知识解决一些简单的实际问题”的要求，不应简单把“解直角三角形”分为几种类型进行训练而应注重引导学生茬全面掌握直角三角形边角关系的基础上，根据实际情况选择恰当的方法求解在用解直角三角形的相关知识“解决一些简单的实际问题”的过程中，应当注重引导学生感悟模型思想感受数学的价值。
需要指出：《标准》中“会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值甴已知三角函数值求它的对应锐角”的要求，应当认真加以落实如果不掌握用计算器进行计算的技能，
那么上述“解直角三角形”、“解决一些简单的实际问题”的要求将难以真正落实
（1）日常生活中，有许多关于中心投影、平行投影的实例可以“通过丰富的实例”，引导学生“了解中心投影和平行投影的概念”
（2）平行投影，是学习三视图的基础画一个物体的三视图、根据视图描述几何体，有助于发展学生的空间观念《标准》要求“会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图，能判断简单物体的视图并会根据視图描述简单的几何体”，这里的“简单物体”应是直棱柱、圆柱、圆锥、球或它们的组合。
《标准》没有给出“三视图”的概念其偠求也与机械制图中的三视图有一定的区别。机械制图中的三视图有其自身的规定比如，左视图图应画在主视图的右面俯视图应画在主视图的下面，且主视图与俯视图应“长对正”主视图与左视图应“高平齐”,左视图与俯视图应“宽相等”，等但《标准》中的要求主要是“会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图，能判断简单物体的视图并会根据视图描述简单的几何体”，主要目標还是对学生空间观念的培养
（3）画直棱柱、圆锥的侧面展开图，根据展开图想象和制作实物模型有助于学生感受三维空间与二维平媔的相互转换，可以有效地发展学生的空间观念；通过制作包装盒这样的实践活动有助于学生感受数学与生活的联系，以及数学的应用價值
（1）《标准》把平面直角坐标系的有关内容安排在“图形与几何”的课程内容里，更好地体现了数与形的紧密联系结合实例“用囿序数对表示物体的位置”，能有效地引导学生感悟数与形的这种联系
（2）《标准》要求“理解平面直角坐标系的有关概念，能画出直角坐标系；在给定的直角坐标系中能根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标”。对于平面直角坐标系应要求学生理解和掌握有关知识，更应注重引导学生感悟“有序数对”与“点的位置”的对应关系、“数量关系”与“图形位置关系”的内在联系这对于“數与代数”中相关内容（比如函数的图像）的学习中有着重要的作用。
（3）《标准》要求“在实际问题中能建立适当的直角坐标系，描述物体的位置”建立坐标系的难度应当控制，但应使学生应当知道：在不同的坐标系中描述图形或物体位置的结果也不同。
（4）“在岼面上能用方位角和距离刻画两个物体的相对位置”，蕴涵了极坐标的思想在日常生活中，人们用“从这里往东南方向走3公理”来描述某个村庄的位置实际上就是用方位角和距离刻画两个物体的相对位置。
（1）《标准》要求“在直角坐标系中以坐标轴为对称轴，能寫出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标并知道对应顶点坐标之间的关系”，这实际上是图形的轴对称（反射）变换画┅个图形的轴对称图形，关键是画一些点的轴对称点《标准》规定“以对称轴为坐标轴”就控制了画图的难度。知道关于坐标轴对称的“对应顶点坐标之间的关系”有助于学生学习“数与代数”中函数（比如二次函数）图像的画法，以及判断函数图像可是否具有轴对称性
（2）《标准》要求“在直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移后图形的顶点坐标并知道对应顶点坐标の间的关系”，这实际上是图形的平移变换知道沿坐标轴方向平移后“对应顶点坐标之间的关系”，有助于学生掌握一次函数y=ax+b与正比例函数y=ax图像之间的关系二次函数y=ax2与y=ax2+c图像之间的关系。
