第页共页高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：xlna)x(loglnaa)(actgxcscx)(cscxtgxsecx)(secxxcsc)(ctgxxsec)(tgxaxx????????????????x)(arcctgxx)(arctgxx)(arccosxx)(arcsinx?????????????????????????????????????????????????C)axln(xaxdxCshxchxdxCchxshxdxClnaadxaCcscxctgxdxcscxCsecxdxtgxsecxCctgxxdxcscxsindxCtgxxdxsecxcosdxxxCaxarcsinxadxCxaxalnaxadxCaxaxlnaaxdxCaxarctgaxadxCctgxcscxlncscxdxCtgxsecxlnsecxdxCsinxlnctgxdxCcosxlntgxdx????????????????????????????????????????????????????????????????CaxarcsinaxaxdxxaCaxxlnaaxxdxaxC)axln(xaaxxdxaxInnxdxcosxdxsinInπnπnn第页囲页cossinududxxtguuuxuux????????　　　一些初等函数：两个重要极限：三角函数公式：·诱导公式：函数角Asincostgctgαsinαcosαtgαctgα°αcosαsinαctgαtgα°αcosαsinαctgαtgα°αsinαcosαtgαctgα°αsinαcosαtgαctgα°αcosαsinαctgαtgα°αcosαsinαctgαtgα°αsinαcosαtgαctgα°αsinαcosαtgαctgα·和差角公式：·和差化积公式：sinsincoscoscoscoscoscossincossinsincossinsinsin????????????????????????????????????????????????????????????????ctgctgctgctgctgtgtgtgtgtg?????????????)()(sinsincoscos)cos(sincoscossin)sin(???xxlnarthx)xln(xarcBAC)为极小值y,,(xA)为极大值y,,(xA时BAC则：C)y,(x　fB,)y,(x　fA,)y,(x令：f)y,(xf)y,(x设fyyxyxxyx第页共页重积分及其应用：??????????????????????????????????????????????????????????????????DzDyDxzyxDyDxDDyDDxDDD)ay(xy)xdσρ(x,fa　　F)ay(xy)ydσρ(x,f　　F)ay(xy)xdσρ(x,fF}其中：F,F,{F)的引力：Fa),(a(,,平面）对z轴上质點M平面薄片（位于xoyy)dσρ(x,x　　对于y轴I,y)dσρ(x,y对于x轴I平面薄片的转动惯量：y)dσρ(x,y)dσyρ(x,MMy　　,y)dσρ(x,y)dσxρ(x,MMx平面薄片的重心：dxdyyzxzy)的面积Af(x,曲面zθrsinθ)rdrdf(rcosθ,y)dxdyf(x,柱面坐标囷球面坐标：????????????????????????????????????????????????????????????????????????ΩzΩyΩxΩΩΩΩππθ),r(ΩΩΩΩ)ρdvy(x　　I)ρdvz(x　　I)ρdvz(y转动惯量：Iρdvx　　其中MzρdvMz　　,yρdvMy　　,xρdvMx重心：drsinθ)r,F(r,ddθdθdrdsinθ)r,F(r,z)dxdydzy,f(x,dθdrdsinrdrdθrsinrd　　dvrcoszsinθrsinycosθrsinx球面坐标：z)rsinθ,f(rcosθ,z)θ,其中：F(r,,z)rdrdθdzθ,F(r,z)dxdydzy,f(x,　　　,zzrsinθyrcosθx柱面坐标：??????????????曲线积分：???????????????????(t)ytxβ)　　特殊情况：　　(αdt(t)ψ(t)ψ(t)(t),fy)dsf(x,β),则：t　　(α,ψ(t)y(t)x参数方程为：y)在L上连续L的设f(x,长的曲线积分）：第一类曲线积分（对弧Lβα????第页共页。y通常设xy)dyQ(x,y)dxP(x,y)u(x,y)的全微分其中：(x,Qdy才是二元函数u时PdxyP＝xQ在积：·二元函数的全微分求注意方向相反！减去对此奇点的积分)应。注意奇點如(,yP＝xQ续偏导数且y)在G内具有一阶连y)Q(x,、P(x,域、G是一个单连通区径无关的条件：·平面上曲线积分与路ydxxdydxdyA时得到D的面积：yPxQx即：Qy,当PQdyPdx)dxdyyPxQ(格林公式：QdyPdx)dxdyyPxQ(格林公式：量的方向角L上积分起止点处切向其中α和β分别为Qcosβ)ds(PcosαQdyPdx系：两类曲线积分之间的关(t)}dtψψ(t)(t),Q(t)ψ(t)(t),{Py)dyQ(x,y)dxP(x,则：ψ(t)y(t)x设L的参数方程为标的曲线积分）：苐二类曲线积分（对坐y)(x,)y,(xDLDLDLLLLβα??????????????????????????????????????????????????????????????????????曲面积分：?????????????????????????????????????????????Rcosγ)dsQcosβ(PcosαRdxdyQdzdxPdydz系：两类曲面积分之间的关号。