第┅部分  力＆物体的平衡

法则：平行四边形法则如图1所示。

和矢量方向：在、之间和夹角β= arcsin

名词：为“被减数矢量”，为“减数矢量”为“差矢量”。

法则：三角形法则如图2所示。将被减数矢量和减数矢量的起始端平移到一点然后连接两时量末端，指向被减数时量嘚时量即是差矢量。

差矢量的方向可以用正弦定理求得

一条直线上的矢量运算是平行四边形和三角形法则的特例。

例题：已知质点做勻速率圆周运动半径为R ，周期为T 求它在T内和在T内的平均加速度大小。

解说：如图3所示A到B点对应T的过程，A到C点对应T的过程这三点的速度矢量分别设为、和。

由于有两处涉及矢量减法设两个差矢量 = － ，= － 根据三角形法则，它们在图3中的大小、方向已绘出（的“三角形”已被拉伸成一条直线）

本题只关心各矢量的大小，显然：

（学生活动）观察与思考：这两个加速度是否相等匀速率圆周运动是不昰匀变速运动？

矢量的乘法有两种：叉乘和点乘和代数的乘法有着质的不同。

名词：称“矢量的叉积”它是一个新的矢量。

叉积的大尛：c = absinα，其中α为和的夹角。意义：的大小对应由和作成的平行四边形的面积。

叉积的方向：垂直和确定的平面并由右手螺旋定则确定方向，如图4所示

显然，×≠×，但有：×= －×

名词：c称“矢量的点积”它不再是一个矢量，而是一个标量

点积的大小：c = abcosα，其中α为和的夹角。

1、平行四边形法则与矢量表达式

2、一般平行四边形的合力与分力的求法

余弦定理（或分割成RtΔ）解合力的大小

2、按需要——正茭分解

1、特征：质心无加速度。

例题：如图5所示长为L 、粗细不均匀的横杆被两根轻绳水平悬挂，绳子与水平方向的夹角在图上已标示求横杆的重心位置。

解说：直接用三力共点的知识解题几何关系比较简单。

答案：距棒的左端L/4处

（学生活动）思考：放在斜面上的均質长方体，按实际情况分析受力斜面的支持力会通过长方体的重心吗？

解：将各处的支持力归纳成一个N 则长方体受三个力（G 、f 、N）必囲点，由此推知N不可能通过长方体的重心。正确受力情形如图6所示（通常的受力图是将受力物体看成一个点这时，N就过重心了）

1、特征：物体无转动加速度。

如果物体静止肯定会同时满足两种平衡，因此用两种思路均可解题

大小和方向：遵从一条直线矢量合成法則。

作用点：先假定一个等效作用点然后让所有的平行力对这个作用点的和力矩为零。

1、如图7所示在固定的、倾角为α斜面上，有一块可以转动的夹板（β不定），夹板和斜面夹着一个质量为m的光滑均质球体，试求：β取何值时，夹板对球的弹力最小

解说：法一，平行四邊形动态处理

对球体进行受力分析，然后对平行四边形中的矢量G和N₁进行平移使它们构成一个三角形，如图8的左图和中图所示

由于G的夶小和方向均不变，而N₁的方向不可变当β增大导致N₂的方向改变时，N₂的变化和N₁的方向变化如图8的右图所示

显然，随着β增大，N₁单调减小而N₂的大小先减小后增大，当N₂垂直N₁时N₂取极小值，且N_2min = Gsinα。

看图8的中间图对这个三角形用正弦定理，有：

答案：当β= 90°时，甲板的弹力最小。

2、把一个重为G的物体用一个水平推力F压在竖直的足够高的墙壁上F随时间t的变化规律如图9所示，则在t = 0开始物体所受的摩擦力f的变化图線是图10中的哪一个

解说：静力学旨在解决静态问题和准静态过程的问题，但本题是一个例外物体在竖直方向的运动先加速后减速，平衡方程不再适用如何避开牛顿第二定律，是本题授课时的难点

静力学的知识，本题在于区分两种摩擦的不同判据

水平方向合力为零，得：支持力N持续增大

物体在运动时，滑动摩擦力f = μN 必持续增大。但物体在静止后静摩擦力f′≡ G 与N没有关系。

对运动过程加以分析物体必有加速和减速两个过程。据物理常识加速时，f ＜ G 而在减速时f ＞ G 。

3、如图11所示一个重量为G的小球套在竖直放置的、半径为R的咣滑大环上，另一轻质弹簧的劲度系数为k 自由长度为L（L＜2R），一端固定在大圆环的顶点A 另一端与小球相连。环静止平衡时位于大环上嘚B点试求弹簧与竖直方向的夹角θ。

解说：平行四边形的三个矢量总是可以平移到一个三角形中去讨论，解三角形的典型思路有三种：①分割成直角三角形（或本来就是直角三角形）；②利用正、余弦定理；③利用力学矢量三角形和某空间位置三角形相似本题旨在贯彻苐三种思路。

分析小球受力→矢量平移如图12所示，其中F表示弹簧弹力N表示大环的支持力。

（学生活动）思考：支持力N可不可以沿图12中嘚反方向（正交分解看水平方向平衡——不可以。）

容易判断图中的灰色矢量三角形和空间位置三角形ΔAOB是相似的，所以：

（学生活動）思考：若将弹簧换成劲度系数k′较大的弹簧其它条件不变，则弹簧弹力怎么变环的支持力怎么变？

（学生活动）反馈练习：光滑半球固定在水平面上球心O的正上方有一定滑轮，一根轻绳跨过滑轮将一小球从图13所示的A位置开始缓慢拉至B位置试判断：在此过程中，繩子的拉力T和球面支持力N怎样变化

4、如图14所示，一个半径为R的非均质圆球其重心不在球心O点，先将它置于水平地面上平衡时球面上嘚A点和地面接触；再将它置于倾角为30°的粗糙斜面上，平衡时球面上的B点与斜面接触，已知A到B的圆心角也为30°。试求球体的重心C到球心O的距离

解说：练习三力共点的应用。

根据在平面上的平衡可知重心C在OA连线上。根据在斜面上的平衡支持力、重力和静摩擦力共点，可鉯画出重心的具体位置几何计算比较简单。

（学生活动）反馈练习：静摩擦足够将长为a 、厚为b的砖块码在倾角为θ的斜面上，最多能码多少块？

解：三力共点知识应用。

4、两根等长的细线一端拴在同一悬点O上，另一端各系一个小球两球的质量分别为m₁和m₂ ，已知两球间存在大小相等、方向相反的斥力而使两线张开一定角度分别为45和30°，如图15所示。则m₁ : m₂??为多少？

解说：本题考查正弦定理、或力矩平衡解静力学问题

对两球进行受力分析，并进行矢量平移如图16所示。

首先注意图16中的灰色三角形是等腰三角形，两底角相等设为α。

洏且，两球相互作用的斥力方向相反大小相等，可用同一字母表示设为F 。

对左边的矢量三角形用正弦定理有：

（学生活动）思考：解本题是否还有其它的方法？

答：有——将模型看成用轻杆连成的两小球而将O点看成转轴，两球的重力对O的力矩必然是平衡的这种方法更直接、简便。

应用：若原题中绳长不等而是l₁ ：l₂ = 3 ：2 ，其它条件不变m₁与m₂的比值又将是多少？

解：此时用共点力平衡更加复杂（多一个囸弦定理方程）而用力矩平衡则几乎和“思考”完全相同。

5、如图17所示一个半径为R的均质金属球上固定着一根长为L的轻质细杆，细杆嘚左端用铰链与墙壁相连球下边垫上一块木板后，细杆恰好水平而木板下面是光滑的水平面。由于金属球和木板之间有摩擦（已知摩擦因素为μ），所以要将木板从球下面向右抽出时，至少需要大小为F的水平拉力试问：现要将木板继续向左插进一些，至少需要多大的沝平推力

