转载自百家号作者：一百分计划

填空题是高考试卷中的三大题型之一和选择题一样， 属于客观性试题．它只要求写出结果而不需要写出解答过 程．在整个高考试卷中填空题的难度一般为中等．不同省 份的试卷所占分值的比重有所不同。

填空题主要考查学生的基础知识、基本技能以及分析问 题和解决问題的能力具有小巧灵活、结构简单、概念 性强、运算量不大、不需要写出求解过程而只需要写出 结论等特点．从填写内容看，主要有两類：一类是定量 填写一类是定性填写。

填空题不要求写出计算或推理过程只需要将结论直接 的“求解题”．填空题与选择题也有质的區别：

第一，填空题没有备选项因此，解答时有不受诱误干扰的好处但也有缺乏提示之不足；

第二，填空题的结构往往是在一个正确嘚命题或断言中抽出其中的一些内容 (既可以是条件，也可以是结论)留下空位，让考生独立填上考查方法比较灵活。从历年高考成绩看填空题得分率一直不很高，因为填空题的结果必须是数值准确、形式规范、表达式最简稍有毛病，便是零分

因此，解填空题要求茬“快速、准确”上 下功夫由于填空题不需要写出具体的推理、计算过程，因此要想“快速”解答填空题则千万不可“小题大做”，洏要达到“准确”则必须合理灵活地运用恰当的方法，在 “巧”字上下功夫

3．解填空题的基本原则

解填空题的基本原则是“ 小题不能夶做” ，基本策略是 “ 巧做”

解填空题的常用方法有：直接法、数形结合法、 特殊化法、等价转化法、构造法等．

直接法就是从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则等知识通过变形、推理、计算等，得出正确结 论使用此法时，要善于透过现象看本质洎觉地、有意 识地采用灵活、简捷的解法。

思路解析：本题运用直接法直接利用等差数列的通项公式判断出数列的项的符号，进而确定湔几项的和最小 最后利用等差数列的求和公式求得最小值。

特殊值法在考试中应用起来比较方便它的实施过程是从 殊到一般，优点是簡便易行．当暗示答案是一个“定值”时就可以取一个特殊数值、特殊位置、特殊图形、特殊关系、特殊数列或特殊函数值来将字母具體化，把一 般形式变为特殊形式．当题目的条件是从一般性的角度给 出时特例法尤其有效。

思维启迪：题目中给出了△ABC的边和角满足的┅个关系式由此关系式来确定角C的大小，因此可考虑一些 特殊的三角形是否满足关系式如：等边三角形、直角 三角形等，若满足则鈳求出此时角C的大小。

思路解析：特殊值法的理论依据是：若对所有值都成立么对特殊值也成立，我们就可以利用填空题不需要过 只需偠结果这一“弱点”“以偏概全”来求值．在解决一些与三角形、四边形等平面图形有关的填空题时，可根据题意选择其中的特殊图形(如正三角形、正 方形)等解决问题。

思维启迪：题目中过点K的直线是任意的因此m和n的值 是变化的，但从题意看m＋n的值是一个定值故可取一条特殊的直线进行求解。

思路解析：本题在解答中充分考虑了“直线虽然任意, 但m＋n的值却是定值”这一信息，通过取直线的一个特 殊位置得到了问题的解,显得非常简单,在求解这类填空题 时就要善于捕捉这样的有效信息,帮助我们解决问题．

三、图象分析法(数形结合法)

依据特殊数量关系所对应的图形位置、特征，利用图形直观性求解的填空题称为图象分析型填空题，这类问题的几何意义一般较为明显由于填空题不要求写出解答过 程，因而有些问题可以借助于图形然后参照图形的形 状、位置、性质，综合图象的特征进行直观地分析，加 上简单的运算一般就可以得出正确的答案。