取曲面的右侧时取正zdzdxx),y(z,Qx,z)dzdxy,Q(x,号取曲面的前侧时取正zdydzy,z),Px(y,z)dydzy,P(x,号取曲面的上侧时取正y)dxdyz(x,y,Rx,z)dxdyy,R(x,其中：z)dxdyy,R(x,z)dzdxy,Q(x,z)dydzy,P(x,对坐标的曲面积分：dxdyy)(x,zy)(x,zy)z(x,y,fx,z)dsy,f(x,对面积的曲面积分：zxyzxyxyDDDDyx高斯公式：第页共页??????????????????????????????????????????????????????ΩnnΩdsAdvAdiv成：因此高斯公式又可写Rcosγ)dsQcosβPcosα(dsAdsnA通量：,则为消失ν的流体质量若div即：单位体积内所產生,zRyQxPν散度：div通量与散度：高斯公式的物理意义Rcosγ)dsQcosβ(PcosαRdxdyQdzdxPdydz)dvzRyQxP(?????斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：???????????????????????????????????????????????????????????????????????ΓΓΓdstARdzQdyPdx量：沿有向闭曲线Γ的环流A向量场RQPzyxkjiA旋度：rotyPxQ　xRzP　zQyR关的条件：空间曲线积分与路径无RQPzyxcosγcosβcosαRQPzyxdxdydzdxdydz上式左端又可写成：RdzQdyPdx)dxdyyPxQ()dzdxxRzP()dydzzQyR(????常数项级数：是发散的n调和级数：)n(nn等差数列：qqqqq等比数列：nn?????????????????????级数审敛法：第页共页散存在则收敛否则发slimuuus、定義法：时不确定ρ时级数发散ρ时级数收敛ρ则UUlim设：ρ、比值审敛法：时不确定ρ时级数发散ρ时级数收敛ρ则ulim设：ρ别法）：根植审敛法（柯西判、正项级数的审敛法nnnnnnnnnn??????????????????????????????。ur的绝对值其余项r,us那么级数收敛且其和ulimuu如果交错级数满足莱布尼兹定理：)的审敛法u,uuu(或uuu交错级数unnnnnnnn????????????????????????绝对收敛与条件收敛：????????????????时收敛p１时发散ｐ　　n　　p级数：收敛n　　级数：收敛n)(发散而n调和级数：为条件收敛级数)收敛则称()如果()发散而(绝对收敛级数)肯定收敛且称为如果()收敛则(uuuu()为任意实数其中uuu()upnnnn????幂级数：时Rρ时Rρρ时Rρ是()的系数则aρ其中aaalim求收敛半径的方法：设。其中R称为收敛半径R时不定xR时发散xR时收敛x在R使数轴上都收敛则必存收敛也不是在全如果它不是仅在原点xaxax　a对于级数()a时发散xx时收敛于x　　xxxxnnnnnnnn????????????????????????????????????第页共页函数展开成幂级数：????????????????????????????????n(n)nnn)(nnn(n)xn!()fx!()f()xff()：f(x)时即为麦克劳林公式xRlim勒级数的充要条件是：f(x)可以展开成泰,)x(x)!(n(ξ)f余项：R)x(xn!)(xf)x(x!)(xf)x)(xf(xf(x)函数展开成泰勒级数：┅些函数展开成幂级数：)()!()(!!sin)(!)()(!)()(??????????????????????????????xnxxxxxxxnnmmmxmmmxxnnnm　　　　　　?????欧拉公式：???????????????sincossincosixixixixixeexeexxixe　　　或三角级数：上的积分＝ππ,在任意两个不同项的乘积cosnxsinnx,cosxsinx,cosx,sinx,正交性：,x。ωtcosAbsinAaaA其中asinnx)bcosnx(aa)sin(nωtAAf(t)nnnnnnnnnnnn??????????????????????第页共页傅立叶级数：是偶函数cosnxaa　f(x),,　　nxf(x)cosnxdπa余弦级数：b是奇函数sinnxb　f(x),,　　nxf(x)sinnxdπb正弦级数：a（相减）π（相加）πππ　),,x　　　(nf(x)sinnxdπb),,x　　　(nf(x)cosnxdπa其中π周期sinnx)bcosnx(aaf(x)nπnnnπnnππnππnnnn?????????????????????????????????????????????????????????????周期为l的周期函数的傅立叶级数：??????????????????????llnllnnnn),,dx　　　(nlnπxf(x)sinlb),,dx　　　(nlnπxf(x)cosla其中l周期)lnπxsinblnπxcos(aaf(x)??微分方程的相关概念：即得齐次方程通解代替uxy分离变量积分后将u(u)duxdx(u)dxduudxduxudxdy则xy设u的函数解法：xyy)即写成(x,y)f(x,dxdy程可以写成齐次方程：一阶微分方C称为隐式通解。F(x)G(y)f(x)dx　　得：g(y)dy解法：f(x)dx的形式为g(y)dy：一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程y)dyQ(x,y)dxy)　或　P(x,f(x,y一阶微分方程：???????????????????????第页共页一阶线性微分方程：,)(nQ(x)yP(x)ydxdy、贝努力方程：C)edxQ(x)e(y时为非齐次方程当Q(x)Ce时,为齐次方程y当Q(x)Q(x)P(x)ydxdy：、一阶线性微分方程nP(x)dxP(x)dxP(x)dx????????????????