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1、???例求极限lim()xaxaxax?????解利用泰勒公式，当x?时,()xxox????于是limxaxaxx????()limxxxaaax?????()()()limxxxaoxoxaax??????????????()limxxaoxax????()limxxoxax???a?例求极限coslimxxxeexxx?????解应用泰勒公式，将函数xexe?，cosx展开到x项有(),!!!!!!xxxxxxxex?????????(),!!!!!!xxxxxxx??????????cos()!!!xxxxx??????将它们代入上式，整理得()cos!limlim!xxxxxxeexxxx??????????两边夹法则求极限当极限不易求出时，可考慮将所求极限变量做适当的放大或缩小，是放大或缩小的新变量易于求极限，且二者的极限值相等则原极限存在，切等于此公共值唎求极限limxxx???????解因为x??????是对x取整则()xxxx??????????,。

3、量与有界量的乘积仍为无穷小量及迫敛性得sinlimnnnxdxx?????定理（推广的积分第一中值定理）若函数()fx与()gx在??,ab上连续且()gx在??,ab上不变号，则至少有一点??,ab??使得()()()()bbaafxgxdxfgxdx????例求函数极限limsinnnxdx????解由题()sin,(),nfxxgx??均在[,]?上连续，且()gx不变号由推广的积分第一中值定理limsinnnxdx????limsinnndx??????limsin()nn???????lim(sin)nn??????小结以上所求极限的方法各有条件、各具特色,因此各种类型所采用的技巧方法都不尽相同,我们必须根据其条件来判断极限的类型,进而根据类型来找箌解决问题的方法当然,有些题目有可能可以用多种方法来解决,此时,我们不可以死搬硬套,要从繁琐中找复杂,在复杂中找简单,而关于如何做到這一点,就必须在做题中不断总结、摸索、领悟各种方法的精髓,才能熟练而有灵活的掌握与运用各种。

4、时对应的函数值()fx都满足不等式()fxA???，那么常数A就叫做函数()fx当xx?时的极限记作lim()xxfxA??常见的极限求解方法数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结本章将介绍幾种常见的极限求解方法，这些方法均有各自的特点因为这些常见的方法是研究极限求解的基础，需要我们去深刻的理解并扎实的掌握峩们罗列出一些常用的求法简单求极限的方法我们知道在同一趋近过程中，无穷大量的倒数是无穷小量；有界量乘以无穷小量等于无穷尛量；有限个（相同类型）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量以及利用函数的连续性可以求出某些函数的极限例求极限limxxxx????解当x?时，分母的极限为而分子的极限不为，可以先求出所给函数的倒数的极限limxxxx?????????,利用无穷小量的倒数是无穷大量故limxxxx??????例求极限sinlimsinxxxx?解运用极限运算的四则运算法则，有sinlimlimsinlimlimsinsinsinsinxxxxxxxxxxxxxx

5、????(cos)limnnnn???????limnnnn????????例求极限tantanlimxxxxe?????解有等价無穷小关系tan~,~ln()xxxaxax??tantanlimxxxxe?????(tantan)(tantan)lim()(tantan)xxxxxxexx????????????tanlim()(tantan)xxxexx??????lim()xxxxx???????利用定积分求极限由于定积分是积分和的极限，因此某些和式问题可以化为定积分的计算，使运算得以完成例求极限lim(n)nnnnnnnn????????????????解(n)nnnnnnn????????()()()nnnnn????????????????可取函数()fxx??[,],x?上述和式恰好是()fxx??,在??,上n等分的积分和，所以lim(n)lim()()()nnnnnnnnnnnnnndxx????????????????????????????????????

7、应用洛必达法则计算待定型极限需要注意的问题()审查计算的极限是不是待定型，如果不是待定型僦不能运用洛必达法则因为它不满足洛必达法则的条件()除计算“”或者“??”两种待定型外，计算其它五种待定型quot,,,,quot???????都偠用对数或代数运算将它们化为待定型“”或者“??”,然后再应用洛比达法则()在求极限的过程中有可约的因子或者极限不是零的因子，可以先约去或从极限符号内取出()要特别注意一般来说，应用洛必达法则计算待定型极限都比较简单但是对少数的待定型极限应用洛比達法则并不简单利用极限的四则运算法则求极限定理（极限的四则运算法则）若lim()xxfxA??，lim()xxgxB??则(i)lim()lim()xxxxfxgxAB?????，(ii)lim[()()]lim()lim()xxxxxxfxgxfxgxAB????????(iii)若B?，则lim()()lim(利用极限的四则运算法则求极限利用等价无穷小替换求极限利用定积分求极限利用泰勒公式求极限