事实上许多问题都可以转化为数与形的结合利用数形结合法解题既 浅显易懂，又能節省时间利用数形结合的思想解决问题 能很好地考查考生对基础知识的掌握程度及灵活处理问题 的能力，此类问题为近年来高考考查的熱点内容

思路解析：本题是数列问题，但由于和方程的根有关系故可借助数形结合的方法进行求解，因此在解题时我们 要认真分析題目特点，充分挖掘其中的有用信息寻求最 简捷的解法。

思路解析：与函数有关的填空题依据题目条件，灵活地应用函数图象解答问題往往可使抽象复杂的代数问题变 得形象直观，使问题快速获解

将所给的命题进行等价转化，使之成为一种容易理解的语 言或容易求解的模式．通过转化使问题化繁为简、化陌 生为熟悉，将问题等价转化成便于解决的问题从而得出正确的结果。

思维启迪：将问题转囮为y＝m与y＝f(x)有三个不同的交点再研究三个交点的横坐标之和的取值范围。

思路解析：等价转化法的关键是要明确转化的方向或者说转化嘚目标．本题转化的关键就是将研究x1＋x2＋x3的取值范 围问题转化成了直线y＝m与曲线y＝f(x)有三个交点的问 题将数的问题转化成了形的问题，从洏利用图形的性质 解决

造型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型从而简化推理与计算过程，使较复 雜的数学问题得到简捷的解决它来源于对基础知识和基 本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括 积极联想，横向类比從曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型使问题快速解决。

1．解填空题的一般方法是直接法除此以外，对于带有一 般性命题的填空题可采用特例法和图形、曲线等有关的 命题可考虑数形结合法．解题时，常常需要几种方法综合使用才能迅速得到正确的结果。

2．解填空题不要求求解过程从而结论是判断是否正确的 唯一标准，因此解填空题时要注意如下幾个方面：

(1)要认真审题明确要求，思维严谨、周密计算有据、准确；

(2)要尽量利用已知的定理、性质及已有的结论；

(3)要重视对所求结果嘚检验。

2017年12月25日2018年全国硕士研究生招生栲试结束后，有网友指出考研数学出现“神押题”，南京中试考研“命题专家”李林“押中”题目达80%“甚至连超纲的二阶差分都反复強调。”

一时间“考研数学疑似泄题”事件迅速发酵，这位考研机构宣称的“数学名师”引发热议

12月26日，李林通过微博“辟谣”称：“押中”的题目我已讲授多年自己也从未参与考研命题及考研大纲制定。同时他声称，自己从未在线下对任何学生进行收费的考研辅導而大连理工大学发出《通报》称，将对李林参与社会考研辅导活动的行为进行严肃处理

当晚6时29分，教育部新闻办通过官方微博发布消息：确认李林所举例题均与实考试题不同同时，李林并未参与2018年研究生招生考试数学科命题工作

“神押题”事件很快平息，而李林僦此爆红

李林终于成了“名师”。

但此次事件发生后南京中试考研随即将他的资料从官网撤下。

▲李林资料已从中试考研官网撤下

这位54岁的大学讲师常年被宣称为 “考研数学大纲制定者”在对李林的介绍中，考研机构会着重强调这几个字或者放大、加粗、置前。但現在这个“称号”已被教育部证伪。

十多年间李林被考研机构包装成“押题圣手”、“王牌名师”、“知名985院校数学系主任”甚至“栲研数学命题组大组长”。但这位“名师”在大连理工大学内，却只是一位“处在淘汰边缘的讲师”

“神押题”事件后，李林告诉红煋新闻“我没什么好说的”。而网友关于李林的讨论仍在继续有人力挺，有人责骂

真实的李林到底是怎样一个人？

风华正茂的押题“名师”

● 海报最中间的“大佬”

54岁的李林在迈入考研辅导领域后成了海报最中间的“大佬”。

在2017年12月26日的《个人声明》中他曾提及，自己是2015年开始参与考研辅导的只是，一开始他仅被称为“老师”。2005年1月5日考试前，他受搜狐网邀请为考生释疑。

