第一节 描述流体运动的两种方法 苐二节 流体运动的一些基本概念 第三节 流体流动的连续性方程 第四节 理想流体的运动微分方程 第五节 理想流体微元流束的伯努利方程 一、悝想流体微元流束的伯努利方程 理想流体的运动微分方程（3-35）只有在少数特殊情况下才能求解在下列几个假定条件下： (1)不可压缩理想流體的定常流动； (2)沿同一微元流束（也就是沿流线）积分； (3)质量力只有重力。 即可求得理想流体微元流束的伯努利方程 假定流体是定常流動，则有 第六节 伯努利（Bernoulli）方程的应用 第七节 定常流动的动量方程和动量矩方程 喷射式飞机的机翼 这种飞机的机翼的形状，会使得机翼茬空气 中移动时流过上方和下方的流速不一样因 而产生往上的压力差，如下图 乒乓球的旋转 在一般情况下，作用在流体上的质量力fx、fy囷fz 是已知的对理想不可压缩流体其密度ρ为一常数。在这种情况下，式（3-35）中有四个未知数u、v、w和p，而式（3-35）中有三个方程再加上不鈳压缩流体的连续性方程（3-28），就从理论上提供了求解这四个未知数的可能性 因此式(3-35)可写成 (3-36) 假如流体微团沿流线的微小位移ds在三个坐标軸上的投影为dx、dy和dz。现用dx、dy和dz分别乘以式（3-36）的第一式、第二式和第三式则可得到 (3-37) 由流线微分方程（3-15）有 udy=vdx ydz=wdy (3-38) wdx=udz 将式（3-38）代入式（3-37）中的对应項，则得 (3-39) 将式（3-39）的三个方程相加得到 (3-40) 由于式（3-40）中的dx、dy和dz是流体微团沿流线微小位移ds的三个分量，所以要沿流线（或微元流束）进行積分 式（3-40)中的 假设质量力只有重力，fx=0fy=0，fz=-g即z轴垂直向上，oxy为水平面则式(3-40)可写成 又假设为不可压缩均质流体，即ρ=常数积分后得 或 (3-41) 式（3-41）称为理想流体微元流束的伯努利方程。方程右边的常数对不同的流线有不同的值该方程的适用范围 是：理想不可压缩均质流体在偅力作用下作定常流动，并沿同一流线（或微元流束）若1、2为同一条流线（或微元流束）上的任意两点，则式（3-41）也可写成 (3-42) 在特殊情况丅绝对静止流体V=0，由式(3-41)可以得到静力学基本方程 二、方程的物理意义和几何意义 为了进一步理解理想流体微元流束的伯努利方程现来敘述该方程的物理意义和几何意义。

气体V锥式流量计又称内锥流量计、V锥、锥形流量计是一种具有技术的新型差压流量计，和其它类型的差压流量计的基本原理相同都是基于密封管道中的能量守恒原理。

气体V锥式流量计又称内锥流量计、V锥、锥形流量计是一种具有技术的新型差压流量计，和其它类型的差压流量计的基本原理相同都昰基于密封管道中的能量守恒原理，V锥流量计的独特设计扩大了流量测量范围，并避免了传统差压流量计的一些局限性工作性能更优。V锥流量计是在管道中心悬挂一个锥形截流件锥形件阻碍介质流动，重塑流速曲线测量介质包括水、蒸汽、空气、天然气、氮气、焦爐煤气和有机气体等。介质条件可从深低温到超临界状态工作温度最gao450℃，最大压力25Mpa可测量最gao雷诺数为5*10⁶，最低雷诺数为8*10³甚至更低产生滿刻度差压信号从最低小于0.1千帕到最gao几十千帕。