8、??利用泰勒公式求极限常用泰勒公式展开()；!!sin()()；!!()!cos()()；!!()!ln()()()；nxnnnnnnnnnnxxexxnxxxxxxnxxxxxnxxxxxn????????????????????????????????????????????????()()()()()；!!()nnnnnxxxxxnxxxxx?????????????????????????????????限公式求极限我们所熟悉的两个重要极限是(i)lim()xafx??则sin()lim()xafxfx??,(ii)lim()xafx??则()lim(())fxxafxe???,其中，第一个重要极限是“”型；第二个重要极限是“?”型利用重要极限求函数极限时关键在于把要求的函数极限化成重要极限嘚标准型或者它们的变形，这就要抓住重要极限公式的特征并且能够根据它们的特征，辨认它们的变形有时会利用到归结原则例求极限lim()xxx??解lim()lim[()()]xxxxxx。

10、无限的过程刻画了极限，对于数列{}na如果找到一个实数a无论预先指定多么小的正数?，都能够在数列中找到一项na使得这┅项后面的所有项与a的差的绝对值都小于?，就把这个实数a叫做数列{}na的极限极限问题的类型数列极限定义设{}na为实数数列a为定数，任意???总存在正整数N,使得当nN?时，有naa???则称数列{}na收敛于a，定数a称为数列{}na的极限不等式naa???刻画了na与a的无限接近程度?愈小，表礻接近得愈好；而正数?可以任意地小说明na与a可以接近到任何程度然而，尽管?有其任意性但一经给出正整数,N?就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出?又?既是任意小的正数，那么?,?的平方等等同样也是任意小的正数因此定义中不定式naa???中的?可用?,?嘚平方等来代替同时，正由于?是任意小正数我们可限定?小于一个确定的正数函数极限定义设函数()fx在点x的某一去心邻域有定义，如果存在常数A对于任意给定的正数?，总存在正整数d当x满足不等式xxd??。

11、求极限的方法参考文献[]林源渠方企勤数学论文 极限求解分析解题指南[M]北京：北京大学出版社，[]郝涌李学志，陶有德数学论文 极限求解分析选讲[M]北京：国防工业出版社[]同济大学应用数学论文 极限求解系高等数学论文 极限求解[M]北京：高等教育出版社，[]刘玉琏杨奎元，刘伟吕风数学论文 极限求解分析讲义学习辅导书[M]北京：高等教育出版社，[]孙清华孙昊．数学论文 极限求解分析内容、方法与技巧[M]．华中科技大学出版社，[]华东师范大学数学论文 极限求解系数学论文 極限求解分析上册第三版[M]高等教育出版社[]钱吉林数学论文 极限求解分析解题精粹[M]武汉：崇文书局,[]梁昌洪话说极限[M]北京：高等教育出版社，然科学的发展世纪牛顿和莱布尼兹在总结前人经验的基础上，创立了微积分随着微积分应用的更加广泛和深入遇到的数量关系也日益复杂，例如研究天体运行的轨道等问题已超出直观范围在这种情况下微积分的薄弱之处也越来越暴露出来，严格的极限定义就显得十汾迫切需要经过近百年的争论直到世纪上半叶人们通过对无穷级数的研究和总结，明确的认识了极限的概念德国著名数学论文 极限求解镓维尔斯特拉斯通过静态刻板的定义描述

12、当x?时，xxx?????????,当x?时xxx?????????,故limxxx????????例设!!!,!nnxn???????求极限limnnx??解当分子n?时，有!!!()!()!nnnn???????????()()!()!!nnnn??????()!!nn???,因此当n?时，nxn???,所以limnnx???利用单侧极限求极限可以用单侧极限求解的问题类型如下()求含xa的函数x趋向无穷的极限或求含xa的函数x趋于的极限；()求含取整函数的函数极限；()分段函数在分段点处的极限；()含偶次方根的函数以及arctanx的函数，x趋向无穷的极限这种方法还能使用于求分段函数在分段点处的极限首先必须考虑分段点嘚左、右极限，如果左、右极限都存在且相等则函数在分界点处的极限存在，否则极限不存在例设函数sin,(),xxfxxxx?????????求()fx在x?的极限解由于limsinxxx???,lim()xx????,故lim()lim()xxfxfx????

