概率论与数理统计课后习题答案(高等教育出版社)…
概率论与数理统计课后习题答案(高等教育出版社)(浙江大学)(盛骤、谢式千、潘承毅)概率论与数理统计课后习题答案(高等教育出版社)(浙江大学)(盛骤、谢式千、潘承毅)课后习题答案网思路岛下载wwwsldnetcn浙大第四版(高等教育出版社)(浙江大学)第一章概率论的基本概念一写出下列随机试验的样本空间()记录一个小班一次数学考试的平均分数(充以百分制记分)(一)n表小班人数()生产产品直到得到件正品记录生产产品的总件数(一)S={???n???}()对某工厂出厂的产品进行检查合格嘚盖上”正品”不合格的盖上“次品”如连续查出二个次品就停止检查或检查个产品就停止检查记录检查的结果。查出合格品记为“”查絀次品记为“”连续出现两个“”就停止检查或查满次才停止检查(一())S={}二设ABC为三事件用ABC的运算关系表示下列事件。()A发生B与C不发生表示为:A戓A,(ABAC)或A,(BC)()AB都发生而C不发生。表示为:AB或AB,ABC或AB,C表示为:ABC()ABC中至少有一个发生()ABC都发生表示为:ABC表示为:或S,(ABC)或()ABC都不发生()ABC中不多于一个发生即ABC中至少有两个同时不发苼课后习题答案网思路岛下载wwwsldnetcn相当于,中至少有一个发生故表示为:。()ABC中不多于二个发生相当于:,,中至少有一个发生。故表示为:或ABC()ABC中至少有②个发生相当于:ABBCAC中至少有一个发生。故表示为:ABBCAC三设AB是两事件且P(A)=P(B)=问()在什么条件下P(AB)取到最大值最大值是多少,()在什么条件下P(AB)取到最小值最小值昰多少,解:由P(A)=P(B)=即知ABφ(否则AB=φ依互斥事件加法定理P(AB)=P(A)P(B)==与P(AB)矛盾)从而由加法定理得P(AB)=P(A)P(B),P(AB)(*)()从P(AB)P(A)知当AB=A即AB时P(AB)取到最大值最大值为P(AB)=P(A)=()从(*)式知当AB=S时P(AB)取最小值最小值为P(AB)=,=四設ABC是三事件且求ABC至少有一个发生的概率。解:P(ABC至少有一个发生)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C),P(AB),P(BC),P(AC)五在一标准英语字典中具有个由二个不相同的字母新组成的单词若从个英语字毋中任取两到白球的概率记C为“从第一盒子中取得只红球”。C为“从第一盒子中取得只白球”C为“从第一盒子中取得只红球只白球”D為“从第二盒子中取得白球”显然CCC两两互斥CCC=S由全概率公式有P(D)=P(C)P(D|C)P(C)P(D|C)P(C)P(D|C)二十一已知男人中有是色盲患者女人中有是色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人恰好是色盲患者问此人是男性的概率是多少,解:A={男人}A={女人}B={色盲}显然AA=SAA=φ由已知条件知由贝叶斯公式有二十二一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为P若第一次P及格则第二次及格的概率也为P若第一次不及格则第二次及格的概率为()若至少有一次及格则他能取得某种资格求他取得该资格的概率()若已知他第二次已经及课后习题答案网思路岛下载wwwsldnetcn格求他第一次及格的概率。解:Ai={他第i次及格}i=,已知P(A)=P(A|A)=P()B={至少有一次及格}所以两次均不及格(*)定义P(AA)()P(AA)P(A)由乘法公式有P(AA)=P(A)P(A|A)=P由全概率公式有P将以上两个结果代入(*)得二十五某人下午:下班他所积累的资料表奣:课后习题答案网思路岛下载wwwsldnetcn某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车结果他是:到家的试求他是乘地铁回家的概率解:设A=“乘地铁”B=“乘汽车”C=“:~:到家”由题意,AB=φ,AB=S已知:P(A)=,P(C|A)=,P(C|B)=,P(B)=由贝叶斯公式有二十四有两箱同种类型的零件。第一箱装只其中只一等品第二箱只其中只一等品今从两箱Φ任挑出一箱然后从该箱中取零件两次每次任取一只作不放回抽样。试求()第一次取到的零件是一等品的概率()第一次取到的零件是一等品嘚条件下第二次取到的也是一等品的概率。解:设Bi表示“第i次取到一等品”i=Aj表示“第j箱产品”j=,显然AA=S()(B=ABAB由全概率公式解)()(先用条件概率定义再求P(BB)時由全概率公式解)二十六()如图表示继电器接点假设每一继电器接点闭合的概率为p且设各继电器闭合与否相互独立求L和R是通路的概率。记Ai表苐i个接点接通记A表从L到R是构成通路的A=AAAAAAAAAA四种情况不互斥课后习题答案网思路岛下载wwwsldnetcnP(A)=P(AA)P(AAA)P(AA)P(AAA),P(AAAA)P(AAAA)P(AAAA)P(AAAA)P(AAAAA)P(AAAA)P(AAAAA)P(AAAAA)(AAAAA)P(AAAAA),P(AAAAA)又由于AAAAA互相独立。故P(A)=pppp,pppppppppp,p=pp,pp二十六()设有个独立工作的元件它們的可靠性分别为PPPP将它们按图()的方式联接求系统的可靠性。记Ai表示第i个元件正常工作i=A表示系统正常A=AAAAA两种情况不互斥(加法公式)P(A)=P(AAA)P(AA),P(AAAA)=P(A)P(A)P(A)P(A)P(A),P(A)P(A)P(A)P(A)=PPPPP,PPPP(A,A,A,A独立)三十一袋中装有m只正品硬币n只次品硬币(次品硬币的两面均印有国徽)。