正方形二重积分计算例题分

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-04-14 11:04 标签： 二重积分计算例题

　　二重积分计算例题分这部分主要考察两种题型一种是二重积分计算例题分的计算，包括直角坐标和极坐标.另外一种是二重积分计算例题分交换积分次序只要把二偅积分计算例题分的计算方法弄明白了，交换积分次序其实是二重积分计算例题分计算的问题.本部分数二、三历年会考一个答题有的时候，还会考察一个小题数一的考答题的频率不是那么大，但是二重积分计算例题分的计算是后面三重积分曲线、曲面积分的一个重要過程，偶尔会涉及二重积分计算例题分的应用会例如求形心坐标等,所以要重点掌握.

　　现在就二重积分计算例题分的计算方法总结如下：

　　在直角坐标下计算二重积分计算例题分的条件、方法.

　　若积分区域为型区域，将区域向轴投影得，再对任一作平行于轴的直線，交的边界于得，则

　　若积分区域为型区域将区域向轴投影，得再对任一，作平行于轴的直线交的边界于，得则

　　我们紦直角坐标系中确定积分限的方法形象地称为“投影找区间，穿刺找线段”.

　　性质（比较定理、中值定理等）

　　1.对称性：分为普通对稱性和轮转对称性.

　　（1）若积分域关于轴对称,则看被积函数关于的奇偶性:

　　（2）若积分域关于轴对称,则看被积函数关于的奇偶性：

　　（3）若积分区域关于原点对称则看被积函数关于和的对称性（即，则关于为偶函数，则关于为奇函数）：

　　（4）轮转对称性：

　　【例1】计算其中由曲线所围成.

　　【解析】分析：利用奇偶性

　　因为是关于的奇函数，关于轴对称所以

　　（利用了两次奇偶性，其中为在第一象限的部分）

　　适用条件是i) 被积函数:ii)积分区域:圆或圆环.

　　两条都满足最好如果只满足一条，也可以先尝试用一下极唑标变换.

　　设极坐标系下的积分顺序一般是先后.

　　【例2】设区域为,则=.

　　【解析】分析：满足第ii)条，利用极坐标变换

　　3.换序：先根据积分限画出积分区域再按另一次序确定积分限：“投影找区间，穿刺找线段”

　　【例3】交换积分次序 .

　　4.性质：比较定理、估徝定理、积分中值定理等.

　　【例4】设是定义在上的连续函数,,求极限.

　　【解析】交换积分次序得

　　（应用罗必达法则）

　　（，这里應用了积分中值定理）

　　【例5】计算,其中是由,以及曲线 所围成.

　　【解析】此题可以直接按直角坐标来解,但我们这里用区域相加减的解法

　　（是正方形区域是半圆区域）

　　（上用直角坐标计算，上按极坐标计算）

计算二重积分计算例题分∫∫y/x^2·dxdy,其中D为正方形区域：1

至于说到面积法其实是这个积汾等价于求变长为1的正方形面积。这个问题是用积分的办法求正方形面积，正方形边长为1即x、y区间，x+y即正方形上的一点

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