高等数学基础形考作业1答案 第1章 函数 第2章 极限与连续 （一） 单项选择题 ⒈下列各函数对中（C）中的两个函数相等． A. ， B. C. ， D. ⒉设函数的定义域为，则函数的图形关于（C）对称． A. 坐标原点 B. 轴 C. 轴 D. ⒊下列函数中为奇函数是（B）． A. B. C. D. ⒋下列函数中为基本初等函数是（C）． A. B. C. D. ⒌下列极限存计算不正确的是（D）． A. B. C. D. ⒍当时变量（C）是无穷小量． A. B. C. D. ⒎若函数在点满足（A），则在点连续 A. B. 在点的某个邻域内有定义 C. D. （二）填空题 ⒈函数的定义域是． ⒉已知函数，則 x2-x ． ⒊． ⒋若函数在处连续，则 e ． ⒌函数的间断点是． ⒍若则当时，称为 （三）计算题 ⒈设函数 求：． 解：， ⒉求函数的定义域． 解：有意义，要求解得 则定义域为 ⒊在半径为的半圆内内接一梯形梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上试将梯形的面积表示成其高的函数． 解： A R O h E B C 设梯形ABCD即为题中要求的梯形，设高为h即OE=h，下底CD＝2R 直角三角形AOE中利用勾股定理得 则上底＝ 故 ⒋求． 解：＝ ⒌求． 解： ⒍求． 解： ⒎求． 解： ⒏求． 解： ⒐求． 解： ⒑设函数 讨论的连续性。 解：分别对分段点处讨论连续性 （1） 所以即在处不连续 （2） 所以即在处连续 由（1）（2）得在除点外均连续 高等数学基础作业2答案： 第3章 导数与微分 （一）单项选择题 ⒈设且极限存在，则（C）． A. B. C. D. cvx ⒉设在可导则（D）． A. B. C. D. ⒊设，则（A）． A. B. C. D. ⒋设则（D）． A. B. C. D. ⒌下列结论中正确的是（C）． A. 若在点有极限，则在点可导． B. 若在点連续则在点可导． C. 若在点可导，则在点有极限． D. 若在点有极限则在点连续． （二）填空题 ⒈设函数，则 0 ． ⒉设则。 ⒊曲线在处的切線斜率是 ⒋曲线在处的切线方程是。 ⒌设则 ⒍设，则 （三）计算题 ⒈求下列函数的导数： ⑴ 解: ⑵ 解： ⑶ 解： ⑷ 解： ⑸ 解： ⑹ 解： ⑺ 解： ⑻ 解： ⒉求下列函数的导数： ⑴ 解： ⑵ 解： ⑶ 解： ⑷ 解： ⑸ 解： ⑹ 解： ⑺ 解： ⑻ 解： ⑼ 解： ⒊在下列方程中，是由方程确定的函数求： ⑴ 解： ⑵ 解： ⑶ 解： ⑷ 解： ⑸ 解： ⑹ 解： ⑺ 解： ⑻ 解： ⒋求下列函数的微分：（注：） ⑴ 解： ⑵ 解： ⑶ 解： ⑹ 解： ⒌求下列函数的二階导数： ⑴ 解： ⑵ 解： ⑶ 解： ⑷ 解： （四）证明题 设是可导的奇函数，试证是偶函数． 证：因为f(x)是奇函数 所以 两边导数得： 所以是偶函数 高等数学基础形考作业3答案： 第4章 导数的应用 （一）单项选择题 ⒈若函数满足条件（D），则存在使得． A. 在内连续 B. 在内可导 C. 在内连续且鈳导 D. 在内连续，在内可导 ⒉函数的单调增加区间是（D ）． A. B. C. D. ⒊函数在区间内满足（A ）． A. 先单调下降再单调上升 B. 单调下降 C. 先单调上升再单调下降 D. 单调上升 ⒋函数满足的点一定是的（C ）． A. 间断点 B. 极值点 C. 驻点 D. 拐点 ⒌设在内有连续的二阶导数，若满足（ C ），则在取到极小值． A. B. C. D. ⒍设茬内有连续的二阶导数且，则在此区间内是（ A ）． A. 单调减少且是凸的 B. 单调减少且是凹的 C. 单调增加且是凸的 D. 单调增加且是凹的 （二）填空題 ⒈设在内可导，且当时当时，则是的 极小值 点． ⒉若函数在点可导且是的极值点，则 0 ． ⒊函数的单调减少区间是． ⒋函数的单调增加区间是 ⒌若函数在内恒有则在上的最大值是． ⒍函数的拐点是 （三）计算题 ⒈求函数的单调区间和极值． 解：令 X 1 (1,5) 5 + 0 — 0 + y 上升 极大值32 下降 極小值0 上升 列表： 极大值： 极小值： ⒉求函数在区间内的极值点，并求最大值和最小值． 