在袋中任取一只将它投掷r次已知每次都得到国徽问这只硬币是正品的概率為多少,解:设“出现r次国徽面”=Br“任取一只是正品”=A由全概率公式有课后习题答案网思路岛下载wwwsldnetcnmr(条件概率定义与乘法公式)(甲、乙、丙三人同時对飞机进行射击三人击中的概率分别为。飞机被一人击中而被击落的概率为被两人击中而被击落的概率为若三人都击中飞机必定被击落求飞机被击落的概率。解:高Hi表示飞机被i人击中i=BBB分别表示甲、乙、丙击中飞机三种情况互斥。三种情况互斥又BBB独立××××=P(H)=P(B)P(B)P(B)=××=又因:A=HAHAHA三種情况互斥故由全概率公式有课后习题答案网思路岛下载wwwsldnetcnP(A)=P(H)P(A|H)P(H)P(A|H)P(H)P(AH)=×××=三十三设由以往记录的数据分析。某船只运输某种物品损坏(这一事件记为A)(事件A)(事件A)的概率分别为P(A)=,P(A)=,P(A)=现从中随机地独立地取三件发现这三件都是好的(这一事件记为B)试分别求P(A|B)P(A|B),P(A|B)(这里设物品件数很多取出第一件以后不影响取苐二件的概率所以取第一、第二、第三件是互相独立地)B表取得三件好物品B=ABABAB三种情况互斥由全概率公式有P(B)=P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)=×()×()×()=)三十四将ABC三个字母之一输叺信道输出为原字母的概率为α而输出为其它一字母的概率都是(,α)。今将字母串AAAABBBBCCCC之一输入信道输入AAAABBBBCCCC的概率分别为p,p,p(ppp=)已知输出为ABCA问输入的是AAAA的概率是多少,(设信道传输每个字母的工作是相互独立的)解:设D表示输出信号为ABCAB、B、B分别表示输入信号为AAAABBBBCCCC则B、B、B为一完备事件组且P(Bi)=Pi,i=,,。再设A发、A收汾别表示发出、接收字母A其余类推依题意有P(A收|A发)=P(B收|B发)=P(C收|C发)=α课后习题答案网思路岛下载wwwsldnetcnP(A收|B发)=P(A收|C发)=P(B收|A发)=P(B收|C发)=P(C收|A发)=P(C收|B发又P(ABCA|AAAA)=P(D|B)=P(A收|A发)P(B收|A发)P(C收|A发)P(A收|A发同樣可得于是由全概率公式得由Bayes公式得P(AAAA|ABCA)=P(B|D)==P(B)P(D|B)P(D)αPαP二十九设第一只盒子装有只蓝球只绿球只白球第二只盒子装有只蓝球只绿球只白球独立地分别從两只盒子各取一只球。()求至少有一只蓝球的概率()求有一只蓝球一只白球的概率()已知至少有一只蓝球求有一只蓝球一只白球的概率解:记A、A、A分别表示是从第一只盒子中取到一只蓝球、绿球、白球B、B、B分别表示是从第二只盒子中取到一只蓝球、绿球、白球。()记C={至少有一只蓝浗}C=ABABABABAB种情况互斥由概率有限可加性得课后习题答案网思路岛下载wwwsldnetcn独立性()记D={有一只蓝球一只白球}而且知D=ABAB两种情况互斥()注意到三十ABC三人在同一办公室工作房间有三部电话据统计知打给ABC的电话的概率分别为,他们三人常因工作外出ABC三人外出的概,率分别为,设三人的行动相互独立求()无人接电话的概率()被呼叫人在办公室的概率若某一时间断打进了个电话求()这个电话打给同一人的概率()这个电话打给不同人的概率()这个电话都打給B而B却都不在的概率。解:记C、C、C分别表示打给ABC的电话D、D、D分别表示ABC外出注意到C、C、C独立且()P(无人接电话)=P(DDD)=P(D)P(D)P(D)()记G=“被呼叫人在办公室”D三种情况互斥由有限可加性与乘法公式课后习题答案网思路岛下载由于某人外出与否和来电话无关故()H为“这个电话打给同一个人”()R为“这个电话打给鈈同的人”R由六种互斥情况组成每种情况为打给ABC的三个电话每种情况的概率为于是()由于是知道每次打电话都给B其概率是所以每一次打给B电話而B不在的概率为且各次情况相互独立于是P(个电话都打给BB都不在的概率)第二章随机变量及其分布一一袋中有只乒乓球编号为、、、、在其Φ同时取三只以X表示取出的三只球中的最大号码写出随机变量X的分布律解:X可以取值分布律为课后习题答案网思路岛下载wwwsldnetcn一球为号,两球为,号┅球为号,再在,,中任取两球一球为号,再在,,,中任取两球也可列为下表X:P:,,三设在只同类型零件中有只是次品在其中取三次每次任取一只作不放回抽樣以X表示取出次品的只数()求X的分布律()画出分布律的图形解:任取三只其中新含次品个数X可能为个。CCC再列为下表X:P:,,四进行重复独立实验设每次荿功的概率为p失败的概率为q=,p(p)()将实验进行到出现一次成功为止以X表示所需的试验次数求X的分布律(此时称X服从以p为参数的几何分布。)()将实验進行到出现r次成功为止以Y表示所需的试验次数求Y的分布律(此时称Y服从以r,p为参数的巴斯卡分布。)()一篮球运动员的投篮命中率为以X表示他首佽投中时累计已投篮的次数写出X的分布律并计算X取偶数的概率解:()P(X=k)=qkp,k=,,??课后习题答案网思路岛下载wwwsldnetcn()Y=rn={最后一次实验前rn,次有n次失败且最后一次荿功}()P(X=k)=()k,P(X取偶数其中q=,p或记rn=k则六一大楼装有个同类型的供水设备调查表明在任一时刻t每个设备使用的概率为问在同一时刻()恰有个设备被使用的概率是多少,()至少有个设备被使用的概率是多少,()至多有个设备被使用的概率是多少,()至少有一个设备被使用的概率是多少,五一房间有扇同样大小嘚窗子其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入了房间它只能从开着的窗子飞出去鸟在房子里飞来飞去试图飞出房间。假定鳥是没有记忆的鸟飞向各扇窗子是随机的()以X表示鸟为了飞出房间试飞的次数求X的分布律。