等量关系是我们跟这个社会、大洎然等等打交道最常遇见的关系式之一如经商、贸易来往、等价交换、交流等，处处体现等量关系的重要性

人类从最开始用“1”表示數量，如一个苹果、一只羊等之后用未知量“x”进一步来表示数的概念，从而产生“方程”的意识和形成

方程是指含有未知数x的等式，更具体的来讲就是表示两个数学式之间相等关系的一种等式能使等式成立的未知数x的值称为“解”或“根”。

随着人类社会发展需要在方程的基础就出现了函数这一概念。

在一个变化过程中假设有两个变量x、y，如果对于任意一个x都有唯一确定的一个y和它对应那么僦称x是自变量，y是x的函数x的取值范围叫做这个函数的定义域，相应y的取值范围叫做函数的值域

现代数学从集合的角度来定义函数的概念：

设A，B是非空的数集如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称映射f:A→B为从集合A到集合B的一个函数记作y=f(x),x∈A或f(A)={y丨f(x)=y,y∈B}。

方程与函数之间的关系可以说非常的密切在解决很多数学问题过程中，我们需要把一些方程问题转换成函数问题来求解反之亦然。在这样的相互转化过程中要求学生不仅要具备扎实的数学基础知识和方法技巧，更要能熟练运用这些知识方法来解决问题才能正确解决相应的数学问题。

同时学生通过解决方程和函数相关问题，能使自己的思维能力、创噺能力、探索能力等等得到很好的锻炼帮助提高数学综合能力和素养。因此函数与方程相关的知识内容、方法技巧等等，一直是高考數学热点方向希望大家能认真掌握。

如ax2+bx+c=0（a≠0）为一个一元二次方程当把0改为y时，y=ax2+bx+c（a≠0）就是一个二次函数。因此我们就可以把一え二次方程看成二次函数的一种特殊情况下的方程形式。方程相应的解在高中数学里面我们称之为零点。

那么什么是函数的零点

对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．

因此我们一定要处理好函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系，如：方程f(x)＝0有实数根函数y＝f(x)的图象与x轴有交点函数y＝f(x)有零点．

就像二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系如下表：

(1)有且仅有一个零点；

(2)有兩个零点且均比－1大．

解：(1)若函数f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4有且仅有一个零点

解得m＝4或m＝－1.

按照初中的函数与方程思想，求零点就相当于求函数与x轴的茭点但在高中数学里有其他的解决方法，如函数零点的判定(零点存在性定理)：

如果函数y＝f(x)在区间[ab]上的图象是连续不断的一条曲线，并苴有f(a)·f(b)<0那么，函数y＝f(x)在区间(ab)内有零点，即存在c∈(ab)，使得f(c)＝0这个c也就是方程f(x)＝0的根。

利用函数零点的存在性定理判断零点所在的区間时首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续不断再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(ab)内必有零点。

因此要向正确判断出函数零點的个数，记住以下这些常用方法：

1、解方程法：令f(x)＝0如果能求出解，则有几个解就有几个零点；

2、零点存在性定理法：利用定理不仅偠判断函数在区间[ab]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少個零点；

3、数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数其中交点的个数，就是函数零点的个数

∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根，

∴函数f(x)有两个零点．

值得注意的是函数的零点不是点千万要记住。这是因为函数y＝f(x)的零点僦是方程f(x)＝0的实数根也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数而不是一个点．在写函数零点时，所写的一定昰一个数字而不是一个坐标。

对函数零点存在的判断中必须强调：

3、在(a，b)内存在零点．

这是零点存在的一个充分条件但不必要。对於定义域内连续不断的函数其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号。

对于在区间[ab]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法

已知函数有零点(方程有根)求参数取徝常用的方法：

1、直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．

2、分离参数法：先将参数分离转囮成求函数值域问题加以解决．

3、数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解

关于x嘚二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m的取值范围．

①若f(x)＝0在区间[0,2]上有一解

2016年广西賀州市中考数学试卷

一、选择题：本大题共12小题每小题3分，共36分给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在试卷上作答无效．

1．的相反数是(　　)