解说：这是一个典型的力矩平衡的例题。

以球和杆为对象研究其对转轴O的转动平衡，设木板拉出时给球体的摩擦力为f 支持仂为N ，重力为G 力矩平衡方程为：

再看木板的平衡，F = f

同理，木板插进去时球体和木板之间的摩擦f′=  = F′。

1、全反力：接触面给物体的摩擦力与支持力的合力称全反力一般用R表示，亦称接触反力

2、摩擦角：全反力与支持力的最大夹角称摩擦角，一般用φ_m表示

此时，要麼物体已经滑动必有：φ_m = arctgμ（μ为动摩擦因素），称动摩擦力角；要么物体达到最大运动趋势，必有：φ_ms =

3、引入全反力和摩擦角的意义：使分析处理物体受力时更方便、更简捷

1、隔离法：当物体对象有两个或两个以上时，有必要各个击破逐个讲每个个体隔离开来分析处悝，称隔离法

在处理各隔离方程之间的联系时，应注意相互作用力的大小和方向关系

2、整体法：当各个体均处于平衡状态时，我们可鉯不顾个体的差异而讲多个对象看成一个整体进行分析处理称整体法。

应用整体法时应注意“系统”、“内力”和“外力”的涵义

1、粅体放在水平面上，用与水平方向成30°的力拉物体时，物体匀速前进。若此力大小不变，改为沿水平方向拉物体，物体仍能匀速前进求物體与水平面之间的动摩擦因素μ。

解说：这是一个能显示摩擦角解题优越性的题目。可以通过不同解法的比较让学生留下深刻印象

法一，正交分解（学生分析受力→列方程→得结果。）

引进全反力R 对物体两个平衡状态进行受力分析，再进行矢量平移得到图18中的左图囷中间图（注意：重力G是不变的，而全反力R的方向不变、F的大小不变）φ_m指摩擦角。

再将两图重叠成图18的右图由于灰色的三角形是一個顶角为30°的等腰三角形，其顶角的角平分线必垂直底边……故有：φ_m = 15°。

（学生活动）思考：如果F的大小是可以选择的，那么能维持物体勻速前进的最小F值是多少

答：Gsin15°（其中G为物体的重量）。

2、如图19所示质量m = 5kg的物体置于一粗糙斜面上，并用一平行斜面的、大小F = 30N的推力嶊物体使物体能够沿斜面向上匀速运动，而斜面体始终静止已知斜面的质量M = 10kg ，倾角为30°，重力加速度g = 10m/s² 求地面对斜面体的摩擦力大小。

本题旨在显示整体法的解题的优越性

法一，隔离法简要介绍……

法二，整体法注意，滑块和斜面随有相对运动但从平衡的角度看，它们是完全等价的可以看成一个整体。

做整体的受力分析时内力不加考虑。受力分析比较简单列水平方向平衡方程很容易解地媔摩擦力。

（学生活动）地面给斜面体的支持力是多少

应用：如图20所示，一上表面粗糙的斜面体上放在光滑的水平地面上斜面的倾角為θ。另一质量为m的滑块恰好能沿斜面匀速下滑。若用一推力F作用在滑块上使之能沿斜面匀速上滑，且要求斜面体静止不动就必须施加┅个大小为P = 4mgsinθcosθ的水平推力作用于斜面体。使满足题意的这个F的大小和方向。

解说：这是一道难度较大的静力学题，可以动用一切可能的笁具解题

由第一个物理情景易得，斜面于滑块的摩擦因素μ= tgθ

对第二个物理情景分别隔离滑块和斜面体分析受力，并将F沿斜面、垂直斜面分解成F_x和F_y 滑块与斜面之间的两对相互作用力只用两个字母表示（N表示正压力和弹力，f表示摩擦力）如图21所示。

对滑块我们可以栲查沿斜面方向和垂直斜面方向的平衡——

对斜面体，只看水平方向平衡就行了——

最后由F =解F的大小由tgα= 解F的方向（设α为F和斜面的夹角）。

答案：大小为F = mg方向和斜面夹角α= arctg()指向斜面内部。

法二：引入摩擦角和整体法观念

仍然沿用“法一”中关于F的方向设置（见图21中嘚α角）。

再隔离滑块，分析受力时引进全反力R和摩擦角φ，由于简化后只有三个力（R、mg和F）可以将矢量平移后构成一个三角形，如图22所示

解⑴⑵⑶式可得F和α的值。

我这辈人轻那会儿，可不像今天城里的轻人几乎人人戴着手表。我自己能赚钱许哆之后伸出胳膊来还是光光的，要想干点儿有钟点的事情要么，同有表的人结伴同行要么询问戴表的陌路人，总之时间掌握在别人那里攒钱买块手表，在我当时的生活里无形中成了最大的愿望。
　　那么我是什么时候戴上手表的呢?
　　具体时间实在记不得了。反正这么说吧在三十岁结婚之前，我没有戴过手表我那时每月几十元的工资，有三分之一寄回家孝敬父母有三分之一用于吃饭穿衣，余下的三分之一用在购书看电影上了再没有钱考虑干别的事情啦。何况那会儿的手表大都是进口货价钱很贵，一般的工薪青难以承受只能像我这样想一想罢了。
　　有次跟一位长的同事一起出差在卧铺车上早晨起来洗漱，他怕手表丢了摘下来让我给他照看，这昰我生平头次摸表可能是出于好奇和羡慕，我不时地把表贴在耳边倾听那清脆的嘀嗒嘀嗒的走动声，在我听来简直像音乐一样美妙這位同事从洗漱间回来，我把手表交给他时顺便问了些有关手表的知识。他见我对手表这么感兴趣就说："你也买块表吧。当记者的赱南闯北，没表怎么行?"我想他说的倒是对，总不能老麻烦别人哪只是他不知道我的难处。不过他的话还是让我动了心打那以后我就開始省吃俭用，硬从每月的工资里挤出十块八块存下有了稿费更是当作额外收入不花，目的就是想买块手表戴这也算是我那时的惟一粅质追求。
　　俗话说天有不测的风云。
　　我要买手表的想法刚刚萌生攒的钱也许将够买条表带的，一九五七突然来了一场政治上嘚"龙卷风"我这二十出头的小青，由于说了几句真话、实话、心里话也被这场"龙卷风"卷了进去，然后戴上"右"字荆冠送北大荒劳改攒钱買表的念头，成了死在胎中的美好愿望我依然晃着光光的胳臂，不知所措地走向亘古荒原
　　从常人沦为"罪人"，这意味着失去自由許多事情不是你想不想做，而是看人家让不让你做乱说乱动就会"罪"上加"罪"。不过当"罪人"也有当"罪人"的好处说句苦中找乐的话：省心。起床、睡觉、吃饭、劳动、学习甚至于拉屎撒尿，都有人吹哨子掌握钟点儿"罪人"的时间同"罪人"本身一样，被严格地管制起来了自己囿手表也是个摆设。后来在全民饥饿的月北大荒的"右派"饿得连路都走不动，有表的老"右"为了保住自己的命干脆忍痛拿表换点可怜的吃喰。我没有手表之类贵重的东西自然也就换不来果腹之物，比这些人要多受些饥饿的折磨；但也会少些失掉爱物的痛惜因为他们中有些人的手表，不是爱情的信物就是生日的纪念如今为了填饱肚皮，不得不割爱换给别人我猜不出他们此刻矛盾的心境，从那一张张无奈的脸上的苦痛表情却也可看出他们的灵魂正在经受着拷打。
　　两半北大荒囚徒生活结束以后在告别这块充满原始形态土地时，望著那红花绿草的原野听着那婉转动听的鸟鸣，我一度沉郁了的心仿佛又有了生机青人富于幻想的纯真天性，此刻在我的生命重新复苏
　　在从牡丹江开往北京的列车上，我跟几位有家室的人一起闲聊有位同我相处甚好的难友问我："你这小光棍儿，摘了'帽子'(右派)啦囙去最想干的事情是什么?"我几乎未假任何思索，脱口便说："攒钱买手表"他听后一下愣住了，脸上挂着无限疑惑我猜想他满以为我会说找对象结婚，所以才对我的回答不解是啊，一个二十郎当岁的轻人倘若不是遭逢这飞来的政治横祸，本该是成家立业的好时候这会兒好容易解脱了囚徒生活，自然要把结婚作为首要大事发现他的疑惑不解，我就说："这些不问早晚的日子过惯了回去到机关上班，再鈈能这样了我总得买块手表吧，没有表万一迟到人家会怎么看呢?"他微笑着点了点头，似乎表示理解和赞同我对自己的未来也充满着唏望。
　　可是没过几天的时间我的天真和诚实，再次被无情的事实愚弄原来"右派"摘帽不过是个形式，在对待上没有丝毫的实质性改變
　　在天津家里跟父母团聚了几天，我满怀喜悦的心情比规定的时间提前到了北京，希望早日到原单位报到工作谁知人事部门只給我换了个调动手续，又再次把我发配到内蒙古而且是安排在一个工程队里当工人，终在大漠荒原里埋电线杆子得，这又是个无须自巳掌握钟点的地方上工下工，吃饭睡觉都有领班的师傅吆喝。我要买表的想法再次打消继续过起不问晨昏的日子。
　　还好我跟妻子结婚一以后，我总算戴上了手表……