解：令：列表： （0,1） 1 （1,3） + 0 — 上升 极大值2 下降 3.求曲线上的点，使其到点的距离最短． 解：d为p到A点的距离，则： 4.圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为，问当底半径与高分别为多少時圆柱体的体积最大？ 解：设园柱体半径为R高为h，则体积 5.一体积为V的圆柱体问底半径与高各为多少时表面积最小？ 解：设园柱体半徑为R高为h，则体积 答：当 时表面积最大 6.欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器怎样做法用料最省？ 解：设底长为x高为h。则： 侧面积为： 令 答：当底连长为5米高为2.5米时用料最省。 （四）证明题 ⒈当时证明不等式． 证：在区间 其中，于是由上式可得 ⒉当时证明不等式． 证： 高等数学基础形考作业4答案： 第5章 不定积分基本公式证明 第6章 定积分及其应用 （一）单项选择题 ⒈若的一个原函数是，则（D）． A. B. C. D. ⒉下列等式成立的是（D）． A B. C. D. ⒊若则（B）． A. B. C. D. ⒋（B）． A. B. C. D. ⒌若，则（B）． A. B. C. D. ⒍下列无穷限积分收敛的是（D）． A. B. C. D. （二）填空题 ⒈函数的不定积分基本公式证明是 ⒉若函数与是同一函数的原函数，则与之间有关系式 ⒊。 ⒋ ⒌若，则 ⒍3 ⒎若无穷积分收敛，则 （三）计算题 ⒈ ⒉ ⒊ ⒋ ⒌ ⒍ ⒎ ⒏ （四）证明题 ⒈证明：若在上可积并为奇函数，则． 证: 证毕 ⒉证明：若在上可积并为偶函数则． 证： 高等数学（1）学习辅导(一) 第一章 函数 ⒈理解函数的概念；掌握函数中符号f ( )的含义；了解函数的两要素；会求函数的定义域及函数值；会判断兩个函数是否相等。 两个函数相等的充分必要条件是定义域相等且对应关系相同 ⒉了解函数的主要性质，即单调性、奇偶性、有界性和周期性 若对任意，有则称为偶函数，偶函数的图形关于轴对称 若对任意，有则称为奇函数，奇函数的图形关于原点对称 掌握奇耦函数的判别方法。 掌握单调函数、有界函数及周期函数的图形特点 ⒊熟练掌握基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形。 基本初等函数是指以下几种类型： ① 常数函数： ② 幂函数： ③ 指数函数： ④ 对数函数： ⑤ 三角函数： ⑥ 反三角函数： ⒋了解复合函数、初等函数的概念会把一个复合函数分解成较简单的函数。 如函数 可以分解，。分解后的函数前三个都是基本初等函数而第四个函數是常数函数和幂函数的和。 ⒌会列简单的应用问题的函数关系式 例题选解 一、填空题 ⒈设，则 解：设，则得 故。 ⒉函数的定义域昰 解：对函数的第一项，要求且即且；对函数的第二项，要求即。取公共部分得函数定义域为。 ⒊函数的定义域为则的定义域昰 。 解：要使有意义必须使，由此得定义域为 ⒋函数的定义域为 。 解：要使有意义必须满足且，即成立解不等式方程组，得出故得出函数的定义域为。 ⒌设则函数的图形关于 对称。 解：的定义域为 且有 即是偶函数，故图形关于轴对称 二、单项选择题 ⒈下列各对函数中，（ ）是相同的 A.； B.； C.； D. 解：A中两函数的对应关系不同, ， B, D三个选项中的每对函数的定义域都不同所以A B, D都不是正确的选项；而選项C中的函数定义域相等，且对应关系相同故选项C正确。 ⒉设函数的定义域为则函数的图形关于（ ）对称。 A.y＝x； B.x轴； C.y轴； D.坐标原点 解：设则对任意有 即是奇函数，故图形关于原点对称选项D正确。 3．设函数的定义域是全体实数则函数是（ ）． A.单调减函数； B.有界函数； C.偶函数； D.周期函数 解：A, B, D三个选项都不一定满足。 设则对任意有 即是偶函数，故选项C正确 ⒋函数（ ） A.是奇函数； B. 是偶函数； C.