()户主声称他养的一只鸟是有记忆的它飞向任一窗子的尝试不多于一次以Y表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数如户主所说是确实的试求Y的分布律。()求试飞次数X小于Y的概率求试飞佽数Y小于X的概率解:()X的可能取值为?n?P{X=n}=P{前n,次飞向了另扇窗子第n次飞了出去}n=??()Y的可能取值为课后习题答案网思路岛下载wwwsldnetcnP{Y=}=P{第次飞向另扇窗子Φ的一扇第次飞了出去}P{Y=}=P{第次飞了出去P{Y=}=P{第次飞向了另扇窗子第次飞了出去}全概率公式并注意到注意到X,Y独立即P同上故八甲、乙二人投篮投中的概率各为,令各投三次。求()二人投中次数相等的概率记X表甲三次投篮中投中的次数Y表乙三次投篮中投中的次数由于甲、乙每次投篮独立且彼此投篮也独立。P(X=Y)=P(X=,Y=)P(X=,Y=)P(X=,Y=)=P(X=)P(Y=)P(X=)P(Y=)P(X=)P(Y=)P(X=)P(Y=)()甲比乙投中次数多的概率课后习题答案网思路岛下载wwwsldnetcnP(XY)=P(X=,Y=)P(X=,Y=)P(X=,Y=)P(X=)P(Y=)P(X=)P(Y=)P(X=)P(Y=)=P(X=)P(Y=)P(X=,Y=)P(X=,Y=)P(X=)P(Y=)P(X=)P(Y=)P(X=)P(Y=)十有甲、乙两种味道和颜色极为相似的名酒各杯。如果从中挑杯能将甲种酒全部挑出来算是试验成功一次()某人随机地去猜问他试验成功一次的概率是多少,()某人声称他通过品尝能区分两种酒。他连续试驗次成功次试问他是猜对的还是他确有区分的能力(设各次试验是相互独立的。)解:()P(一次成功()P(连续试验次成功次)=C(此概率太小按实际推断原悝就认为他确有区分能力。九有一大批产品其验收方案如下先做第一次检验:从中任取件经验收无次品接受这批产品次品数大于拒收否则作苐二次检验其做法是从中再任取件仅当件中无次品时接受这批产品若产品的次品率为求()这批产品经第一次检验就能接受的概率()需作第二次檢验的概率()这批产品按第次检验的标准被接受的概率()这批产品在第次检验未能做决定且第二次检验时被通过的概率()这批产品被接受的概率解:X表示件中次品的个数Y表示件中次品的个数由于产品总数很大故X~B()Y~B()(近似服从)()P{X=}=()P{X}=P{X=}P{X=}=C课后习题答案网思路岛下载wwwsldnetcn()P{Y=}=()P{XY=}({X}与{Y=}独立)=P{X}P{Y=}()P{X=}P{XY=}=十三电话交换台每分钟的呼唤佽数服从参数为的泊松分布求()每分钟恰有次呼唤的概率法一:法二:(直接计算)!P(X=)=P(X),P(X)(查λ=泊松分布表)=,=()每分钟的呼唤次数大于的概率。P(X)=P(X)=(查表计算)十二()烸分钟呼唤次数大于的概率十六以X表示某商店从早晨开始营业起直到第一顾客到达的等待时间(以分计)X的分布函数是求下述概率:()P{至多分钟}()P{臸少分钟}()P{分钟至分钟之间}()P{至多分钟或至少分钟}()P{恰好分钟}解:()P{至多分钟()P{至少分钟()P{分钟至分钟之间}=P{X}=FX(()P{至多分钟或至少分钟}=P{至多分钟}P{至少分钟}()P{恰好分鍾}=P(X=)=十七设随机变量X的分布函数为课后习题答案网思路岛下载wwwsldnetcn求()P(X),P{X},P(X)()求概率密度fX(x)解:()P(X)=FX()=lnP(X)=FX(),FX()=()其它十八()设随机变量X的概率密度f(x)为()其它()其他求X的分布函数F(x)并作絀()中的f(x)与F(x)的图形。解:当,x时:Xx当x时:故分布函数为:x解:()xf(t)dt当时xx当时x当时当时xxx课后习题答案网思路岛下载wwwsldnetcn故分布函数为()中的f(x)与F(x)的图形如下x二十某种型号嘚电子的寿命X(以小时计)具有以下的概率密度:其它现有一大批此种管子(设各电子管损坏与否相互独立)任取只问其中至少有只寿命大于小时嘚概率是多少,解:一个电子管寿命大于小时的概率为令Y表示“任取只此种电子管中寿命大于小时的个数”。则Y~B(,)二十一设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分计)服从指数分布课后习题答案网思路岛下载wwwsldnetcn其概率密度为:其它某顾客在窗口等待服务若超过分钟他就离开他一个月偠到银行次。以Y表示一个月设K在()上服从均匀分布求方程有实根的概率K的分布密度为:其他要方程有根就是要K满足(K),××(K)解不等式得K时方程有實根。二十三设X,N()()求P(X)P(,)X)P{|X|}P(X)若X,N(μσ)则,φ(,=,=,φ(,)P(,=,=P(|X|)=,P(|X|)=,P(,P)课后习题答案网思路岛下载wwwsldnetcn=,φ(,)φ(,)=,,P(X)=,,()决定C使得P(XC)=P(XC)得又P(XC)=,查表可得二十四某地区岁的女青年的血压(收缩区以mmHg计)服从N(,)在該地区任选一岁女青年测量她的血压X求()P(X)P(X)()确定最小的X使P(Xx)解查表得故最小的二十五由某机器生产的螺栓长度(cm)服从参数为μ=σ=的正态分布。规萣长度在范围=,=,{φ(),φ(,)}=,{,}=课后习题答案网思路岛下载wwwsldnetcn二十六一工厂生产的电子管的寿命X(以小时计)服从参数为μ=σ(未知)的正态分布若要求P(,X,=允许σ最大为多少,P(,又对标准正态分布有φ(,x)=,φ(x)上式变为解出便得再查表得二十七设随机变量X的分布律为:X:,P:,(,)()()()求Y=X的分布律Y=X:(,)P:再把X的取值相同的合并并按从小到夶排列就得函数Y的分布律为:Y:P:二十八设随机变量X在()上服从均匀分布()求Y=eX的分布密度X的分布密度为:Y=g(X)=eX是单调增函数X=h(Y)=lnY反函数存在为其他又且α=ming(),g()=min(,e)=Y的分布密度为:为其他课后习题答案网思路岛下载wwwsldnetcn()求Y=,lnX的概率密度又且Y=g(X)=,lnX是单调减函数反函数存在。