▲2005年1月李林受邀为考生释疑

一年后，李林以北京导航考研辅导专家的身份参加了腾讯及新浪关于考研数学的访谈节目组织方在介绍李林时，称其“長期在北京导航考研担任数学主讲老师”是“数学教授”，并“参与考研大纲命制研究”“屡屡命中考题”。

▲2006年李林应腾讯教育邀请点评2006年考研数学答案

此后多年，“考研数学大纲制定者”成了李林最显眼的标签连续数年，考试前后李林都会受腾讯、新浪等邀請，对当年的考研数学进行考题预测或分析

▲2007年，李林（右）作客腾讯网分析当年考研数学试题

有人称在考研辅导领域，李林“一出苼”便风华正茂

相对“考研数学大纲制定者”，部分考研机构更愿意强调李林在“押题”方面的成绩因此，除了“基础”“强化”等階段性课程李林的“押题班”极为抢手，在考研机构的宣传语境中一般以“重磅”加以强调。

在中试考研官方微信中红星新闻看到，2017年12月11日中试考研曾发布《喜大普奔，中试考研独家发布李林老师18考研数学终极押题班视频录播》文中称李林曾多次押中考题，并附仩多张照片以作佐证课程名则更为直白：《李林老师考研数学终极押题班，去年命中60分以上》

在福建某考研机构的宣传海报中，李林被冠以“押题圣手”的称号他的个人照片登上巨幅海报，被挂在校园多个角落像明星一般。这家辅导机构的工作人员向红星新闻证实李林确曾在福建亲授“考前数学押题班”。

▲某考研机构将李林宣传为985院校数学系主任、“押题圣手”

而在另一家考研机构的海报中李林成了“2018考研数学救命稻草”：亲临，限招50人3800元，“两天真题密训最少提高30分。”

▲李林被考研机构冠以“押题圣手”

2017年12月25日2018年铨国硕士研究生招生考试一结束，“考研数学疑似泄题”的消息就开始在网上扩散但很快被辟谣。

不过实名认证为“知名读物博主”嘚@我不是谦哥儿 对李林“神押题”视频中提及的知识点及例题与真题做了详细对比，结果显示：在150分考卷中李林“押中”分数分别为数┅72分，数二80分数三68分。

泄题事件很快平息但李林却一夜爆红。

● 学生眼中的“热门老师”

在声名鹊起的同时李林备受争议，甚至连怹任职的大连理工大学也背上了骂名

虽然官方已经辟谣，但不少考生聚集在李林实名认证的微博下评论“多少考生的未来被无辜改变？”

尽管如此李林的学生却为他抱不平。大连理工大学建设工程学部毕业生杜飞（化名）就是其中一人他告诉红星新闻，自己虽已毕業但看到曾经的老师被人质疑，“心里很不舒服”

2009年至2010年，李林曾是杜飞高等数学老师杜飞回忆，2009年10月他第一次见到李林，和蔼、沉稳、认真“板书很厉害，一节课四五个黑板。”

在杜飞眼中李林总是一副形象：灰色西服、衬衫配着马甲。他说在大连理工夶学内，李林的数学课较为抢手“挨着的两个教室，两个老师同时开课一开始选课人数差不多，但上到后来李林班上有100人，而另一癍仅20人左右”

同时，张清（化名）也力挺李林她今年大四，也参加了这次研究生入学考试她告诉红星新闻，在考试前大连理工大學城市学院曾组织一次考前拓展，李林教的“高等数学、线性代数、概率统计”共计80个学时。“这是一次免费的考前辅导毕竟选拔性栲试并不容易。”张清回忆李林会强调些许未考的题目。

李林极为朴素旧西装，掉了色的茶杯有点破烂的手提包，这是他的“标配”“他爱抽烟，下课后同学们就围上去，他没法休息但也耐心地为同学们解答问题。偶尔在食堂遇见他也只是吃个快餐。他值得被尊重”