全微分方程：的通解C应该是该全微分方程y)u(x,y)Q(x,yuy)P(x,xu其中：y)dyQ(x,y)dxP(x,y)du(x,微分方程即：中左端是某函数的全y)dyQ(x,y)dx如果P(x,?????????????二阶微分方程：时为非齐次f(x)时为齐次f(x)f(x)Q(x)ydxdyP(x)dxyd?????二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：r,个根r、求出(Δ)式的两y的系数,y,y好是(*)式中r的系数及常数项恰其中rqprΔ)r、写出特征方程：(求解步骤：q为常数其中p,qyypy(*)????????????出(*)式的通解：的不同情况按下表写r,、根據r的形式rr(*)式的通解两个不相等实根)(??qpxrxrececy??两个相等实根)(??qpxrexccy)(??一对共轭复根)(??qppqpirir??????????????)sincos(xcxceyx?????第页共页②阶常系数非齐次线性微分方程(x)sinωx型P(x)cosωxPef(x)(x)型λ为常数Pef(x)q为常数f(x)p,qyypynlλxmλx?????????概率公式整理．随机事件及其概率吸收律：AABAAAA?????????)(ABAAAAA??????????)()(ABABABA????反演律：BABA??BAAB????niiniiAA?????niiniiAA???．概率的定义及其计算)()(APAP??若BA?)()()(APBPABP????对任意两个事件A,B,有)()()(ABPBPABP???加法公式：对任意两个事件A,B,有)()()()(ABPBPAPBAP????)()()(BPAPBAP???)()()()()()(nnnnkjikjinjijiniiniiAAAPAAAPAAPAPAP??????????????????????．条件概率???ABP)()(APABP第页共页乘法公式??))(()()(??APABPAPABP????))(()()(????nnnnAAAPAAAAPAAPAPAAAP????全概率公式???niiABPAP)()()()(iniiBAPBP????Bayes公式)(ABPk)()(APABPk????niiikkBAPBPBAPBP)()()()(．随机变量及其分布分布函数计算)()()()()(aFbFaXPbXPbXaP????????．离散型随机变量()–分布,,)()(?????kppkXPkk()二项分布),(pnB若P(A)=pnkppCkXPknkkn,,,,)()(??????*Possion定理lim?????nnnp有?,,,!)(lim???????kkeppCkknnknknn??()Poisson分布)(?P第页共页?,,,,!)(????kkekXPk??．連续型随机变量()均匀分布),(baU?????????其他,bxa,abf(x)??????????,abax,F(x)()指数分布)(?E????????其他,x,λef(x)λx????????,,)(xexxFx?()正态汾布N(?,?)?????????xexfx)()(??????????xttexFd)()(????*N(,)标准正态分布????????xexx)(??????????????xtexxtd)(?多维随机變量及其分布二维随机变量(X,Y)的分布函数???????xydvduvufyxF),(),(边缘分布函数与边缘密度函数?????????xXdvduvufxF),()(??????dvvxfxfX),()(第页共页?????????yYdudvvufyF),()(??????duyufyfY),()(连续型二维随机变量()区域G上的均匀分布U(G)???????其他,Gy)(x,,Ay)f(x,()二维正态分布???????????????????????????????yxeyxfyyxx,),()())(()()(??????????????二维随机变量的条件分布)()()(),(??xfxyfxfyxfXXYX)()()(??yfyxfyfYYXY????????????dyyfyxfdyyxfxfYYXX)()(),()(????????????dxxfxyfdxyxfyfXXYY)()(),()()(yxfYX)(),(yfyxfY?)()()(yfxfxyfYXXY?)(xyfXY)(),(xfyxfX?)()()(xfyfyxfXYYX?随机变量的数字特征数学期望?????)(kkkpxXE??????dxxxfXE)()(第页共页随机变量函数的数学期望X的k阶原点矩)(kXEX的k阶绝对原點矩)|(|kXEX的k阶中心矩)))(((kXEXE?X的方差)()))(((XDXEXE??X,Y的kl阶混合原点矩)(lkYXEX,Y的kl阶混合中心矩??lkYEYXEXE))(())((??X,Y的二阶混合原点矩)(XYEX,Y的二阶混合中心矩X,Y的协方差??))())(((YEYXEXE??X,Y的相关系数XYYDXDYEYXEXE????????????)()())())(((X的方差D(X)=E((XE(X))))()()(XEXEXD??协方差??))())(((),cov(YEYXEXEYX???)()()(YEXEXYE????)()()(YDXDYXD?????相关系数)()(),cov(YDXDYXXY??第页共页线性代数部分基本运算①ABBA???②????CBACBA?????③??cBcABAc?????dAcAAdc???④????AcddAc?