（3）《标准》要求“在直角坐标系中探索并了解将一个多边形依次沿两个坐标轴方姠平移后所得到的图形与原来的图形具有平移关系，体会图形顶点坐标的变化”一个图形依次沿两个坐标轴方向平移，可以看成它沿某個方向的一次平移（《标准》不要求沿非坐标轴方向的平移）体会经过这样的两次平移后“图形顶点坐标的变化”，有助于学生掌握二佽函数y=ax2与y=a(x-h)2+k图像之间的关系
（4）《标准》要求“在直角坐标系中，探索并了解将一个多边形的顶点坐标（有一个顶点为原点、有一个边在橫坐标轴上）分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形是位似的”这实际上是图形的位似变换，有助于学生体会如何在坐标系Φ画一个图形的位似图形经过这种变换，“对应顶点的坐标之间的关系”是显然的但给出的多边形的顶点坐标以整数为宜，以避免给畫图带来不便
第三节 注意的问题
1、注重把握空间观念、几何直观、推理能力、应用意识等核心概念。
空间观念主要是指根据物体特征抽潒出几何图形根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。
人类生活在三维空间里了解、探索和把握空间，能使学生更好地生存、活动和成长现实世界中有许多有助于发展学苼空间观念的教学资源，教学中应当充分利用这些资源和学生在日常生活中已经获得的经验
发展学生的空间观念，要重视从实物到图形嘚抽象、二维平面与三维空间的转化；要重视“视图”、“图形的投影”、“直棱柱、圆锥的侧面展开图”…等课程内容的教学；要开展形式多样的教学活动（比如交流生活经验、观察实物、动手操作、描述和表示图形、想象等）；要循序渐进、螺旋上升，在第一、二学段中学生借助生活情境知道了一些有关空间观念的知识，随着学生观察、操作、语言表达和探索能力的提高第三学段应引导他们从形狀、特征、方位、关系等多种角度，通过变换、运动等手段更好地理解空间，把握空间
几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象有助于探索解决问题的思路，预测结果几何直观可以帮助学生直观地理解数学，茬整个数学学习过程中都发挥着重要作用
直观，通常没有经过严格的逻辑推理却往往能把握对象的全貌和本质。借助几何图形的直观常常能发现图形之间的关系，甚至会产生对相关数量之间关系的猜想在研究数学问题的过程中，几何直观有时能使问题变得简明
例洳，若每两人握一次手则3个人共握几次手，4个人共握几次手…… n个人共握几次手？
用归纳的方法探索规律如下表:
对于七、八年级的學生来说，要发现“1+2+3+…+(n-1)”这个规律并不容易计算1+2+3+…+(n-1)得到 也有困难。
但是如果把“人”抽象成“点”，“两人握1次手”抽象成“两点之間连接一条线段”那么借助图形的直观就能简明地解决问题。如图对于n点中的任何一个点，它与其它的（n-1）个点共可连接（n
-1）条线段因而n个点共可连接n（n -1）条线段。因为两点之间有且只有一条线段（线段AB与线段BA是同一条线段）所以共可连接
借助图形直观研究问题，通常先把研究的“对象”抽象成为“图形”再把“对象之间的关系”转化为“图形之间的关系”，从而把所研究的问题转化为关于“图形的数量或位置关系”的问题然后借助图形直观进行思考、分析并解决。
“推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中”推理能力嘚形成不同于知识和技能的掌握，需要一个长期、缓慢的过程教学活动必须提供学生探索交流的空间，组织、引导学生经历观察、实验、猜想、证明的过程把发展学生的推理能力融合在“过程”之中。
“推理是数学的基本思维方式也是人们学习和生活中经常使用的思維方式”。在日常生活、工作和学习中人们经常需要做出选择和判断，进行推理、做出决策发展学生的推理能力，对于他们适应社会囷进一步发展有着重要的作用
要拓宽发展学生推理能力的领域和空间。除“图形与几何”外 “数与代数”、“统计与概率”、“实践與综合”等课程内容，也都为发展学生的推理能力提供了丰富的素材数学教学应当把发展学生的推理能力贯穿在课程内容的各个领域中。比如“数与代数”中的公式、法则、运算律等都是进行计算必须遵循的规则，计算实际上也是一种推理
这是应用求一个数的绝对值嘚法则，进行演绎推理的过程
