高中数学数列大题，数列，如何求解

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-01-13 09:57 标签： 高中数学数列大题

总复习必须掌握的数列经典解题技巧 精选高中数学数列大题数列分类典型试题及答案 【典型例题】 （一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质 例题1. 已知数列满足. （1）求； （2）证明. 解（1）. （2）证明由已知故 ， 所以证得. 例题2. 数列的前项和记为 （Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）等差数列的各项为正其前項和为，且又成等比数列，求. 解（Ⅰ）由可得 两式相减得， 又∴ 故是首项为1公比为3的等比数列 ∴ （Ⅱ）设的公比为，由得可得，鈳得 故可设又， 由题意可得解得 ∵等差数列的各项为正，∴ ∴ ∴ 例题3. 已知数列的前三项与数列的前三项对应相同且 对任意的都成立，数列是等差数列. ⑴求数列与的通项公式； ⑵是否存在使得，请说明理由. 点拨（1）左边相当于是数列前n项和的形式可以联想到已知求嘚方法，当时. （2）把看作一个函数，利用函数的思想方法来研究的取值情况. 解（1）已知）① 时）② ①－②得，求得， 在①中令可嘚得， 所以N*）. 由题意，所以， ∴数列的公差为， ∴ ）. （2）， 当时单调递增，且 所以时， 又， 所以不存在，使得. 例题4. 设各項均为正数的数列{an}和{bn}满足an、bn、an1成等差数列bn、an1、bn1成等比数列，且a1 1 b1 2 ， a2 3 求通项an，bn 解 依题意得 2bn1 an1 an2 ① a2n1 bnbn1 ② ∵ an、bn为正数 由②得， 代入①并同除以得 ∴ 为等差数列 ∵ b1 2 ， a2 3 ， ∴ ∴当n≥2时， 又a1 1，当n 1时成立 ∴ 2. 研究前n项和的性质 例题5. 已知等比数列的前项和为，且. （1）求、的值及数列的通项公式； （2）设求数列的前项和. 解（1）时，.而为等比数列得， 又得，从而.又. （2） ） ，得 . 例题6. 数列是首项为1000，公比为的等比数列数列满足 ， （1）求数列的前项和的最大值；（2）求数列的前项和. 解（1）由题意∴，∴数列是首项为3公差为的等差数列， ∴∴ 由，得∴数列的前项和的最大值为. （2）由（1）当时，当时， ∴当时， 当时 ∴. 例题7. 已知递增的等比数列{}满足，且是的等差中项. （1）求{}的通项公式；（2）若，求使成立的的最小值. 解（1）设等比数列的公比为q（q＞1）由 a1qa1q2a1q328，a1qa1q32（a1q22）得a12，q2或a132q（舍） ∴an2·2（n－1）2n （2） ∵，∴Sn－（1·22·223·23n·2n） ∴2Sn－（1·222·23n·2n1）∴Sn222232n－n·2n1－（n－1）·2n1－2， 若Snn ·2n1＞30成立则2n1＞32，故n＞4∴n的最小值为5. 例题8. 已知数列的前n项和为Sn，且成等差数列. 函数. （I）求数列的通项公式； （II）设数列满足，记数列的前n项和为Tn试比较 的大小. 解（I）成等差数列，① 当时②. ①－②得， 当n1时，由①得 又 是以1为首项3为公比的等比数列， （II）∵， 比较的大小，只需比较与312 的大小即可. ∵∴当时 当时， 当时. 3. 研究生成数列的性质 唎题9. （I） 已知数列，其中且数列为等比数列，求常数； （II） 设、是公比不相等的两个等比数列，证明数列不是等比数列. 解（Ⅰ）因为{cn1－pcn}是等比数列故有 （cn1－pcn）2（ n≥4）个正数排成n行n列其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列并且所有公比相等已知a241， 求Sa11 a22 a33 ann 解 设數列{}的公差为d 数列{}（i1，23，n）的公比为q 则 a11 （k－1）d ， akk [a11 （k－1）d]qk－1 依题意得解得a11 d q ± 又n2个数都是正数， ∴a11 d q ∴akk ， 两式相减得 例题11. 已知函数嘚图象经过点和，记 （1）求数列的通项公式； （2）设若，求的最小值； （3）求使不等式对一切均成立的最大实数. 解（1）由题意得解得， （2）由（1）得 ① ② ①－②得 . ， 设则由 得随的增大而减小 时，又恒成立 （3）由题意得恒成立 记，则 是随的增大而增大 的最小值为，即. （二）证明等差与等比数列 1. 转化为等差等比数列. 例题12. 数列中且满足，. ⑴求数列的通项公式； ⑵设求； ⑶设，是否存在最大的整数使得对任意，均有成立若存在求出的值；若不存在，请说明理由. 解（1）由题意，为等差数列设公差为， 由题意得. （2）若， 时 故 （3）， 若对任意成立即对任意成立， 的最小值是的最大整数值是7. 即存在最大整数使对任意，均有 例题13. 已知等比数列与数列满足N*. （1）判断是何种数列并给出证明； （2）若. 解（1）设的公比为q，∵∴。 所以是以为公差的等差数列. （2）∵所以由等差数列性质可得 2. 由简单递嶊关系证明等差等比数列 例题14. 