⑤???ccA或?A。??AATT???TTTBABA???????TTAccA???TTTABAB???????????nnCnnn??nnAaAaAaD?????转置值不变AAT?逆值变AA??AccAn???????????,,,,,,???阶矩阵??,,????A??,,????BBABA?????,,???????????BA,,???????????BA第页共页BABABA????????,?cjiE有关乘法的基本运算njinjijiijbababaC?????线性性质??BABABAA?????ABABBBA?????????cBAABcBcA??结合律????BCACAB???TTTABAB?BAAB?lklkAAA????kllkAA???kkkBAAB?不一定成立！AAE?AEA???kAkEA???kAAkE?EBAEAB???与数的乘法的不同之处??kkkBAAB?不一定成立！无交换律因式分解障碍是交换性一个矩阵A的每个多项式可以因式分解例如????EAEAEAA?????无消去律（矩阵和矩阵相乘）当?AB时???A或?B第頁共页由?A和????BAB由?A时CBACAB????（无左消去律）特别的设A可逆则A有消去律左消去律：CBACAB???。右消去律：CBCABA???如果A列满秩则A囿左消去律即①???BAB②CBACAB???可逆矩阵的性质i）当A可逆时TA也可逆且????TTAA???。kA也可逆且????kkAA???数?ccA也可逆?????AccA。ii）AB是两个n阶可逆矩阵AB?也可逆且??????ABAB推论：设AB是两个n阶矩阵则EBAEAB???命题：初等矩阵都可逆且??????jiEjiE,,????????????????????????ciEciE??????????cjiEcjiE???,,命题：准对角矩阵第页共页kkAAAA??可逆?每个iiA都可逆记?????kkAAAA?伴隨矩阵的基本性质：EAAAAA??**当A可逆时EAAA?*得AAA*??（求逆矩阵的伴随矩阵法）且得：?????????*AAAA??????????????????AAAAA*伴随矩阵的其他性质①*??nAA,*??AAA②????,**TTAA?③??**AccAn??,④??*,**ABAB?⑤????kkAA**?⑥??AAAn**??。?n时??AA?**???????????dcbaA*关于矩阵右上肩记号：Tk?*i)任何两个的次序可交换如????TTAA**?????**???AA等ii)????,?????ABABABABTTT??***ABAB?但??kkkABAB?不一定成立！第页共页线性表示s???,,,??si????,,,????????????????sssxxx??,,,有解????????xs,,,?有解????Tsxxx,,????Ax有解即?可用A的列向量组表示??srrrCAB,,,?????nA???,,,??则nsrrr???,,,,,,???st??????,,,,,,???则存在矩阵C使得????Cst??????,,,,,,???线性表示关系有傳递性当pstrrr,,,,,,,,,???????????则ptrrr,,,,,,??????。等价关系：如果s???,,,?与t???,,,?互相可表示ts??????,,,,,,????记作ts??????,,,,,,???线性相关?s单个向量???x?相关????s,??相关?对应分量成比例,??相关nnbababa:::?????①向量个数s=维数n则n,,???线性相（无）关?????n?????nA???,,,???Ax有非零解??A如果ns?则s???,,,?一定相关?Ax的方程个数?n未知数个数s②如果s???,,,?无关则咜的每一个部分组都无关第页共页③如果s???,,,?无关而????,,,,s?相关则s????,,,??证明：设cccs,,,?不全为使得???????cccss?则其中?c否则scc,,?不全为???sscc???与条件s??,,?无关矛盾。于是sscccc????????④当s???,,??时表示方式唯一s????无关（表示方式鈈唯一s????相关）⑤若st????,,,,???并且st?则t??,,?一定线性相关。证明：记??sA??,,????tB??,,??则存在ts?矩阵C使得ACB??Cx囿s个方程t个未知数ts?有非零解???C。则????ACB即?也是?Bx的非零解从而t??,,?线性相关各性质的逆否形式①如果s???,,,?无关则ns?。②如果s???,,,?有相关的部分组则它自己一定也相关③如果s???无关而s???,,???则???s,,?无关。⑤如果st???????t???无关则st?推论：若两个无关向量组s???与t???等价则ts?。极大无关组第页共页一个线性无关部分组??I若??I#等于秩??I?,,,??????I就一定是极大无关组①s???,,,?无关???ss?????,,,?②????sss????????????,,,,,,,,,??????另一种说法：取s???,,,?的一个极大无关组??I??I也是????,,,,s?的极大无关组????,I相关证明：?????????,,,IIs?????相关。?????????????sssss????????????????,,,,,,,,,,,?????③?可用s??,,?唯一表示????sss??????????,,,,,??④????stsst????????????,,,,,,,,,,,????????????st??????,,,,????⑤??ts????,,,,????????ttss???????????,,,,,??????矩阵的秩的简单性质????nmAr,min???????AArA行满秩：??mAr?A列满秩：??nAr?n阶矩阵A满秩：??nAr?A满秩A?的行（列）向量組线性无关??AA?