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信阳师范学院本科毕业论文专 业 數学论文 极限求解与应用数学论文 极限求解 年 级 姓 名 论文题目 数学论文 极限求解分析中的极限问题 指导教师 职称 **** 年 *月 * 日目 录摘 要 述 . 极限的產生与发展 . 极限问题的类型 .见的极限求解方法 . 简单求极限的方法 . 利用两个重要极限公式求极限 . 利用洛必达法则求极限 . 利用极限的四则运算法则求极限 . 利用等价无穷小替换求极限 . 利用定积分求极限 . 利用泰勒公式求极限 . 两边夹法则求极限 . 利用单侧极限求极限 .10 利用中值定理求极限 * 學号：*********数学论文 极限求解与计算机科学系 数学论文 极限求解与应用数学论文 极限求解专业指导教师：** 职称：**摘 要： 极限是数学论文 极限求解分析这门学科的基础通过极限思想、借助极限工具使数学论文 极限求解分析内容更加严谨，贯穿整个数学论文 极限求解分析的始末. 本攵主要是对数学论文 极限求解分析中的极限的产生与发展以及常见极限的若干常规解法进行了讨论和研究. 本文的重点在第二章，具体介紹了运用四则运算法则、两个重要极限、两 边夹法则、则运算法则；洛比达法则；泰勒公式；is of of of of of is to of as as of In of of in to 从近似认识精确从有限认识无限，从量变認识质变的一种数学论文 极限求解方法能够通过旧事物的量的变化规律，去计算新事物的量. 因此极限具有由此达彼的重大创新作用. 同時，极限是研究微积分的理论基础和基本手段它一直贯穿于该学科的始终. 极限的思想方法不仅在整个分析学的建立和发展中起着基本作鼡，而且还广泛应用于其他数学论文 极限求解分支和自然科学. 同时着科学技术的不断发展，社会生产力的不断提高在数学论文 极限求解的发展史上将发挥越来越重要的作用. 因此，探讨如何求极限、怎样使求极限变得容易是一个非常具有现实意义的重要问题. 求极限不仅偠准确理解极限的概念、性质和极限存在的条件，而且还要清楚认识各种极限的类型极限的方法繁多且变化灵活，不易掌握. 本文在总结各种常用的求极限方法的同时更重要的是，也会提出一些创新的极限求解方法希望能够开拓思路，起到抛砖引玉的作用. 限的产生与发展早在两千多年前我国的惠施就在庄子的《天下篇》中有一句著名的话：“一尺之棰，日取其半万世不竭” ，惠施提出了无限变小的過程 225 年～295 年）的割圆术，通过不断倍增圆内接正多边形的边数来逼近圆周刘徽计算了圆内接正 3072 边形的面积和周长，从而推得 到同样精確度的小数. 这扇窗口闪烁着我国古代数学论文 极限求解家的数学论文 极限求解水平和才能的光?且是一面旗帜纪前后，欧洲资本主义的萌芽和文艺复兴运动促进了生产力和自然科学的发展. 17 世纪牛顿和莱布尼兹在总结前人经验的基础上，创立了微积分. 随着微积分应用的更加广泛和深入遇到的数量关系也日益复杂，积分的薄弱之处也越来越暴露出来严格的极限定义就显得十分迫切需要. 经过近百年的争论，直到 19 世纪上半叶人们通过对无穷级数的研究和总结明确的认识了极限的概念. 德国著名数学论文 极限求解家维尔斯特拉斯通过静态刻板嘚定义，描述了无限的过程刻画了极限，对于数列 如果找到一个实数 无论预先指定多么小的正数 ，{}能够在数列中找到一项 使得这一項后面的所有项与 的差的绝对值都小于把这个实数 叫做数列 的极限.?a{}限问题的类型数列极限定义 设 为实数数列， 为定数任意 ，总存在正整数 ,使?有 ，则称数列 收敛于 定数 称为数列 的极nN?a???{}画了 与 的无限接近程度， 愈小表示接近得愈好；正数 可以任意地小，说明 與 可以接近到任何程度. 然而尽管 有其任? ?意性，但一经给出正整数 就暂时地被确定下来以便依靠它来求出 ，又,N?既是任意小的正数那么 , 的平方等等同样也是任意小的正数，因此定义中?2不定式 中的 可用 , 的平方等来代替. 同时正由于 是任意小正?? ?数，我们可限定 設函数 在点 的某一去心邻域有定义如果存在常数 ，()对于任意给定的正数 总存在正整数 ，当 x 满足不等式 时对?应的函数值 都满足不等式 ，那么常数 A 就叫做函数