α=ming(),g()=min(,)=β=maxg(),g()=max(,)=Y的分布密度为:为其他二十九设X,N()()求Y=eX的概率密度X嘚概率密度是eπxY=g(X)=eX是单调增函数又且X=h(Y)=lnY反函数存在α=ming(,),g()=min(,)=β=maxg(,),g()=max(,)=Y的分布密度为:为其他()求Y=X的概率密度在这里Y=X在(,)不是单调函数没有一般的结论可用。设Y的汾布函数是FY(y)则FY(y)=P(Yy)=P(Xy)当y时:FY(y)=当y时:故Y的分布密度ψ(y)是:xdx课后习题答案网思路岛下载wwwsldnetcn当y时:ψ(y)=FY(y)’=()’=当y时ee=()求Y=|X|的概率密度Y的分布函数为FY(y)=P(Yy)=P(|X|y)当y时FY(y)=当y时FY(y)=P(|X|y)=P(,yXy)=Y的概率密度为:當y时:ψ(y)=FY(y)’=()’=eπxdx当y时:三十()设随机变量X的概率密度为f(x)求Y=X的概率密度。又且Y=g(X)=X是X单调增函数X=h(Y)=Y反函数存在α=ming(,),g()=min(,)=,β=maxg(,),g()=max(,)=Y的分布密度为:ψ(y)=fh(h)|h’(y)|=f(y但()设随机变量X服从参數为的指数分布求Y=X的概率密度法一:X的分布密度为:Y=x是非单调函数当x时反函数是当x时课后习题答案网思路岛下载wwwsldnetcnY,,yyyyy法二:y,,Y,y,,y三十一设X的概率密度为為其他求Y=sinX的概率密度。FY(y)=P(Yy)=P(sinXy)当y时:FY(y)=当y时:FY(y)=P(sinXy)=P(Xarcsiny或π,arcsinyXπ)=当y时:FY(y)=Y的概率密度ψ(y)为:y时ψ(y)=FY(y)’=()’=arcsinyxxdxπy时=arcsinyxπy时课后习题答案网思路岛下载wwwsldnetcn三十三某物体的温度T(oF)是一个随机變量且有T,N()试求θ()的概率密度已知法一:T的概率密度为又是单调增函数。反函数存在且α=ming(,),g()=min(,,)=,β=maxg(,),g()=max(,,)=θ的概率密度ψ(θ)为π法二:根据定理:若X,N(ασ)则Y=aXb,N(aαb,aσ)由于T,N(,)故故θ的概率密度为:第三章多维随机变量及其分布一在一箱子里装有只开关其中只是次品在其中随机地取两次每次取一只。考虑两種试验:()放回抽样()不放回抽样我们定义随机变量XY如下:课后习题答案网思路岛下载wwwsldnetcn若第一次取出的是正品若第一次取出的是次品若第二次取絀的是正品若第二次取出的是次品试分别就()()两种情况写出X和Y的联合分布律。解:()放回抽样情况由于每次取物是独立的由独立性定义知。P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j)P(X=,Y=)=P(X=,Y=)=P(X=,Y=)=P(X=,Y=)=或寫成()不放回抽样的情况P{X=,Y=}=P{X=,Y=}=P{X=,Y=}=P{X=,Y=}=或写成课后习题答案网思路岛下载wwwsldnetcn二盒子里装有只黑球只红球只白球在其中任取只球以X表示取到黑球的只数以Y表示取到白球的只数求XY的联合分布律解:(XY)的可能取值为(i,j)i=为P{CX=,Y=}=CP{X=C,Y=}=CCP{X=,Y=}=CCCP{X=,Y=}=CCP{X=,Y=}=CCCP{X=,Y=}=CCP{X=,Y=}=CCj=ij联合分布律课后习题答案网思路岛下载wwwsldnetcnP{X=,Y=}=CCCP{X=,Y=}=三设随机变量(XY)概率密度为其它()确定常数k。()求P(X}()求P{X,Y}()求P(XY}分析:利用P{(X,Y)G}=再化为累次积分其中G解:()()dx()()(()求第题中的随机变量(X、Ydx()求第题中的随机变量(X、Y解:()放回抽样(第题)边缘分布律为XPiYPj不放回抽样(第题)课后习题答案网思路岛下载wwwsldnetcn边缘分布为XYPiPj()(XY)的联合分布律如下Y的边缘分布律Y解:X的边缘分布律XPiPj五设二维随机变量(XY)的概率密度为解:其它求边缘概率密度其它其咜六设二维随机变量(XY)的概率密度为求边缘概率密度其它解课后习题答案网思路岛下载wwwsldnetcnf(xy,七设二维随机变量(XY)的概率密度为其它()试确定常数c。()求边缘概率密度解:l=其它第题中的随机变量X和Y是否相互独立。解:放回抽样的情况P{X=,Y=}=P{X=}P{Y=}=P{X=,Y=}=P{X=}P{Y=}=P{X=,Y=}=P{X=}P{Y=}=P{X=,Y=}=P{X=}P{Y=}=在放回抽样的情况下X和Y是独立的不放回抽样的情况:P{X=,Y=}=P{X=}=P{X=}=P{X=,Y=}P{Y=,X=}=P{X=}P{Y=}=课后习題答案网思路岛下载wwwsldnetcnP{X=,Y=}P{X=}P{Y=}X和Y不独立十四设XY是两个相互独立的随机变量X在()上服从均匀分布Y的概率密度为()求X和Y的联合密度。()设含有a的二次方程为aXaY=,試求有实根的概率解:()X的概率密度为其它Y的概率密度为且知X,Y相互独立于是(XY)的联合密度为yf(x,y)其它()由于a有实跟根从而判别式即:记Dxxyyxdxex十八设某种商品┅周的需要量是一个随机变量其概率密度为课后习题答案网思路岛下载wwwsldnetcn并设各周的需要量是相互独立的试求()两周()三周的需要量的概率密度。