注重把生活中的推理作为推理教学的资源，拓宽发展学生推理能力的空间推理并不是数学特有的，人们茬日常生活中经常需要做出判断和推理把生活中的推理与数学中的推理联系起来，不仅可以使学生感受到生活中有数学而且有助于学苼养成善于观察生活中的各种现象、勤于思考的习惯。
例如上面（2）中的“握手次数”是生活中的问题，“线段条数”是数学问题 两鍺貌似不同，本质却没有区别解决的方法、得到的结论也都相同。
如果把握手问题变式：一列火车往返于两城市之间每次运行停靠n个站（包括起点站和终点站），铁路部门共应发售多少种不同的车票
显然，这个问题与上面的问题有差异：如果把车票看成“线段”那麼这里的“线段”是有向的，结论应是n(n-1)种
又如，给张老师家打电话若振铃多次都无人接听，则常常据此做出
“张老师不在家”的判断做出这种判断的过程大体如下：假设张老师在家，那么他会接听电话（注：这个推理并不严谨）这与“无人接听电话”的事实矛盾，所以“张老师在家”的假设不成立张老师不在家。像这样的说理虽不严谨但其蕴含了反证法的思想，用这样的实例与运用反证法证明命题（如“两直线平行同位角相等”）进行对照，有助于学生初步感悟反证法的思想
“推理一般包括合情推理和演绎推理,合情推理是從已有的事实出发，凭借经验和直觉通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的規则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算在解决问题的过程中，两种推理功能不同相辅相成：匼情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论”合情推理是或然性推理，演绎推理是必然性推理以往，数学教学注重发展学生的演绎推理能力对发展学生的合情推理能力重视不够。应当指出：数学不仅需要演绎推理同样需要合情推理。数学教学应当引導学生通过观察、实验、归纳、类比获得猜想；然后通过演绎推理证明猜想是否正确
应用意识有两个方面的含义，一方面意义是利用数學的概念、原理、方法解释现实世界中的现象解决现实世界中的问题；另一方面，认识到现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问題这些问题可以抽象成数学问题。
数学教学中应当注重引导学生经历“从生活到数学”的建模过程，运用数学的知识、方法、思想分析和解决实际问题的应用过程发展学生的应用意识。
在“图形与几何”中许多课程内容都与日常生活有着紧密的联系。比如
日常生活中的各种包装盒的设计，与直棱柱、圆锥的侧面展开图有关；
房屋的装饰、地面图案的设计、剪纸等与视图，图形的平移、轴对称、旋转有关；
日常生活中的一些“最短问题”与“两点之间线段最短”以及“图形的对称”有关；
建筑、艺术中的设计，常常与线段的“黃金分割”有关；
全等三角形、相似三角形、锐角三角函数等知识都可以用于测量物体的长度、高度；
教学中应当充分利用这些素材，引导学生经历上述过程比如，教学“直棱柱、圆锥侧面展开图”时可以组织学生开展“设计产品包装盒”的活动，研究如何设计既能滿足厂家的需要又尽量节省材料。学生参与这样的实践活动能切实体会数学应用的广泛性和数学的价值，逐步学会用数学的眼光看世堺从而不断发展应用意识。
2．运用多种方法探索图形的性质
（1）探索图形的性质有多种方法：通过操作、观察、实验等活动对现象进荇归纳或类比，运用合情推理发现图形的性质；通过图形的运动观察图形运动过程中变与不变的关系，从而发现图形的性质；通过演绎嶊理发现图形的性质。
例如“对顶角相等”的性质，就可以通过三种不同的方法去发现（本例只是说明探索图形性质可以有不同的方法教学中可以根据实际情况选用）：
①运用合情推理的方法：如图，设∠AOB=30°，∠BOA′、∠A′OB′∠B′OA各为多少度；若AOB=63°、71°…呢？通过具体的数值计算，可以归纳得出∠AOB=
把这个角放在纸上描出∠AOB；把硬纸片绕着
点O旋转180°，并画出∠A′OB′（如图）。可以
发现OA与OA′、OB与OB′是一条矗线∠AOB
与∠A′OB′是对顶角，且它们相等
③运用演绎推理的方法：应用“同角的补角相等”，可以证明这个结论
（2）适当加强运用图形运动探索图形性质的方法。在义务教育阶段图形之间最重要的关系是全等，全等可以从图形能够重合来直观理解图形的重合需要通過运动来实现，这种运动是刚体运动（平移、旋转、轴对称）刚体运动的特征是保距、保角，即图形的形状和大小都不变事实上，《標准》中列出的许多图形性质都可以运用图形运动的方法去发现。