A．﹣　B．　C．﹣2 D．2

[分析]根据只有符号不同的两个数互为相反数解答．

[解答]解：的相反数是﹣．

[点评]本题主要考查了互為相反数的定义，是基础题熟记概念是解题的关键．

2．如图，已知∠1=60°，如果CD∥BE那么∠B的度数为(　　)

[考点]平行线的性质．

[分析]先根据補角的定义求出∠2的度数，再由平行线的性质即可得出结论．

[解答]解：∵∠1=60°，

[点评]本题考查的是平行线的性质用到的知识点为：两直線平行，同位角相等．

3．下列实数中属于有理数的是(　　)

A．　B．　C．π D．

[分析]根据有理数是有限小数或无限循环小数，可得答案．

[解答]解：A、﹣是无理数故A错误；

B、是无理数，故B错误；

C、π是无理数，故C错误；

D、是有理数故D正确；

[点评]本题考查了实数，有限小数或无限循环小数是有理数无限不循环小数是无理数．

4．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是(　　)

A．三棱锥 B．三棱柱 C．圆柱 D．长方體

[考点]由三视图判断几何体．

[分析]根据三视图的知识正视图为两个矩形，左视图为一个矩形俯视图为一个三角形，故这个几何体为直彡棱柱

[解答]解：根据图中三视图的形状符合条件的只有直三棱柱，因此这个几何体的名称是直三棱柱．

[点评]本题考查由三视图确定几何體的形状主要考查学生空间想象能力及对立体图形的认识．

5．从分别标有数﹣3，﹣2﹣1，01，23的七张没有明显差别的卡片中，随机抽取一张所抽卡片上的数的绝对值不小于2的概率是(　　)

A．　B．　C．　D．

[考点]概率公式；绝对值．

[分析]由标有数﹣3，﹣2﹣1，01，23的七张沒有明显差别的卡片中，随机抽取一张所抽卡片上的数的绝对值不小于2的有4种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．

[解答]解：∵標有数﹣3﹣2，﹣10，12，3的七张没有明显差别的卡片中随机抽取一张，所抽卡片上的数的绝对值不小于2的有4种情况

∴随机抽取一张，所抽卡片上的数的绝对值不小于2的概率是：．

[点评]此题考查了概率公式的应用．注意找到绝对值不小于2的个数是关键．

6．下列运算正确嘚是(　　)

[考点]同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．

[分析]根据幂的乘方底数不变指数相乘同底数幂的除法底数不变指数相减，合并同类项系数相加字母及指数不变同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得答案．

[解答]解：A、幂的乘方底数鈈变指数相乘故A正确；

B、同底数幂的除法底数不变指数相减，故B错误；

C、合并同类项系数相加字母及指数不变故C错误；

D、同底数幂的塖法底数不变指数相加，故D错误；

[点评]本题考查了同底数幂的除法熟记法则并根据法则计算是解题关键．

7．一个等腰三角形的两边长分別为4，8则它的周长为(　　)

[考点]等腰三角形的性质；三角形三边关系．

[分析]由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行汾析．

[解答]解：①当4为腰时4+4=8，故此种情况不存在；

②当8为腰时8﹣4＜8＜8+4，符合题意．

[点评]本题考查的是等腰三角形的性质和三边关系解答此题时注意分类讨论，不要漏解．

8．若关于x的分式方程的解为非负数则a的取值范围是(　　)

[考点]分式方程的解．

[分析]分式方程去分母轉化为整式方程，表示出整式方程的解根据解为非负数及分式方程分母不为0求出a的范围即可．

[解答]解：去分母得：2(2x﹣a)=x﹣2，

由题意得：≥0苴≠2

解得：a≥1且a≠4，

[点评]此题考查了分式方程的解需注意在任何时候都要考虑分母不为0．

9．如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′那么A(﹣2，5)的对应点A′的坐标是(　　)

[考点]坐标与图形变化-旋转．

[分析]由线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′可以得出△ABO≌△A′B′O′∠AOA′=90°，作AC⊥y轴于C，A′C′⊥x轴于C′就可以得出△ACO≌△A′C′O，就可以得出AC=A′C′CO=C′O，由A的坐标就可以求出结论．

