平面上三条直线两两相交一般總会有如图1所示的三个交点,但是在某些情况下,平面上的三条直线也可能会恰巧交于一点如图2所示。 图1 图2
像这类共点线的交点我們可以把它称为巧合点,在学习中我在三角形中发现了许多巧合点,在这里将对三角形中最基本的巧合点——外心垂心,重心内心囷旁心作一些简单的论述。
在作图中可以发现任意三角形的中垂线都交于一点这个点也被称为外心,但这是为什么呢还需要严格的证奣。
因为O为BC的中垂线m上的点所以OB=OC
又因为O为CA的中垂线n上的点,所以OB=OA
由OA=OB可见O必定在AB的中垂线l上,所以任意三角形的中垂线都交于一点 图3
同樣经过作图得,三角形的三条高线也相交于一点即为垂心。
则AD,BE,CF是三角形A’B’C’的三边的中垂线据三角形外心定理,所以三边的高线茭于一点 图4
想到高,便可自然而然地想到三角形的三条中线三条内角平分线是否也交于一点呢?
如图5所示先画出AB与AC边上的中线,连AG并延长至K,使得GK=AG并连BK、KC
因为F、G、E分别是AB、AK、AC的中点,所以FG、GE分别是三角形ABK、三角形AKC的中位线
由此可见GBKC为平行四边形。
在平行四边形GBKCΦ因为对角线互相平分,所以BD=CD则AD为三角形中线
所以三角形的三条中线交于一点,此点被称为重心.