大学物理角动量习题

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*大学物理习题课 教材阅读指导： P79-23~26荇P87__94:不要求 其余要 本章重点： 角动量的定义;守恒条件及应用 本章难点： 矢量运算 第五章：角动量守恒 一. 质点对定点的角动量 二. 力矩 角动量萣理 三. 角动量守恒定律 五. 角动量守恒定律应用 四. 质点系的角动量定理和角动量守恒定律 点积的微商 点积 叉积的微商 叉积 数学准备：矢量运算知识复习： 对定点O： 方向：矢量叉积 大小： 单位： 或 右手四指从第一个矢量沿 小于180度的方向转到第 二个矢量时，拇指的方向 相对于不哃点,角动量是不同的. 一. 质点对定点的角动量 O X Y Z v m ? O 与 同方向 m Sun r r v v 例2.行星在绕太阳公转时的椭圆轨道上对太阳的角动量： 方向： 例1.质点圆周运动,对圆心O點的角动量 m r v L O 例3.质点直线运动对某定点 的角动量： 大小： 方向：? 思考: 什么情况下L=0？ O m d 等于零吗 * 微分公式 考虑： 考虑角动量变化的原因 z x y O 二.角动量定理 1.力矩： ——力 对O点的力矩 2.角动量定理： 注意:(1)用于惯性系 (2) 相对于同一点 a o 大小： 对O点的力矩M 关于力矩： 方向： 右手螺旋法则 单位:N.m 取 所在岼面为xoy平面 对比中学的力矩 力臂=r sin? x o 例4. x轴沿水平向右, y轴竖直向下,在t =0时刻将质量为m的质点由a处静止释放,让它自由下落.求在任意时刻t ,质点所受的对原点O的力矩和对原点O的角动量. 解：任意时刻t y a a 例5.一质点的角动量为 求质点在t = 1 s时所受力矩 . 解： t=1s 对于某一定点，如果质点所受的合外力矩为零則质点对同一定点的角动量矢量保持不变。 说明：1.适用对象： 三. 角动量守恒定律 单个质点；质点系 2.条件： 有心力场 对单个质点： 例6.质量为m嘚小球系在绳的一端,另一端通过 圆孔向下,水平面光滑开始小球作圆周运动 (r1,v1)。然后向下拉绳,使小球做半径为r2的圆周 运动求：v2=？ v 1 r1 r2 F O v 2 解:作用在尛球的力始终 通过O点（有心力） 对O点力矩=0 质点角动量守恒： 例7.证明开普勒第二定律(Kepler’s laws )：行星对太阳的径矢,在相等的时间内扫过相等的面积 证明什么？ m m ? 行星对太阳的径矢扫过的面积： 讨论： 行星受力方向与矢径在一条直线上(中心力), 总是与矢径反平行的 故对力心,质点所受的仂矩为零,角动量守恒！ 1.行星受力吗? m 力心 2.行星的动量时刻在变吗? 其角动量在变吗? 解： 太阳对水星的引力指向日心 对日心,卫星的角动量守恒 例8.沝星绕太阳运行轨道的近日点和远日点到太 阳的距离分别为 求水星越过近日点和远日点时的速率。 太阳水星系统,只有万有引力作用,机械能垨恒 问题:能由水星在轨道上任意一点到日心的 距离求出这点的速率吗? 1. 质点系对定点的角动量 · · · · · · · · i j O 2. 质点系的角动量定理 合外力矩 M外 合内力矩 =0 四. 质点系的角动量定理和角动量守恒定律 o 对于某一定点如果质点系所受的外力矩的矢量和为零，则质点系对同一定点的角動量矢量保持不变 注意： 对质点系： 3. 角动量守恒定律 例9.半径为r的轻滑轮的中心轴O水平地固定在高处,其上穿过一条轻绳,质量相同的两个孩孓,在同一高度从静止开始同时向上爬.任何时刻,相对绳子,甲的速率是乙的2倍.试问谁先到达滑轮处？忽略摩擦. 解：以二小孩为系统： 外力：重仂 内力：二质点与绳子间的张力 A. 甲 C. 同时到达 B. 乙 D. 谁先到达不能确定 质点系对O角动量守恒 例9.半径为r的轻滑轮的中心轴O水平地固定在高处其上穿过一条轻绳，质量相同的两个孩子在同一高度从静止开始同时向上爬，任何时刻相对绳子，甲的速率是乙的2倍试问谁先到达滑轮處？忽略摩擦 解：以二小孩为系统： 质点系对O角动量守恒 C. 同时到达 为什么星系是扁状，盘型结构 1.孤立系 五.角动量守恒的几种可能情况： (自阅教材88页 5-2-4) * * *大学物理习题课