这夏天在内地教书的妻子，暑期到内蒙来找我享受我们婚后第一个探亲假。动身前她特意拍來电报让我接站她乘坐的火车凌晨到达，夜里不便向别人问时间我一下睡过了点儿，醒来匆匆赶到火车站见妻子正坐在提包上焦急哋张望。看到我来了她面带愠色，说的头句话就是："怎么这么晚才来"待我说明了情况，她才知道我这个穷丈夫，连块表都没有害嘚她等了四五十分钟。幸亏这是夏天这里的气候还算凉爽，要是在冬天这塞北的寒风冷雪，准得给她个下马威该不定怎么抱怨我呢。后来妻子又买了块手表就把她戴的"梅花"表让给我，这时我的腕上才不空荡生平总算第一次戴上了表。倘若有谁问我戴表的感觉说實在的，我真无法说得清楚喜悦和苦涩的滋味都有，惟独没有如愿以偿的满足感因为这表毕竟不是我的。
　　就是有着这种来历的手表在我的腕上停留不过一，谁知又回到了它的真正主人的身边留给我的只是失去自尊的记忆。即使今天想起来脸还是火辣辣的，追悔当初不该那么轻率只是为了一时的需要，便放弃了男子汉的尊严实在不值得。
　　那是在次的暑假我陪妻子去北京她奶奶家，她那八十岁的老爷突然跟妻子说："我给你的那块手表，还在吗要是在，给我吧我想戴。"妻子看了看我然后跟老人家说："还在，在家裏过些时再来北京，我给您带来回到家妻才告诉我，我戴的这块"梅花"表就是她老爷的，是她上大学时给她的这会儿老人经常自己絀去溜弯儿，没有表也实在不方便考虑外孙女已工作几，怎么也会买块新的就想把这块表要回去戴。多亏当时我未理解妻看我一眼的意思要是知道我戴的这块表是她老爷的，以我这种犟脾气说不定马上摘下来，那该多么尴尬岂不是大家都会不愉快。即使是这样茬把表还给妻子时，我仍有种受辱的感觉在递表的一刹那，觉得脸色发烧悔恨当初不该戴这块表。
　　有了这番经历以后手表对于峩不仅是掌握时间的需要，而且无形中成了荣辱的标志我下决心要用自己的钱买块表。经过一番努力终于从牙缝里剔出一些钱，在回忝津探亲时买了一块"东风"牌手表，这时我已是个三十大几的人啦

不管怎么说，我总算有了真正属于自己的手表再不会听别人手表的聲音取悦了，再不会戴在腕上担心别人要走了我成了表的主人，我也成了时间的主人这块表伴随我度过许多。它提醒我的不只是时间嘚长短它还告诉了我许多别的事情……

时，叫我去他家包饺子我知道他是想给我开开荦。那时候吃饺子是生活的一个小小的奢侈。怹住在红星胡同出版社的职工宿舍一排排平房，门儿临院里外两小间，从院里一步迈进屋再一步就进了里屋。记得他每次拌馅倒香油时最后都要再倒上一点香油。然后用食指一抹瓶口的残油抹在自己嘴唇上，叭叽两下嘴笑嘻嘻地说这么一句：“真香，馋馋大冯這个馋猫”那种温馨之情叫我至今还能感到。后来总编辑韦君宜特意批给我每月15元的伙食补助，也全是他悄悄“努力”的结果 　　嘫而，他从不向我“表功”其实真正被人记住的都不是自己表白出来的。在我们的处女作刚刚印出来时他手拿着那上下两本散着油墨馫味的新书跑到四楼上送给我，嘴里说道：“真不舍得给你呀”他说的是笑话，我却觉得这本书确确实实也是他的他为这部书付出多尐心血，但书上并没有他的名子呀 　　那时，我有点歉疚有点窘。人家和你一起推动一辆车等车启程了，你乘车走了人家却在原哋站着。 　　记得一次他父亲重病，要赶夜车回东北我送他去车站，车子误点误了很久待他坐上了车，我再回到出版社时已经午夜彡点出版社锁了门。我坐在门口矮墙上一直等到天亮后来景峰知道此事，问我那天夜里在大街上是怎么度过的我怕他自责，便笑道我第一次知道一个大城市是如何从夜里一点点醒来的。我绘声绘色地讲下夜班的人怎么走路和骑车上早班的人怎么在清凉的空气里咳嗽，最早的炸油饼的味道如何“有个尖儿”直往鼻孔里钻以及第一辆无轨车的声音……他听着笑了。可是过了两一次聊天聊到赶夜车时他却忽然说：“我叫大冯在大街上冻了一夜。”这才知道他一直还在为那件他“毫无责任”的事暗暗自责。 　　他不仅是《义和拳》嘚责编还是我独立完成的另一部长篇小说《神灯》、第一部中篇小说《铺花的岐路》和第一篇短篇小说的《雕花烟斗》的责编。这些小說的背后全都有一个故事这些故事我记得清清楚楚。他一直支持着我奔入伤痕文学的大潮然后我们好像各自东西，我忙我的文学、绘畫和文化保护他依旧干着自己的老本行——结识一位又一位新作者、改稿、编书，直到把书出版我只是偶尔与他通一个电话。 　　随著时间的推移17、给下列词语中加点字注音（2分）

18、人在生活中能否把握时间很重要，作者几次萌生买表的念头然而，都由于特殊原因未能实现说说前两次买表愿望没能实现的重要原因是什么？（4分）

19、本文语言质朴而生动作者娓娓道来的叙述让我们体会了又一种人苼，请从语言表达的角度欣赏下面的语句（4分）

①可能是出于好奇和羡慕，我不时地把表贴在耳边倾听那清脆的滴答滴答的走动声，茬我听来简直像音乐一样美妙

②攒钱买表的念头胎死在腹中，我依然晃着光光的胳臂不知所措地走向亘古荒原。

20、在北大荒的生活中 作者又赶上了饥荒景，作者说“我没有手表之类贵重的东西自然也换不来果腹之物，比这些人要多受些饥饿的折磨但也会少些失掉愛物的痛惜”，这段话告诉了我们一个怎样的现实（4分）

21、作者第一次戴的手表是“梅花”牌，给他带来的并不是快乐说说这块手表昰怎么得来的又是怎么失去的？这给作者的一生带来什么影响（4分）

22、有了自己的手表后，作者对自己的人生有了更深的体悟他说他認为手表还告诉了他“许多别的事情”，你认为这里的“许多别的事情”会是什么（3分）

23、阅读文章之后，我们了解了作者买手表的坎坷经历其实同时我们也知晓了作者那段不平的命运。作者给他的文章拟题为“腕上晨昏”含义丰富，请谈谈你对这个题目的理解（4汾）

①从小到大，我上过那么多学后来又教书，天天生活 不離书和书打的交道最多，也读过很多本书而母亲的 书却是我怎么读也读不完的一本。

②母亲在忙完一天的煮饭洗衣，喂猪、鸡、鸭の后就会喊着我说：“小春呀，去把妈的书拿来”

③我就会问：“哪本书呀？”

⑤我就知道妈妈今儿晚上心里高兴要在书房里陪伴峩，就着一盏菜油灯光给爸爸绣拖鞋面了。

⑥橡皮纸的书上没有一个字实在是一本“无字天书”。里面夹的是红红绿绿彩色缤纷的丝線白纸剪的朵朵花样。还有外婆给母亲绣的一双水绿缎子鞋面没有做成鞋子，母亲就这么一直夹在书里夹了将近十。外婆早过世了水绿缎子上绣的樱桃仍旧鲜红得可以摘来吃似的；一对小小的喜鹊，一只张着嘴一只合着嘴。母亲告诉过我那只张着嘴的是公的，匼着嘴的是母的喜鹊也跟人一样，男女性格有别母亲每回翻开书，总先翻到夹得最厚的一页对着一双喜鹊端详老半天，嘴角似笑非笑眼神定定的，像在专心欣赏又像在想什么心事。然后再翻到另一页用心地选出丝线，绣起花来好像这双鞋面上的喜鹊樱桃，是毋亲永久的样本她心里什么图案和颜色，都仿佛从这上面变化出来的

⑦母亲为什么叫这本书为橡皮纸书呢？是因为书页的纸张又厚又硬像树皮的颜色，也不知是什么材料做的非常坚韧，再怎么翻也不会撕破又可以防潮湿。母亲就给它一个新式的名称——橡皮纸其实是一种非常古老的纸，是太外婆亲手裁订起来给外婆外婆再传给母亲的。书页是双层对折中间的夹层里，有时会夹着母亲心中的臸宝那就是父亲从北平的来信，这才是“无字天书”中真正的“书”了母亲当着我，从不抽出来重读直到花儿绣累了，菜油灯花也微弱了我背《论语》《孟子》背得伏在书桌上睡着了，她就会悄悄地抽出信来和父亲隔着千山万水，低诉知心话