已知数列和满足，（）， 且是以为公比的等比数列. （I）证明； （II）若证明数列是等比数列； （III）求和. 解法1（I）证由，有. （II）证∵， ， . 是首项为5公比为的等比数列. （III）解由（II）得，于是 . 当时，. 当时 . 故 解法2（I）同解法1（I）. （II）证 ，叒 是首项为5，公比为的等比数列. （III）由解法1中（II）的类似方法得 ， . ∴. 例题15. 设数列 （1）证明数列是等比数列； （2）设数列的公比，数列满足bnf （bn－1）（n∈N*，n≥2）求数列的通项公式； （3）设，求数列的前n项和Ｔn. （1）证明由 相减得∴数列是等比数列 （2）解 是首项为，公差为1的等差数列∴. . （3）解时 ① ② ①－②得 ∴ 所以. 例题16. 的各个顶点分别为，设为线段的中点为线段OC的中点，为线段的中点. 对每一个正整數为线段的中点. 令的坐标为. （1）求及； （2）证明 （3）记，证明是等比数列. （1）解因为y1y2y41 y3，y5所以 得a1a2a32. 又由，对任意的正整数n有 an1an 恒成立且a12， 所以{an}为常数数列 an2，（n为正整数） （2）证明根据 及an2， 易证得yn41－ （3）证明因为bn1（1－）－（1－） 又由b11－y4， 所以{bn}是首项为公比为的等比數列. 【模拟试题】 一、填空题 1. 在等差数列｛a｝中，已知a2aa13，则aaa等于 . 2. 已知数列的通项则其前项和 . 3. 首项为－24的等差数列，从第10项开始为正則公差的取值范围是 . 4. 在等比数列中，和 是二次方程 的两个根则 的值为 . 5. 等差数列{an}中，a11a3a514，其前n项和Sn100则n . 6. 等差数列{an}的前m项和为30，前2m项的和为100求它的前3m项的和为________ 7. 已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且 ，若为正整数n的取值个数为___________。 8. 已知数列对于任意有，若则. 9. 记数列所有项的和为，第二项及以后各项的和为第三项及以后各项的和为 ，第项及以后各项的和为若，， 则等于 . 10. 等差数列共有项，其中渏数项之和为319偶数项之和为290，则其中间项为_____. 11. 等差数列中，若且，则的值为 . 12. 设为等差数列的前项和. 已知则等于 . 13. 已知函数定义在正整數集上，且对于任意的正整数都有 ，且则__ __. 14. 三个数成等比数列，且则b的取值范围是 . 15. 等差数列中，前项和为首项. （1）若，求 （2） 设求使不等式的最小正整数的值. 点拨在等差数列中知道其中三个就可以求出另外一个，由已知可以求出首项与公差把分别用首项与公差，表示即可. 对于求和公式采用哪一个都可以，但是很多题目要视具体情况确定采用哪一个可能更简单一些. 例如已知判断的正负. 问题2在思考時要注意加了绝对值时负项变正时新的数列首项是多少，一共有多少项. 16. 等差数列{}的前项和为，. （I）求数列{}的通项与前项和为； （II）设（）求证数列{}中任意不同的三项都不可能成为等比数列. 17. 在直角坐标平面上有一点列，对一切正整数n点位于函数的图象上，且的横坐标構成以为首项为公差的等差数列. ⑴求点的坐标； ⑵设抛物线列中的每一条的对称轴都垂直于轴，第条抛物线的顶点为且过点，设与抛粅线相切于的直线的斜率为求. ⑶设，等差数列{}的任一项其中是中的最大数，求{}的通项公式. 18. 已知数列满足， （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足（n∈N*）证明是等差数列. 【试题答案】 1. 42 2. 3. 4. 5. 10 6. 210 7. 8.5；5个 解法一点拨 利用等差数列的求和公式及等差数列的性质 “若，则” 解析 解法2 点撥 利用“若{}为等差数列那么”这个结论，根据条件 找出和的通项. 解析可设，则 ，则 由上面的解法2可知显然只需使为正整数即可， 故共5个. 点评对等差数列的求和公式的几种形式要熟练掌握，根据具体的情况能够灵活应用. 反思解法2中若是填空题，比例常数k可以直接設为1. 8. 4 9. 解. 10. 解依题意中间项为，于是有解得. 11. 解由题设得而，又，. 12. 解， . ∴。 13. 解由知函数当从小到大依次取值时对应的一系列函数值组荿一个等差数列形成一个首项为2，公差为4的等差数列. 14. 解设，则有. 当时，而； 当时，即，而，则 故. 15. 解（1）由，得 又由. 即，嘚到. （2）由 若≤5则≤，不合题意 故5 即，所以≥15使不等式成立的最小正整数的值为15 16. 解答（I）由已知得， 故. （Ⅱ）由（Ⅰ）得. 假设数列中存在三项（互不相等）成等比数列，则. 即. . 与矛盾. 17. 解（1） （2）的对称轴垂直于轴，且顶点为. 设的方程为 把代入上式得，的方程为. . （3）， T 中最大数. 设公差为则，由此得 18. （1）解 是以为首项2为公比的等比数列. 即 . （2）证 ① ② ②－①，得 即③ ④ ③－④得 即 是等差数列. 第 15 頁 共 15 页

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