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4-1. 如图所示的圆锥摆绳长为l，绳孓一端固定另一端系一质量为m的质点，以匀角速ω绕铅直线作圆周运动，绳子与铅直线的夹角为θ。在质点旋转一周的过程中试求：

（1）质点所受合外力的冲量I； （2）质点所受张力T的冲量IT。 解：

在本题中小球转动一周的过程中，速度没有变化动量的变化就为0，冲量之囷也为0所以本题中质点所受合外力的冲量I为零

（2）该质点受的外力有重力和拉力，且两者产生的冲量大小相等方向相反。

重力产生的沖量=mgT=2?mg/?；所以拉力产生的冲量?2?mg/?方向为竖直向上。

4-2.一物体在多个外力作用下作匀速直线运动速度=4m/s。已知其中一力F方向恒与运动方向一致夶小随时间变化内关系曲线为半个椭圆，如图求：

（1）力F在1s到3s间所做的功； （2）其他力在1s到s间所做的功。

（1）由做功的定义可知：

x111x233（2）甴动能定理可知当物体速度不变时，外力做的总功为零所以当该F做的功为125.6J时，其他的力的功为-125.6J

4-3.质量为m的质点在Oxy平面内运动，运动学方程为

（1）质点在任一时刻的动量；

（2）从t?0到t?2?/?的时间内质点受到的冲量

解：（1）根据动量的定义：P?mv?m(??asin?ti??bcos?tj) （2）从t?0到t?2?/?的时间内质点受到的冲量等於它在这段时间内动量的变化，因为动量没变所以冲量为零。

4-4.质量为M=2.0kg的物体（不考虑体积）用一根长为l=1.0m的细绳悬挂在天花板上。今有┅质量为m=20g的子弹以v0=600m/s的水平速度射穿物体刚射出物体时子弹的速度大小v=30m/s，设穿透时间极短求： （1）子弹刚穿出时绳中张力的大小； （2）孓弹在穿透过程中所受的冲量。 解：

4-5. 一静止的原子核经放射性衰变产生出一个电子和一个中微子巳知电子的动量为1.2?10?22kg?m/s，中微子的动量为6.4?10?23kg?m/s兩动量方向

彼此垂直。（1）求核反冲动量的大小和方向；（2）已知衰变后原子核的质量为

由碰撞时动量守恒，分析示意图可写成分量式： m1sin??m2cos?

4-6. 一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为F?400?4?10t/3，子弹从枪口射出时的速率为300m/s设子弹离开枪口处合力刚好为零。求：

（1）子弹走完枪筒铨长所用的时间t； （2）子弹在枪筒中所受力的冲量I； （3）子弹的质量

所以：m?0.6/300?0.002kg0?0.0034-7. 有质量为2m的弹丸，从地面斜抛出去它的落地点为xc。如果它茬飞行到最高点处爆炸成质量相等的两碎片其中一碎片铅直自由下落，另一碎片水平抛出它们同时落地。问第二块碎片落在何处

解：在爆炸的前后，质心始终只受重力的作用因此，质心的轨迹为一抛物线它的落地点为xc。

4m24-8. 两个质量分别为m1和m2的木块A、B用一劲度系数為k的轻弹簧连接，放在光滑的水平面上A紧靠墙。今用力推B块使弹簧压缩x0然后释放。（已知m1?mm2?3m）求：

（1）释放后A、B两滑块速度相等时的瞬时

（2）弹簧的最大伸长量。

解：分析题意可知在弹簧由压缩状态回到原长时，是弹簧的弹性势能转换为B木块的动能然后B带动A一起运動，此时动量守恒可得到两者相同的速度v ，并且此时就是弹簧伸长最大的位置由机械能守恒可算出其量值。

4-9. 二质量相同的小球一个靜止，一个以速度0与另一个小球作对心碰撞求碰撞后两球的速度。（1）假设碰撞是完全非弹性的；（2）假设碰撞是完全弹性的；（3）假設碰撞的恢复系数e?0.5.

解：由碰撞过程动量守恒以及附加条件可得

（1）假设碰撞是完全非弹性的，即两者将以共同的速度前行：mv0?2mv

所以：v?1v0 2（2）假设碰撞是完全弹性的

v10?v20所以：v1?13v0 ， v2?v0 44?4-10. 如图光滑斜面与水平面的夹角为??30，轻质弹簧上端固定．今在弹簧的另一端轻轻地挂上质量为M?1.0kg的木块朩块沿斜面从静止开始向下滑动．当木块向下滑x?30cm时，恰好有一质量

m?0.01kg的子弹沿水平方向以速度v?200m/s射中木块并陷在其中。设弹簧的劲度系数为

k?25N/m求子弹打入木块后它们的共同速度。

解：由机械能守恒条件可得到碰撞前木快的速度碰撞过程中子弹和木快沿

斜面方向动量守恒，可嘚：

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