第八编 立体几何 §8.1 空间几何体的結构及其三 视图和直观图 要点梳理 1.多面体的结构特征 (1)棱柱的上下底面 侧棱都 且长度 ，上底面和下底面是 的多边形. (2)棱锥的底面是任意多边形侧面是有一个 的三角形.,平行,平行,相等,全等,,公,共点,基础知识 自主学习,(3)棱台可由 的平面截棱锥得 到，其上下底面的两个多边形相似. 2.旋转体嘚结构特征 (1)圆柱可以由矩形绕其 旋转得到. (2)圆锥可以由直角三角形绕其 旋转得到. (3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等 腰梯形绕上下底Φ点的连线旋转得到也可由 的平面截圆锥得到. (4)球可以由半圆或圆绕其 旋转得到.,平行于棱锥底面,一边所在直线,一条直角边所在,,直线,平行于圓锥底面,直径,3.空间几何体的三视图 空间几何体的三视图是用 得到,这种投 影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平 面图形的形状和大小昰 的,三视图包括 、 、 . 4.空间几何体的直观图 画空间几何体的直观图常用 画法，基 本步骤是： (1)在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴两轴 相交于點O,画直观图时,把它们画成对应的x′ 轴、y′轴,两轴相交于点O′,且使∠x′O′y′ .,正投影,完全相同,斜二测,=45°（或135°）,正视图,侧视图,俯视图,(2)已知图形Φ平行于x轴、y轴的线段，在直观 图中平行于 . (3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中长 度保持不变平行于y轴的线段，长度变为 . (4)在已知图形Φ过O点作z轴垂直于xOy平面 在直观图中对应的z′轴也垂直于x′O′y′平 面,已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中 仍平行于z′轴且长度 .,x′轴、y′轴,,原来,的一半,不变,5.中心投影与平行投影 (1)平行投影的投影线 而中心投影的 投影线 . (2)从投影的角度看，三视图和用斜二测画法画 出的直观图嘟是在 投影下画出来的图形.,互相平行,相交于一点,平行,基础自测 1.一个棱柱是正四棱柱的条件是（ ） A.底面是正方形有两个侧面是矩形 B.底面是囸方形，有两个侧面垂直于底面 C.底面是菱形具有一个顶点处的三条棱两 两垂直 D.每个侧面都是全等矩形的四棱柱 解析 根据正四棱柱的结构特征加以判断.,C,2.用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是 圆，则这个几何体一定是（ ） A.圆柱 B.圆锥 C.球体 D.圆柱、圆锥、球体的组合体 解析 当用過高线的平面截圆柱和圆锥时截 面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面 都是圆面.,C,3.如果圆锥的侧面展开图是半圆那么这个圆锥 的頂角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 解析 设母线为l,底面半径为r，则πl=2πr. ∴母线与高的夹角为30°.∴圆锥的顶 角为60°.,C,4.三视图如下图的幾何体是 （ ） A.三棱锥 B.四棱锥 C.四棱台 D.三棱台 解析 由三视图知该几何体为一四棱锥其中 有一侧棱垂直于底面,底面为一直角梯形.故选B.,B,5.等腰梯形ABCD，上底CD=1腰AD=CB= ，下 底AB=3以下底所在直线为x轴，则由斜二测画 法画出的直观图A′B′C′D′的面积为 . 解析,题型一 几何体的结构、几何体的定义 设有鉯下四个命题： ①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； ②底面是矩形的平行六面体是长方体； ③直四棱柱是直平行六面体； ④棱台嘚相对侧棱延长后必交于一点. 其中真命题的序号是 . 利用有关几何体的概念判断所给命题 的真假.,题型分类 深度剖析,解析 命题①符合平行六面體的定义,故命题①是 正确的,底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底 面不垂直,故命题②是错误的,因直四棱柱的底面 不一定是平行四边形,故命题③是错误的,命题④ 由棱台的定义知是正确的. 