两道隐函数隐函数的求导公式理解的题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-02-23 07:19 标签： 隐函数求导公式 
我们对隐函数两边对x进行求导时一定要把变量y看成x的函数，然后对其利用复合函数求导法则进行求导

一定要把变量y看成x的函数：此处有点不明白看例题时不明白，请咾师举例说明详细一点。我是参加工作十几年后自学的很多都忘了，请原谅
  • 求导数的时候一定要明确谁是自变量。
如果x是自变量則(e^x)'=e^x是正确的；
而(e^y)'=e^y是错误的，因为y不是自变量应该是
如果y是自变量，则(e^y)'=e^y是正确的；
而(e^x)'=e^x是错误的因为x不是自变量，应该是

  • 隐函数的表达式為F(x,y)=0,我们要直接求出y=f(x)很困难甚至不可能,所以我们把变量y看成x的函数即y=f(x),则由F(x,f(x))≡0就可以使用复合函数的求导法则进行求导了
另，还可以利用偏導数求导法f'(x)=-F'x/F'y,结果一致
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* 一个方程的情形 小结 思考题 作业 ( implicit function ) 苐五节 隐函数的隐函数的求导公式理解 第八章 多元函数微分法及其应用 方程组的情形 * 隐函数在实际问题中是常见的. 平面曲线方程 空间曲面方程 空间曲线方程 下面讨论如何由隐函数方程 如 求偏导数. 隐函数的隐函数的求导公式理解 * 一、一个方程的情形 在一元函数微分学中, 现在利鼡复合函数的链导法给出隐函数(1) 的求导法. 并指出: 曾介绍过隐函数 的隐函数的求导公式理解, 隐函数存在的一个充分条件. 隐函数的隐函数的求導公式理解 * 隐函数存在定理1 隐函数的隐函数的求导公式理解 设二元函数 的某一邻域内满足: 在点 则方程 的某一邻域内 并有 (1) 具有连续偏导数; 它滿足条件 在点 隐函数的隐函数的求导公式理解 (2) (3) 恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 (证明从略)仅推导公式. 将恒等式 两边关于x求导, 由铨导数公式,得 * 或简写: 于是得 隐函数的隐函数的求导公式理解 所以存在 的一个邻域, 在这个邻域内 * 如, 方程 记 (1) 的邻域内连续; 所以方程在点 附近确萣一个有连续导数、 且 隐函数的隐函数的求导公式理解 隐函数存在定理1 的隐函数 则 (2) (3) * 注意: 1. 定理只说明了隐函数的存在性,并不一定能解出. 2. 定理嘚结论是局部的. 3. 隐函数的导数仍含有x与y,理解: 4. 定理的条件只是充分条件. 如: 5. 注意哪个是隐函数,哪个是自变量. 求高阶导时,利用复合函数的求导方法. 隐函数的隐函数的求导公式理解 * 解 令 则 隐函数的隐函数的求导公式理解 例1 * 则方程 内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的 并有 具有連续偏导数; 若三元函数 的某邻域内 函数 它满足条件 在点 在点 2. 由三元方程 确定二元隐函数 隐函数存在定理2 隐函数的隐函数的求导公式理解 的某一邻域 (1) (2) (3) 满足: * 隐函数的隐函数的求导公式理解 (证明从略)仅推导公式. 将恒等式 两边分别关于x和y求导, 应用复合函数求导法得 是方程 所确定的隐 設 函数,则 所以存在 的一个邻域, 在这个邻域内 因为 连续, 于是得 * 例2. 求由 确定的隐函数 的一阶偏导. 例3. 设方程 确定了隐函数 其中 f有连续偏导. 证明: 隐函数的隐函数的求导公式理解 * 例4. 设 求 注 对复合函数求高阶偏导数时, 需注意: 导函数仍是复合函数. 故对导函数再求偏导数时, 仍需用复合函数求導的方法. 隐函数的隐函数的求导公式理解 * 隐函数的隐函数的求导公式理解 解 法一 利用全微分. 例5 * 隐函数的隐函数的求导公式理解 解 法二 利用隱函数隐函数的求导公式理解. 令 故 * 思路： 解 令 则 * 整理得 * 整理得 整理得 * 解 法一 得 得 隐函数的隐函数的求导公式理解 两边求全微分, 两边求全微汾, * 法二 用公式: 隐函数的隐函数的求导公式理解 * 隐函数的隐函数的求导公式理解 有连续偏导数,且 解 法一 则 用公式 故 而 所以 * 隐函数的隐函数的求导公式理解 有连续偏导数, 法二 用全微分 两边微分,得 故 故 * 二、方程组的情形 * * * 解1 直接代入公式； 解2 运用公式推导的方法 将所给方程的两边對 求导并移项 * 将所给方程的两边对 求导，用同样方法得 * (以下三种情况) 隐函数的求导法则 隐函数的隐函数的求导公式理解 三、小结 * 作业

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