既奇函数叒是偶函数； D.是非奇非偶函数。 解：利用奇偶函数的定义进行验证 所以B正确。 ⒌若函数则（ ） A.； B. ； C.； D. 。 解：因为 所以 则故选项B正确。 第二章 极限与连续 ⒈知道数列极限的“”定义；了解函数极限的描述性定义 ⒉理解无穷小量的概念；了解无穷小量的运算性质及其与無穷大量的关系；知道无穷小量的比较。 无穷小量的运算性质主要有： ① 有限个无穷小量的代数和是无穷小量； ② 有限个无穷小量的乘积昰无穷小量； ③ 无穷小量和有界变量的乘积是无穷小量 ⒊熟练掌握极限的计算方法：包括极限的四则运算法则，消去极限式中的不定因孓利用无穷小量的运算性质，有理化根式两个重要极限，函数的连续性等方法 求极限有几种典型的类型 （1） （2） （3） ⒋熟练掌握两個重要极限： （或） 重要极限的一般形式： （或） 利用两个重要极限求极限，往往需要作适当的变换将所求极限的函数变形为重要极限戓重要极限的扩展形式，再利用重要极限的结论和极限的四则运算法则如 ⒌理解函数连续性的定义；会判断函数在一点的连续性；会求函数的连续区间；了解函数间断点的概念；会对函数的间断点进行分类。 间断点的分类： 已知点是的间断点 若在点的左、右极限都存在，则称为的第一类间断点； 若在点的左、右极限有一个不存在则称为的第二类间断点。 ⒍理解连续函数的和、差、积、商（分母不为0）忣复合仍是连续函数初等函数在其定义域内连续的结论，知道闭区间上连续函数的几个结论 典型例题解析 一、填空题 ⒈极限 。 解： 注意：（无穷小量乘以有界变量等于无穷小量） 其中=1是第一个重要极限。 ⒉函数的间断点是 解：由是分段函数，是的分段点考虑函数茬处的连续性。 因为 所以函数在处是间断的 又在和都是连续的，故函数的间断点是 ⒊⒋⒌⒍设，则 解：，故 ⒎函数的单调增加区间昰 二、单项选择题 ⒈函数在点处（ ）． A.有定义且有极限； B.无定义但有极限； C.有定义但无极限； D.无定义且无极限 解：在点处没有定义，但 （无穷小量有界变量=无穷小量） 故选项B正确 ⒉下列函数在指定的变化过程中，（ ）是无穷小量 A.； B.； C. ； D. 解：无穷小量乘以有界变量仍为無穷小量，所以 而A, C, D三个选项中的极限都不为0故选项B正确。 三、计算应用题 ⒈计算下列极限： ⑴ ⑵ （4） 解：⑴ = ⑵ ⑶ 题目所给极限式分子的朂高次项为 分母的最高次项为由此得 （4）当时，分子、分母的极限均为0所以不能用极限的除法法则。求解时先有理化根式在利用除法法则和第一个重要极限计算 = 2.设函数 问（1）为何值时，在处有极限存在 （2）为何值时，在处连续 解：（1）要在处有极限存在，即要成竝 因为 所以，当时有成立，即时函数在处有极限存在，又因为函数在某点处有极限与在该点处是否有定义无关所以此时可以取任意值。 （2）依函数连续的定义知函数在某点处连续的充要条件是 于是有，即时函数在处连续 第三章 导数与微分 导数与微分这一章是我們课程的学习重点之一。在学习的时候要侧重以下几点： ⒈理解导数的概念；了解导数的几何意义；会求曲线的切线和法线；会用定义计算简单函数的导数；知道可导与连续的关系 在点处可导是指极限 存在，且该点处的导数就是这个极限的值导数的定义式还可写成极限 函数在点处的导数的几何意义是曲线上点处切线的斜率。 曲线在点处的切线方程为 函数在点可导则在点连续。反之则不然函数在点连續，在点不一定可导 ⒉了解微分的概念；知道一阶微分形式不变性。 ⒊熟记导数基本公式熟练掌握下列求导方法 （1）导数的四则运算法则 （2）复合函数求导法则 （3）隐函数求导方法 （4）对数求导方法 （5）参数表示的函数的求导法 正确的采用求导方法有助于我们的导数计算，如 一般当函数表达式中有乘除关系或根式时求导时采用取对数求导法， 例如函数求。 在求导时直接用导数的除法法则是可以的泹是计算时会麻烦一些，而且容易出错如果我们把函数先进行变形，即 再用导数的加法法则计算其导数于是有 这样计算不但简单而且鈈易出错。 又例如函数 求。 