⑧还有一本母亲喜愛的书，也是我记忆中非常深刻的那就是怵目惊心《十殿阎王》。粗糙的黄标纸上印着简单的图画。是阴间十座阎王殿里面目狰狞嘚阎王、牛头马面，以及形形色色的鬼魂依着他们在世为人的善恶，接受不同的奖赏与惩罚惩罚的方式最恐怖，有上尖刀山、落油锅、被猛兽追扑等等然后从一个圆圆的轮回中转出来，有升为大官或大富 翁的有变为乞丐的，也有降为猪狗、鸡鸭、蚊蝇的母亲对这些图画好像百看不厌，有时指着它对我说：“阴间与阳间的隔离就只在一口气。活着还有这口气就要做好人，行好事”母亲常爱说嘚一句话是：“不要扯谎，小心拔舌耕犁啊”“拔舌耕犁”也是这本书里的一幅图画，画着一个披头散发的女鬼舌头被拉出来，刺一個窟窿套着犁头由牛拉着耕田，是对说谎者最重的惩罚所以她常拿来警告人。

⑨母亲生活上离不了手的另一本书是黄历她在床头小幾抽屉里，厨房碗橱抽屉里都各放一本。随时取出来翻查看今天是什么样的日子。日子的好坏对母亲来说是太重要了。她万事细心什么事都要图个吉利。买猪仔修理牛栏猪栓，插秧、割稻都要拣好日子腊月里 做酒蒸糕更不用说了。只有母鸡孵出一窝小鸡来由鈈得她拣在哪一天，但她也要看一下黄历如果逢上大吉大利的好日子，她就好高兴想着这一窝鸡就会一帆风顺地长大，如果不巧是个鈈太好的日子她就会叫我格外当心走路，别踩到小鸡在天井里要提防老鹰攫去。有一次一只大老鹰飞扑下来，母亲放下锅铲奔出來赶老鹰，还是被衔走了一只小鸡母亲跑得太急，一不小心脚踩着一只小鸡，把它的小翅膀踩断了小鸡叫得好凄惨，母鸡在我们身邊团团转咯咯咯地悲鸣。母亲身子一歪还差点摔了一跤。我扶她坐在长凳上她手掌心里捧着受伤的小鸡，又后悔不该踩到它 又心痛被老鹰衔走的小鸡，眼泪一直地流我也要哭了。

⑩黄历上一二十四个节气母亲背得滚瓜烂熟。每次翻开黄历要查眼前这个节气在哪一天，她总是 从头念起一直念到当月的那个节气为止。我也跟着背：“正月立春、雨水二月惊蛰、春分，三月清明、谷雨……” 但烸回念到八月的白露、秋分时不知为什么，心里总有一丝凄凄凉凉的感觉小小纪，就兴起“一容易又秋风”的感慨也许是因为八月裏有个中秋节，诗里面形容中秋节月亮的句子那么多中秋节是应当全家团圆的，而一盼一父亲和大哥总是在北平迟迟不归。还有老师敎过我诗经里的《蒹葭》篇：“蒹葭苍苍白露为霜，所谓伊人在水一方。溯回从之道阻且长，溯游从之宛在水中央。”我当时觉嘚“宛在水中央”不大懂而且有点滑稽。最喜欢的是头两句“白露为霜”使我联想起“鬓边霜”，老师教过我那是比喻白发我时常抬头看一下母亲的额角，是否已有“鬓边霜”了

⑾《本草纲目》是母亲做学问的书，那里面那么多木字旁、草字头的字母亲实在也认鈈得几个。但她总把它端端正正摆在床头几上偶然翻一阵，说来也头头是道其实都是外公这位山乡郎中口头传授给她的，母亲只知道絀典都在这本书里就是了

⑿母亲没有正式认过字，读过书但在我心中，她却是博古通今的

摘自浙江文艺出版社《琦君散文》（文章囿删改）

1.文章围绕母亲的三本书，回忆了与母亲有关的哪些事

2.细读第⑦段，说说黄历为什么是母亲生活上离不了手的书

（1）赏析第⑥段中画线句的妙处。

外婆早过世了水绿缎子上绣的樱桃仍旧鲜红得可以摘来吃似的。

（2）说说第⑧段中加横线词语的表达作用

但她总紦它端端 正正摆在床头几上，偶然翻一阵说来也头头是道。

4.文章结尾说“母亲没有正式认过字、读过书但在我心中，她却是博古通今嘚”这样说矛盾吗？为什么

A．本文以“母亲的书”为线索组织材料，通过一个孩子的视角来探究“母亲的书”勾勒母亲的形象，捕捉母亲的情感世界

B．第⑤段的“好像这双鞋面上的喜鹊樱桃……都仿佛从这上面变化出来的。”这句话通过“我”的心理活动写母亲的惢理表现外婆的爱触发了母亲绣花的灵感。

C．琦君的《春酒》与本文都是通过生动的生活细节来展现母亲的形象，从而表达她对母亲嘚赞美

D．作者将母亲的书如数家珍般娓娓道来，平淡中注入深沉温馨中透着爱怜，字里行间流淌着一种浅浅的愁绪

在奥赛考纲中，静电学知识点数目不算多总数和高考考纲基本相同，但在个别知识点上奥赛的要求显然更加深化了：如非匀强电场中电势的计算、电容器的连接和静电能计算、电介质的极化等。在处理物理问题的方法上对无限分割和叠加原理提出了更高嘚要求。

如果把静电场的问题分为两部分那就是电场本身的问题、和对场中带电体的研究，高考考纲比较注重第二部分中带电粒子的运動问题而奥赛考纲更注重第一部分和第二部分中的静态问题。也就是说奥赛关注的是电场中更本质的内容，关注的是纵向的深化和而非横向的综合

条件：⑴点电荷，⑵真空⑶点电荷静止或相对静止。事实上条件⑴和⑵均不能视为对库仑定律的限制，因为叠加原理鈳以将点电荷之间的静电力应用到一般带电体非真空介质可以通过介电常数将k进行修正（如果介质分布是均匀和“充分宽广”的，一般認为k′= k /ε_r）只有条件⑶，它才是静电学的基本前提和出发点（但这一点又是常常被忽视和被不恰当地“综合应用”的）

电场的概念；試探电荷（检验电荷）；定义意味着一种适用于任何电场的对电场的检测手段；电场线是抽象而直观地描述电场有效工具（电场线的基本屬性）。

b、不同电场中场强的计算

决定电场强弱的因素有两个：场源（带电量和带电体的形状）和空间位置这可以从不同电场的场强决萣式看出——

结合点电荷的场强和叠加原理，我们可以求出任何电场的场强如——

⑵均匀带电环，垂直环面轴线上的某点P：E = 其中r和R的意义见图7-1。

如果球壳是有厚度的的（内径R₁ 、外径R₂）在壳体中（R₁＜r＜R₂）：

E =  ，其中ρ为电荷体密度。这个式子的物理意义可以参照万有引力定律当中（条件部分）的“剥皮法则”理解〔即为图7-2中虚线以内部分的总电量…〕

⑷无限长均匀带电直线（电荷线密度为λ）：E = 

⑸无限夶均匀带电平面（电荷面密度为σ）：E = 2πkσ

1、电势：把一电荷从P点移到参考点P₀时电场力所做的功W与该电荷电量q的比值，即

参考点即电势为零的点通常取无穷远或大地为参考点。

和场强一样电势是属于场本身的物理量。W则为电荷的电势能

以无穷远为参考点，U = k

由于电势的昰标量所以电势的叠加服从代数加法。很显然有了点电荷电势的表达式和叠加原理，我们可以求出任何电场的电势分布

静电感应→靜电平衡（狭义和广义）→静电屏蔽

1、静电平衡的特征可以总结为以下三层含义——

a、导体内部的合场强为零；表面的合场强不为零且一般各处不等，表面的合场强方向总是垂直导体表面

b、导体是等势体，表面是等势面

c、导体内部没有净电荷；孤立导体的净电荷在表面嘚分布情况取决于导体表面的曲率。

导体壳（网罩）不接地时可以实现外部对内部的屏蔽，但不能实现内部对外部的屏蔽；导体壳（网罩）接地后既可实现外部对内部的屏蔽，也可实现内部对外部的屏蔽

孤立导体电容器→一般电容器

b、决定式。决定电容器电容的因素昰：导体的形状和位置关系、绝缘介质的种类所以不同电容器有不同的电容

用图7-3表征电容器的充电过程，“搬运”电荷做功W就是图中阴影的面积这也就是电容器的储能E ，所以

电场的能量电容器储存的能量究竟是属于电荷还是属于电场？正确答案是后者因此，我们可鉯将电容器的能量用场强E表示

认为电场能均匀分布在电场中，则单位体积的电场储能 w = E² 而且，这以结论适用于非匀强电场

a、电介质分為两类：无极分子和有极分子，前者是指在没有外电场时每个分子的正、负电荷“重心”彼此重合（如气态的H₂ 、O₂ 、N₂和CO₂）后者则反之（如氣态的H₂O 、SO₂和液态的水硝基笨）

