数分，含参量反常积分一致收敛分

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-01-16 11:11 标签： 含参量反常积分

内容提示：含参量反常积分一致收敛分的一致收敛性的判别方法

文档格式：DOC| 浏览次数：4| 上传日期： 10:52:33| 文档星级：?????

全文阅读已结束如果下载本文需要使用

该用户還上传了这些文档

第九章 含参变量积分 Ⅰ 基本概念與主要结果 一 含参量正常积分 1 定义 设为矩形区域上的二元函数若，一元函数在上可积则其积分值是在上取值的函数，记为即 称之为含参量的有限积分，称为参变量 更一般地，我们有如下含参量积分： 其中为上的连续函数 2 分析性质 （1）连续性 设二元函数在区域上连續，其中为上连续函数则函数 在上连续。 （2）可微性 若函数与在上连续则 在上可微，且 （3）可积性 若在上连续则和分别在和上可积。 此说明在连续的假设之下，同时存在两个求积顺序不同的积分： 与 为了书写简便起见上述两个积分分别写作： 与 统称为累次积分。 （4）若在上连续则 = 参量的常积分 一致收敛性及其判别法 定义1 设函数定义在无界区域上，若对每一固定的反常积分 都收敛，则它的值是茬上取值的函数记之为，则有 （1） 称（1）式为定义在上的含参量的无穷限反常积分，简称含参量无穷积分 定义2（一致收敛）若含参量积分（1）满足：，当时，有 则称含参量积分（1）在上一致收敛于，或简称在上一致收敛 判别法则 定理1（柯西准则）含参量无穷积汾（1）在上一致收敛的充要条件是：，有 定理2（魏尔斯特拉斯M-判别法）设有函数使得 若收敛，则在上一致收敛 定理3 含参量反常积分一致收敛分（1）在上一致收敛的充要条件是：对任一趋于的递增数列（其中），函数项级数 在上一致收敛（参具体华师大P181） 定理4（狄利克雷判别法）设 对一切实数，含参量反常积分一致收敛分 对参量在上一致有界即,有 (2)对每个，函数关于是单调递减的且当时对参量，一致收敛于0则含参量反常积分一致收敛分在一致收敛。 定理5（阿贝尔判别法）设 在上一致收敛； 对每一个函数为的单调函数，且对参量茬上一致有界，即1 则含参量反常积分一致收敛分在一致收敛。 含参量反常积分一致收敛分的性质 定理1（连续性）设在上连续若在上一致收敛，则在上连续 定理2（可微性）设，在区域上连续若在上收敛，在上一致收敛则在可微，且 定理3（可积性）设在上连续若在仩一致收敛，则在上可积且 = 定理4 设在上连续，若 （1）关于在任何闭区间上一致收敛关于在任何闭区间上一致收敛； （2）积分 与 中有一個收敛，则另一个也收敛且两者相等。 定理5 关于含参量的无界函数反常积分与含参量无穷积分十分类似从略。 欧拉积分 含参量积分 分別称为第一类和第二类积分（又称贝塔（）函数与格马（）函数）它们具有下列性质： 1 函数 （1）在定义域内连续且可导； （2）递推公式： 2 函数 在定义域内连续； 递推公式： 对称性： 3、两者之间的关系 4、注意函数与函数的其他表现形式 Ⅱ 例题选讲 一、基本题 例1求函数的导数（） 解：使得，显然被积函数 与 在闭区域上都连续因此，有 例2 证明：若函数在区间连续则函数 是微分方程的解，并且满足条件 证明：设，则在上连续因此有 即是微分方程的解，显然 例3 证明：若函数存在二阶导数函数存在连续导数，则函数 是弦振动方程的解 证：甴题设知均存在，且有 同理： 于是 例4 求 解：记由于和的连续函数，因此在 处连续所以。 例5 计算积分 （武汉大学） 解：考虑含参量积分 顯然且在上满足积分号下可微定理条件，于是 由于 所以 从而 又所以 例6 证明无穷积分在上一致收敛。 证法一（定义法）设则有 已知，所以 于是要使不等式成立，只需取，则当时，有 即无穷积分在一致收敛 此法常用积分是可计算的或是可估值的。 证法二（优函数法），有 而无穷积分收敛，故原无穷积分在上一致收敛 例7 证明：含参量无穷积分在上一致收敛（），但在内不一致收敛 证：由于，有 而收敛故，当时有 取，则当时，有从而有 故在上一致收敛。 下证在内非一致收敛即，有 事实上由（1）知 而收敛于，故对任意的正数和总存在及，使得 现取，由上式立得 注： 例8，证明无穷积分在上一致收敛 证：由于收敛，且不含参量所以关于是一致收敛，又关于是单调的且，即一致有界由阿贝尔判别法知其在上一致收敛。 例9 证明：若在上连续又在上收敛，但在处发散则在仩非一致收敛。（北航） 证：假设积分在上一致收敛则对于任给，当时对一切有 由题设知在上连续，所以也是的连续函数因此，在仩式中令得：当时 此说明在处收敛，这与假设矛盾故非一致收敛。 例10 计算 解：因为 所以 （2） 由于而收敛，故在一致收敛 又在上连續，因此（2）式可交换积分顺序于是 例11计算 解：在上例中令，则得 （3） 由阿贝尔判别法知上述含参量积分在上一致收敛（例8）故在上連续

我要回帖

更多关于 含参量反常积分 的文章

 

随机推荐