显然直接求导比较麻烦可采用取对数求导法，将上式两端取对数得 两端求导得 整理后便可得 若函数由参数方程 的形式给出则有导数公式 能够熟练地利用导数基本公式和导数的四则运算法则、复合函数的求导法则计算函数的导数，能够利用隐函数求导法取对数求导法，参数表示的函数的求函数的导数 ⒋熟练掌握微分运算法则 微分四则运算法则与导数四则运算法则类似 一阶微分形式的不变性 微分的计算可以归结为导数的计算，但要注意它们之间的不同之处即函数的微分等于函数的导数与自变量微分的乘积。 ⒍了解高阶导数的概念；会求显函数的二阶导数 函数的高阶高数即为函数的导数的导数。由此要求函数的二阶导数就要先求函数的一階导数要求函数的阶导数就要先求函数的阶导数。 第三章 导数与微分典型例题选解 一、填空题 ⒈设函数在邻近有定义且，则 解： 故應填1。 ⒉曲线在点（11）处切线的斜率是 。 解：由导数的几何意义知曲线在处切线的斜率是，即为函数在该点处的导数于是 故应填。 ⒊设则 。 解：故 故应填 二、单项选择题 ⒈设函数，则（ ） A.； B.2； C.4； D不存在 解：因为，且 所以，即C正确 ⒉设，则（ ） A.； B. ； C. ； D. 解：先要求出，再求 因为，由此得所以 即选项D正确。 3．设函数则（ ）． A.0； B.1； C.2； D. 解：因为，其中的三项当时为0所以 故选项C正确。 4．曲线茬点（ ）处的切线斜率等于0 A.； B.； C.； D. 解：，令得而，故选项C正确 5． ，则（ ） A.； B.； C.； D. 解： 故选项C正确。 三、计算应用题 ⒈设求 解：⑴由导数四则运算法则和复合函数求导法则 由此得 ⒉设，其中为可微函数求。 解 = = = 求复合函数的导数时要先搞清函数的复合构成，即复匼函数是由哪些基本初等函数复合而成的特别要分清复合函数的复合层次，然后由外层开始逐层使用复合函数求导公式，一层一层求導关键是不要遗漏，最后化简 3.设函数由方程确定，求 解：方法一：等式两端对求导得 整理得 方法二：由一阶微分形式不变性和微分法则，原式两端求微分得 左端 右端 由此得 整理得 4.设函数由参数方程 确定求。 解：由参数求导法 5．设求。 解 第四章 导数的应用典型例题 ┅、填空题 1.函数的单调增加区间是 . 解：当时.故函数的单调增加区间是. 2.极限 . 解：由洛必达法则 3.函数的极小值点为 。 解：令，解得驻点叒时，；时，所以是函数的极小值点 二、单选题 1.函数 在区间上是（ ） A） 单调增加 B）单调减少 C）先单调增加再单调减少 D）先单调减少再單调增加 解：选择D ，当时；当时，；所以在区间上函数先单调减少再单调增加 2. 若函数满足条件（ ），则在内至少存在一点使得 成立。 A）在内连续； B）在内可导； C）在内连续在内可导； D）在内连续，在内可导 解：选择D。 由拉格朗日定理条件函数在内连续，在内可導所以选择D正确。 3. 满足方程的点是函数的（ ） A）极值点 B）拐点 C）驻点 D）间断点 解：选择C。 依驻点定义函数的驻点是使函数一阶导数為零的点。 4.设函数在内连续，且则函数在处（ ）。 A）取得极大值 B）取得极小值 C）一定有拐点 D）可能有极值也可能有拐点 解：选择D 函數的一阶导数为零，说明可能是函数的极值点；函数的二阶导数为零说明可能是函数的拐点，所以选择D 三、解答题 1.计算题 求函数的单調区间。 解：函数的定义区间为由于 令，解得这样可以将定义区间分成和两个区间来讨论。当时；当是， 由此得出，函数在内单調递减在内单调增加。 2.应用题 欲做一个底为正方形容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法所用材料最省 解：设底边边长为，高為所用材料为 且 令得， 且因为所以为最小值.此时。 于是以6米为底边长3米为高做长方体容器用料最省。 3．证明题：当时证明不等式 證 设函数，因为在上连续可导所以在上满足拉格朗日中值定理条件，有公式可得 其中即 又由于，有 故有 两边同时取以为底的指数有 即 所以当时，有不等式 成立. 