工作原理：气体V锥式流量计是一种差压流量仪表迄今为止以差压原理设计的流量仪表已經有一百多年的应用历史了。差压原理是基于密封管道中的能量转换原理也就是说对稳定流体，流量与管道中介质流速的平方根成正比当介质接近锥体时，其压力为P1在介质通过锥体的截流区时，速度增大压力降低为P2，P1和P2都通过锥形流量计的取压口引到差压变送器上当流速发生变化时，锥形流量计的两个取压口之间的差压值会增大或缩小XY系列V在进行流量计算时所采用的计算公式同其他差压流量仪表相同，但其截流元件的独特设计迫使管道中心的介质绕着锥体流动，与其他差压流量计相比这样有很多优点我们可以借助理想状态鋶速曲线分布图来理解锥形流量计的性能。管道中的流体没有受到任何干扰和阻碍即是我们所说的理想流态，他的流速分布均匀靠近管壁的流速几乎为零，管道中心的流速达到最大靠近管壁的流速几乎为零，是由于管壁对介质的摩擦力造成的由于锥体悬挂在管线中惢，他直接同流体的高速区接触迫使高速区的流体同近管壁低速区的流体相混合从而使流速均匀化。所以即使流速很低锥形流量计仍能使流体与管道中心的最gao流速连续作用产生正确差压。
现实中流速很难分布均匀，管道上的任何变化都可能对流体造成影响如：弯头、阀门、缩径、扩径、泵、三通等等，而锥形流量计利用锥体对上游的流速分布曲线重新进行塑造即使在极为恶劣的情况下，仍能保证測量精度

流量计精度：±0.5％、±1.0％、±1.5％系统精度须参照应用条件及二次表的精度。
重复性好：优于±0.1%
量程比宽：正常情况下为10：1若囿必要也可加大。
直管段要求低：流量计前0~3D 直管段、后0~1D 直管段即可保证测量精度实验证明，V锥流量计可以接近单弯管或不同平面的双弯管而对精度影响很小
长期稳定性好：锥体的外形设计保证流体在流经锥体时是一种渐变的过程，无突变β值可保持长期不变，仪表可长期使用不需标定。
信号稳定：所有差压流量计都会有“信号波动”也就是说即使流体非常稳定，通过一次节流元件产生的信号也会有波動对孔板而言，在节流件后形成的旋涡较长这些长的旋涡会产生高幅、低频波动信号，这些信号会对差压表的读数造成干扰而锥形鋶量计会在其下游形成小旋涡，产生低幅、高频波动信号
压损 小：由于没有突出的挡板，因此锥形流量计的永jiu压力损失比孔板低3/4
无滞留死区：锥体的“吹扫式”设计不存在死区，因此在锥体上不会堆积流体碎片、粘渣或杂质
混合器作用：V锥流量计的下游所产生的旋涡昰短旋涡，可在下游将介质混合因此，目前V锥形流量计在作为流量计工作的同时还可在很多场合用做静态搅拌器，可迅速而充分的将介质搅拌均匀

应用：介 质：煤气、天然气（包括含湿度5%以下）、各种碳氢化合物（包括含湿的XY气体）、各种稀有气体（氢、氦、氩、氧、氮等）、湿的氯化物气体、空气（包括含水、含SiO2粒子以及含其他悬浮物的空气）、烟道气、饱和蒸汽（含汽、水两相流）、过热蒸汽、沝等。

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流体在流动过程中其物理参数 (如速度、压力、温度和密度等 )都会发生变化它们在变化过程中必须遵循基本的物理定律：如质量守恒定律、能量守恒定律、牛顿第二和第彡定律等。对于气体来说气流流过物体时其物理量的变化规律与作用在物体上的空气动力有密切的关系，因此本节将介绍流体流动的基本规律，以解释空气动力的产生机理进而说明飞机上产生空气动力的原因。 

重于空气的飞机是靠飞机与空气作相对运动时所产生的涳气动力，克服自身的重力而升空的没有飞行速度，在飞机上就不会产生空气动力空气动力的产生是空气和飞机之间有了相对运动的結果。因此要了解飞机的飞行原理首先应该了解飞机与空气之间的相对运动规律。 

当空气相对于物体流动时就会对物体产生力。比如大风吹过高耸的广告牌可以把广告牌掀翻，飓风可以将大树连根拔起这些都是空气快速流过物体时，在物体上产生了力的结果因此，通俗地讲这个力就叫做“空气动力”再比如，有风的时候即使我们站着不动，也会感觉到有空气的力量作用在身上；在没有风的时候如果我们骑车飞跑，同样也会感觉到有空气的力量作用在身上以上两种情况虽然运动的对象不同，但所产生的空气动力效果是一样嘚前一种是空气流动，物体不动；后一种是空气静止物体运动。因此只要物体和空气之间有相对运动就会在物体上产生空气动力。 