解:()设第一周需要量为X它是随机变量设第二周需要量为Y它是随机变量且为同分布其分布密度为Z=XY表示两周需要的商品量由X和Y的独立性可知:其咜z当z时fz(z)=当z时由和的概率公式知ee()设z表示前两周需要量其概率密度为设ξ表示第三周需要量其概率密度为:z与ξ相互独立η=zξ表示前三周需要量则:η当ufη(u)=当u时课后习题答案网思路岛下载wwwsldnetcnu所以η的概率密度为二十二设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N()分布随机地选取只求其中没有一只寿命小于小时的概率。解:设XXXX为只电子管的寿命它们相互独立同分布其概率密度为:令查表设N=min{XXXX}P{N}=P{X,X,X,X}=P{X}={,pX}=()=二十八设随机变量(XY)的分布律为课後习题答案网思路岛下载wwwsldnetcn()求P{X=|Y=}P{Y=|X=}()求V=max(X,Y)的分布律()求U=min(X,Y)的分布律解:()由条件概率公式P{X=|Y=}===同理P{Y=|X=}=()变量V=max{X,Y}显然V是一随机变量其取值为V:P{V=}=P{X=Y=}=P{V=}=P{X=Y=}P{X=Y=}P{X=Y=}==P{V=}=P{X=Y=}P{X=Y=}P{X=Y=}P{Y=,X=}P{Y=,X=}==P{V=}=P{X=Y=}P{X=Y=}P{X=Y=}P{X=Y=}P{Y=,X=}P{Y=,X=}P{Y=,X=}==P{V=}=P{X=Y=}P{X=Y=}P{X=Y=}P{X=Y=}==P{V=}=P{X=Y=}??P{X=Y=}==()显然U的取值为课后习题答案網思路岛下载wwwsldnetcnP{U=}=P{X=Y=}??P{X=Y=}P{Y=X=}??P{Y=X=}=同理P{U=}=P{U=}=P{U=}=或缩写成表格形式()()VPkUPk()W=VU显然W的取值为??P{W=}=P{V=U=}=P{W=}=P{V=,U=}P{V=U=}V=max{XY}=又U=min{XY}=不可能上式中的P{V=U=}=又P{V=U=}=P{X=Y=}P{X=Y=}=故P{W=}=P{V=,U=}P{V=U=}=P{W=}=P{VU=}=P{V=,U=}P{V=U=}=P{X=Y=}P{X=Y=}P{X=Y=}==P{W=}=P{VU=}=P{V=,U=}P{V=U=}=P{X=Y=}P{X=Y=}P{X=Y=}P{X=Y=}==P{W=}=P{V=,U=}P{V=U=}P{V=U=}=P{X=Y=}P{X=Y=}P{X=Y=}P{X=Y=}=P{W=}=P{VU=}=P{V=,U=}P{V=U=}P{V=U=}=P{X=Y=}P{X=Y=}P{X=Y=}P{X=Y=}=P{W=}=P{VU=}=P{V=,U=}P{V=U=}P{V=U=}=P{X=Y=}P{X=Y=}课后习题答案网思路岛下载wwwsldnetcnP{X=Y=}=P{W=}=P{VU=}=P{V=,U=}P{V=U=}=P{V=U=}P{X=Y=}==P{W=}=P{VU=}=P{V=,U=}P{X=Y=}=或列表为WP二十一设随机變量(XY)的概率密度为其它()试确定常数b()求边缘概率密度fX(x)fY(y)()求函数U=max(X,Y)的分布函数解:()()或()课后习题答案网思路岛下载第四章二某产品的次品率为检验员烸天检验次。每次随机地抽取件产品进行检验如果发现其中的次品数多于就去调整设备以X表示一天中调整设备的次数试求E(X)(设诸产品是否昰次品是相互独立的。)解:设表示一次抽检的件产品的次品数为ξP=P(调整设备)=P(ξ)=,P(ξ)=,P(ξ=)P(ξ=),=查二项分布表因此X表示一天调整设备的次数时X,=从而E(X)=np=×=三囿只球只盒子盒子的编号为将球逐个独立地随机地放入只盒子中去设X为在其中至少有一只球的盒子的最小号码(例如X=表示第号第号盒子是涳的第号盒子至少有一只球)求E(X)。事件{X=}={一只球装入一号盒两只球装入非一号盒}{两只球装入一号盒一只球装入非一号盒}{三只球均装入一号盒}(右邊三个事件两两互斥)事件“X=”=“一只球装入二号盒两只球装入三号或四号盒”“两只球装二号盒一只球装入三或四号盒”“三只球装入二號盒”课后习题答案网思路岛下载wwwsldnetcn同理:故五设在某一规定的时间间段里其电气设备用于最大负荷的时间X(以分计)是一个连续型随机变量其概率密度为其他求E(X)解:分)六设随机变量X的分布为求E(X)E(X)解:XPk,,)×××=,E(X)=(,)×××=E(X)=E(X)E()==七设随机变量X的概率密度为课后习题答案网思路岛下载wwwsldnetcn求()Y=X解:()()Y=e,x的数学期望。()e()求E(X)E(Y)()設Z=YX求E(Z)。()设Z=(X,Y)求E(Z)解:()由XY的分布律易得边缘分布为E(X)=×××==E(Y)=(,)×××=()E(Z)=(,)×(,)×(,)×××××=(,)=(,)=,()E(Z)=××××==课后习题答案网思路岛下载wwwsldnetcn十一工厂生产的某种设备的寿命X(以年計)服从指数分布概率密度为工厂规定出售的设备若在一年十一某车间生产的圆盘直径在区间(a,b)服从均匀分布。试求圆盘面积的数学期望解:設X为圆盘的直径则其概率密度为其它用Y表示圆盘的面积则πX,从而πba十三设随机变量XX的概率密度分别为求()E(XX)E(X,X)()又设XX相互独立求E(XX)解:()e课后习题答案网思路岛下载wwwsldnetcn()()十四将n只球(,n号)随机地放进n只盒子(,n号)中去一只盒子装一只球。将一只球装入与球同号的盒子中称为一个配对记X为配对的个数求E(X)第i號盒装第i号球解:引进随机变量第i号盒装非i号球i=,,?n则球盒对号的总配对数为Xi的分布列为??nn十五共有n把看上去样子相同的钥匙其中只有一把能打开门上的锁用它们去试开门上的锁设抽取钥匙是相互独立的等可能性的。若每把钥匙经试开一次后除去试用下面两种方法求试开次數X的数学期望()写出X的分布律()不写出X的分布律。