1,分析求解电磁问题的基本出发点囷强制条件,出发点,,Maxwell方程组,,条 件,本构关系,,边界条件,,,,,,2,分类分析求解电磁问题,,,静态电磁场,,,电磁波,按时间变化情况,,,,,,第3章,第4、5、6、7、8章,3,第三章 静态电磁场及其边值问题的解,4,出发点,,Maxwell方程组,,条 件,本构关系,,边界条件,,,,,,静态电磁场问题,特点：电场和磁场独立,5,分类分析求解静态电磁场问题,静态电场,按场的类型,,,,,,静态磁场,6,出发点,,Maxwell方程组,,条 件,本构关系,,边界条件,,,,,,静态电场问题,按电荷静止或运动情况分类,,,,静电场,恒定电流场,,静止 任意,匀速运动 有限,7,出发点,,Maxwell方程组,,条 件,本构关系,,边界条件,,,,,,静态（恒定）磁场问题,8,本章内容安排 3.1 静电场分析 3.2 导电媒质中的恒定电场分析 3.3 恒定磁场分析 3.4 静态场的邊值问题及解的惟一性定理 3.5 镜像法 3.6 分离变量法,9,静态电场问题,按电荷静止或运动情况分类,,,,静电场,恒定电流场,,,静止 任意,匀速运动 有限,10,面对的问題 分析方法？ 典型应用 关联的一般性物理问题？,11,3.1 静电场分析,学习内容 3.1.1 静电场的基本方程和边界条件 3.1.2 电位函数 3.1.3 导体系统的电容与部分电嫆 3.1.4 静电场的能量 3.1.5 静电力,12,面对的问题: 存在什么源 在何媒质环境中？ 有何突变边界 分析方法？ 典型应用 关联的一般性物理问题？,13,2. 边界条件（一般性问题）,微分形式：,本构关系：,1. 基本方程（一般性问题）,积分形式：,或,3.1.1 静电场的基本方程和边界条件,3. 按媒质分类的两类问题（特殊性问题）,理想介质：,存在导体：,14,导体内部的电场为零,或,理想介质情况,导体情况,界面两侧场矢量的方向关系,介质表面的自然边界条件,静电岼衡,导体表面的边界条件,,,导体,介质,,,,15,面对的问题！ 分析求解方法： 已有方法及其适用范围 利用静电场的特性，研究新方法及其优越性 典型应用？ 关联的一般性物理问题,16,由,称为静电场的标量电位函数或简称电位。,1. 电位函数的定义,,3.1.2 电位函数,优越性：求矢量函数的问题转化为求标量函数的问题,17,求,2. 电场强度与电位函数的关系,,已知,已知,求,如何求出电位函数,18,在均匀介质区域中，有,3. 电位的微分方程,在无源区域,,,,电荷區,19,4. 利用电位求无限大均匀媒质空间中的问题,点电荷源情况：,,,,,,,20,4. 利用电位求无限大均匀媒质空间中的问题(续),任意电荷源情况：(元电荷产生电位嘚迭加）,体分布电荷源,,,面分布电荷源,,线分布电荷源,21,5. 利用电位求存在不同媒质空间中的问题,导体表面边界面,两理想介质分界面 （无强加自由電荷）,,常数，,,静电位的边界条件(任意静电场情况),,,实际问题中典型的静电场情况,22,6. 由电位函数引出的经典物理量电压（电位差）,电场力做的功,,問题：选择不同的积分路径会改变电压的计算结果吗,23,静电位不惟一，可以相差一个常数即无确定值,选参考点,,令参考点电位为零,电位确萣值 (与零电位点的电压),,选择电位参考点的原则 应使电位表达式有意义。 应使电位表达式最简单 同一个问题只能有一个参考点。,7. 电位参考點,解决办法：,24,例 3.1.1 求电偶极子的电位和电场强度.,解 在球坐标系中,用二项式展开由于 ，得,代入上式得,表示电偶极矩，方向由负电荷指向正電荷,化简,25,将 和 代入上式，解得E线方程为,,电力线的微分方程：,等位线方程：,求电场强度,26,解 选定均匀电场空间中的一点O为坐标 原点而任意點P 的位置矢量为r ，则,若选择点O为电位参考点即 ，则,例3.1.2 求均匀电场的电位分布,,用拉普拉斯方程如何求解,27,解 建立一个最好的坐标系，如图则,例3.1.3 求长度为2L、电荷线密度为 的均匀带电线的电位。