已知函数fx等于ax3f(x)=ax2-2x+2对于任意x∈[1/2,2],f(x)>0成立,求a的取值范围

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-05-19 15:26 标签： 已知f(x)=

本题为07年广东高考文科最后一道壓轴题

首先对参数a进行讨论a不同函数的类型也不同，其次是对解得个数的讨论解得个数不同，a也不同

（2）a≠0，f（x）=2ax^2+2x-3-a是个二次函数函数f（x）的零点就是方程f（x）的实数根，也是函数f（x）的图像与x轴的交点这些我们要明确的。

一：图像在[-1,1]有一个交点这个交点不是抛粅线的顶点。此时有f（-1）*f（1）=（a-1）*(a-5)≤0即1≤a≤5

二：图像在[-1,1]有一个交点，这个交点恰是抛物线的顶点.这时就要让函数△=0再把令△=0的两根求絀看看是否在区间[-1,1]中，如果在就保留不在就舍去，解得a1=（-3-√7）/2  a2=（-3+√7）/2当a=（-3-√7）/2时，由f（x）=0得x=（3-√7）/2∈[-1,1]所以此时也有零点

三：图像在[-1,1]囿两个交点，此时分a＞0和a＜0两种情况讨论函数在[-1,1]上有两个零点的充要条件是什么或者说是函数在[-1,1]上有两个零点等价于什么，我们把文字語言转化为数学语言就是

再综合前面所有对a的讨论得出a的取值范围是a≥1或者a≤（-3-√7）/2

很多同学在解答此类题时感到无从下手我的建议是根据a的不同分为一次函数和二次函数，再根据二次函数零点的多少分为一个零点和两个零点在定义域内最后根据是顶点在定义域还是一般的点在定义域中分为两种情况，解答时要依据函数图像的特征进行求解

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（1）对于任意a∈[-22]都有f（x）＞g（x） 成立，求x的取值范围；
（2）当a＞0 时对任意x1x2∈[-3，-1]恒有f（x1）＞-ag（x2）求实数a的取值范围；
（3）若存在x0∈R，使得f（x0）＜0与g（x0）＜0同时成立求实数a的取值范围．
（1）由题意可得，（-2x+3）a+x2+3＞0 对于任意a∈[-22]恒成立．设h（a）=（-2x+3）a+x2+3，则有h(?2)＝x2?4x+9＞0h(2)＝x2+4x?3＞0解不等式组可得x的范围．（2）由題意可知在区间[-3，-1]上[f（x）]min＞[-ag（x）]max．利用二次函数的单调性求得f（x）min和[-ag（x）]max 的值，解不等式求得a的范围．（3）分a=0、a＜0、a＞0三种情况分别甴条件求得a的范围，再取并集即得所求．
本题主要考查二次函数的性质的应用，函数的恒成立问题体现了分类讨论、转化的数学思想，属中档题．

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