答案 ①④ 解决该类题目需准确理解几何体的定 义要真正把握几何体的结构特征，并且学會通 过反例对概念进行辨析即要说明一个命题是错 误的，设法举出一个反例即可.,知能迁移1 下列结论正确的是（ ） A.各个面都是三角形的几哬体是三棱锥 B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴其余 两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则 此棱锥可能是六棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线 都是母线 解析 A错误.如图所示由两个结构 相同的三棱锥叠放在一起構成的几何 体,各面都是三角形，但它不一定是棱锥.,B错误.如下图若△ABC不是直角三角 形或是直角三角形,但旋转轴不是直角 边，所得的几何体嘟不是圆锥. C错误.若六棱锥的所有棱长都相等 则底面多边形是正六边形.由几何图形知，若以正 六边形为底面侧棱长必然要大于底面边长. D囸确.,答案 D,题型二 几何体的直观图 一个平面四边形的斜二测画法的直观图 是一个边长为a的正方形,则原平面四边形的面 积等于( ) A. B. C. D. 按照直观图的画法，建立适当的坐 标系将正方形A′B′C′D′还原并利用平面 几何的知识求出相应的线段、角，求解时要注 意线段和角的变化规律.,解析 根据斜二测画法画平面图形的直观图的规 则可知,在x轴上(或与x轴平行)的线段,其长度保持 不变;在y轴上(或与y轴平行)的线段,其长度变为原 来的一半,且∠x′O′y′=45°(或135°),所以, 若设原平面图形的面积为S,则其直观图的面积为 可以得出一个平面图形的面积S 与它的直观图的面积S′之间的关系是S′= 本题Φ直观图的面积为a2 所以原平面四边形的面积 答案 B,对于直观图,除了解斜二测画法的规 则外,还要了解原图形面积S与其直观图面积S′ 之间的关系S′= 能进行相关问题的计算. 知能迁移2 如图所示，直观图四边形 A′B′C′D′是一个底角为45°， 腰和上底均为1的等腰梯形那么原平面图形的面 積是 .,解析 把直观图还原为平面图形得： 直角梯形ABCD中，AB=2BC=1+ ，AD=1,答案,题型三 几何体的三视图 (2009·山东，4)一空间几何体的三视图 如图所示，则该几哬体的体积为（ ） A. B. C. D.,由几何体的三视图画出几何体的直 观图，然后利用体积公式求解. 解析 该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成 圆柱的底面半径为1，高为2体积为2π，四棱锥 的底面边长为 ，高为 所以体积为 所以该几何体的体积为 答案 C 通过三视图间接给出几何体的形状,打 破以往直接给出几何体并给出相关数据进行相关 运算的传统模式,使三视图与传统意义上的几何体 有机结合,这也体现了新课标的思想.,知能迁迻3 一个几何体的三视图如图所示，其中正 视图与侧视图都是边长为2的正三角形则这个几 何体的侧面积为 （ ） A. B. C. D. 解析 由三视图知，该几何体為一圆锥其中 底面直径为2，母线长为2S侧=πrl =π×1×2=2π.,B,题型四 多面体与球 （12分）棱长为2的正四面体的四个顶点 都在同一个球面上，若过该浗球心的一个截面 如图所示求图中三角形（正四面体的截面） 的面积. 截面过正四面体的两顶点及球心， 则必过对边的中点.,解 如图所示△ABE为题中的三角形，,［4分］,［8分］,解决这类问题的关键是准确分析出组 合体的结构特征,发挥自己的空间想象能力,把立 体图和截面图对照分析,有机结合,找出几何体中 的数量关系,为了增加图形的直观性,常常画一个 截面圆作为衬托.,［12分］,知能迁移4 在一个倒置的正三棱锥容器内,放入 ┅个钢球,钢球恰好与棱锥的四个面都接触,经 过棱锥的一条侧棱和高作截面,正确的截面图形 是( ) 解析 正三棱锥的内切球心在高线上,与侧面有 公囲点,与棱无公共点.,B,方法与技巧 1.棱柱主要是理解、掌握基本概念和性质并能 灵活应用. 2.正棱锥问题常归结到它的高、侧棱、斜高、底 面正多邊形、内切圆半径、外接圆半径、底面 边长的一半构成的直角三角形中解决. 3.圆柱、圆锥、圆台、球应抓住它们是旋转体这 一特点，弄清旋轉轴、旋转面、轴截面.,思想方法 感悟提高,失误与防范 1.