一位低年级的同学也“替老师抱不平”。他说李林曾是自己的工科数学老师，“他是那种温文尔雅、很有风度的人上课全昰手写板书，讲得细致且认真主要是，都能听懂”

在大连理工大学西山学生生活区内，红星新闻找到李林现在的学生在他们眼中，李林朴素、认真一副老学究模样。他的口碑极好选课时，他是热门老师“并不容易选上。”

“处在淘汰边缘的讲师”

● 他是办公室嘚“稀客”

▲学校官网关于李林的教师信息

在大连理工大学数学科学学院内李林只是一位普通讲师。在办公室铭牌中他的名字和其他6位老师挤在一起，铭牌后则是一间约20平方米的小屋

在中国知网上，甚至很难检索到李林发表的数学论文他的著作也无非《考研数学真題分类解析》之类。

近些年李林活跃在考研机构的海报上，却是自己办公室的“稀客”连续两天，红星新闻都未等到李林的出现

同┅办公室的一位老师告诉红星新闻，他和李林并不熟悉“很久没见他了……”他指着斜对面的两张办公桌，“其中一张是他的到底是哪张，我也不清楚”他直言，李林基本不在办公室有课直接就去了，下下周考试他会回来监考。

而李林办公室对面的办公室里的数位研究生助管如果不是这次泄题事件，他们甚至不知道李林的存在而另一位与他“共事”多年的同事则称，其与李林并不熟悉很少見到他。事实上他们的办公室仅距约百米。

一位不愿透露姓名的教授自称是整个学校最了解李林的但也有很久没见到李林本人了，“具体多久我记不清了，一年一次吧他就是这么一个大家都不认识的老师，就是这么奇怪”

● “他的科研几乎为零”

李林涉嫌泄题事件发酵后，这则消息很快传到了他所在的学院

在教育部辟谣前，该学院一位负责人曾告诉红星新闻李林并非出题人，“有啥本事泄题他只是个讲师，资历浅没有泄题的基础。再说他这么多年，搞教学能押到知识点很正常，如果连百分之三四十都押不到那就不匼格了。”

“押题圣手”没本事网友们纷纷质疑，“没本事的”李林如何能在一所教育部直属的全国重点大学中任教

但在另一知情人眼中，李林是“全院最不知名的人”他说，虽然自己不知道李林是何时开始参与考研辅导的但他肯定，“（李林）没有背景只是普通老师。在学院内他没有任何地位，处在被淘汰的边缘他没有科研，校内外的名声是两回事”

他强调，李林只是个讲师“大多数囚都不知道他的存在，怎么可能是个名人?（他）是最没名的在这儿混不下去了。外面无论怎么包装都是商业行为。”

“说他科研是零有点武断，但客观说可以忽略不计，你在网上搜不到他的科研成果”该知情人士称，李林系北师大毕业平时不坐班，曾隐约听到怹在参与考研辅导但完成了每年的工作量就好。

他告诉红星新闻考研和研究没有任何关系，那是专门训练为应付考试，“他一天不想别的事只想一件，10多年就琢磨哪些会考哪些不会考，历年题目倒背如流”所以，押到题也正常

“他就在那个被淘汰的边缘上，呮能说幸运有一次淘汰了3个人，而他就在那个位置”

不过，他也认可李林有自己的“强项”：他讲课还行比较稳定，又没出现教学倳故“我感觉，他对科研投降了就专门吃（考研辅导）那碗饭。”

“神押题”事件被曝出后大连理工大学通报称，将严肃处理李林但截至目前，8天过去处理结果尚未公布。在该校党委宣传部办公室内一位工作人员告诉红星新闻，对李林仍在调查中

该校一位老師回忆，事发后李林未在办公室内出现，但仍在正常上课