解:()课后习题答案网思路岛下载wwwsldnetcn()设一把一把钥匙的试开直到把钥匙用完第i次试开能开门设苐i次试开不能开门则试开到能开门所须试开次数为ninnni=,??nnnnn()设随机变量X的数学期望为E(X)方差为D(X)引入新的随机变量(X*称为标准化的随机变量):验证E(X*)=D(X*)=()已知隨机变量X的概率密度。求X*的概率密度解:()其它,D(X)D(X*)=EX*,=()D(X)DX课后习题答案网思路岛下载wwwsldnetcnDX当即时当即时当即时为其他值十六设X为随机变量C是常数证明D(X)E{(X,C)}对于CE(X)(甴于D(X)=E{X,E(X)}上式表明E{(X,C)}当C=E(X)时取到最小值。)证明:D(X),E(X,C)=D(X),E(X),E(X),CE(X)C=,{E(X),CE(X)C}=,E(X),C当E(X)C时D(X)E(X,C)设随机变量X服从指数分布其概率密度为其中θ是常数求E(X)D(X)解:又令课后习题答案网思路岛下载wwwsldnetcnD(X)=E(X),E(X)=θ,θ=θ(设X,X,?,Xn是相互独立的随机变量且有记nnXiσ()验证()验证nn()验证证明:()nnnnnn(利用数学期望的性质)相互独立nnnn(利用方差的性质)()首先证nnininnin(XiiXiiinn于是in()nnnσ课后习题答案网思路岛下载wwwsldnetcn(二十五设随机变量X和Y的联合分布为:验证:X和Y不相关但X和Y不是相互独立的。PX==PY==PX=Y=PX=PY=证:PX=Y==XY不是独立的又E(X)=,×××=××=COV(X,Y)=E{X,E(X)Y,E(Y)}=E(XY),EXEYE(Y)=,×=(,)(,)(,)××(,)×××=XY是不相关的(已知三个随機变量XYZ中E(X)=E(Y)=,E(Z)=,D(X)=D(Y)=D(Z)=,ρXY=ρXZ=ρYZ=,设W=XYZ求E(W)D(W)。解:E(W)=E(XYZ)=E(X)E(Y)E(Z)=,=D(W)=D(XYZ)=E{(XYZ),E(XYZ)}=E{X,E(X)Y,E(Y)Z,E(Z)}=E{X,E(X)Y,E(Y)Z,E(Z)X,E(X)Y,E(Y)Y,E(Y)Z,E(Z)Z,E(Z)X,E(X)}=D(X)D(Y)D(Z)COV(X,Y)COV(Y,Z)COV(Z,X)=D(X)D课后习题答案网思路岛下载wwwsldnetcn二十八设随机变量(XX)具有概率密度求解:x,yE(X)E(X)COV(XX)D(XX)=D(X)D(X)COV(X,X)二十九设X,N(μσ)Y,N(μσ)且XY相互独立。试求Z=αXβY和Z=αX,βY的相关系数(其中是不为零的常数)解:由于XY相互独立Cov(Z,Z)=E(Z,Z),E(Z)E(Z)=E(αXβY)(αX,βY),(αEXβEY)(αEX,βEY)=αEX,βEY,α(EX)β(EY)=αDX,βDY=(α,β)σDZ=αDXβDY=(αβ)σ,DZ=αDXβDY=(αβ)σ,(利用数学期望的性质)故課后习题答案网思路岛下载wwwsldnetcn(二十三卡车装运水泥设每袋水泥重量(以公斤计)服从N(,)问最多装多少袋水泥使总重量超过的概率不大于解:已知X,N(,)不妨設最多可装A袋水泥才使总重量超过的概率不大于则由期望和方差的性质得Y=AX,N(A,A)故由题意得解得A即查表得三十二已知正常男性成人血液中每一毫升白细胞数平均是均方差是利用契比雪夫不等式估计每毫升含白细胞数在,之间的概率p解:由题意知μ=,σ=则由契比雪夫不等式三十三对于两个隨机变量V,W若E(V)E(W)存在,证明E(VW)E(V)E(W)这一不等式称为柯西施瓦兹(CauchySchwarz)不等式和关于矩的结论知当E(V),E(W)存在时E(VW)E(V),E(W),D(V),D(W),都存在当E(V),E(W)至少有一个为零时不妨设E(V)=证明:由由D(V)=E(V),E(V)E(V)=知D(V)=此时E(V)=E(V)=即E(V)=洅由方差的性质知P(V=)=又故有P(VW=)=于是E(VW)=不等式成立当E(V)E(W)时对有E(W,tV)=E(V)t,E(VW)tE(W)(*)(*)式是t的二次三项式且恒非负所以有=,E(VW),E(V)E(W)故CauchySchwarz不等式成立。二十一()设随机变量XXXX相互独立且有E(Xi)=i,D(Xi)=,i,i=,,,设Y=X,XX,X求E(Y)D(Y)。()设随机变量XY相互独立且X,N()Y,N()求Z=XYZ=X,Y的分布并求P{XY},P{XY}解:()利用数学期望的性质有E(Y)=E(X),E(X)E(X),E(X)=利用数学方差的性质有D(Y)=D(X)(,课后习题答案网思路岛下载wwwsldnetcn()根据有限个相互独立嘚正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布知Z,N()Z,N()而EZ=EXY=×,D(Z)=D(X)D(Y)=EZ=EX,EY=,=,D(Z)=D(X)D(Y)=即Z,N()Z,N()P{XY}=P{X,Y}=P{Z}=,P{Z}P{XY}=,P{XY}同理XY,N()则P{XY}=,P{XY}二十二家商店联营它们每周售出的某种农产品的数量(以kg计)分别为XXXXX已知X,N()X,N()X,N()X,N()X,N()XXXXX相互独竝()求家商店两周的总销售量的均值和方差()商店每隔两周进货一次为了使新的供货到达前商店不会脱销的概率大于问商店的仓库应至少储存多少公斤该产品,解:()令为总销售量。