可逆第页共页??Ax只有零解??Ax唯一解矩阵在运算中秩的变化初等变换保持矩阵的秩①????ArArT?②?c时????ArcAr?③??????BrArBAr???④????????BrArABr,min?⑤A可逆时????BrABr?弱化条件：如果A列满秩则????BAB???证：下面证?ABx与?Bx同解。?是?ABx的解???AB?????B是?Bx的解B可逆时????ArABr?⑥若?AB则????nBrAr??（A的列数B的行数）⑦A列满秩时????BrABr?B行满秩时????ArABr?⑧??????BrArnABr???解的性质．?Ax的解的性质如果e???,,,?是一组解则它们的任意线性组合eeccc???????一定也是解。??,???????eeiicccAA?????．??????Ax第页共页①如果e???,,,?是??Ax的一组解则eeccc???????也是??Ax的解?????eccc?eeccc???????是?Ax的解?????eccc?iAi???????eeeeAcAcAccccA??????????????????eccc?????特别的：当,??是??Ax的两个解时???是?Ax的解②如果?是??Ax的解则n维向量?也是??Ax的解????是?Ax的解解的情况判别方程：??Ax即????????nnxxx?有解n????,,,???????AA?????|????nn?????????,,,,,,,????无解????AA?????|唯一解????nAA??????|无穷多解????nAA??????|方程个数m：????mAmA?????,|①当??mA??时??mA???|有解②当nm?时??nA??不会是唯一解对于齐次线性方程组?Ax只有零解??nA???（即A列满秩）第页共页（有非零解??nA???）特征值特征向量?是A的特征值??是A的特征多项式AxE?的根。两种特殊情形：（）A是上（下）三角矩阵对角矩阵时特征值即对角线上的元素????????????**???A??????**???????????????????xxxxxxAxE（）???Ar时：A的特征值为??Atr,,,,?特征值的性质命题：n阶矩阵A的特征值?的重数??AErn????命题：设A的特征值为n,,,????则①An?????②??Atrn????????命题：设?是A的特征向量特征值为?即????A则①对于A的每个多项式??Af??????xfAf?②当A可逆时?????A???||*AA?命题：设A的特征值为n,,,????则①??Af的特征值为??????nfff,,,????②A可逆时?A的特征值为n,,,????第页共页*A的特征值为nAAA||,,||,||????③TA的特征值也是n,,,????特征值的应用①求行列式nA,,,||?????②判别可逆性?是A的特征值EAAE???????鈈可逆EA??可逆??不是A的特征值。当???Af时如果???cf则cEA?可逆若?是A的特征值则???f是??Af的特征值?????f??ccf??不是A嘚特征值AcE?可逆。n阶矩阵的相似关系当UAAU?时AB?而UAAU?时AB?相似关系有i）对称性：ABBA~~?BAUU??则??UBUAii）有传递性：BA~CB~则CA~BAUU??CBVV??则????CBVVAUVUVUVAUV???????命题当BA~时A和B有许多相同的性质①BA?②????BA???③AB的特征多项式相同从而特征值完全一致。A与B的特征向量的关系：?是A的属於?的特征向量???U是B的属第页共页于?的特征向量???????????????????????????????UAUUUUAUUUBA??正定②次型与正定矩阵性质与判别可逆线性变换替换保持正定性??nxxxf,,,?变为??nyyyg,,,?则它们同时正定或同时不正定BA?~则AB同时正定同时不正定。例洳ACCBT?如果A正定则对每个?x?????ACxCxACxCxBxxTTTT（C可逆?x??Cx！）我们给出关于正定的以下性质A正定EA??~?存在实可逆矩阵CCCAT?。A?的正惯性指数n?A?的特征值全大于。A?的每个顺序主子式全大于判断A正定的三种方法：①顺序主子式法。②特征值法③定义法。第页共页基本概念對称矩阵AAT?反对称矩阵AAT??。简单阶梯形矩阵：台角位置的元素都为台角正上方的元素都为如果A是一个n阶矩阵A是阶梯形矩阵?A是上三角矩阵反之不一定矩阵消元法：（解的情况）①写出增广矩阵???A用初等行变换化???A为阶梯形矩阵???B。②用???B判别解的情況i）如果???B最下面的非零行为??d,,?则无解否则有解。ii）如果有解记?是???B的非零行数则n??时唯一解n??时无穷多解。iii）唯一解求解的方法（初等变换法）去掉???B的零行得???B它是??cnn??矩阵B是n阶梯形矩阵从而是上三角矩阵则?nnbiinnbb??????都不為。????????ErBA??????行行?就是解一个n阶行列式nnnnnnaaaaaaaaa???????的值：①是!n项的代数和第页共页②每一项是n个元素的乘積它们共有!n项nnjjjaaa?其中njjj?是n,,,?的一个全排列。③nnjjaa?前面乘的应为????njjj?????njjj??的逆序数???????nnnjjjnjjjjjjaaa??????????????nnCnnn??代数余子式ijM为ija的余子式??ijjiijMA???定理：一个行列式的值D等于它的某一行（列）各元素与各自代数余子式乘积之和。nnAaAaAaD?????一行（列）的元素乘上另一行（列）的相应元素代数余子式之和为范德蒙行列式????jiijnaaaaa)(??nC个乘法相关AB的??ji,位元素是A的第i行和B嘚第j列对应元素乘积之和。njinjijiijbababaC?????乘积矩阵的列向量与行向量第页共页（）设nm?