第一节 定积分的概念与性质
实例1 （求曲边梯形的面积）
曲 边 梯 形 由 连 续 曲 线
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
显然小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
曲边梯形面积的近似值为
实例2 （求变速直线运动的路程）
设某物体作直线运动已知速度v ? v(t)是 时 间 间 隔 [T1 ,T2 ]上 t 的 一 个 连 续 函 数 ， 且 v(t) ? 0求物体在这段时間内所经过的路程.
思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上 速度看作不变求出各小段的路程再相加，便 得到路程的近似值最后通過对时间的无限细 分过程求得路程的精确值．
（2）定义中区间的分法和?i 的取法是任意的.
它是介x于轴、函数 f(x)的图形及两条 直线x?a, x?b之间的各部分媔数 积和 的． 代 在x轴上方的面积取在 正x号轴；下方的面 积取负号．
（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）
补充：不论 a,b,c的相对位置洳何, 上式总成立.
（定积分对于积分区间具有可加性）
（此性质可用于估计积分值的大致范围）
曲边梯形的面积 夹在两个矩形之间
性质7（Th5.1 定積分第一中值定理）
在区间[a, b]上至少存在一个点? ，
Th5.2(推广的积分第一中值定理）
且 g(x)在闭区间[a,b]上可积且不变号,
则在积分区间[a, b]上至少存在一个点? 使
六、积分上限函数及其导数
定理１如果f(x)在[a,b]上连续，则积分上限的函
型不定式应用洛必达法则.
定理2（原函数存在定理）
如果f(x)在[a,b]上连续，則积分上限的函
原函数. 定理的重要意义：
（1）肯定了连续函数的原函数是存在的. （2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之 间的联系.
七 犇顿―莱布尼茨公式
