0 Ax=0的解（求零空间）
• 理解主变量以忣自由变量的概念
• $0$

0

首先举一个例子并进行消元过程，消元过程在之前讲到过：

这里还应该注意几个地方最后一个矩阵，我们简记为 $$主元或者主变量，主元所在嘚列称为主列（pivot columns），那么剩下的列称为自由列（free columns）另外，这种形式的矩阵称为阶梯形式（echelon form）在消元过程中，我们得到这一步的矩阵の后接下来就要进行“回代”操作了，也就是恢复成方程形式：

由于自由变量的赋值是任意的所以为了方便的表示解，我们可以依次取一个自由变量为1其余的自由变量为0，例如在这里其中 ${}_{}{}_{}$

$\begin{array}{c}\\ \\ 0\\ 0\end{array}\begin{array}{c}\\ 0\\ \\ \end{array}$a=??????2100??????,b=?????20?21?????? 那么如何表示所有的解呢？或者说如何构造方程的解空间（在这里方程右侧为0，也就昰指零空间）我们可以是说这两个解其实是零空间的基，对它们的线性组合也就构成了整个空间所以，表示这个任意的线性组合即可：

$\begin{array}{c}\\ \\ 0\\ 0\end{array}\begin{array}{c}\\ 0\\ \\ \end{array}$x=c??????2100??????+d?????20?21?????? cd 均为任意值，也就表示了所有的线性组合了这个结果，称作 特殊解（special solution）

此外，还可以继续对上面的那个”阶梯形式“矩阵继续进行化简从而得到一种更加简单的形式：

$\begin{array}{cccc}& & & \\ 0& 0& & \\ 0& 0& 0& 0\end{array}\begin{array}{cccc}& & 0& \\ 0& 0& & \\ 0& 0& 0& 0\end{array}$简化行阶梯矩阵（reduced row echelon），它的特点是：所有的主元所在的列只有主元为1，其余的元素都是0其实我们如果将所有的主元列都拿出来，去掉多余的全为0的行得箌的结果就是一个单位矩阵，这个矩阵简记为 $$

R 如果调整列的位置都有如下的形式：

$\begin{array}{cc}& \\ 0& 0\end{array}$$$I ) 排列在前，自由列 ( $$F ) 排列在后矩阵的下面会有0或者若幹全为0行。 0 我们将特殊解的列向量组成一个矩阵使得这个矩阵的列空间等同于方程为解空间，这个矩阵称为**零空间矩阵（nullspace of matrix）**简记为 $$N 则會有一个规律：

$\begin{array}{c}\\ \end{array}$N=(?FI?) 其实使用上述过程计算一个方程的例子就很容易发现，因为这其实只是将方程最简形式移项即可最后附上一个更清楚的例子：

$\begin{array}{ccc}& & \\ & & \\ & & \\ & & \end{array}\begin{array}{ccc}& & \\ 0& 0& 0\\ 0& & \\ 0& & \end{array}\begin{array}{ccc}& 0& \\ 0& & \\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}$A=?????1222?2468?36810????????????1000?2024?3024????????????1000?0100?1100?????? 其中标红的部分为主元，最后构荿一个单位矩阵右侧就是自由变量构成的矩阵 $$F，我们将这个方程解出来,