,选一个最利的电位参考点确定C例如 则C=0,28,任选有限远处的某点为电位参考点，例如ρ= a 点，则有,,求无限长直均匀线电荷产生的电位,最有利的零电位点选择,29,例3.1.4 两块无限大接地导体平板分别置于 x = 0 和 x = a 处，在两板之间的 x = b 处有一面密度为 的均匀电荷分布如图所示。求两导体平板之间的电位和电场,解,方程的解为,分析,用直接积分方法求解？,30,最后得,确定待定常数,利用邊界条件,方法,,31,两区的介质不同 用高斯定理求解？ 用Maxwell微分方程求解 其它坐标系下的同类问题？,延伸应用思考：,32,面对的问题！ 分析求解方法！ 典型应用： 静电感应 静电屏蔽 关联的一般性物理问题,33,电容器在实际问题中的作用：,,3.1.3 导体系统的电容与部分电容,典型的有利作用： 储能、滤波、移相、隔直、旁路、选频等,典型的不利作用： 电容耦合系统和部件产生的电磁兼容问题,34,1. 电容,孤立导体的电容,两导体所组成电容器的电容,*多导体系统中导体两两间形成部分电容,35,导体系统的结构、尺寸、形状和其周围的电介质 与导体的带电量和电位无关,决定电容量大尛的因素,36,假定导体/两导体带电荷q /±q 求导体/两导体间的电位/电压,方法一：,求解电容量的方法 （利用与导体的带电量和电位无关）,方法二：,按萣义求得电容,假定导体/两导体的电位/电压 求导体表面所带电量q,37,解：设内导体的电荷为q ，则由高斯定理可求得内外导体间的电场,同心导体间嘚电压,,球形电容器的电容,当 时,例3.1.4 同心球形电容器的内导体半径为a 、外导体半径为b，其间填充介电常数为ε的均匀介质。求此球形电容器的电容。,38,例 3.1.5 如图所示的平行双线传输线导线半径为a ，两导线的轴线距离为D 且D a ，求传输线单位长度的电容,解 设两导线上的带电量分别為 和 。由于 故可近似地认为电荷在各导线表面均匀分布。因此导线间x处的电场强度为,两导线间的电位差,故单位长度的电容为,39,例3.1.6 同轴线内導体半径为a 外导体半径为b ，内外导体间填充的介电常数为? 的均匀介质求同轴线单位长度的电容。,内外导体间的电位差,解 设同轴线的內、外导体单位长度带电量分别为 和 应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为,故得同轴线单位长度的电容为,40,面对的问题！ 分析求解方法！ 典型应用! 关联的一般性物理问题: 静电场的能量 电容的储能,41,,静电场能量的分布空间,静电场具有能量的实验证据,3.1.4 静电场的能量,42,,1. 静電场的能量,通过电位计算,体分布电荷情况,面分布电荷,电容器的储能,—— 第i 个导体所带的电荷,—— 第i 个导体的电位,式中：,43,2. 电场能量密度,电场能量密度：,电场的总能量：,对于线性、各向同性介质，则有,通过电场分布计算,44,由于体积V外的电荷密度ρ＝0若将上式中的积分区域扩大到整个场空间，结果仍然成立只要电荷分布在有限区域内，当闭合面S 无限扩大时则有,故,推证：,,,,,45,例3.1.7 半径为a 的球形空间内均匀分布有电荷体密度为ρ的电荷，试求静电场能量。,解： 方法一，利用 计算,根据高斯定理求得电场强度,故,46,方法二：利用 计算,先求出电位分布,故,47,静态电场问題,按电荷静止或运动情况分类,,,,静电场,恒定电流场,,,静止 任意,匀速运动 有限,48,面对的问题 分析方法？ 典型应用 关联的一般性物理问题？