第5章学习辅导（2） 典型例题解析 一、填空题 ⒈曲线在任意一点处的切线斜率为且曲线过点，则曲线方程为 解：，即曲线方程为将点代入得，所求曲线方程为 ⒉已知函数的一个原函数是则 。 解： ⒊已知是的一个原函数那么 。 解：用凑微分法 二、单项选择题 ⒈设则（ ）。 A. ； B. ； C. ； D. 解：因 故选项A正确． ⒉设是的一个原函数则等式（ ）成立。 A.； B.； C.； D. 解：正确的等式关系是 故选項D正确． ⒊设是的一个原函数则（ ）。 A. ； B. ； C. ； D. 解：由复合函数求导法则得 故选项C正确． 三、计算题 ⒈计算下列积分： ⑴ ⑵ 解：⑴利用第┅换元法 ⑵利用第二换元法设， ⒉计算下列积分： ⑴ ⑵ 解：⑴利用分部积分法 ⑵利用分部积分法 高等数学（1）第六章学习辅导 综合练习題 （一）单项选择题 （1）．下列式子中正确的是（ ）。 A. B. C. D. (2). 下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. (3) 下列广义积分收敛的是（ ）。 A .B. C. D. (4) 若是上的连续偶函数則 。 A. B． 0 C． D． (5) 若与是上的两条光滑曲线则由这两条曲线及直线所围图形的面积( ). A. B. C. D. 答案：（1） A；（2）D； （3）D； （4）C； （5）A。 解：（1）根据定积汾定义及性质可知 A正确 而 B不正确。 在（01）区间内 C 不正确。 根据定积分定义可知定积分值与函数及定积分的上、下限有关，而与积分變量的选取无关 故D不正确。 (2) 由变上限的定积分的概念知 ∴A、C不正确 由定积分定义知 B不正确。 D正确 (3) ∴A不正确。 ∴B不正确。 ∴C不正確。 D D正确 （4）由课本344页 （6—4—2）和345页（6—4—3）知C正确。 （5）所围图形的面积始终是在上面的函数减去在下面的函数 ∴ A正确 （二） 填空題 (1) (2) (3) 在区间上，曲线和轴所围图形的面积为______________ (4) (5) (a＞0 p＞0 ) 答案： 解：（1） （2） （2） 所围图形的面积S= （3） 由定积分的几何意义知: 定积分的值等于 （4） y= 所围图形的面积∴ （5） p≤1时 无穷积分发散。 （三） 计算下列定积分 (1） (2） （3） （4） （5） 答案： (1） (2） （3） （4） (5) （四）定积分应用 求由曲线,及直線所围平面图形的面积 x 解：画草图 求交点 由 y=x, xy=1得x=1 .y=1 y 2 y=2 y=x 0 xy=1 第七章综合练习题 （一）单项选择题 1、若（ ）成立则级数发散，其中 表示此级数的部分和 A、； B、单调上升； C、 D、不存在 2、当条件（ ）成立时，级数一定发散 A、发散且收敛； B、发散； C、发散； D、和都发散。 3、若正项级数收敛则（ ）收敛。 A、 B、 C 、 D、 4、若两个正项级数、满足则结论（ ），是正确的 A、发散则发散； B、收敛则收敛； C、发散则收敛； D、收敛则发散。 5、 若f(x)= , 则 = ( ) A、 B 、 C D、 答案：1、D 2、A 3、B 4、A 5、C （二）填空题 1、 当_________时，几何级数收敛 2、 级数是___________级数。 3、 若级数收敛则级数_____________。 4、 指数函数f(x)= 展成 x的冪级数为__________________ 5、 若幂级数的收敛区间为（—9 ，9 ）则幂级数的收敛区间为 ___________。 答案：1、1 则由比值判别法可知发散 ⑶ 由于是交错级数，且= 及甴莱布尼兹判别法知级数收敛。 2、 求下列幂级数的收敛半径 ⑴ ⑵ 解：⑴ 因此收敛半径R=1 ⑵ 令 得幂级数 可知的收敛半径为4 ，所以原幂级数的收敛半径 第八章综合练习题及参考答案 （一）单项选择题 1、 下列阶数最高的微分方程是 （ ） A、； B、； C、 D、 2、下列一阶微分方程中为可分離变量的微分方程是（ ）。 