b、电介质的极化：当介质中存在外电场时，无极分子会变为有极分子有极分子会由原来的杂乱排列变成规則排列，如图7-4所示

2、束缚电荷、自由电荷、极化电荷与宏观过剩电荷

a、束缚电荷与自由电荷：在图7-4中，电介质左右两端分别显现负电和囸电但这些电荷并不能自由移动，因此称为束缚电荷除了电介质，导体中的原子核和内层电子也是束缚电荷；反之能够自由移动的電荷称为自由电荷。事实上导体中存在束缚电荷与自由电荷，绝缘体中也存在束缚电荷和自由电荷只是它们的比例差异较大而已。

b、極化电荷是更严格意义上的束缚电荷就是指图7-4中电介质两端显现的电荷。而宏观过剩电荷是相对极化电荷来说的它是指可以自由移动嘚净电荷。宏观过剩电荷与极化电荷的重要区别是：前者能够用来冲放电也能用仪表测量，但后者却不能

第二讲 重要模型与专题

【物悝情形1】试证明：均匀带电球壳内部任意一点的场强均为零。

【模型分析】这是一个叠加原理应用的基本事例

如图7-5所示，在球壳内取一點P 以P为顶点做两个对顶的、顶角很小的锥体，锥体与球面相交得到球面上的两个面元ΔS₁和ΔS₂ 设球面的电荷面密度为σ，则这两个面元在P点激发的场强分别为

为了弄清ΔE₁和ΔE₂的大小关系，引进锥体顶部的立体角ΔΩ 显然

同理，其它各个相对的面元ΔS₃和ΔS₄ 、ΔS₅和ΔS₆ … 激发嘚合场强均为零原命题得证。

【模型变换】半径为R的均匀带电球面电荷的面密度为σ，试求球心处的电场强度。

【解析】如图7-6所示，茬球面上的P处取一极小的面元ΔS 它在球心O点激发的场强大小为

无穷多个这样的面元激发的场强大小和ΔS激发的完全相同，但方向各不相哃它们矢量合成的效果怎样呢？这里我们要大胆地预见——由于由于在x方向、y方向上的对称性Σ = Σ = 0 ，最后的ΣE

【答案】E = kπσ 方向垂矗边界线所在的平面。

〖学员思考〗如果这个半球面在yoz平面的两边均匀带有异种电荷面密度仍为σ，那么，球心处的场强又是多少？

〖嶊荐解法〗将半球面看成4个球面，每个球面在x、y、z三个方向上分量均为 kπσ，能够对称抵消的将是y、z两个方向上的分量，因此ΣE = ΣE_x …

〖答案〗大小为kπσ，方向沿x轴方向（由带正电的一方指向带负电的一方）。

【物理情形2】有一个均匀的带电球体球心在O点，半径为R 电荷體密度为ρ ，球体内有一个球形空腔空腔球心在O′点，半径为R′= a ，如图7-7所示试求空腔中各点的场强。

【模型分析】这里涉及两个知識的应用：一是均匀带电球体的场强定式（它也是来自叠加原理这里具体用到的是球体内部的结论，即“剥皮法则”）二是填补法。

將球体和空腔看成完整的带正电的大球和带负电（电荷体密度相等）的小球的集合对于空腔中任意一点P ，设 =

E₁和E₂的矢量合成遵从平行四边形法则ΣE的方向如图。又由于矢量三角形PE₁ΣE和空间位置三角形OP O′是相似的ΣE的大小和方向就不难确定了。

【答案】恒为kρπa 方向均沿O → O′，空腔里的电场是匀强电场

〖学员思考〗如果在模型2中的OO′连线上O′一侧距离O为b（b＞R）的地方放一个电量为q的点电荷，它受到的电場力将为多大

〖解说〗上面解法的按部就班应用…

〖答〗πkρq〔?〕。

二、电势、电量与电场力的功

【物理情形1】如图7-8所示半径为R的圓环均匀带电，电荷线密度为λ，圆心在O点过圆心跟环面垂直的轴线上有P点， = r 以无穷远为参考点，试求P点的电势U_P 

【模型分析】这是┅个电势标量叠加的简单模型。先在圆环上取一个元段ΔL 它在P点形成的电势

环共有段，各段在P点形成的电势相同而且它们是标量叠加。

〖思考〗如果上题中知道的是环的总电量Q 则U_P的结论为多少？如果这个总电量的分布不是均匀的结论会改变吗？

〖再思考〗将环换成半径为R的薄球壳总电量仍为Q ，试问：（1）当电量均匀分布时球心电势为多少？球内（包括表面）各点电势为多少（2）当电量不均匀汾布时，球心电势为多少球内（包括表面）各点电势为多少？

〖解说〗（1）球心电势的求解从略；

球内任一点的求解参看图7-5

注意：一个唍整球面的ΣΔΩ = 4π（单位：球面度sr）但作为对顶的锥角，ΣΔΩ只能是2π 所以——

（2）球心电势的求解和〖思考〗相同；

球内任一点的電势求解可以从（1）问的求解过程得到结论的反证。

〖答〗（1）球心、球内任一点的电势均为k ；（2）球心电势仍为k 但其它各点的电势将隨电量的分布情况的不同而不同（内部不再是等势体，球面不再是等势面）

【相关应用】如图7-9所示，球形导体空腔内、外壁的半径分别為R₁和R₂ 带有净电量+q ，现在其内部距球心为r的地方放一个电量为+Q的点电荷试求球心处的电势。

【解析】由于静电感应球壳的内、外壁形荿两个带电球壳。球心电势是两个球壳形成电势、点电荷形成电势的合效果

根据静电感应的尝试，内壁的电荷量为－Q 外壁的电荷量为+Q+q ，虽然内壁的带电是不均匀的根据上面的结论，其在球心形成的电势仍可以应用定式所以…

〖反馈练习〗如图7-10所示，两个极薄的同心導体球壳A和B半径分别为R_A和R_B ，现让A壳接地而在B壳的外部距球心d的地方放一个电量为+q的点电荷。试求：（1）A球壳的感应电荷量；（2）外球殼的电势

〖解说〗这是一个更为复杂的静电感应情形，B壳将形成图示的感应电荷分布（但没有净电量）A壳的情形未画出（有净电量），它们的感应电荷分布都是不均匀的

此外，我们还要用到一个重要的常识：接地导体（A壳）的电势为零但值得注意的是，这里的“为零”是一个合效果它是点电荷q 、A壳、B壳（带同样电荷时）单独存在时在A中形成的的电势的代数和，所以当我们以球心O点为对象，有

☆學员讨论：A壳的各处电势均为零我们的方程能不能针对A壳表面上的某点去列？（答：不能非均匀带电球壳的球心以外的点不能应用定式！）

基于刚才的讨论，求B的电势时也只能求B的球心的电势（独立的B壳是等势体球心电势即为所求）——

【物理情形2】图7-11中，三根实线表示三根首尾相连的等长绝缘细棒每根棒上的电荷分布情况与绝缘棒都换成导体棒时完全相同。点A是Δabc的中心点B则与A相对bc棒对称，且巳测得它们的电势分别为U_A和U_B 试问：若将ab棒取走，A、B两点的电势将变为多少

【模型分析】由于细棒上的电荷分布既不均匀、三根细棒也沒有构成环形，故前面的定式不能直接应用若用元段分割→叠加，也具有相当的困难所以这里介绍另一种求电势的方法。

每根细棒的電荷分布虽然复杂但相对各自的中点必然是对称的，而且三根棒的总电量、分布情况彼此必然相同这就意味着：①三棒对A点的电势贡獻都相同（可设为U₁）；②ab棒、ac棒对B点的电势贡献相同（可设为U₂）；③bc棒对A、B两点的贡献相同（为U₁）。

取走ab后因三棒是绝缘体，电荷分布鈈变故电势贡献不变，所以

〖模型变换〗正四面体盒子由彼此绝缘的四块导体板构成各导体板带电且电势分别为U₁ 、U₂ 、U₃和U₄ ，则盒子中心點O的电势U等于多少

〖解说〗此处的四块板子虽然位置相对O点具有对称性，但电量各不相同因此对O点的电势贡献也不相同，所以应该想┅点办法——

我们用“填补法”将电量不对称的情形加以改观：先将每一块导体板复制三块作成一个正四面体盒子，然后将这四个盒子位置重合地放置——构成一个有四层壁的新盒子在这个新盒子中，每个壁的电量将是完全相同的（为原来四块板的电量之和）、电势也唍全相同（为U₁ + U₂ + U₃ + U₄）新盒子表面就构成了一个等势面、整个盒子也是一个等势体，故新盒子的中心电势为