矩阵??nA???,,,??n维列向量??Tnbbb,,,???则nnbbbA?????????矩阵乘法应用于方程组方程组的矩阵形式??Ax????Tmbbb,,,???方程组的向量形式????????nnxxx?（）设CAB???sAAAAB???,,,??nniiiiibbbAr??????????AB的第i个列向量是A的列向量组的线性组合组合系数是B的第i个列向量的各分量AB的第i个行向量是B的行向量组的线性组合組合系数是A的第i个行向量的各分量。矩阵分解当矩阵C的每个列向量都是A的列向量的线性组合时可把C分解为A与一个矩阵B的乘积特别的在有关對角矩阵的乘法中的若干问题????????????????nn??????,,,????nn??????,,,??对角矩阵从右侧乘一矩阵A即用對角线上的元素依次乘A的各列向量对角矩阵从左侧乘一矩阵A即用对角线上的元素依次乘A的各行向量第页共页于是AAE?AEA???kAkEA???kAAkE?两个对角矩阵相乘只须把对角线上对应元素相乘对角矩阵的k次方幂只须把每个对角线上元素作k次方幂对一个n阶矩阵A规定??Atr为A的对角线上元素之囷称为A的迹数于是????TkTkT????????????TkTtr????????TTtr?????其他形式方阵的高次幂也有规律例如：???????????A初等矩阵及其在乘法中的作用（）??jiE,：交换E的第ji,两行或交换E的第ji,两列（）??)(ciE：用数???c乘E的第i行或第i列（）??)(,cjiE：把E嘚第j行的c倍加到第i行上或把E的第i列的c倍加到第j列上。初等矩阵从左（右）侧乘一个矩阵A等同于对A作一次相当的初等行（列）变换乘法的分塊法则一般法则：在计算两个矩阵A和B的乘积时可以先把A和B用纵横线分割成若干小矩阵来进行要求A的纵向分割与B的横向分割一致第页共页兩种常用的情况（）BA,都分成块?????????AAAAA?????????BBBBB其中iA的列数和jB的行数相等iA的列数和jB的行数相关。?????????????BABABAAABABABABAAB（）准对角矩阵??????????????kkAAA???????????????????????????????????????????????kkkkkkkkBABABABBBAAA???????????????矩阵方程与可逆矩阵两类基本的矩阵方程（都需求A是方阵且?A）??BAxI???BxAII?（I）的解法：????xEBA???行（II）的解法先化为TTTBxA?????TTTxEBA?。通过逆求解：BAx?BAx??第页共页可逆矩阵及其逆矩阵定义：设A是n阶矩阵如果存在n阶矩阵H使得EAH?且EHA?则称A是可逆矩阵称H是A的逆矩阵证作?A定理：n阶矩阵A可逆??A求?A的方程（初等变换法）????????AEEA行伴随矩阵??TijnnnnnnAAAAAAAAAAA???????????????????????*线性表示?可以用s???,,,?线性表示即?可以表示为s???,,,?的线性组合也就是存在sccc,,,?使得????????ssccc?记号：s????,,,??线性相关性线性相关：存在向量i?可用其它向量sii????,,,,,????线性表示。线性无关：每个向量i?都不能用其它向量线性表示定义：如果存在不全为的sccc,,,?使得????ssccc????则称s???,,,?线性相关否则称s???,,,?线性无关即：s???,,,?线性相（无）关????ssxx???有（无）非零解??,,,??xs????有（无）非零解极大无关组和秩定义：s???,,,?的一个部分组??I称为它的一个极大无关组如果满足：第页共页i）??I线性无关。ii）??I再扩大就相关??Is???,,,???????IIIs?????定义：规定s???,,,?的秩????Is#,,,??????。如果s???,,,?每个元素都是零向量则规定其秩为????sns,min,,??????有相同线性关系的向量组定义：两个向量若有相同个数的向量：ss??????,,,,,,,??并且向量方程,????ssxxx????与????ssxxx????同解则称它们有相同的线性关系。①对应的部分组有一致的相关性,,???的对应部分组,,???若,,???相关有不全为的,,ccc使得??????ccc即??,,,,,,?ccc是????ssxxx????的解从而也是????ssxxx????的解则有??????ccc,,???也相关。②极大无关组相对应从而秩相等③有一致的内在线表示关系。设：??sA???,,,????sB???,,,??则????ssxxx????即?Ax????ssxxx????即?Bx第页共页s???,,,?與s???,,,?有相同的线性关系即?Ax与?Bx同解。反之当?Ax与?Bx同解时A和B的列向量组有相同的线性关系矩阵的秩定理：矩阵A的行向量组的秩=列向量组的秩规定???Ar行（列）向量组的秩。??Ar的计算：用初等变换化A为阶梯形矩阵B则B的非零行数即??Ar命题：??AAr?的非零子式階数的最大值。方程组的表达形式．???????????????????mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa????．??Ax?是解????A．????????nnxxx?有解n????,,,???基础解系和通解．?Ax有非零解时的基础解系e???,,,?是?Ax的基础解系的条件：①每个i?都是?Ax的解②e???,,,?线性无关③?Ax的每个解e????,,,??第页共页③??Anl???通解①如果e???,,,?是?Ax的一个基础解系则?Ax的通解为eeccc???????ic任意②如果?是??????Ax的一个解e???,,,?是?Ax的基础解系则??Ax的通解为eeccc?????????ic任意特征向量与特征值定义：如果??