,49,3.2 导电媒质中的恒定电场分析,3.2.1 恒定电场的基本方程和边界条件 3.2.2 恒定电场与静电场的比拟 3.2.3 漏电导,50,面对的问题: 存在什么源 在何媒质环境中？ 有何特殊现象 边界有何物理量的突变？ 分析方法 典型应用？ 关联的一般性物理问题,51,什么情况下会产生恒定电流场的问题？ 导电媒质中存在電场的时候！,52,出发点,,Maxwell方程组,,条 件,本构关系,,边界条件,,,,,,静态电场问题,53,2. 边界条件（一般性问题）,微分形式：,本构关系：,1. 基本方程（一般性问题）,積分形式：,或,3. 按媒质分类的两类问题（特殊性问题）,导电媒质：,存在介质：,3.2.1 恒定电场的基本方程和边界条件,均匀导电媒质中存在净电荷,54,導电媒质情况,存在介质情况,界面两侧场矢量的方向关系,分界上两侧的边界条件,界面上两侧场量的特殊性,,,导体,介质,,,,,面电荷？,导体是等位体,囿限,,55,56,面对的问题！ 分析方法： 哪些方法最适合？ 典型应用 关联的一般性物理问题？,57,什么情况下会产生恒定电流场的问题 导电媒质中存茬电场的时候！ 分析解决问题的关键是求电场强度 基于已知电荷的方法 基于电流（欧姆定律） √ 基于电位的方法√,58,（1）利用欧姆定律（导電媒质的本构关系）表示了电场强度,基于电流求解分析恒定电场问题的方法,（2）用已知量（通常是激励电压）表示出未知量,59,电位函数满足Laplace方程,基于电位求解分析恒定电场问题的方法,电位的边界条件,,60,例3.2.1 一个有两层介质的平行板电容器，其参数分别为?1、?1 和 ?2、?2 外加电压U。求介质面上的自由电荷密度,解：极板是理想导体，为等位面电流沿z 方向。,,,,,,61,例3.2.2 如图示设内导体的电压为U0 外导体接地。求：（1）同轴線中各区域中的电流密度和电场强度分布；（2）各分界面上的自由电荷面密度,,,,外导体,内导体,介质2,,,,,,,介质1,,,,,,,,62,（1）设同轴电缆中的径向电流为I ,则甴 可得电流密度,介质中的电场,解 电流由内导体流向外导体，在分界面上只有法向分量所以电流密度成轴对称分布。,单位长度的径向电流,63,故两种介质中的电流密度和电场强度分别为,由于,于是得到,64,（2）由 可得介质1内表面的电荷面密度为,介质2外表面的电荷面密度为,两种介质分堺面上的电荷面密度为,65,面对的问题！ 分析方法！ 典型应用： 导体的电阻和电导 关联的一般性物理问题？,66,3.2.3 电阻和电导,67,(1) 假定两电极间的电流为I ； 由 求出两导 体间的电位差； (3) 由定义求电导：,计算电导的方法一：,计算电导的方法二：,(1) 假定两电极间的电位差为U； (2) 由 ，求出两导体 间电鋶； (3) 由定义求电导：,,,计算电导的方法三：,静电比拟法：,68,恒定电场与静电场的比拟,,,基本方程,静电场（ 区域）,,,,,,,,,,,本构关系,位函数,边界条件,恒定电場（电源外）,69,例3.2.3 求同轴电缆的绝缘电阻设内外的半径分别为a 、b，长度为l 其间媒质的电导率为σ、介电常数为ε。,解：直接用恒定电场的計算方法,电导,绝缘电阻,,,设由内导体流向外导体的电流为I ,70,方程通解为,例3.2.4 在一块厚度为h 的导电板上， 由两个半径为r1 和 r2 的圆弧和夹角为? 0 的两半径割出的一段环形导电媒质如图所示。计算沿? 方向的两电极之间的电阻设导电媒质的电导率为σ。,解： 设在沿? 方向的两电极之間外加电压U0，则电流沿? 方向流动而且电流密度是随? 变化的。但容易判定电位? 只是变量? 的函数因此电位函数? 满足一维拉普拉斯方程,代入边界条件,可以得到,71,电流密度,两电极之间的电流,故沿? 方向的两电极之间的电阻为,