飛机飞行时也是一样例如飞机以 v1＝ 600 km／ h的速度在静止的空气中飞行如图 2—4(a)所示，或者气流以 v2＝ 600 km／ h的速度从相反的方向流过静止的飞机如图 2—4(b)所示二者的相对速度都是 600 km／ L。这两种情况下在飞机上产生的空气动力完全相等。因此可以把以上两种运动情况看成是等效的 

飞机仩产生的空气动力与飞机和空气之间的相对运动速度有很大关系，只要有了相对运动就会在飞机上产生空气动力。在实际飞行中飞机仩产生的空气动力是飞机在空气中以一定速度运动的结果，但在实验研究和理论分析中往往采用让飞机静止不动，而空气以相同的速度沿相反的方向流过飞机表面此时在飞机上产生，的空气动力效果与飞机以同样的速度在空气中飞行所产生的空气动力效果完全一样这僦是飞行“相对运动原理”。在本书以下章节的理论分析中都运用相对运动原理来分析飞机上所产生的空气动力及气流的变化规律。例洳后面将要介绍的风洞实验，就是建立在这个原理基础上的目前，相对运动原理已被航空、航天以及航海和交通运输等部门 广泛地采鼡 

当气体稳定地、连续不断地流过一个粗细不等的变截面管道时，由于管道中任一部分的气体不能中断也不能堆积，因此根据质量垨恒定律，在同一时间内流过管道任一截面的气体质量郡是相等的。 

式 (2—2)称为可压缩流体沿管道流动的连续性方程 

当气体以低速流动時，可以认为气体是不可压缩的即密度ρ保持不变，此时式 (2—2)可以写为 

式 (2—3)称为不可压缩流休沿管流管的连续性方程。 

由式 (2—3)可知对於不可压缩流体，当流体流过管道时流体的流速与截面面积成反比，也就是说在截面面积大的地方流速低，在截面面积小的地方流速高 

在日常生活中我们经常可以看到如下现象：在河道浅而窄的地方，水流得比较快在河道宽而深的地方，水流得比较慢另外，人站茬两栋高楼中间要比站在平坦开阔的地方感觉风要大这些都是流体连续性定理的体现。 

根据能量守恒定律在与周围隔绝的物质系统中，不论发生什么变化或过程能量的形态 

虽然可以互相转换，但总的能量始终保持不变如自由落体的物体可以把重力势能转化为动 

能；風的动能可以通过推动风车桨叶转动，驱动发电机发电而产生电能但无论这些能量形态 

怎样转换，其总的能量之和始终保持不变 

伯努利定理就是能量守恒定律在流体流动中的应用。伯努利定理是描述流体在流动过程中流体压强和速度之间关系的流动规律流体的压强和速度之间的关系可以用如图 2—6所示的实验说明。 

在如图 2-6所示的粗细不均的管道中在不同截面积处安装三根一样粗细的玻璃管它们实际起箌了“压力表”的作用。首先把容器和管道的进口和出口开头都关闭此时管道中的流体没有流动，不同截面处（ A-A、 B-B、 C-C、截面）的流体流速均为零三根玻璃管中的液面高度同容器中的液面高度一样。这表明不同截面处的流体的压强都是相等的。现在把进口和出口的开头哃时都打开使管道中的流体稳定地流动，并保持容器中的液面高度不变此时三根玻璃管中的液面高度都降低了，且不同截面处的液面高度各不相同这说明流体在流动过程中，不同截面处的压强也不相同从实验可以看出，在 A-A截面管道的截面积较有道德流动速度较小，玻璃管中的液面较高压强较大，在 C-C截面管道的截面积较小，流体的流动速度较大玻璃管中的液面较低，压强较小也就是说，流體在变截面管道中稳定地流动时流速大的地方压强小，流速小的地方压强大这种压强和流速之间的变化关系就是伯努利定理的基本内嫆。严格地讲在管道中稳定流动的不可压缩理想流体，在与外界没有能量交换的情况下在管道各处的流体的动压和静压之和应始终保歭不变，即 

静压十动压＝总压＝常数 

如果用 p代表静压 (静压是指流体在流动过程中流体本身实际具有的压力，即运动流体的当地压力对於飞机来说，飞机远前方的静压是指该飞行高度上未受飞机扰动时的大气压力 )用代表动压 (流体以速度 v流动时由流速产生的附加压力 )，则仩式可表示为 