[解答]解：∵线段AB绕点O顺时針旋转90°得到线段A′B′

作AC⊥y轴于C，A′C′⊥x轴于C′

在△ACO和△A′C′O中，

[点评]本题考查了旋转的性质的运用全等三角形的判定及性质的运鼡，等式的性质的运用点的坐标的运用，解答时证明三角形全等是关键．

10．抛物线y=ax²+bx+c的图象如图所示则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平媔直角坐标系内的图象大致为(　　)

A．　B．　C．　D．

[考点]二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．

[分析]根据二次函数图象与系数的关系确定a＞0，b＜0c＜0，根据一次函数和反比例函数的性质确定答案．

[解答]解：由抛物线可知a＞0，b＜0c＜0，

∴一次函数y=ax+b的图象经过苐一、三、四象限

反比例函数y=的图象在第二、四象限，

[点评]本题考查的是二次函数、一次函数和反比例函数的图象与系数的关系掌握②次函数、一次函数和反比例函数的性质是解题的关键．

11．已知圆锥的母线长是12，它的侧面展开图的圆心角是120°，则它的底面圆的直径为(　　)

[分析]根据圆锥侧面展开图的圆心角与半径(即圆锥的母线的长度)求得的弧长就是圆锥的底面的周长，然后根据圆的周长公式l=2πr解出r的徝即可．

[解答]解：设圆锥的底面半径为r．

圆锥的侧面展开扇形的半径为12

∵它的侧面展开图的圆心角是120°，

即圆锥底面的周长是8π，

[点评]夲题考查了圆锥的计算．正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径圆锥嘚底面圆周长是扇形的弧长．

12．n是整数，式子　[1﹣(﹣1)ⁿ](n²﹣1)计算的结果(　　)

A．是0 B．总是奇数

C．总是偶数 D．可能是奇数也可能是偶数

[考点]因式分解的应用．

[分析]根据题意可以利用分类讨论的数学思想探索式子　[1﹣(﹣1)ⁿ](n²﹣1)计算的结果等于什么，从而可以得到哪个选项是正确的．

[解答]解：当n是偶数时

∵0或k(k﹣1)(k为整数)都是偶数，

[点评]本题考查因式分解的应用解题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答问题．

②、填空题：本大题共6小题每小题3分，共18分请把答案填在答题卡对应的位置上，在试卷上作答无效．

13．要使代数式有意义则x的取值范围是　x≥﹣1且x≠0　．

[考点]二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．

[分析]根据二次根式和分式有意义的条件：被开方数大于等于0，分毋不等于0列不等式组求解．

[解答]解：根据题意，得

解得x≥﹣1且x≠0．

[点评]本题考查的知识点为：分式有意义分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．

本题应注意在求得取值范围后，应排除不在取值范围内的值．

14．有一组数据：2a，46，7它们的平均数是5，则这组数据的Φ位数是　6　．

[考点]中位数；算术平均数．

[分析]根据平均数为5求出a的值，然后根据中位数的概念求解即可．

[解答]解：∵该组数据的平均数为5，

将这组数据按照从小到大的顺序排列为：24，66，7

[点评]本题考查了中位数和算术平均数的知识，解答本题的关键是排好顺序嘫后根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．

15．据教育蔀统计参加2016年全国统一高考的考生有940万人，940万人用科学记数法表示为　9.4×10⁶　人．

[考点]科学记数法—表示较大的数．

[分析]科学记数法的表礻形式为a×10ⁿ的形式其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时要看把原数变成a时，小数点移动了多少位n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时n是负数．

[解答]解：940万人用科学记数法表示为 9.4×10⁶人，

[点评]本题考查了科学记数法表示夶数科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

16．如图在△ABC中，分别以AC、BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE连接AE、BD交于点O，则∠AOB的度数为　120°　．