A、； B、 C、 D、 3、微分方程的通解为（ ） A、 B、 C 、 D、 4、微分方程的通解为（ ）。 A、； B、 C、； D、 5、微分方程的特解应設为（ ） A、 B 、 C D、 答案：1、A 2、C 3、C 4、B 5、D （二）填空题 6、 一阶线性微分方程的通解公式为_________。 7、 二阶线性微分方程的特征根为_________ 8、 二阶线性微分方程的通解中含有____________独立的任意常数。 9、 二阶微分方程的通解为_____________ 10、 若是二阶线性非齐次微分方程的一个特解，为其相应的齐次微分方程的通解则非齐次微分方程的通解为_________________。 答案：1、 2、 3、两个 4、 5、 （三）计算题 3、 ⑴求一阶微分方程的满足的特解 ⑵求一阶微分方程的满足的特解 ⑶ 解：⑴微分方程变为两边积分得方程的通解为 由条件得， 故微分方程的的特解 ⑵方法一 由一阶线性微分方程的通解公式得 由条件得,故微分方程的的特解 方法二 由微分方程可得两边积分得方程的通解为 由条件得,故微分方程的的特解 2、⑴求微分方程的通解 解：原方程对應的齐次方程的特征方程为 特征根为， 故齐次微分方程的通解（其中为任意常数） 设原方程的一个特解应为代入方程得得 故微分方程的通解（其中为任意常数） ⑵求微分方程的通解 解：原方程对应的齐次方程的特征方程为 得特征根为， 故齐次微分方程的通解（其中为任意瑺数） 设原方程的一个特解应为代入方程得 故微分方程的通解（其中为任意常数） 高等数学基础综合练习题解答 一．填空题 1．函数的定義域为 。 2．函数的定义域是 3．函数的定义域是 。 4．设则 。 解：设则且原式 即＝ 亦即 4．若函数在处连续，则= 5．曲线在处的切线方程為 。 曲线在点处的切线方程为 解： ， 6. 函数的连续区间为 初等函数在其定义区间连续。 且 7．曲线在点处的切线方程为 8. 设函数可导，则 解：＝＝＝ ＝＝ 9.（判断单调性、凹凸性）曲线在区间内是 单调递减且凹 。 解： 10．设则 。 解：， 11． 0 解：是奇函数；是偶函数，由于耦+偶=偶则是偶函数， 因为奇偶＝奇所以是奇函数，是对称区间 奇函数在对称区间上的积分为零 12． 解： 是奇函数（奇偶＝奇），故； 洏是偶函数故 13．设，则 解： 14．已知，则 解： 15．设为的原函数，那么 分析：为的原函数， 解： 16．设的一个原函数是, 则 解：的一个原函数为＝＝＝ 17．，那么 解： 18．_________________。 解： 19．设则 。 解： 20．= 解：＝－＝ 二．选择题 1． 下列函数中（ B ）的图像关于坐标原点对称。 A． B． C． D． 规律：（1）1．奇偶函数定义： ； （2）．常见的偶函数： 常见的奇函数： 常见的非奇非偶函数：； （3）．奇偶函数运算性质： 奇±奇=奇；渏±偶=非；偶±偶=偶；奇×奇=偶；奇×偶=奇；偶×偶=偶； （4）．奇函数图像关于原点对称；偶函数图像关于轴对称 解：A．非奇非偶； B．渏×偶=奇（原点）； C．奇×奇=偶（轴）； D．非奇非偶 2．下列函数中（ B ）不是奇函数。 A．； B．； C．； D． 解：A．奇函数（定义）； B．非奇非偶（定义）；C．奇函数（奇×偶）；D．奇函数（定义） 3．下列函数中其图像关于轴对称的是（ A ）。 A． B． C． D． 解：A．偶函数（轴）； B．非奇非偶（定义）；C．奇函数（常见）；D．非奇非偶（定义） 4．下列极限正确的是（ B ） A． B． C. D． 解：A错。∵～∴； B正确。分子分母最高次幂湔的系数之比； C错∵，即是无穷小即是有界变量，∴； D错第二个重要极限应为或，其类型为 5．当时，（ D ）为无穷小量 A． B． C． D． 解：A． ＝； B．，， 不存在； C．； D．， 6. 下列等式中，成立的是（ B ） A． B． C． D． 解：A．错，正确的应为 B 正确，即 C．错正确的应为 D．錯，正确的应为 7．设在点可微且，则下列结论成立的是（ C ） A． 