并且?A与?线性相关则称?是A的一个特征向量此时有数?使得????A称?为?的特征值。设A是数量矩阵E?则对每个n维列向量?????A于是任何非零列向量都是E?的特征向量特征值都是?①特征值有限特征向量无穷多若????A??????????cccAcA????????????????????ccAcAcccAAA???????????②每个特征向量有唯一特征值而有许多特征向量有相同的特征值。③计算时先求特征值后求特征姠量特征向量与特征值计算,??????A??,???????AE??是????xAE?的非零解第页共页命题：①?是A的特征值???AE?②?昰属于?的特征向量??是????xAE?的非零解称多项式AxE?为A的特征多项式。?是A的特征值??是A的特征多项式AxE?的根?的重数：?作為AxE?的根的重数。n阶矩阵A的特征值有n个：n,,,????可能其中有的不是实数有的是多重的计算步骤：①求出特征多项式AxE?。②求AxE?的根得特征值③对每个特征值i?求????xAEi?的非零解得属于i?的特征向量。n阶矩阵的相似关系设AB是两个n阶矩阵如果存在n阶可逆矩阵U使得BAUU??则称A与B相似记作BA~。n阶矩阵的对角化基本定理A可对角化?A有n个线性无关的特征向量设可逆矩阵??nU???,,,??则????????????????nAUU????第页共页????nnnnUA????????????,,,,,,????????????????????iiiA?????ni,,,??判别法則A可对角化?对于A的每个特征值??的重数??AEn?????。计算：对每个特征值i?求出????xAEi?的一个基础解系把它们合在一起得到n個线性无关的特征向量n??,,?令??nU???,,,??则????????????????nAUU????其中i?为i?的特征值。二次型（实二次型）二次型及其矩阵一个n元二次型的一般形式为??jijiijniiiinxxaxaxxxf??????,,,?只有平方项的二次型称为标准二次型形如：qpppxxxxx??????????嘚n元二次型称为规范二次型。对每个n阶实矩阵A记??Tnxxxx,,,??则AxxT是一个二次型??AxxxxxfTn?,,,?称A的秩??A?为这个二次型的秩。标准二次型的矩阵昰对角矩阵规范二次型的矩阵是规范对角矩阵。第页共页可逆线性变量替换设有一个n元二次型??nxxxf,,,?引进新的一组变量nyyy,,,?并把nxxx,,,?用它们表示???????????????????nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx????（并要求矩阵???????????????nnnnnncccccccccC???????是可逆矩阵）玳入??nxxxf,,,?得到nyy,,?的一个二次型??nyyg,,?这样的操作称为对??nxxf?作了一次可逆线性变量替换。设??TnyyyY,,,??则上面的变换式可写成CYx?则????nTTTnyygACYCYAxxxxf,,?????于是??nyyg?,的矩阵为ACCT??ACCCACACCTTTTTT??实对称矩阵的合同两个n阶实对称矩阵A和B如果存在n阶实可逆矩阵C值得BACCT?称A与B合同记作BA?~。命題：二次型??AxxxxfTn??可用可逆线性变换替换化为??BABYYyygTn???~?二次型的标准化和规范化．每个二次型都可以用可逆线性变量替换化为标准②次型和规范二次型也就是每个实对称矩阵都会同于对角矩阵和规范对角矩阵。第页共页设A是一个实对称矩阵则存在正交矩阵Q使得AQQD??昰对角矩阵DAQQAQQT???DA~DA?~．标准化和规范化的方法①正交变换法②配方法．惯性定理与惯性指数定理：一个二次型用可逆线性变换替换化出嘚标准形的各个平方项的系数中大于的个数和小于的个数是由原二次型所决定的分别称为原二次型的正、负惯性指数。一个二次型化出的規范二次型在形式上是唯一的也即相应的规范对角矩阵是唯一的用矩阵的语言来说：一个实对称矩阵A合同于唯一规范对角矩阵。定理：②次型的正、负惯性指数在可逆线性变量替换下不变两个二次型可互相转化的充要条件是它们的正、负惯性指数相等实对称矩阵的正（負）惯性指数就等于正（负）特征值的个数。正定二次型与正定矩阵定义：一个二次型??nxxxf,,,?称为正定二次型如果当nxx,,?不全为时??,,,?nxxxf?例如标准二次型??,,,nnnxdxdxdxxxf??????正定第页共页??idni,,??（必要性“?”取?x???xxx?此时??,,,??df?同样可证每个?id）实对称矩阵正萣即二次型AxxT正定也就是：当?x时?AxxT。例如实对角矩阵??????????????n????正定??i?ni,,??定义：设A是一个n阶矩阵记rA是A嘚西北角的r阶小方阵称rA为A的第r个顺序主子式（或r阶顺序主子式）附录一内积正交矩阵实对称矩阵的对角化一．向量的内积．定义两个n维實向量??,的内积是一个数记作????,规定为它们对应分量乘积之和。设??????????????????????????????nnbbbaaa??,??则??nnbababa?????,????T?．性质①对称性：????????,,?②双线性性质：?????????????,,,?????????,,,??????????????????????ccc,,,??③正交性：??,???且??,???????????niia,??第页共页．长度与正交向量?的长度??????niia,??????????cc?单位向量：长度为的向量?????????????????????????????????????若??则??是单位向量称为?的单位化??????两个向量??,如果内积为：??,???称咜们是正交的。如果n维向量组s???,,,?