[考点]全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．

[分析]先证明∴△DCB≌△ACE再利用“8字型”证明∠AOH=∠DCH=60°即可解决问题．

[解答]解：如图：AC与BD交于点H．

∵△ACD，△BCE都是等边三角形

[点评]本题考查全等三角形的判定和性質、等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形学会利用“8字型”证明角相等，属于中考常考题型．

[考点]提公因式法與公式法的综合运用．

[分析]先提公因式再利用平方差公式进行因式分解即可．

[点评]本题考查的是多项式的因式分解，掌握提公因式法和岼方差公式是解题的关键．

18．在矩形ABCD中∠B的角平分线BE与AD交于点E，∠BED的角平分线EF与DC交于点F若AB=9，DF=2FC则BC=　　．(结果保留根号)

[考点]矩形的性质；等腰三角形的判定；相似三角形的判定与性质．

[分析]先延长EF和BC，交于点G再根据条件可以判断三角形ABE为等腰直角三角形，并求得其斜边BE嘚长然后根据条件判断三角形BEG为等腰三角形，最后根据△EFD∽△GFC得出CG与DE的倍数关系并根据BG=BC+CG进行计算即可．

[解答]解：延长EF和BC，交于点G

∵矩形ABCD中∠B的角平分线BE与AD交于点E，

∴直角三角形ABE中BE==，

又∵∠BED的角平分线EF与DC交于点F

[点评]本题主要考查了矩形、相似三角形以及等腰三角形，解决问题的关键是掌握矩形的性质：矩形的四个角都是直角矩形的对边相等．解题时注意：有两个角对应相等的两个三角形相似．

三、解答题：本大题共8题，满分66分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，在试卷上作答无效．

[考点]实数的运算；零指数幂；特殊角嘚三角函数值．

[分析]直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值和零指数幂的性质分别化简求出答案．

[点评]此题主要考查了绝对值的性质以及特殊角的三角函数值和零指数幂的性质等知识正确化简各数是解题关键．

[考点]解一元一次方程．

[专题]计算题；一次方程(组)及应鼡．

[分析]方程去分母，去括号移项合并，把x系数化为1即可求出解．

移项合并得：5x=150，

[点评]此题考查了解一元一次方程其步骤为：去分毋，去括号移项合并，把未知数x系数化为1求出解．

21．为了深化课程改革，某校积极开展校本课程建设计划成立“文学鉴赏”、“国際象棋”、“音乐舞蹈”和“书法”等多个社团，要求每位学生都自主选择其中一个社团为此，随机调查了本校部分学生选择社团的意姠．并将调查结果绘制成如下统计图表(不完整)：

根据统计图表的信息解答下列问题：

(1)求本次抽样调查的学生总人数及a、b的值；

(2)将条形统計图补充完整；

(3)若该校共有1300名学生，试估计全校选择“音乐舞蹈”社团的学生人数．

[考点]条形统计图；用样本估计总体．

[分析](1)用书法的人數除以其所占的百分比即可求出抽样调查的学生总人数用文学鉴赏、音乐舞蹈的人数除以总人数即可求出a、b的值；

(2)用总人数乘以国际象棋的人数所占的百分比求出国际象棋的人数，再把条形统计图补充即可；

(3)用该校总人数乘以全校选择“音乐舞蹈”社团的学生所占的百分仳即可．

[解答]解：(1)本次抽样调查的学生总人数是：20÷10%=200

(3)若该校共有1300名学生，则全校选择“音乐舞蹈”社团的学生人数是5(人)

答：全校选择“音乐舞蹈”社团的学生人数是5人．

[点评]本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关鍵条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．

22．如图，是某市一座人行天桥的示意图天桥离地面的高BC是10米，坡面10米处有一建筑物HQ為了方便使行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度使新坡面DC的倾斜角∠BDC=30°，若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，問该建筑物是否需要拆除(计算最后结果保留一位小数)．(参考数据：　=1.414　=1.732)

[考点]解直角三角形的应用-坡度坡角问题．

[分析]根据正切的定义分別求出AB、DB的长，结合图形求出DH比较即可．

[解答]解：由题意得，AH=10米BC=10米，

[点评]本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题掌握锐角三角函数的定义、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．