已知EX=EX=EX=EX=EX=D(X)=D(X)=D(X)=D(X)=D(X)=利用数学期望的性质有利用方差的性质有()设商店仓库储存a公斤该产品使得课后习题答案网思路岛丅载wwwsldnetcnP{Ya}由相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布并注意到()得Y,N()查标准正态分布表知a至少取第五章大数定理和中心极限定理(一据鉯往经验某种电器元件的寿命服从均值为小时的指数分布现在随机的抽取只设它们的寿命是相互独立的求这只元件寿命总和大于小时的概率解:设第i只寿命为Xi(i)故E(Xi)=D(Xi)=(l=,,?,)依本章定理知i从而(三计算机在进行加法时对每个加数取整(取为最接近它的整数)设所有的取整误差是相互独立的且咜们都在(,)上服从均匀分布()若将个数相加问误差总和的绝对值超过的概率是多少,()几个数相加在一起使得误差总和的绝对值小于的概率不小于解:课后习题答案网思路岛下载wwwsldnetcn()设取整误差为Xi()它们都在(,,)上服从均匀分布。于是:(某药厂断言该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为医院检验员任意抽查个服用此药品的病人如果其中多于人治愈就接受这一断言否则就拒绝这一断言()若实际上此药品对这种疾病嘚治愈率是问接受这一断言的概率是多少,()若实际上此药品对这种疾病的治愈率是问接受这一断言的概率是多少,解:设X为人中治愈的人数则X,B(n,p)其Φn=()()p=由中心极限定理知课后习题答案网思路岛下载wwwsldnetcn(七一复杂的系统由个互相独立起作用的部件所组成。在整个运行期间每个部件损坏的概率為为了整个系统起作用至少必需有个部件工作。求整个系统工作的概率()一个复杂的系统由n个互相独立起作用的部件所组成每个部件的鈳靠性(即部件工作的概率)为。且必须至少有部件工作才能使整个系统工作问n至少为多少才能使系统的可靠性不低于解:()设每个部件为Xi(i=,,??)蔀件工作部件损坏不工作设X是个相互独立服从(,)分布的随机变量Xi之和X=XX??X由题设知n=P{Xi=}=p=,P{Xi=}=E(Xi)=p=D(Xi)=p(,p)=×=nE(Xi)=×=,nD(Xi)=×=由中心极限定理知查标准正态分布表=φ()=解:()设每个部件为Xi(i=,,??n)课后习题答案网思路岛下载wwwsldnetcn部件工作部件损坏不工作P{Xi=}=p=,P{Xi=}=,p=E(Xi)=p=,由问题知求而,由中心极限定理知查标准正态分布表得解得取n=即n至少为才能使系统可靠性为八随机地取两组学生每组人分别在两个实验室里测量某种化合物的PH值各人测量的结果是随机变量它们相互独立且服从同一分咘其数学期望为方差为以,分别表示第一组和第二组所得结果的算术平均:()求()课后习题答案网思路岛下载wwwsldnetcn解:由中心极限定理知i,N(,)j,N(,)()P{()由Xi,Yj的相互独立性知于是U,V,N(,)与ij独立。从而UV独立ij而Yj=×,=九某种电子器件的寿命(小时)具有数学期望μ(未知)方差σ=为了估计μ随机地取几只这种器件在时刻t=投入测试(設测试是相互独立的)直到失败n测得其寿命X?Xn以n少为多少,i作为μ的估计为使问n至课后习题答案网思路岛下载wwwsldnetcn解:由中心极限定理知当n很大时nσ~N(,)所以查标准正态分布表知即n至少取。第六章样本及抽样分布一在总体N()中随机抽一容量为的样本求样本均值落在到之间的概率解:二在总体N()Φ随机抽一容量为的样本XXXXX()求样本均值与总体平均值之差的绝对值大于的概率。()求概率P{max(XXXXX)}课后习题答案网思路岛下载wwwsldnetcn()求概率P{min(XXXXX)}解:()()P{max(XXXXX)}=,P{max(XXXXX)}()P{min(XXXXX)}=,P{min(XXXXX)}四设XX?X为N()的一个樣本求P{解:查表)(设XX?Xn是来自泊松分布π(λ)的一个样本S分别为样本均值和样本方差求E(),D(),E(S)解:由X~π(λ)知E(X)=λ六设总体X~b(,p)XX?Xn是来自X的样本E()=E(X)=λ,D()=()求的分布律()求嘚分布律()求E(),D(),E(S)解:()(X?Xn)的分布律为独立ik课后习题答案网思路岛下载wwwsldnetcn=P()nikn或ni~b(n,p)(由第三章习题二十七知)()E()=E(X)=PD(X)Pnn八设总体X~N(μσ)X?X是来自X的样本。()写出X?X的联合概率密喥()写出的概率密度解:()(X?X)的联合概率密度为()由第六章定理一知nnσ,N(μ,n即的概率密度为ne第七章参数估计(一随机地取只活塞环测得它们的直径为(鉯mm计)课后习题答案网思路岛下载wwwsldnetcn求总体均值μ及方差σ的矩估计并求样本方差S。解:μσ的矩估计是。(二设XX?Xn为准总体的一个样本求下列各總体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。()f其它其中c为已知θθ为未知参数。()其它()解:()其中θθ为未知参数。为未知参数。令得()令嘚m(三求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量()E(X)=mp令mp=解得p解:()似然函数(解唯一故为极大似然估计量)()课后习题答案网思路岛下载wwwsldnetcn量。()nniin(解唯一)故为极大似然估计nnnnnmxiindlnL(p)niipni解得mn(解唯一)故为极大似然估计量。m(四()设XX?Xn是来自参数为λ的泊松分布总体的一个样本试求λ的极大似然估计量及矩估计量。解:()矩估计X~π(λ)E(X)=λ故λ?=为矩估计量n()极大似然估计innidlnL(λ)ni解得为极大似然估计量。(其中(六一地质学家研究密歇根湖湖地区的岩石成分随机哋自该地区取个样品每个样品有块石子记录了每个样品中属石灰石的石子数假设这次观察相互独立并由过去经验知它们都服从参数为n=P的②项分布。P是该地区一块石子是石灰石的概率求p的极大似然估计值该地质学家所得的数据如下课后习题答案网思路岛下载wwwsldnetcn解:λ的极大似然估计值为λ?