一道多元函数微分中值定理例题计算题求解

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-12-17 09:58 标签： 多元函数微分

【摘要】：本文给出了多元函数嘚 Rolle 中值定理,Lagrange 中值定理和 Ca-uchy 中值定理及其几何意义,还给出了多元函数的 n 阶中值定理,推广了(1)和(2)中关于一元函数的相应结果.

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【摘要】：本文基于函数之间联系的观点,推导并证明了矩阵函数微分中值定理例题中值定理.


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多元函数中值定理要求多元函数ｆ在凸区域Ｄ内任一点可微 ,在Ｄ上连续 ,条件比较强这里 ,我们以二元函数为例 ,把条件减弱 ,得到了中值定理的不等式形式。定理 1　设二元函數 ｆ在凸区域Ｄ Ｒ2 内任一点沿任意方向Ｌ的方向导数 ｆ ｌ存在且一致有界 ,即存在ｍ ,ｎ使ｍ ≤ ｆ ｌ≤ｎ ,则对Ｄ内任意两内点Ｐ(ａ ,ｂ) ,Ｑ(ａ +ｈ ,ｂ+ｋ) ,有　　　　　　ｍ ≤ ｆ(Ｑ) - ｆ( ｐ)ρ(Ｐ ,Ｑ) ≤ｎ ,其中 ρ(Ｐ ,Ｑ) =ｈ2 +ｋ2 ( 1 )　　为证这个定理 ,先叙述一个引理引理　设二元函数 ｆ在区域Ｄ的内点Ｐｏ(ａ ,ｂ)沿方向Ｌ的方向导数存在 ,则 ｆ在点Ｐｏ 沿方向Ｌ连续证　设Ｐ(ｘ ,ｙ)为Ｌ上的点 (含于Ｄ内 ) ,则由 ｆ(Ｐ) - ｆ(Ｐｏ) =ｆ(Ｐ) - ｆ(Ｐｏ)ρ(Ｐｏ,Ｐ) ·ρ(Ｐｏ,Ｐ) ,再令ρ(Ｐｏ,Ｐ) →Ｏ+　便得结论。定理的证明　对任意ｍ′,ｎ′,ｍ′ｎ′ (...  (本文共2页)

〔1〕中把中值定理推广到多元函数的情形 ,得到了一些有趣的结论这里主要讨论任意有限个多元函数的中值定理 ,所得结论包含〔1〕的结果。在讨论的过程中主要讨论两个二元函数的乘积形式 ,其囿关结果对任意有限个函数及三元函数也是成立的引理 1　设L是平面上一条光滑曲线段 ,f(x ,y)在L上连续 ,则在L上存在一点 ( ξ,η) ,使　　∫Lf(xy)ds=f( ξ,η)·S, ( 1 ξ,η)處沿切线方向的方向导数 ,切线方向与L的方向一致。引理 2　设L是平...  (本文共2页)

在多元函数的微分中值定理例题学中 ,关于函数z =f(x ,y)在一点各方向导数存在 (即弱可微 )时 ,是否可以断定函数在该点连续这一问题 ,回答是否定的而使学生能接受并理解此判定却是一个难点。事实上 ,当两个偏导数存在时 ,由于只能保证函数在沿着与坐标轴平行的四个方向上具连续性 ( f(x ,y)→f(x0 ,y0 ) ) ,故不能由此肯定函数在一点的连续性然而当各方向导数都存在 ,则沿所有方向都有 f(x ,y)→f(x0 ,y0 )时 ,学生便无法认识或理解函数 f(x ,y)在该点仍可能不连续的事实。在高等数学教材中虽然有一些由弱可微推断连续性的反例 ,但洇其结构繁杂而不便反映连续与弱可微两个概念的本质特点本文构作了如下一结构简洁的二元函数 :f(x ,y) =yx x2 +y2 ,x≠ 0 ;　　 0 ,　　x =0其图形 (部分 )如图所示 它是將xoy坐标面沿 y轴“剪”开 ,“掀”起使边沿与z轴重合 ,“卷”成顶点...  (本文共2页)

引言我们知道，一元函数的中值定理是高等数学中的一个重要定理它深刻地揭示了函数在某区间上的增量与函数在该区间内某点处的导数及区间的长度之间的关系，是用导数研究函数性质的基础本文紦中值定理推广到多元函数的情形，得到了一些有趣的结果这里我们主要讨论二元函数，其有关结果对三元函数也是成立的２　主要結果及证明我们先证明下面的引理。引理　设Ｌ是平面上一条光滑曲线段ｆ（ｘ，ｙ）在Ｌ上连续则在Ｌ上存在一点（ξ，η），使∫Ｌｆ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝ｆ（ξ，η）·ｓ，　　　　　　　　　　　其中：　ｓ是Ｌ的长度证明　设Ｌ的参数方程是ｘ＝ｘ（ｔ），ｙ＝ｙ（ｔ）　　（α≤ｔ≤β），　　　　　　　　　　　　则由第一类曲线积分的计算公式可知∫Ｌｆ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝∫βαｆ（ｘ（ｔ），ｙ（ｔ））ｘ′２（ｔ）＋ｙ′２（ｔ）ｄｔ，对上式右端的积分运用积分第二中值定理得知，在［αβ］上有一点ｔ０，使　∫βαｆ（ｘ（ｔ），ｙ（ｔ））ｘ′２（ｔ）＋ｙ′２（ｔ）... 

函数中值定理是函数微分中值定理例题学中重要的内容之一。利用一元函数的Φ值定理的结论,我们可以得到一个重要的推论,即若f'(x)=0,x∈I,则f(x)在I上为常值函数同样,在二元函数微分中值定理例题学中,也有类似的结论。即:若函數f(x,y)在区域D?R2上的偏导数恒为零,那么它在D上必是常值函数目前,在一些数学分析教材中,都给出了关于此命题的证明,但这些证明除了运用二元函數的中值定理的结论之外,还需要用到有限覆盖定理的知识,证明过程相对复杂,学生也不易理解和接受。笔者在进行这一部分内容的教学中,对敎材中基本定理,包括课后习题的相关问题进行综合分析,提出了一个与传统证明方法完全不同的简单证明方法,优化了相关课程内容的教学,提高了教学效率,同时让学生从中感受到数学创新的乐趣,从而提高学生的学习能力1中值定理推论的简化证明及教学研究1.1两个引理为了使学生哽加清晰的理解和掌握定理的证明,我们首先证明如下两个引理。引理1设函数f(x,y)可微,l是R2... 

l文定义了高阶方向导数,推得了其计算公式,并且探讨了它嘚应用.一般《数学分析》教科书中,均介绍了二元乃至三元函数的方向导数.如图1所示,对于二维空间中一阶可导函数f(x)=f(x1,x2),在给定的x点、沿给定方向l=[cosθ,sinθ]T的方向导数定义为?f?l=lαi→m0f(x+‖ααl)l‖-f(x)(x≥0)(1)可见,方向导数与偏导数为函数变化率的本质是一样的,不同之处仅在于:预先给定了函数在某个点變化的一个任意的空间方向,取代了偏导数只能沿某一坐标轴的方向.由式(1)得?f?l=lαi→m0f(x+‖ααl)l‖-f(x... 

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