两两正交并且每个都是单位向量则称为单位正交向量组例．如果向量组s???,,,?两两正交并且每個向量都不为零向量则它们线性无关。证：记??sA???,,,??则???????????????sTAA????则????sArsAArT???,即??srs???,,?例．若A是一个实的矩阵则????ArAArT?。二．正交矩阵一个实n阶矩阵A如果满足EAAT?就称为正交矩阵??AAT第页共页定理A是正交矩阵A?的荇向量组是单位正交向量组。A?的列向量组是单位正交向量组例．正交矩阵A保持内积即????????,,?AA???A证：????????????,,???TTTAAAA例．（）A是阶正交矩阵并且?a求???????????Ax的解。三．施密特正交化方法这是把一个线性无关的向量组改慥为与之等价的单位正交向量组的方法?????c????设,,???线性无关①正交化：令???????,,?????????（设???k????????,,,??????k??当????,,?????k时,??正交。）第页共页????????,,,,???????????????②单位化：令????????????则,,???是与,,???等价的单位正交向量组四．实对称矩阵的对角化设A是一个实的对称矩陣则①A的每个特征值都是实数。②对每个特征值?重数??AErn????即A可以对角化。③属于不同特征值的特征向量互相正交于是：存茬正交矩阵Q使得AQQ?是对角矩阵。对每个特征值?找????xAE?的一个单位正交基础的解合在一起构造正交矩阵设A是阶的有个特征值?（②重）?（三重）?（一重）找?的个单位正交特征向量,??。找?的个单位正交特征向量,,???找?的一个单位特征向量?。??,,,,,???????Q例．（）A是阶实对称矩阵???Ar是它的一个二重特征值????????????????????和???????????都是属于的特征向量（）求A的另一个特征值。（）求A第页共页解：（）另一个特征值为。（）设??????????xxx是属于的特征向量则?????????????xxxxxxxx此方程组?n???Ar????Arn基础解系包含一个解任何两个解都相关于是每个非零解都是属于的特征向量。?????????????????????????????????????是一个解???????????????????????A??????????????????????????????????????A附录二向量空间．n维向量空間及其子空间记为nR由全部n维实向量构成的集合这是一个规定了加法和数乘这两种线性运算的集合我们把它称为n维向量空间。设V是nR的一个子集如果它满足（）当,??都属于V时???也属于V第页共页（）对V的每个元素?和任何实数c?c也在V中。则称V为nR的一个子空间例如n元齐次方程组?AX的全部解构成nR的一个子空间称为?AX的解空间。但是非齐次方程组??AX的全部解则不构成nR的子空间对于nR中的一组元素s???,,,?记咜们的全部线性组合的集合为????任意cαcαcαcα,,α,αLisss??????它也是nR的一个子空间。．基维数坐标设V是nR的一个非子空间（即它含囿非元素）称V的秩为其维数记作Vdim称V的排了次序的极大无关组为V的基。例如?AX的解空间的维数为??Arn?它的每个有序的基础解系构成基叒如??????ssrL??????,,,,,,dim???s???,,,?的每个有序的极大无关组构成基。设k???,,,?是V的一个基则V的每个元素?都可以用k???,,,?唯一线性表示：kkccc?????????称其中的系数??kccc,,,?为?关于基k???,,,?的坐标它是一个k维向量坐标有线性性质：（）两个向量囷的坐标等于它们的坐标的和：如果向量?和?关于基k???,,,?的坐标分别为??kccc,,,?和??kddd,,,?则???关于基k???,,,?的坐标为??????kkkkdddcccdcdcdc,,,,,,,,,????????（）向量的数乘的坐标等于坐标乘数：第页共页如果向量?关于基k???,,,?的坐标为??kccc,,,?则?c关于基k???,,,?的唑标为????kkcccccccccc,,,,,,???。坐标的意义：设V中的一个向量组t???,,,?关于基k???,,,?的坐标依次为t???,,,?则t???,,,?和t???,,,?有相同的線性关系于是我们可以用坐标来判断向量组的相关性计算秩和极大无关组等等。．过渡矩阵坐标变换公式设k???,,,?和k???,,,?都是V的┅个基并设?在k???,,,?中的坐标为??kiiiccc,,,?构造矩阵???????????????kkkkkkcccccccccC???????称C为k???,,,?到k???,,,?的过渡矩陣????Ckk??????,,,,,,???。如果V中向量?在其k???,,,?和k???,,,?中的坐标分别为??Tkxxxx,,,??和??Tkyyyy,,,??则??xk????,,,????k????,,,????Cyyk???,,,??于是关系式：Cyx?称为坐标变换公式．规范正交基如果V的一基k???,,,?是单位正交向量组则称为规范正交基。第页共页两个向量的内积等于在规范正交基下的它们坐标的内积设?的坐标为??kccc,,,??的坐标为??kddd,,,?则??kkdcdcdc?????,??两个规范正交基之间的过渡矩阵是正交矩阵。做题思路先化简再计算例．（）设n维列向量??Taa,,,,????a规定TEA????TaEB????。已知EAB?求a例．（）己知????????????????*A求矩阵B使得EBAABA????证明一个矩阵可逆切入点行列式=证明Ax=E证明两式相等切入点AB=某个等式=BA（從对称性想到AB可逆BA也可逆的着手点EBAEAB???）例．设n阶矩阵A和B满足等式bBaAAB???ab,证明：BAAB