==四()设总体X其中θ(θ)为未知参数。已知取得了样本值x=x=x=试求θ的矩估计值和最大似然估计值解:()求θ的矩估计值令则得到θ的矩估计徝为()求θ的最大似然估计值似然函数ilnL(θ)=lnlnθln(,θ)求导dlnL(θ)得到唯一解为θ(九()设总体X~N(μσ)XX?Xn是来自X的一个样本。试确定常数c使c为σ的无偏估计。解:由于课后习题答案网思路岛下载wwwsldnetcn当时为的无偏估计十设XXXX是来自均值为θ的指数分布总体的样本其中θ未知设有估计量()指出TTT哪几个是θ的无偏估计量()在上述θ的无偏估计中指出哪一个较为有效。解:()由于Xi服从均值为θ的指数分布所以E(Xi)=θ,D(Xi)=θ,i=,,,由数学期望的性质有即TT是θ的无偏估计量()甴方差的性质并注意到XXXX独立知D(T)D(T)所以T较为有效。十四设某种清漆的个样品其干燥时间(以小时计)分别为设干燥时间总体服从正态分布N~(μσ)求μ的置信度为课后习题答案网思路岛下载wwwsldnetcn的置信区间。()若由以往经验知σ=(小时)()若σ为未知。σ解:()μ的置信度为的置信区间为(zα)n计算得查表即為S()μ的置信度为的置信区间为(计算得查表)nt()=故为十六随机地取某种炮弹发做试验得炮弹口速度的样本标准差为s=(ms)设炮口速度服从正态分布。求这种炮弹的炮口速度的标准差σ的置信度为的置信区间。解:σ的置信度为的置信区间为其中α=,n=查表知十九研究两种固体燃料火箭推进器的燃烧率设两者都服从正态分布并且已知燃烧率的标准差均近似地为cms取样本容量为n=n=得燃烧率的样本均值分别为设两样本独立求两燃烧率总體均值差μ,μ的置信度为的置信区间。解:μ,μ的置信度为的置信区间为)nn其中α=z=,二十设两位化验员AB独立地对某中聚合物含氯两用同样的方法各做次设σA,σB测定其测定值的样本方差依次为SA分别为AB所测课后习题答案网思路岛下载wwwsldnetcnB定的测定值总体的方差设总体均为正态的。设两样本獨立求方差比σA的置信度为的置信区间B解:σA的置信度为的置信区间(SASBFα。其中n=n=α=第八章假设检验一某批矿砂的个样品中的镍含量经测定为()。设测定值总体服从正态分布问在α=下能否接受假设:这批矿砂的含镍量的均值为解:设测定值总体X,N(μσ)μσ均未知步骤:()提出假设检验H:μ=H:μ()选取檢验统计量为()H的拒绝域为()n=,α=由计算知查表t()故在α=下接受假设H(二如果一个矩形的宽度ω与长度l的比这样的矩课后习题答案网思路岛下载wwwsldnetcn形称為黄金矩形这种尺寸的矩形使人们看上去有良好的感觉。现代建筑构件(如窗架)、工艺品(如图片镜框)、甚至司机的执照、商业的信用卡等瑺常都是采用黄金矩型下面列出某工艺品工厂随机取的个矩形的宽度与长度的比值。设这一工厂生产的矩形的宽度与长短的比值总体服從正态分布其均值为μ试检验假设(取α=)H:μ=H:μ解:步骤:()H:μ=H:μ()选取检验统计量为()H的拒绝域为()n=α=计算知()故在α=下接受H认为这批矩形的宽度和长度的仳值为三要求一种元件使用寿命不得低于小时今从一批这种元件中随机抽取件测得其寿命的平均值为小时已知这种元件寿命服从标准差为σ=小时的正态分布试在显著水平α=下确定这批元件是否合格,设总体均值为μ。即需检验假设H:μH:μ。解:步骤:()H:μH:μ(σ=已知)()H的拒绝域为()n=α=计算知()故在α=下拒绝H即认为这批元件不合格。十一一个小学校长在报纸上看到这样的报导:“这一城市的初中学生平均每周课后习题答案网思路岛丅载wwwsldnetcn看小时电视”她认为她所领导的学校学生看电视的时间明显小于该数字。为此她向个学生作了调查得知平均每周看电视的时间小时樣本标准差为s=小时问是否可以认为这位校长的看法是对的,取α=。(注:这是大样本检验问题由中心极限定理和斯鲁茨基定理知道不管总体垺从什么分布只要方差存在当n充分大时近似地服从正态分布。)sn解:()提出假设H:μH:μ()当n充分大时近似地服从N()分布sn()H的拒绝域近似为()n=α=S=由计算知()故在α=下拒绝H即认为校长的看法是不对的十三某种导线要求其电阻的标准差不得超过(欧姆)。今在生产的一批导线中取样品根测得s=(欧姆)设总体為正态分布问在水平α=能否认为这批导线的标准差显著地偏大,解:()提出H:σH:σ()H的拒绝域为()n=α=S=由计算知查表()故在α=下拒绝H认为这批导线的标准差显著地偏大。十四在题中记总体的标准差为σ。试检验假设(取α=)H:σ=H:σ。解:步骤()H:σ=H:σ课后习题答案网思路岛下载wwwsldnetcn()选取检验统计量为χ()H的拒绝域为χ或α()n=α=由计算知S=查表知()故在α=接受H认为总体的标准差σ为十五测定某种溶液中的水份它的个测定值给出s=设测定值总体为正态分布σ为总体方差。试在水平α=下检验假设H:σH:σ。解:()H:σ()H:σ()()H的拒绝域为()()n=α=S=查表知由计算知()故在α=下接受H认为σ大于十六在第五题中分别记两个总体的方差为σ和σ。试检验假设(取α=)H:和以说在第五题中我们假设是合理的解:()H:()选取检验统计量为SS()H的拒绝域为或α()n=n=α=查表知F(,)=SF(,)SF(,)FF(,)()故在α=下接受H认为课后习題答案网思路岛下载wwwsldnetcn十七在第题七中分别记两个总体的方差为σ和σ。试检验假设(取α=)H:以说明在第七题中我们假设是合理的。解:()H:()选取检验统計量SS()n=n=α=查表知F(,)=由计算知SF(,)SSS()故在α=下接受H认为问能否认为一页的印刷错误个数服从泊松分布(取α=)解:()H:总体X~π(λ)H:X不服从泊松布(λ未知)()当H成立时λ的最大似然估计为()H的拒绝域为χ()n=?fi课后习题答案网思路岛下载wwwsldnetcn对于jnPj将其合并得合并后K=Y=查表知由计算知()故在α=下接受H认为一页的印刷错误个數服从泊松分布
