如果f(x)在区间[a, b]上连续设x为[a,b]上的一點，考察下面的函数：
1.1 这个函数的变量只出现在积分上限所以叫变上限函数；同理，如果在下面则叫变下限函数；
1.2 从几何上来看，该函数表示区间[a,x]上曲边梯形的面积（如下图）
1.3 积分变限函数是一类重要的函数，它最著名的应用是在牛顿一莱布尼兹公式的证明中．事实仩积分变限函数是产生新函数的重要工具，尤其是它能表示非初等函数同时能将积分学问题转化为微分学问题。积分变限函数除了能拓展我们对函数概念的理解外在许多场合都有重要的应用。

【定理一】若函数f(x)在区间[a,b]上可积则积分变上限函数在[a,b]上连续。
【定理二】洳果函数f(x)在区间[ab]上连续，则积分变上限函数在[a,b]上具有导数并且导数为：
0 x0?为[a,b]上的任意一点；
（2），a可以为负无穷b可以为正无穷；
（3），此定理是变限积分的最重要的性质掌握此定理需要注意两点：第一，下限为常数上限为参变量x（不是含x的其他表达式）；第二，被积函数f(x)中只含积分变量t不含参变量x。

2.4 导数进一步推广
注：被积函数f(x)中只含积分变量t不含参变量x。

2.5 原函数存在定理
若函数f(x)在区间[a,b]上连續则积分变上限函数就是f(x)在[a,b]上的一个原函数。

3.1 利用变限积分求原函数
3.2 化积分问题为微分问题
3.3 用变限函数求定积分
3.4 变量替换是重要方法