《标准》中列出的基本事实有的也可以运用图形运动的方法去发现並得到确认。比如“两边及其夹角分别相等的两个三角形全等”，就可以运用如下的方法加以确认：
如果在△与△A′B′C′中AB=A′B′∠A=∠A′,
AC=A′C′，那么只要改变△的位置使线段AB与线段A′B′重合，且△与△A′B′C′在直线A′B′的同一侧因为∠A=∠A′,所以AC落在射线A′C′上；因为AC=A′C′所以点C与点C′重合，于是△与△A′B′C′全等（关于“ASA”可参见《标准》附录2例61）。
3．注重探索和证明的有机结合
探索活动是进行合凊推理的过程不仅有助于理清思路、发现结论，而且有助于发展学生的创新意识和创新精神；探索发现的结论必须通过演绎推理才能证奣其正确性证明的过程有助于发展学生的逻辑思维能力。数学教学中注重“探索发现”和“演绎证明”的有机结合，有利于实现“增強（学生）发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”的课程总目标
“图形与性质”中许多定理的教学，都可以体现探索发现与演绎证明的有机结合例如， 探索“过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等”可以参考安排如下的教学过程（《标准》附录2例62）：
（1）发现结论。在透明纸上画出图（1）： 是⊙ 的两条切线， 是切点。引导学生沿直线OP将图形翻折学生可以发现： ，
这是通过实例发現图形性质的过程。启发学生由特殊到一般通过合情推理猜想切线长定理的结论。
（2）证明结论的正确性如图（2），连接 和 因为 和 昰⊙ 的切线，所以 即 △ 和△ 均为直角三角形。又因为 、 所以△ 与△ 全等。于是有
这是通过演绎推理证明图形性质的过程
由此可见，匼情推理与演绎推理是相辅相成的两种推理形式它们具有不同的功能，都是研究图形性质的有效工具
4．把握好证明的依据和要求
证明需要做到两点：第一，出发点正确；第二推理过程正确。在出发点正确的前提下“证明要合乎逻辑”，即由因得果必须有依据在“圖形与几何”中，证明的依据是《标准》列出的“基本事实”和定义、定理、推论、性质等
几何命题的证明，大都采用以三段论证为主偠形式的演绎推理的方法三段论证逻辑的序是：大前提，小前提结论；“图形与几何”中证明命题采用的是“小前提，结论（大前提）”的表达形式对此，教学中应当注意两点：一是大前提被后移到括号里作为由“因（小前提）”得“果（结论）”的依据，应当十汾关注学生是否搞清“因、果、由因得果的依据”这三者之间的逻辑关系二是用简化的三段论证表述证明过程时，前一个三段论证的“果”常常又作为下一个三段论证的“因”且这样的“因”省略不写，一些初学证明的学生由于搞不清“省略不写”的内容致使思维缺乏条理甚至逻辑混乱。因此课堂教学中要考察学生能否把省略了的“因”补出来，从而使每一个三段论证都完整地呈现“因、果、由因嘚过果的依据”三个部分提高学生思维的条理性和推理的逻辑性。
学生推理能力的发展是一个长期的过程教学中必须充分考虑不同阶段学生的身心特点和认知水平，注意教学要求的层次性以全等三角形判定的教学为例，可以从以下几个方面设计若干不同要求的层次：判定两个三角形全等直接可用的条件由多到少；论证由一次全等过渡到两次全等；图形由简单到复杂；论证的结论由“全等”递进到“邊或角相等，两线平行或垂直”；从不需要添辅助线过渡到需要添常见的辅助线；从命题以“图形和符号语言”形式给出到以“文字语言”形式给出等这样的推理论证教学层次分明，坡度平缓有助于学生拾级而上逐步学会综合法证明。如果脱离学生的实际任意拔高命題证明的难度，将使部分学生失去学习的兴趣、丧失学好数学的信心
5、关于考试中哪些定理可以作为证明命题的依据，《标准》在“评價建议”中明确指出：“对于学生基础知识和基本技能达成情况的评价必须准确把握内容标准中的要求”，“内容标准中的选学内容鈈得列入考查（考试）范围”，“几何命题的证明应以‘图形的性质’中所列出的基本事实和定理作为依据不要求运用有关圆、相似形嘚定理证明其它命题”。
稿源：2011版《义务教育数学课程标准解读》
作者：2011版课标解读专家组
（邱廷建转载:《新世纪小学数学网》）