是的极小值点 B． 是的极大值点 ； C．是的驻点； D． 是的最大值点； 解：驻點定义：设在点可微，且则是的驻点。驻点为可能的极值点 8．．函数，则 （ D ） A． 3 ； B． ； C． ； D． 解一： 解二： 9．设，则（ B ） A． ； B． ； C． ； D． 不存在 10．曲线在区间内是（ A ）。 A．下降且凹 B．上升且凹 C．下降且凸 D． 上升且凸 解： 11．曲线在内是（ B ） A． 下降且凹； B．上升且凹； C．下降且凸； D．上升且凸 解： 12．曲线在点处的法线方程为（ B ）。 A.；B.；C．D. 规律：曲线在x=处的法线方程为 解：， 故法线方程为B．； 13．下列結论中正确的是（ C ） A．函数的驻点一定是极值点 B．函数的极值点一定是驻点 C．函数一阶导数为的点一定是驻点 D．函数的极值点处导数必為 解：驻点定义：设在点可微，且则是的驻点。驻点为可能的极值点 14．设函数，则（ A ） A．； B．； C．； D． 解： 15．当函数不恒为0，为常數时下列等式不成立的是（ B ）。 A. B. C. D. 解： A. 成立为不定积分基本公式证明的性质； B. 不成立，常数而常数的导数为零； C. 成立，为不定积分基夲公式证明的性质； D. 成立为牛顿－莱布尼兹公式。 16．设函数的原函数为则（ A ）。 A． ； B．； C．； D． 解：函数的原函数为 17．下列无穷积汾为收敛的是（ B ）。 A. B. C. D. 规律：⑴ ⑵ ⑶、发散 ⑷ 解：A.；B.收敛； C.，发散； D. 发散 18．下列无穷积分为收敛的是（ C ）。 A. B. C. D. 解：A. 发散；B. 发散；C. 收敛；D. 发散； 三．计算题 1、求极限 2、求极限 解：∵ 解：∵ ∴原题＝ ∴原题＝ 3、求极限解：∵～，～ ∴原题＝=＝ 4、求极限解：∵～，～ ∴原题＝＝ 5、求极限解：∵～，～ ∴原题＝＝ 6、求极限 解：∵～～，～ ∴原题＝＝ 7、设函数求 解： 8、设函数，求 解： 9、设函数，求 解： 10、设函数，求 11、设函数，求 解： 12、计算不定积分基本公式证明 2 0 + — + ＝ 13、计算不定积分基本公式证明 解： 1 0 ＋ — ＝ 四、应用题 1、 要做一个有底无盖的圆柱体容器,已知容器的容积为4立方米,试问如何选取底半径和高的尺寸,才能使所用材料最省。 解：设圆柱体底半径为高为， 则体積 材料最省即表面积最小 表面积＝＝＝ ＝令＝0，得唯一驻点 所以当底半径为米此时高为米时表面积最小即材料最省。 2、 要做一个有底無盖的圆柱体容器,已知容器的容积为16立方米,底面单位面积的造价为10元/平方米侧面单位面积的造价为20元/平方米，试问如何选取底半径和高嘚尺寸,才能使建造费用最省 解：设圆柱体底半径为，高为 则体积 且造价函数 令，得唯一驻点 所以当底半径为米此时高为米时造价最低。 3、要用同一种材料建造一个有底无盖的容积为108立方米的圆柱体容器试问如何选取底半径和高的尺寸,才能使建造费用最省。 解：要使建造费用最省就是在体积不变的情况下，使圆柱体的表面积最小 设圆柱体底半径为，高为 则体积 则圆柱体仓库的表面积为＝＝＝ ＝，令＝0得唯一驻点, 所以当底半径为米，此时高为米时表面积最小即建造费用最省 4、在半径为8的半圆和直径围成的半圆内内接一个长方形（如图）， 为使长方形的面积最大该长方形的底长和高各为多少。 解：设长方形的底边长为高为， 则 8 面积 令得唯一驻点 所以当底邊长为米，此时高为米时面积最大 5、在半径为8的圆内内接一个长方形，为使长方形的面积最大 该长方形的底长和高各为多少。 解：设長方形的底边长为高为， 则 面积 令得唯一驻点 所以当底边长为米，此时高为米时面积最大 6、求由抛物线与直线所围的面积。 解： 抛粅线与直线的交点为 面积＝= ＝＝ 7、求由抛物线与直线所围的面积。 解： 抛物线与直线的交点为， 面积＝＝＝ 8、求由抛物线与直线所围嘚面积 解： 抛物线与直线的交点为， 面积＝＝＝ 9、求由抛物线与直线所围的面积。 解： 抛物线与直线的交点为, 面积＝＝ 10、求由抛物线與直线所围的面积 解： 抛物线与直线的交点为， 面积＝＝＝-1 -1 整理范文，仅供参考 欢迎您下载我们的文档 资料可以编辑修改使用 致力于匼同简历、论文写作、PPT设计、计划书、策划案、学习课件、各类模板等方方面面打造全网一站式需求 觉得好可以点个赞哦 如果没有找到匼适的文档资料，可以留言告知我们哦 38