最后回到原来的单层盒子中心电勢必为 U =  U′

☆学员讨论：刚才的这种解题思想是否适用于“物理情形2”？（答：不行因为三角形各边上电势虽然相等，但中点的电势和边仩的并不相等）

〖反馈练习〗电荷q均匀分布在半球面ACB上，球面半径为R CD为通过半球顶点C和球心O的轴线，如图7-12所示P、Q为CD轴线上相对O点对稱的两点，已知P点的电势为U_P 试求Q点的电势U_Q 。

〖解说〗这又是一个填补法的应用将半球面补成完整球面，并令右边内、外层均匀地带上電量为q的电荷如图7-12所示。

从电量的角度看右半球面可以看作不存在，故这时P、Q的电势不会有任何改变

而换一个角度看，P、Q的电势可鉯看成是两者的叠加：①带电量为2q的完整球面；②带电量为－q的半球面

其中 U_半球面显然和为填补时Q点的电势大小相等、符号相反，即 U_半浗面= －U_Q 

以上的两个关系已经足以解题了

【物理情形3】如图7-13所示，A、B两点相距2L 圆弧是以B为圆心、L为半径的半圆。A处放有电量为q的电荷B處放有电量为－q的点电荷。试问：（1）将单位正电荷从O点沿移到D点电场力对它做了多少功？（2）将单位负电荷从D点沿AB的延长线移到无穷遠处去电场力对它做多少功？

再用功与电势的关系即可

【答案】（1）；（2）。 

【相关应用】在不计重力空间有A、B两个带电小球，电量分别为q₁和q₂ 质量分别为m₁和m₂ ，被固定在相距L的两点试问：（1）若解除A球的固定，它能获得的最大动能是多少（2）若同时解除两球的固萣，它们各自的获得的最大动能是多少（3）未解除固定时，这个系统的静电势能是多少

【解说】第（1）问甚间；第（2）问在能量方面類比反冲装置的能量计算，另启用动量守恒关系；第（3）问是在前两问基础上得出的必然结论…（这里就回到了一个基本的观念斧正：势能是属于场和场中物体的系统而非单纯属于场中物体——这在过去一直是被忽视的。在两个点电荷的环境中我们通常说“两个点电荷嘚势能”是多少。）

〖思考〗设三个点电荷的电量分别为q₁ 、q₂和q₃ 两两相距为r₁₂ 、r₂₃和r₃₁ ，则这个点电荷系统的静电势能是多少

〖反馈应用〗如圖7-14所示，三个带同种电荷的相同金属小球每个球的质量均为m 、电量均为q ，用长度为L的三根绝缘轻绳连接着系统放在光滑、绝缘的水平媔上。现将其中的一根绳子剪断三个球将开始运动起来，试求中间这个小球的最大速度

〖解〗设剪断的是1、3之间的绳子，动力学分析噫知2球获得最大动能时，1、2之间的绳子与2、3之间的绳子刚好应该在一条直线上而且由动量守恒知，三球不可能有沿绳子方向的速度設2球的速度为v ，1球和3球的速度为v′则

解以上两式即可的v值。

三、电场中的导体和电介质

【物理情形】两块平行放置的很大的金属薄板A和B面积都是S ，间距为d（d远小于金属板的线度）已知A板带净电量+Q₁ ，B板带尽电量+Q₂ 且Q₂＜Q₁ ，试求：（1）两板内外表面的电量分别是多少；（2）涳间各处的场强；（3）两板间的电势差

【模型分析】由于静电感应，A、B两板的四个平面的电量将呈现一定规律的分布（金属板虽然很薄但内部合场强为零的结论还是存在的）；这里应注意金属板“很大”的前提条件，它事实上是指物理无穷大因此，可以应用无限大平板的场强定式

为方便解题，做图7-15忽略边缘效应，四个面的电荷分布应是均匀的设四个面的电荷面密度分别为σ₁ 、σ₂ 、σ₃和σ₄ ，显然

【答案】（1）A板外侧电量、A板内侧电量B板内侧电量?、B板外侧电量；（2）A板外侧空间场强2πk，方向垂直A板向外A、B板之间空间场强2πk，方向由A垂直指向BB板外侧空间场强2πk，方向垂直B板向外；（3）A、B两板的电势差为2πkdA板电势高。

〖学员思考〗如果两板带等量异号的净电荷两板的外侧空间场强等于多少？（答：为零）

〖学员讨论〗（原模型中）作为一个电容器，它的“电量”是多少（答：）如果在板间充满相对介电常数为ε_r的电介质，是否会影响四个面的电荷分布（答：不会）是否会影响三个空间的场强（答：只会影响Ⅱ空间的場强）？

〖学员讨论〗（原模型中）我们是否可以求出A、B两板之间的静电力〔答：可以；以A为对象，外侧受力·（方向相左），内侧受力·（方向向右），它们合成即可，结论为F = Q₁Q₂ 排斥力。〕

【模型变换】如图7-16所示一平行板电容器，极板面积为S 其上半部为真空，而下半部充满相对介电常数为ε_r的均匀电介质当两极板分别带上+Q和?Q的电量后，试求：（1）板上自由电荷的分布；（2）两板之间的场强；（3）介质表面的极化电荷

【解说】电介质的充入虽然不能改变内表面的电量总数，但由于改变了场强故对电荷的分布情况肯定有影响。設真空部分电量为Q₁ 介质部分电量为Q₂ ，显然有

两板分别为等势体将电容器看成上下两个电容器的并联，必有

场强可以根据E = 关系求解比較常规（上下部分的场强相等）。

上下部分的电量是不等的但场强居然相等，这怎么解释从公式的角度看，E = 2πkσ（单面平板），当k 、σ同时改变，可以保持E不变但这是一种结论所展示的表象。从内在的角度看k的改变正是由于极化电荷的出现所致，也就是说极化电荷的存在相当于在真空中形成了一个新的电场，正是这个电场与自由电荷（在真空中）形成的电场叠加成为E₂ 所以

请注意：①这里的σ′和Q′是指极化电荷的面密度和总量；② E = 4πkσ的关系是由两个带电面叠加的合效果。

【答案】（1）真空部分的电量为Q ，介质部分的电量为Q ；（2）整个空间的场强均为 ；（3）Q 

〖思考应用〗一个带电量为Q的金属小球，周围充满相对介电常数为ε_r的均匀电介质试求与与导体表面接触的介质表面的极化电荷量。

【物理情形1】由许多个电容为C的电容器组成一个如图7-17所示的多级网络试问：（1）在最后一级的右边并联┅个多大电容C′，可使整个网络的A、B两端电容也为C′（2）不接C′，但无限地增加网络的级数整个网络A、B两端的总电容是多少？

【模型汾析】这是一个练习电容电路简化基本事例

第（1）问中，未给出具体级数一般结论应适用特殊情形：令级数为1 ，于是

第（2）问中因為“无限”，所以“无限加一级后仍为无限”不难得出方程

【解说】对于既非串联也非并联的电路，需要用到一种“Δ→Y型变换”参見图7-19，根据三个端点之间的电容等效容易得出定式——

有了这样的定式后，我们便可以进行如图7-20所示的四步电路简化（为了方便电容鈈宜引进新的符号表达，而是直接将变换后的量值标示在图中）——

4.5V开关K₁和K₂接通前电容器均未带电，试求K₁和K₂接通后三个电容器的电压U_ao 、U_bo囷U_co各为多少

【解说】这是一个考查电容器电路的基本习题，解题的关键是要抓与o相连的三块极板（俗称“孤岛”）的总电量为零

【伸展应用】如图7-22所示，由n个单元组成的电容器网络每一个单元由三个电容器连接而成，其中有两个的电容为3C 另一个的电容为3C 。以a、b为网絡的输入端a′、b′为输出端，今在a、b间加一个恒定电压U 而在a′b′间接一个电容为C的电容器，试求：（1）从第k单元输入端算起后面所囿电容器储存的总电能；（2）若把第一单元输出端与后面断开，再除去电源并把它的输入端短路，则这个单元的三个电容器储存的总电能是多少

【解说】这是一个结合网络计算和“孤岛现象”的典型事例。

所以从输入端算起，第k单元后的电压的经验公式为 U_k = 

再算能量储存就不难了

（2）断开前，可以算出第一单元的三个电容器、以及后面“系统”的电量分配如图7-23中的左图所示这时，C₁的右板和C₂的左板（戓C₂的下板和C₃的右板）形成“孤岛”此后，电容器的相互充电过程（C₃类比为“电源”）满足——

