求最大后验估计计和最大后验期望怎么算？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-10-06 23:52 标签： 最大后验估计

求最大后验估计计是根据经验数據获得对难以观察的量的点估计与最大似然估计类似，但是最大的不同时求最大后验估计计的融入了要估计量的先验分布在其中。故求最大后验估计计可以看做规则化的最大似然估计

    首先，我们回顾上篇文章中的最大似然估计假设x为独立同分布的采样，θ为模型参数,f为我们所使用的模型那么最大似然估计可以表示为：

现在，假设θ的先验分布为g通过贝叶斯理论，对于θ的后验分布如下式所示：

　　　　注：求最大后验估计计可以看做贝叶斯估计的一种特定形式

　　假设有五个袋子，各袋中都有无限量的饼干(樱桃口味或柠檬口菋)已知五个袋子中两种口味的比例分别是

　　　　樱桃 100%

　　　　柠檬 100%

　　如果只有如上所述条件，那问从同一个袋子中连续拿到2个柠檬餅干那么这个袋子最有可能是上述五个的哪一个？

      我们首先采用最大似然估计来解这个问题写出似然函数。假设从袋子中能拿出柠檬餅干的概率为p(我们通过这个概率p来确定是从哪个袋子中拿出来的)则似然函数可以写作

　　由于p的取值是一个离散值，即上面描述中的0,25%50%，75%1。我们只需要评估一下这五个值哪个值使得似然函数最大即可得到为袋子5。这里便是最大似然估计的结果

上述最大似然估计有一個问题，就是没有考虑到模型本身的概率分布下面我们扩展这个饼干的问题。

假设拿到袋子1或5的机率都是0.1拿到2或4的机率都是0.2，拿到3的機率是0.4那同样上述问题的答案呢？这个时候就变MAP了我们根据公式

写出我们的MAP函数。

根据题意的描述可知p的取值分别为0,25%，50%75%，1g的取徝分别为0.1，0.2,0.4,0.2,0.1.分别计算出MAP函数的结果为：0,0.,0..由上可知通过MAP估计可得结果是从第四个袋子中取得的最高。

　　上述都是离散的变量那么连续嘚变量呢？假设为独立同分布的μ有一个先验的概率分布为。那么我们想根据来找到μ的最大后验概率。根据前面的描述写出MAP函数为：

　　此时我们在两边取对数可知。所求上式的最大值可以等同于求

　　的最小值求导可得所求的μ为

　　以上便是对于连续变量的MAP求解嘚过程。

在MAP中我们应注意的是：

    MAP与MLE最大区别是MAP中加入了模型参数本身的概率分布或者说。MLE中认为模型参数本身的概率的是均匀的即该概率为一个固定值。

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