数列极限转化为函数极限和函数极限为什么不能转化

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-05-02 00:43 标签： 数列极限转化为函数极限

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导读极限是研究函数最基本的方法它描述的是当自变量变化时函数的变化趋势. 要由数列极限转化为函数极限的定义自然地过渡到函数极限的定义, 关键在于搞清楚数列也昰函数这一点. 数列可看作一个定义域为自然数集的函数, 其解析表达式为anfn. 关键词极限，数列函数极限概念是数学分析中最重要的概念， 如連续、 导数、积分等都要用极限来定义而且由极限出发产生的极限方法，是数学分析的最基本的方法.更好的理解极限思想掌握极限理論， 应用极限方法是继续学习数学分析的关键. 本文将主要阐述极限的概念、性质、方法等问题. 数列极限转化为函数极限的 ε-N 定义是极限理論的重点与核心. 数列极限转化为函数极限1．定义设有数列 {an} 与常数A如果对于任意给定的正数ε （不论它有多么小） ，总存在正整数 N 使得當nN时，不等式 |an-A|0则存在正整数N1，nN1时 an0；（ 5）保序性即若，且 AN1时 an0总存在着正数Χ，使得对于适合不等式|x| Χ的一切 x，对应的函数值fx都满足不等式 |fx-A|0使得 fx 在去心邻域内是有界的，当 x 趋于无穷大时 亦成立；（ 3）局部保号性若，则存在 δ10使得时， fx0 当 x 趋于无穷大时，亦成立；（ 4）局部保序性若 ，且 A0使得时fxN 时， bn≤ an≤cn；2 则数列 {an} 的极限存在且 . （2）函数极限的夹逼准则（以 x→x0 和 x→∞为例）如果1（或 |x|M ）时，有2（或）则（或）（3）一个重要不等式时，2．单调有界数列必有极限3．柯西（ Cauchy）极限存在准则数列 {an} 收敛的充分必要条件是对于任意给定的正数ε， 存在着这样的正整数N使得当 m ， nN时有 |xn-xm|N时，不等式 |an-A|0则存在正整数N1，nN1时 an0；（ 5）保序性 即若，且 AN1时 an0总存在着正数Χ，使得对于适合不等式|x| Χ的一切 x，对应的函数值fx都满足不等式|fx-A|0使得 fx在去心邻域内是有界的，当x 趋于无穷大时亦成立；（3）局部保号性若，则存在 δ 10使嘚时， fx0当 x 趋于无穷大时，亦成立；（4）局部保序性若 ，且 A0使得时fxN 时， bn≤ an≤cn；2 则数列 {an} 的极限存在且 . （2）函数极限的夹逼准则（以 x→x0 囷 x→∞为例）如果1（或 |x|M ）时，有2（或）则（或）（3）一个重要不等式时，2．单调有界数列必有极限3．柯西（ Cauchy）极限存在准则数列 {an} 收敛的充分必要条件是对于任意给定的正数ε， 存在着这样的正整数N使得当 m ， nN时有 |xn-xm| ε. 数列极限转化为函数极限与函数极限的联系数列可看作┅个定义域为自然数集的函数, 当自变量从小到大依次取自然数时, 便得到相应的一系列函数值, 其解析表达式为anfn ； 函数是连续的, 数列相当于一個函数中的一些独立的点，表现在图形上数列是无数的点而函数是一段曲线；把数列中的n 用 x 来替换后如果函数fx 存在极限则数列也必定有極限，但是反之不成立大全，函数 。数列 {an} 的极限一般都是指n 的变化使得极限值的产生而n 是一个正整数，函数的极限中自变量x 可以趋姠任何值由此可知函数的极限更广泛。计算极限的常用方法1. 利用洛必达法则三这是最常用的方法主要针对未定型极限注意与其他工具（无穷小代换、变量代换、不定式因子的分离、各种恒等变形、泰勒公式等）相结合. 2. 利用已知极限,,3. 利用泰勒公式4. 利用迫敛性5. 利用定积分求囷式极限6. 利用数列的递推关系计算极限7. 利用级数的收敛性计算极限8. 利用积分中值定理计算极限计算数列和函数极限的关键是综合运用各种計算极限的方法，并不断总结才能较好地掌握计算极限的方法.

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