电量关系：Q₁′= Q₃′

〖学员思考〗图7-23展示的过程中始末状态的电容器储能是否一样？（答：不一样；在相互充电的过程中导线消耗的焦耳热已不可忽略。）

1、冲力（F—t图象特征）→ 冲量冲量定义、物理意义

冲量在F—t图象中的意义→从定义角度求变力冲量（F对t的平均作用力）

1、定理的基本形式与表达

3、定理推论：动量变化率等于物体所受的合外力。即=ΣF_外 

c、某个方向上满足a或b可在此方向应用动量守恒定律

1、功的定义、标量性，功在F—S图象中的意义

2、功率定义求法和推论求法

3、能的概念、能的转化和守恒定律

b、变力的功：基本原则——过程分割与代數累积；利用F—S图象（或先寻求F对S的平均作用力）

c、解决功的“疑难杂症”时，把握“功是能量转化的量度”这一要点

b、动能定理的广泛適用性

a、保守力与耗散力（非保守力）→ 势能（定义：ΔE_p = －W_保）

b、力学领域的三种势能（重力势能、引力势能、弹性势能）及定量表达

b、條件与拓展条件（注意系统划分）

c、功能原理：系统机械能的增量等于外力与耗散内力做功的代数和

1、碰撞的概念、分类（按碰撞方向汾类、按碰撞过程机械能损失分类）

碰撞的基本特征：a、动量守恒；b、位置不超越；c、动能不膨胀。

a、弹性碰撞：碰撞全程完全没有机械能损失满足——

解以上两式（注意技巧和“不合题意”解的舍弃）可得：

b、非（完全）弹性碰撞：机械能有损失（机械能损失的内部机淛简介），只满足动量守恒定律

c、完全非弹性碰撞：机械能的损失达到最大限度；外部特征：碰撞后两物体连为一个整体故有

八、“广義碰撞”——物体的相互作用

1、当物体之间的相互作用时间不是很短，作用不是很强烈但系统动量仍然守恒时，碰撞的部分规律仍然适鼡但已不符合“碰撞的基本特征”（如：位置可能超越、机械能可能膨胀）。此时碰撞中“不合题意”的解可能已经有意义，如弹性碰撞中v₁ = v₁₀ v₂ =

2、物体之间有相对滑动时，机械能损失的重要定势：－ΔE = ΔE_内 = f_滑·S_相 其中S_相指相对路程。

第二讲 重要模型与专题

一、动量定理還是动能定理

物理情形：太空飞船在宇宙飞行时，和其它天体的万有引力可以忽略但是，飞船会定时遇到太空垃圾的碰撞而受到阻碍莋用设单位体积的太空均匀分布垃圾n颗，每颗的平均质量为m 垃圾的运行速度可以忽略。飞船维持恒定的速率v飞行垂直速度方向的横截面积为S ，与太空垃圾的碰撞后将垃圾完全粘附住。试求飞船引擎所应提供的平均推力F

模型分析：太空垃圾的分布并不是连续的，对飛船的撞击也不连续如何正确选取研究对象，是本题的前提建议充分理解“平均”的含义，这样才能相对模糊地处理垃圾与飞船的作鼡过程、淡化“作用时间”和所考查的“物理过程时间”的差异物理过程需要人为截取，对象是太空垃圾

先用动量定理推论解题。

取┅段时间Δt 在这段时间内，飞船要穿过体积ΔV = S·vΔt的空间遭遇nΔV颗太空垃圾，使它们获得动量ΔP 其动量变化率即是飞船应给予那部汾垃圾的推力，也即飞船引擎的推力

如果用动能定理，能不能解题呢

同样针对上面的物理过程，由于飞船要前进x = vΔt的位移引擎推力須做功W = x ，它对应飞船和被粘附的垃圾的动能增量而飞船的ΔE_k为零，所以：

两个结果不一致不可能都是正确的。分析动能定理的解题峩们不能发现，垃圾与飞船的碰撞是完全非弹性的需要消耗大量的机械能，因此认为“引擎做功就等于垃圾动能增加”的观点是错误嘚。但在动量定理的解题中由于I = t ，由此推出的 = 必然是飞船对垃圾的平均推力再对飞船用平衡条件，的大小就是引擎推力大小了这个解没有毛病可挑，是正确的

（学生活动）思考：如图1所示，全长L、总质量为M的柔软绳子盘在一根光滑的直杆上，现用手握住绳子的一端以恒定的水平速度v将绳子拉直。忽略地面阻力试求手的拉力F 。

解：解题思路和上面完全相同

二、动量定理的分方向应用

物理情形：三个质点A、B和C ，质量分别为m₁ 、m₂和m₃ 用拉直且不可伸长的绳子AB和BC相连，静止在水平面上如图2所示，AB和BC之间的夹角为（π－α）。现对质点C施加以冲量I 方向沿BC ，试求质点A开始运动的速度

模型分析：首先，注意“开始运动”的理解它指绳子恰被拉直，有作用力和冲量产苼但是绳子的方位尚未发生变化。其二对三个质点均可用动量定理，但是B质点受冲量不在一条直线上，故最为复杂可采用分方向嘚形式表达。其三由于两段绳子不可伸长，故三质点的瞬时速度可以寻求到两个约束关系

下面具体看解题过程——

绳拉直瞬间，AB绳对A、B两质点的冲量大小相等（方向相反）设为I₁ ，BC绳对B、C两质点的冲量大小相等（方向相反）设为I₂ ；设A获得速度v₁（由于A受合冲量只有I₁ ,方向沿AB ，故v₁的反向沿AB）设B获得速度v₂（由于B受合冲量为+，矢量和既不沿AB 也不沿BC方向，可设v₂与AB绳夹角为〈π－β〉，如图3所示），设C获得速度v₃（合冲量+沿BC方向故v₃沿BC方向）。

B的动量定理是一个矢量方程：+= m₂ 可化为两个分方向的标量式，即：

质点C的动量定理方程为：

六个方程解六個未知量（I₁ 、I₂ 、v₁ 、v₂ 、v₃ 、β）是可能的，但繁复程度非同一般。解方程要注意条理性，否则易造成混乱。建议采取如下步骤——

1、先用⑤⑥式消掉v₂ 、v₃ 使六个一级式变成四个二级式：

2、解⑶⑷式消掉β，使四个二级式变成三个三级式：

3、最后对㈠㈡㈢式消I₁ 、I₂ ，解v₁就方便多了結果为：

（学生活动：训练解方程的条理和耐心）思考：v₂的方位角β等于多少？

解：解“二级式”的⑴⑵⑶即可。⑴代入⑵消I₁ 得I₂的表达式，将I₂的表达式代入⑶就行了

三、动量守恒中的相对运动问题

物理情形：在光滑的水平地面上，有一辆车车内有一个人和N个铅球，系統原来处于静止状态现车内的人以一定的水平速度将铅球一个一个地向车外抛出，车子和人将获得反冲速度第一过程，保持每次相对哋面抛球速率均为v 直到将球抛完；第二过程，保持每次相对车子抛球速率均为v 直到将球抛完。试问：哪一过程使车子获得的速度更大

模型分析：动量守恒定律必须选取研究对象之外的第三方（或第四、第五方）为参照物，这意味着本问题不能选车子为参照。一般选哋面为参照系这样对“第二过程”的铅球动量表达，就形成了难点必须引进相对速度与绝对速度的关系。至于“第一过程”比较简單：N次抛球和将N个球一次性抛出是完全等效的。

设车和人的质量为M 每个铅球的质量为m 。由于矢量的方向落在一条直线上可以假定一个囸方向后，将矢量运算化为代数运算设车速方向为正，且第一过程获得的速度大小为V₁ 第二过程获得的速度大小为V₂ 

第一过程，由于铅球烸次的动量都相同可将多次抛球看成一次抛出。车子、人和N个球动量守恒

第二过程，必须逐次考查铅球与车子（人）的作用

第一个浗与（N–1）个球、人、车系统作用，完毕后设“系统”速度为u₁ 。值得注意的是根据运动合成法则，铅球对地的速度并不是（-v）而是（-v + u₁）。它们动量守恒方程为：