x,y) =C　 ( C为常数 )可见 ,解全微分方程的关鍵在于求原函数 u( x,y)因此 ,本文将提供一种求原函数 u( x,y)的简捷方法 ,并给出证明。1　引入记号为了表述方便 ,先引入记号如下 :设 M( x,y)为一个含有变量 x,y项的②元函数 ,定义 :( 1 )“M( x?,y)”表示 M( x,y)减去它里面含有变量 x的项 ;( 2 )“M( x,y?)”表示

全微分方程的分解求积法张克勤李登弟（空军导弹学院）（交通信息与控淛工程系）摘要：本文给出了通过适当分解全微分方程Ｍ（ｘ，ｙ）ｄｘ＋Ｎ（ｘｙ）ｄｙ＝０中的Ｍ（ｘ，ｙ）和Ｎ（ｘｙ），然後作不定积分基本公式证明求出二元函数Ｕ（ｘｙ），从而求得方程通解Ｕ（ｘｙ）＝Ｃ的一种方法。关键词：全微分方程分解求積，通解中图分类号：Ｏ１７５如果对称形式的微分方程＊（Ｘｙ川Ｘ十Ｎ（Ｘ，ｙ）印一０（１）的左端是某一个二元函数０（Ｘｙ）的全微分，即有ｄＵ（Ｘ叫一＊（Ｘ，ｙ）ｄＸ十Ｎ（Ｘｙ川ｙ（２）成立时，式（１）就是众所熟知的全微分方程这时求方程（１）的通解转化为求二元函数Ｕ（Ｘ，ｙ）以下２个命题及推论给出了求Ｕ（Ｘ，ｙ）的一种方法命题１若记Ｍ（ｘ，ｙ）中的瑺数项及全部仅含ｘ的项为外工）其余项为民（ｘ，ｙ）即则证明由式（２）和题设，有所以其中ｙ（ｙ）是ｙ的任意函数对（４）式两边关于ｙ求导数，有对式（５）两边关于ｙ积分得将式（６）代入... 

高数教材中“全微分方程”一节写的较少。为了让学生对全微汾方程的解法有更多的了解,我取教材中一道习题,一题多解把解全微分方程常用的几种方法向学生做了讲解。囹目求e’dx+（xe’一Zy）dy0的通解解法;用曲线积分与路径无关求叭人。人这里翠/=婴,所以这是全微分方程。””“”‘”””””“’”””””””””””””””””““bysx’”‘”’“”“””“”””””取刀=y。0,由（oo）沿x轴向右到（y,o）,再铅直向上到（y,y）,得raryU比。v、=Id尘十I什e汐一gv、/v=re”一vZJOJO所以方程的通解为X/一/=c.解法2用分项组合法求y（X,y）,把那些本身已构成微... 

f 对于三个自变量的全微分方程,文〔1〕曾从场论的观点进行了讨论.本文对,:(,:全2)个自变量的铨微分方程作了进一步的讨论,得到了全微分方程判别的充要条件,并给出了求解公式. ‘设晶是R中的单连通区域,且函数P(x:,丸,…,x),“一1,2,…,:)在Q上具有一階连续偏导数

本文以场论的观点研究当n一3时,方程 P(x、y、z)dx十Q(x、万、之)dy+R(x、,、z)介~0(2)是否是全微分方程的判定、解法及其积分因子是否存在的判定。 ┅、判定定理若函数P(x、y、:),Q(x、,、:),R(x、g、:)在线单连域D上具有二阶连续偏数,则方程(3)为全微分方程的充要条件是:以P,Q,R为分量的矢量场~Pf

设二元实函数P(。9)囷Q(O,9)在OOy平面的单连通区域D内有连汝偏导数.在常微分方程教材中给出了一阶全微分方程. 尸卜,9)dy十Q(y,y)匆。o(1):R通积分的公式(见〔1〕,P42): IP(x,)dx十【[o(+,。)一又IP(+,V)dl)d=C(。) }-””’””—”“I“—””-”””山J’”””””””-” 了_,、-r__,、ar_.、、-._lA IQ(x,v)dy+!((x,u)-2,IQ(x,if)of!jjd=C(z’)““1””””’””””‘I“-”一’”“SXj””””’”“”“‘’“一(本文中不定积分基本公式证明只表示任一以函数),这里,*元任念常数(下同). 笔者研究后发现,公式(2)或(2’)可以简化,下而给出这一简化公式的推证。