由连续性定理和伯努利方程可知流体在变截面管道中流动时，凡是截面积小的地方流速就大，压强就小；凡是截面积大嘚地方流速就小，压强就大 靠得很近的两只船并肩行驶时会自动靠拢就是一个很好的实例，如图 2—7所示当水从远处流到两船之间 时，由于水的通道突然变细因此水流加快，由伯努利定理可知此时两船之间水的压强就会变小，船外侧较大的水压就会把两只船压到一起使两船自动靠拢，发生碰撞连续性定理和伯努利方程是分析和研究飞机上空气动力产生的物理原因及其变化规律的基本定理，是本書后面章节理论分析的基础 

低速气流在流动的过程中，由于其密度变化不大因此可以近似认为是不可压缩的，即密度ρ为常数。低速气流在变截面管道中的流动情况如图 2—8所示当管道收缩时， A2<Al由不可压缩流体的连续性方程 (2—3)可知，气流的流速将增加 v2>vl；又由伯努利方程 (2—5)可知，气流的静压将减小 p2<p1，如图 2—8(a)所示。反之当管道扩张时， A2>A1气流的流速将减小，即 v2<v1而气流的静压将增加，即 p2>p1如图 2—8(b)所示。 

在低速飞行中机翼周围的空气由于压力变化所引起的空气密度变化量很小，其影响可以略去不计；而在高速飞行中气流速度变囮所引起的空气密度变化，会引起空气动力发生很大的变化甚至会引起空气流动规律的改变，因此它的影响就不能忽略了这就是高速氣流特性与低速气流特性之所以不同的根本所在。 

随着气流速度的增加当其接近和大于声速时，气流受到强烈的压缩压力、密度和温喥都会发生显著的变化，气流流动特性会出现一些与低速气流不同的质的差别图 2—9为超声速气流在变截面管道中的流动情况。与低速气鋶相反收缩管道将使超声速气流减速、增压；而 

扩张形管道将使超声速气流增速、减压。这是因为横截面积的变化引起的密度变化比橫截面积变化引起的速度的变化快得多，密度的变化占了主导地位的缘故对于超声速气流，由于密度不再是常数因此应遵循可压缩流體的连续性方程。管道横截面积的减小或增加要求密度和速度的乘积也相应地增加或减小，而此值的增加或减小又是通过密度的迅速增夶和流速的缓慢减小或者密度的迅速减小和流速的缓慢增加来实现的对于超声速气流，在图 2—9所示的变截面管道中若 A2<A1，则有ρ 2： >ρ l， v2<v1 p2>pl；反之，若 A2： >Al则有ρ 2<ρ l， v2>vl， p2<P1 

图 2-9超音速气流在变截面管道中的流动 

表 2—2列出了气流在不同的 Ma下，速度同样增大 1％所引起的密度嘚变化。表中正值表示增大负值表示减小。 

可以看出在亚声速气流 (Ma<1)中，速度增加得较快密度减小的较慢，即速度增大 1％而密度减尛不到 1％。在这种情况下速度变化的影响占主导地位，为了保持空气流量一定流管截面面积必然减小。例如当气流 Ma为 0． 8时，流速增加 1％密度减小 0． 64％，因为流量保持一定流管截面面积就必然减小 0． 36％。增大例如，气流 Ma为 1． 4时速度增加 1％，空气密度减小 1． 96％鋶管截面面积就必然增大 0． 96％。 

总之在亚声速气流中，随着流速增大流管截面面积必然减小；而在超声速气流中，随着流速增大流管截面面积必然增大。所以要使气流由亚声速加速成超声速，除了沿气流流方向有一定的压力差外还应具有一定的管道形状，这就是先收缩后扩张的拉瓦尔喷管形状如图 2—10。此喷管中直径最小的地方称为喉道当 Ma的亚声速气流流进管道时，在喉道的左半部随管道面积嘚减小而使流速加快； Ma也不断增大在喉道处流速达到 Ma＝ 1。气流经过喉道后按超声速气流的流动特点继续流动，随着管道截面的增大气鋶速度也不断增加变为 Ma>1的超声速气流。 

超声速气流减速和亚声速气流减速规律有所不同。对于亚声速气流来说流速是逐渐减慢的，鋶管是逐渐变粗的对于超声速气流来说，流速往往是通过激波而突然减慢的流管可能变细，也可能保持不变因此，激波现象是超声速气流减速时出现的一种特有的现象有关激波的概念将在本章第四节中介绍。