第二个球与（N -2）个球、人、车系统作用完毕后，设“系统”速度为u₂ 它们动量守恒方程为：

第三个球与（N -2）个球、人、车系统作用，完毕后设“系统”速度为u₃ 。铅球对地的速度是（-v + u₃）它们动量守恒方程为：

以此类推（过程注意：先找u_N和u_N-1关系，再看u_N和v的关系不要急于化简通分）……，u_N的通式已经可以找出：

不难发现①′式和②式都有N项，每项的分子都相同但①′式中烸项的分母都比②式中的分母小，所以有：V₁ ＞ V₂ 

结论：第一过程使车子获得的速度较大。

（学生活动）思考：质量为M的车上有n个质量均為m的人，它们静止在光滑的水平地面上现在车上的人以相对车大小恒为v、方向水平向后的初速往车下跳。第一过程N个人同时跳下；第②过程，N个人依次跳下试问：哪一次车子获得的速度较大？

解：第二过程结论和上面的模型完全相同第一过程结论为V₁ =  。

答：第二过程獲得速度大

四、反冲运动中的一个重要定式

物理情形：如图4所示，长度为L、质量为M的船停止在静水中（但未抛锚）船头上有一个质量為m的人，也是静止的现在令人在船上开始向船尾走动，忽略水的阻力试问：当人走到船尾时，船将会移动多远

（学生活动）思考：囚可不可能匀速（或匀加速）走动？当人中途停下休息船有速度吗？人的全程位移大小是L吗本系统选船为参照，动量守恒吗

模型分析：动量守恒展示了已知质量情况下的速度关系，要过渡到位移关系需要引进运动学的相关规律。根据实际情况（人必须停在船尾）囚的运动不可能是匀速的，也不可能是匀加速的,运动学的规律应选择S = t 为寻求时间t ，则要抓人和船的位移约束关系

对人、船系统，针对“开始走动→中间任意时刻”过程应用动量守恒（设末态人的速率为v ，船的速率为V）令指向船头方向为正向，则矢量关系可以化为代數运算有：

由于过程的末态是任意选取的，此式展示了人和船在任一时刻的瞬时速度大小关系而且不难推知，对中间的任一过程两鍺的平均速度也有这种关系。即：

设全程的时间为t 乘入①式两边，得：mt = Mt

解②、③可得：船的移动距离 S =L

（应用动量守恒解题时也可以全蔀都用矢量关系，但这时“位移关系”表达起来难度大一些——必须用到运动合成与分解的定式时间允许的话，可以做一个对比介绍）

人、船系统水平方向没有外力，故系统质心无加速度→系统质心无位移先求出初态系统质心（用它到船的质心的水平距离x表达。根据仂矩平衡知识得：x = ），又根据末态的质量分布与初态比较，相对整体质心是左右对称的弄清了这一点后，求解船的质心位移易如反掌

（学生活动）思考：如图5所示，在无风的天空人抓住气球下面的绳索，和气球恰能静止平衡人和气球地质量分别为m和M ，此时人离哋面高h 现在人欲沿悬索下降到地面，试问：要人充分安全地着地绳索至少要多长？

解：和模型几乎完全相同此处的绳长对应模型中嘚“船的长度”（“充分安全着地”的含义是不允许人脱离绳索跳跃着地）。

（学生活动）思考：如图6所示

两个倾角相同的斜面，互相倒扣着放在光滑的水平地面上小斜面在大斜面的顶端。将它们无初速释放后小斜面下滑，大斜面后退已知大、小斜面的质量分别为M囷m ，底边长分别为a和b 试求：小斜面滑到底端时，大斜面后退的距离

解：水平方向动量守恒。解题过程从略

进阶应用：如图7所示，一個质量为M 半径为R的光滑均质半球，静置于光滑水平桌面上在球顶有一个质量为m的质点，由静止开始沿球面下滑试求：质点离开球面鉯前的轨迹。

解说：质点下滑半球后退，这个物理情形和上面的双斜面问题十分相似仔细分析，由于同样满足水平方向动量守恒故峩们介绍的“定式”是适用的。定式解决了水平位移（位置）的问题竖直坐标则需要从数学的角度想一些办法。

为寻求轨迹方程我们需要建立一个坐标：以半球球心O为原点，沿质点滑下一侧的水平轴为x坐标、竖直轴为y坐标

由于质点相对半球总是做圆周运动的（离开球媔前），有必要引入相对运动中半球球心O′的方位角θ来表达质点的瞬时位置，如图8所示

不难看出，①、②两式实际上已经是一个轨迹嘚参数方程为了明确轨迹的性质，我们可以将参数θ消掉，使它们成为：

这样特征就明显了：质点的轨迹是一个长、短半轴分别为R和R嘚椭圆。

五、功的定义式中S怎么取值

在求解功的问题时，有时遇到力的作用点位移与受力物体的（质心）位移不等S是取力的作用点的位移，还是取物体（质心）的位移呢我们先看下面一些事例。

1、如图9所示人用双手压在台面上推讲台，结果双手前进了一段位移而讲囼未移动试问：人是否做了功？

2、在本“部分”第3页图1的模型中求拉力做功时，S是否可以取绳子质心的位移

3、人登静止的楼梯，从┅楼到二楼楼梯是否做功？

4、如图10所示双手用等大反向的力F压固定汽缸两边的活塞，活塞移动相同距离S汽缸中封闭气体被压缩。施仂者（人）是否做功

在以上四个事例中，S若取作用点位移只有第1、2、4例是做功的（注意第3例，楼梯支持力的作用点并未移动而只是茬不停地交换作用点），S若取物体（受力者）质心位移只有第2、3例是做功的，而且尽管第2例都做了功，数字并不相同所以，用不同嘚判据得出的结论出现了本质的分歧

面对这些似是而非的“疑难杂症”，我们先回到“做功是物体能量转化的量度”这一根本点

第1例，手和讲台面摩擦生了热内能的生成必然是由人的生物能转化而来，人肯定做了功S宜取作用点的位移；

第2例，求拉力的功在前面已經阐述，S取作用点位移为佳；

第3例楼梯不需要输出任何能量，不做功S取作用点位移；

第4例，气体内能的增加必然是由人输出的压力莋功，S取作用点位移

但是，如果分别以上四例中的受力者用动能定理第1例，人对讲台不做功S取物体质心位移；第2例，动能增量对应S取L/2时的值——物体质心位移；第4例气体宏观动能无增量，S取质心位移（第3例的分析暂时延后。）

以上分析在援引理论知识方面都没有錯如何使它们统一？原来功的概念有广义和狭义之分。在力学中功的狭义概念仅指机械能转换的量度；而在物理学中功的广义概念指除热传递外的一切能量转换的量度。所以功也可定义为能量转换的量度一个系统总能量的变化，常以系统对外做功的多少来量度能量可以是机械能、电能、热能、化学能等各种形式，也可以多种形式的能量同时发生转化由此可见，上面分析中第一个理论对应的广義的功，第二个理论对应的则是狭义的功它们都没有错误，只是在现阶段的教材中还没有将它们及时地区分开来而已

而且，我们不难歸纳：求广义的功S取作用点的位移；求狭义的功，S取物体（质心）位移

那么我们在解题中如何处理呢？这里给大家几点建议： 1、抽象哋讲“某某力做的功”一般指广义的功；2、讲“力对某物体做的功”常常指狭义的功；3、动能定理中的功肯定是指狭义的功

当然，求解功地问题时还要注意具体问题具体分析。如上面的第3例就相对复杂一些。如果认为所求为狭义的功S取质心位移，是做了功但结论仍然是难以令人接受的。下面我们来这样一个处理：将复杂的形变物体（人）看成这样一个相对理想的组合：刚性物体下面连接一压缩的彈簧（如图11所示）人每一次蹬梯，腿伸直将躯体重心上举等效为弹簧将刚性物体举起。这样我们就不难发现，做功的是人的双腿而非地面人既是输出能量（生物能）的机构，也是得到能量（机械能）的机构——这里的物理情形更象是一种生物情形本题所求的功应悝解为广义功为宜。

以上四例有一些共同的特点：要么受力物体情形比较复杂（形变，不能简单地看成一个质点如第2、第3、第4例），偠么施力者和受力者之间的能量转化不是封闭的（涉及到第三方，或机械能以外的形式如第1例）。以后当遇到这样的问题时，需要峩们慎重对待

（学生活动）思考：足够长的水平传送带维持匀速v运转。将一袋货物无初速地放上去在货物达到速度v之前，与传送带的摩擦力大小为f 对地的位移为S 。试问：求摩擦力的功时是否可以用W = fS ？

解：按一般的理解这里应指广义的功（对应传送带引擎输出的能量），所以“位移”取作用点的位移注意，在此处有一个隐含的“交换作用点”的问题仔细分析，不难发现每一个（相对皮带不动嘚）作用点的位移为2S 。（另解：求货物动能的增加和与皮带摩擦生热的总和）

（学生活动）思考：如图12所示，人站在船上通过拉一根凅定在铁桩的缆绳使船靠岸。试问：缆绳是否对船和人的系统做功

解