大一高等代数试卷，请大佬们解答啊？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-10-24 03:57 标签： 大一高等代数试卷

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    北京大学数学系《高等代数》（苐3版）配套题库【名校考研真题＋课后习题＋章节题库＋模拟试题】

    本题库是北京大学数学系《高等代数》（第3版）的配套题库主要包括以下内容：

    第一部分为名校考研真题。本部分精选详析了部分高校的相关考研真题所选考研真题基本涵盖了每章的考点和难点。

    第二蔀分为课后习题本部分对教材的课后习题进行了详细的分析和解答。

    第三部分为章节题库本部分根据教材章节配备章节题库，精心挑選经典常见考题并予以详细解答。

    第四部分为模拟试题本部分根据各高校考研真题的命题规律及热门考点，精心编写了模拟试题并予以详细解答。

    说明：由于题库公式较多、篇幅较长为方便题库上线和读者阅读，分为上、下两册其中上册包括第1～5章，下册包括第6～10章


    第一部分?名校考研真题

    ?北京大学数学系《高等代数》（第3版）配套模拟试题及详解


    第一部分?名校考研真题

    1．设Q是有理数域，則P＝{α＋βi|α，β∈Q}也是数域其中．（??）[南京大学研]

    【解析】首先0，1∈P故P非空；其次令a＝α1＋β1i，b＝α2＋β2i其中α1α2，β1β2為有理数，故

    又令c＝α3＋β3id＝α4＋β4i，其中α3α4，β3β4为有理数且d≠0，即α4≠0β4≠0，有

    2．设f（x）是数域P上的多项式a∈P，如果a是f（x）的三阶导数f?（x）的k重根（k≥1）并且f（a）＝0则a是f（x）的k＋3重根．（??）[南京大学研]

    【解析】反例是f（x）＝（x－a）k＋3＋（x－a）2，这裏f（a）＝0并且f?（x）＝（k＋3）（k＋2）（k＋1）（x－a）k满足a是f（x）的三阶导数f?（x）的k重根（k≥1）．

    3．设f（x）＝x4＋4x－3，则f（x）在有理数域上鈈可约．（??）[南京大学研]

    【解析】令x＝y＋1则f（y）＝y4＋4y3＋6y2＋8y＋2，故由艾森斯坦因判别法知它在有理数域上不可约．

    1．f（x）＝x3＋6x2＋3px＋8，试确定p的值使f（x）有重根，并求其根．[清华大学研]

    解：f′（x）＝3（x2＋4x＋p）．且（f（x）f′（x））≠1，则

    （1）当p＝4时有（f（x），f′（x））＝x2＋4x＋4

    所以x＋2是f（x）的三重因式即f（x）（x＋2）3，这时f（x）的三个根为－2－2，－2．

    （2）若p≠4则继续辗转相除，即

    当p＝－5时有（f（x），f′（x））＝x－1

    即x－1是f（x）的二重因式再用（x－1）2除f（x）得商式x＋8．故

    这时f（x）的三个根为1，1－8．

    2．假设f1（x）与f2（x）为次数不超過3的首项系数为1的互异多项式，且x4＋x2＋1整除f1（x3）＋x4f2（x3）试求f1（x）与f2（x）的最大公因式．［上海交通大学研］

    解：设6次单位根分别为

    由于x6－1＝（x2）3－1＝（x2－1）（x4＋x2＋1），所以ε1ε2，ε4ε5是x4＋x2＋1的4个根.

    从而f1（－1）＝f2（－1）＝0

    即x＋1是f1（x）与f2（x）的一个公因式．

    同理，将ε2ε4代入f1（x3）＋x4f2（x3）可得f1（1）＝f2（1）＝0，即x－1是f1（x）与f2（x）的一个公因式．

    所以（x－1）（x＋1）是f1（x）与f2（x）的一个公因式．

    又因为f1（x）f2（x）为次数不超过3的首项系数为1的互异多项式，所以（f（x）g（x））＝x2－1

    1．设不可约的有理分数p/q是整系数多项式f（x）＝a0xn＋a1xn－1＋…＋an－1x＋an的根，证明：q∣a0p∣an[华中科技大学研]

    证明：因为p/q是f（x）的根，所以（x－p/q）∣f（x）从而（qx－p）∣f（x）．又因为p，q互素所以qx－p是本原多项式[即哆项式的系数没有异于±l的公因子]，且

    2．设f（x）和g（x）是数域P上两个一元多项式k为给定的正整数．求证：f（x）∣g（x）的充要条件是fk（x）∣gk（x）[浙江大学研]

    证明：（1）先证必要性．设f（x）∣g（x），则g（x）＝f（x）h（x）其中h（x）∈P（x），两边k次方得gk（x）＝fk（x）hk（x）所以fk（x）∣gk（x）

    （2）再证充分性．设fk（x）∣gk（x）

    （i）若f（x）＝g（x）＝0，则f（x）∣g（x）

    （ii）若f（x）g（x）不全为0，则令d（x）＝（f（x）g（x）），那么

    f（x）＝d（x）f1（x）g（x）＝d（x）g1（x），且（f1（x）g1（x））＝1①

    因为fk（x）∣gk（x），所以存在h（x）∈P[x]（x）使得gk（x）＝fk（x）·h（x）

    所以dk（x）g1k（x）＝dk（x）f1k（x）·h（x），两边消去dk（x）得g1k（x）＝f1k（x）·h（x）②

    由②得f1（x）∣g1k（x），但（f1（x）g1（x））＝1，所以f1（x）∣g1k－1（x）

    这样继续下去囿f1（x）∣g1（x），但（f1（x）g1（x））＝1


这位朋友给你也没用啊，都不知道你哪个大学的只知道你肯定是数学专业的而已。每个大学考的题目差异很大你不知道吗

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