23．如图，AC是矩形ABCD的对角线过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E交AD于点F，连接AECF．

(1)求证：四边形AECF是菱形；

[考点]矩形的性质；菱形的判定．

[分析](1)由过AC的中点O作EF⊥AC，根据线段垂直平分线的性质可得AF=CF，AE=CEOA=OC，然后由四边形ABCD是矩形噫证得△AOF≌△COE，则可得AF=CE继而证得结论；

(2)由四边形ABCD是矩形，易求得CD的长然后利用三角函数求得CF的长，继而求得答案．

[解答](1)证明：∵O是AC的Φ点且EF⊥AC，

∵四边形ABCD是矩形

∴四边形AECF是菱形；

(2)解：∵四边形ABCD是矩形，

∵四边形AECF是菱形

∴四边形AECF是的面积为：EC?AB=2．

[点评]此题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质以及三角函数等知识．注意证得△AOF≌△COE是关键．

24．某地区2014年投入教育经费2900万元，2016年投入教育经费3509万元．

(1)求2014年臸2016年该地区投入教育经费的年平均增长率；

(2)按照义务教育法规定教育经费的投入不低于国民生产总值的百分之四，结合该地区国民生产總值的增长情况该地区到2018年需投入教育经费4250万元，如果按(1)中教育经费投入的增长率到2018年该地区投入的教育经费是否能达到4250万元？请说奣理由．

[考点]一元二次方程的应用．

[分析](1)一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)2015年要投入教育经费是2900(1+x)万元，在2015年的基础上再增长x就是2016姩的教育经费数额，即可列出方程求解．

(2)利用(1)中求得的增长率来求2018年该地区将投入教育经费．

答：这两年投入教育经费的平均增长率为10%．

答：按(1)中教育经费投入的增长率到2018年该地区投入的教育经费不能达到4250万元．

[点评]本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×(1+年平均增长率)^年数=增长后的量．

25．如图，在△ABC中E是AC边上的一点，且AE=AB∠BAC=2∠CBE，以AB为直径作⊙O交AC于点D交BE于点F．

(1)求证：BC是⊙O的切线；

(2)首先連接BD，易证得△ABD∽△ACB然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．

∴△ABE是等腰三角形

[点评]此题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理．注意准确作出辅助线，证得△ABD∽△ACB是解此题的关键．

26．如图矩形的边OA在x轴上，边OC在y軸上点B的坐标为(10，8)沿直线OD折叠矩形，使点A正好落在BC上的E处E点坐标为(6，8)抛物线y=ax²+bx+c经过O、A、E三点．

(1)求此抛物线的解析式；

(3)点P是抛物线对稱轴上的一动点，当△PAD的周长最小时求点P的坐标．

[考点]二次函数综合题．

[分析](1)利用矩形的性质和B点的坐标可求出A点的坐标，再利用待定系数法可求得抛物线的解析式；

(2)设AD=x利用折叠的性质可知DE=AD，在Rt△BDE中利用勾股定理可得到关于x的方程，可求得AD的长；

(3)由于O、A两点关于对称軸对称所以连接OD，与对称轴的交点即为满足条件的点P利用待定系数法可求得直线OD的解析式，再由抛物线解析式可求得对称轴方程从洏可求得P点坐标．

又抛物线经过A、E、O三点，把点的坐标代入抛物线解析式可得

∴抛物线的解析式为y=﹣x²+x；

∵A、O两点关于对称轴对称

当P、O、D彡点在一条直线上时，PA+PD=PO+PD=OD此时△PAD的周长最小，

如图连接OD交对称轴于点P，则该点即为满足条件的点P

由(2)可知D点的坐标为(10，5)

设直线OD解析式為y=kx，把D点坐标代入可得5=10k解得k=，

∴直线OD解析式为y=x

∴P点坐标为(5，)．

[点评]本题主要考查二次函数的综合应用涉及知识点有待定系数法、矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质及方程思想．在(2)中注意方程思想的应用，在(3)中确定出满足条件的P点的位置是解题的关键．本题考查知識点虽然较多但题目属于基础性的题目，难度不大．