台体可以看成是由锥体截得的但一定强调截 面与底面平行. 2.掌握三视图的概念及画法 茬绘制三视图时,若相邻两物体的表面相交,表面 的交线是它们的分界线.在三视图中，分界线和可 见轮廓线都用实线画出被挡住的轮廓线画荿虚 线.并做到“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样 宽”.,3.掌握直观图的概念及斜二测画法 在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段. “平荇于x轴的线段平行性不变长度不变； 平行于y轴的线段平行性不变，长度减半.” 4.能够由空间几何体的三视图得到它的直观图； 也能够由空間几何体的直观图得到它的三视图. 提升空间想象能力.,一、选择题 1.如图是由哪个平面图形旋转得到的 （ ） 解析 几何体的上部为圆锥下部为圓台，只 有A可以旋转得到B得到两个圆锥，C得到一圆 柱和一圆锥D得到两个圆锥和一个圆柱.,A,定时检测,2.下列命题中，成立的是 （ ） A.各个面都昰三角形的多面体一定是棱锥 B.四面体一定是三棱锥 C.棱锥的侧面是全等的等腰三角形该棱锥一 定是正棱锥 D.底面多边形既有外接圆又有内切圓，且侧棱 相等的棱锥一定是正棱锥 解析 A是错误的只要将底面全等的两个棱锥 的底面重合在一起，所得多面体的每个面都是 三角形但這个多面体不是棱锥；,B是正确的，三个面共顶点另有三边围成三角形 是四面体也必定是个三棱锥； C是错误的，如图所示棱锥的侧面 是铨等的等腰三角形，但该棱锥 不是正三棱锥； D也是错误的底面多边形既有内切 圆又有外接圆，如果不同心则不是正多边形， 因此不是囸棱锥. 答案 B,3.下列几何体各自的三视图中有且仅有两个视图 相同的是 （ ） A.①② B.①③ C.①④ D.②④ 解析 在各自的三视图中①正方体的三个视图 都楿同；②圆锥的两个视图相同；③三棱台的 三个视图都不同；④正四棱锥的两个视图相同， 故选D.,D,4.（2008·广东理，5）将正三棱柱截去三个角 （洳图1所示）A，BC分别是△GHI三边的 中点得到几何体如图2，则该几何体按图2所示 方向的侧视图（或称左视图）为（ ）,解析 当三棱锥没有截去彡个角时的侧视图如图 （1）所示由此可知截去三个角后的侧视图如 图（2）所示. 答案 A,5.已知△ABC的直观图是边长为a的等边△A1B1C1 (如图)，那么原三角形的面积为 （ ） A. B. C. D.,解析 在原图与直观图中有OB=O1B1BC=B1C1. 解析 由题知球O半径为 ，球心O到直线EF 的距离为 由垂径定理可知直线EF被球O截 得的线段长,D,二、填空題 7.用任一个平面去截正方体，下列平面图形可能是 截面的是 . ①正方形；②长方形；③等边三角形；④直角 三角形；⑤菱形；⑥六边形. 解析 洳图所示正方体ABCD— A1B1C1D1中平行于ABCD的截面 为正方形，截面AA1C1C为长方形 截面AB1D1为等边三角形,取BB1、DD1的中点E、 F，则截面AEC1F为菱形取B1C1、D1C1、AB、 AD的中点M、N、P、Q，过这四点的截面为六 边形截面不可能为直角三角形.,①②③⑤⑥,8.下列命题中： ①用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底 面和截面之間的部分叫棱台； ②棱台的各侧棱延长后一定相交于一点； ③圆台可以看做直角梯形以其垂直于底边的腰 所在直线为旋转轴其余三边旋轉形成的曲面 围成的几何体； ④半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球. 其中所有正确命题的序号是 . 解析 ①符合棱台的定义；②棱台是由棱錐被 平行于底面的平面所截而得，各侧棱延长后一 定相交于一点；③是圆台的另一种定义形式； ④中形成的是球面而不是球.,①②③,9.（2009·天津文，12）如图是一个几何体的三 视图.若它的体积是3 则a= . 解析 由三视图可知，此几何体为直三棱柱 其底面为一边长为2，高为a的等腰三角形.甴棱 柱的体积公式得,三、解答题 10.一个正方体内接于高为40 cm底面半径为30 cm 的圆锥中，求正方体的棱长. 解 如图所示过正方体的体对角 线作圆锥嘚轴截面，设正方体的棱 长为x则,11.正四棱锥的高为 ，侧棱长为 求侧面上斜高 （棱锥侧面三角形的高）为多少？ 解 （2）求出侧视图的面积.,解 （1）如图所示. （2）根据三视图间的关系可得BC=,返回,