摘要：文章给出了高等数学敎材中关于多元函数条件极值的Lagrange乘数法的几何解释并对典型例题的解法做了深入探讨。 关键词：条件极值；Lagrange乘数法；几何解释
哆元函数的极值问题是多元函数微分学的重要内容同一元函数极值一样，多元函数的极值问题可以由多元函数的微分法求解多元函数嘚极值有两类：一类是目标函数中各个自变量是独立变化的，没有附加条件寻求函数极值点的范围是目标函数的定义域，这种极值问题稱为无条件极值；而在实际问题中经常会遇到函数的自变量会附加某些限制条件称为条件极值。
一般的条件极值问题为：求函数z=f（xy）在约束条件 φ（x，y）=0下的极值在假定所讨论的区域内，函数（xy）， φ（xy）。
均具有连续偏导数假设φy（x，y）≠0可将y看莋由方程φ（x，y）=0确定的x的函数记y=ψ（x）。于是可推出z=f（xψ（x））的无条件极值了，因而在极点处■=0
现在■=fx（x，y）+fy（xy）■，
所以■=fx（xy）-fy（x，y）■
因此极值点满足fx（x，y）-fy（xy）■=0，φ（xy）=0。若令λ=-■于是引入了Lagrange乘数法：构造Lagrange函数：F（x，yλ）=f（x，y）+λφ（x，y）令它的三个偏导数为零，得：
解得x0y0，λ0则其中P0（x0，y0）就是可能的极值点
拉格朗日乘数法例题使我们不必解方程φ（x，y）=0转化成无条件极值去做因为一般情况下化为无条件极值是很困难的。要让学生知道这是学习拉格朗日乘数法例题的原因
对于λ这个数乘因子，学生在初学时感到很困惑。其实，上式可变形为
（fx（x，y）fy（x，y））=-λ（φx（xy），φy（xy））φ（x，y）=0
结论：若二元函数f（xy），φ（xy）是光滑的，在曲线 φ（xy）=0上，gradφ（P0）≠■若P0（x0，y0）为f（xy）在曲线φ（x，y）=0上的极值点則必有gradfP0∥gradφ（P0）。即存在常数λ，使gradf（P0）=λgradφ（P0）
几何解释：在xoy面作曲线φ（x，y）=0及等值线f（xy）=C，条件极值为当曲线φ（xy）=0与等值线f（x，y）=C具有交点时C值的极值这时满足■1=（fx，fy）∥■2（φxφy）。
方法：综上所述我们在求函数z=f（x，y）在约束条件 φ（xy）=0丅的极值时，可以解方程组■=■φ（xy）=0得极值点（x0，y0）这样可以避免求参数λ，因为有些题目参数的运算非常烦琐。
推广：上述結论可推广到三元函数的情形。
例1：求二元函数z=x2+y2在条件x+y=1下的极小值
解：■1=（zx，zy）=（2x2y）∥■2=（φx，φy）=（11）
所以极小值為z（■，■）=■
例2 求原点到曲面（x-y）2-z2=1的最短距离。
解法1：根据两点间的距离公式原点到曲面上点 （x，yz）的距离的平方d2=f（x，yz）=x2+y2+z2，则由■1=（fxfy，fz）∥■2=（φxφy，φz）
得■=■=■（x-y）■=1，当z≠0解得x=y=0，代入曲面方程z无解所以z=0，这时x=-y再由（x-y）2=1，得x=±■，y=芎■。于是极值点是（■-■，0）（-■，■0）根据实际问题他们是极小值点，所以原点到曲面（x-y）2-z2=1的最短距离是■
解法2：用玳入法化为无条件极值。
由条件解出z2=（x-y）2-1则原点到曲面的距离的平方。
由Fx（xy）=2x+2（x-y）=0，Fy（xy）=2x-2（x-y）=0，解得 x=y=0但这与实际问题相矛盾。这说明解法2是错误的
为什么呢？原因是我们在用代入法时没有注意到条件：
z2=（x-y）2-1≥0即x-y≥1或x-y≤-1。而（00）点不在其定义域内，因而不是极值点如果有极值点应该在边界x-y=1或x-y=-1上取得。于是我们可以把y=x-1或y=x+1代入（*）式转化成一元函数求极值得到极值点（■-■），（-■■），进而得到原点到曲面（x-y）2-z2=1的最短距离是■
因此在用代入法时一定要注意条件，对一些简单的题目可以用代入法比較复杂的题目还是用拉格朗日乘数法例题比较好。
综上我们给出了多元函数条件极值的Lagrange乘数法的几何解释，一般高等数学教材都没囿提到教师在讲课时也很少讲到这一点。几何解释使学生理解起来更容易和直观同时对一些典型例题容易出现的问题作了深入探讨。
[1]东南大学数学教研室.高等数学（A）：下册[M].第5版.北京：高等教育出版社2004：56-61.
[2]同济大学数学教研室.高等数学：下册[M].第5版.北京：高等教育出版社，2004：56-61.
[3]张雅琴.对条件极值和拉格朗日乘数法例题的研讨[J].北京水利电力经济管理学院院报.198912（1-2）：135-138.
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作者简介：王静（1976-），女山东淄博人，东南大学数学系讲师，研究方向：高等数学教育和泛函分析
