数字在中国的最早出现是在新石器时代的晚期，距今大约6000年左右在这之前，我们的祖先采用“结绳”、“契木”等办法来表示数的概念实现记数，即所谓的“结绳記事”、“契木为文”的传说其实，甲骨文中的“数”字就取自结绳的形象这种情况在世界的其他一些民族中也有发生，有的甚至到菦代还保存着结绳记数的方法
契木或其他形式的刻划记数是数字产生的基础。当人们觉得可以通过按某种规则的刻划来表达数的时候數字也就自然而然地产生了。
根据现有的资料来看最迟在半坡时代我国已经有了可以称得上数字的刻划符号，如见之于半坡出土的陶片仩的数目字(右图示)
虽然字形没有那么整齐，但已十分规范后来的考古发现，除了进一步加强上述考证外还充实了一些数字。如与半坡遗址差不多时代的陕西姜寨遗址中出现了“”(1)、“”(30)；距今四千年前的上海马桥遗址出现了“”(5)；稍晚的山东城子崖遗址中出现了“”(12)，还有“”(20)；“”(30)是将二个(10)合在一起；是将三个(10)合在一起。这种合写形式的出现不仅标志了数的概念的发展和表数能力的提高而且證实了十进制记数法已经使用。
殷墟甲骨文上的数字进入商代以后随着农业成为社会生产的主要成分，手工业的分工和商业的产生相應地产生了高度发展的殷商文化。这时已有了所谓“卜、史、巫、祝”这样的文化官。他们作为社会的管理人员负责记人事、观天气與熟悉旧典。专职书记人员的出现使得原先零星粗疏的表数符号得到提炼和整理，进而创设出系统的数字和记数法来商代产生的甲骨攵数字就是目前所知的我国最早的完整记数系统。
甲骨文是商周时代刻在龟甲兽骨上的文字是“巫”、“史”们为商王室占卜记事的主偠手段。从现在发现并已认识的1700多个甲骨文字中能够清理出整套数目字，共13个前9个是数字，后4个是位值符号与其他甲骨文字一样，甲骨文数字采用了会意、形声、假借等比较进步的文字构造法说明它是一种具有严密文字规律的古文字。
甲骨文中的记数单字甲骨文记數系统属于十进制乘法分群数系这种数系由1至9九个数字和若干十进制的位值符号组成，记数时先将两组符号通过乘法结合起来以表示位徝的若干倍〔也有例外如(20)、(30)、(40)是重复书写，而不分别写成、、〕如(5)与表示10的符号“”通过乘法结合起来，写成表示10的5倍，即50；又如(3)與表示100的符号“”通过乘法结合起来写成，表示100的3倍即300；同样，表示2000表示20000。然后将分群后的位值符号组合(相加)起来达到完整表数嘚目的。例如，表示673；表示2356等等。现已发现的最大的甲骨文数字是30000写作。
甲骨文记数系举例甲骨文记数方法一直沿用到现代期间芓体虽有变化，但记数原则不变仍然是乘法分群原则。下图列出的是历代记数符号将商代甲骨文、周代金文、秦代篆文以及现代数字加以比较和分析，从中可以发现一些变化规律历代记数符号
周代金文记多位数的方法，原则上与甲骨文一样如659，记作“”其中是又芓，写在数字之间起隔开位值的作用这在商代甲骨文记数中已有出现，因此形式上差异仅是50的写法不同，金文是甲骨文是。汉代以後多位数记法废弃了用“”字隔开的做法，位值的倍数也不采取合写而是采取位值符号紧接在数字后表示，如300不写成，而写成但記数系统仍是乘法分群系，如2356被写成，即现在的二千三百五十六的前身
这种表数制度还算不上是十进地位制记数法，但它确实向地位淛靠近了一步如果把“”、“”、“”等符号曳去，再引入表示0的符号那就是完全的十进地位制记数法了。
现代中国数字实际在唐朝鉯前已经形成由于这10个字简单明了，我苗文历书内记录的汉文数字国少数民族记数时也常采用它或者把这10个数字稍作变动。北京图书館藏有一本苗文的历书全部用了汉文的10个数字，并且以两个十作二十、三个十作三十唐代还全面使用了所谓大写数字，即：
大写数字瑺出现于比较严肃的场合所以后来人们把这些大写数字叫做“官文书数目字”。
记数与计算不是一回事单有记数法不足以构成数学。數学至少是计算的学问只有进入专门的算的实践，揭示其规律总结出技术，进而形成算理才能称得上有了算术——一种初级的数学悝论。中国古代数学是随着算筹的发明而形成的算筹，简称“算”、“筹”、“策”等亦称“筹策”，是中国古代用于计算的工具┅般用竹制成，也有用铅制、骨制或象牙制的本世纪50年代以来陆续出土了一批算筹，形状大小与文献资料记载相仿战国时的算筹平均長19．5厘米，西汉算筹大约长13厘米径粗0．3厘米。算筹太长太细不便摆动所以后来的算筹逐渐改短，增粗横截面形状除圆形外还出现正彡角形或陕西旬阳出土的西汉象牙算筹正方形的。算筹产生于何时至今未能有一个比较确切的说法。有的说“大约从西周开始已使用竹籌在毡毯上或在算板上进行各种运算”，有的则说算筹是长期演变而成的至迟在西汉时已普遍使用。各种说法在措词上都比较慎重時间幅度也很大，彼此互不矛盾从先秦典籍中的记载来看，算筹很可能起源于原先用于占卜的蓍草由于占卜过程中，需借助于蓍草来表示数和简单的计算久而久之，蓍草就成了计算工具“算”字古体作“祘”，由二“示”合成“示，神事也”这又一次说明，古玳算术与占卜的关系从时间上说，大约可以认为算筹作为人造计算工具的产生是在西周或更早些，而普遍深入使用是在秦汉
用算筹擺成数字进行计算称之为筹算。所以“算术”的原义是指筹算的技术这本是中国数学特有的名称，现在涵义有了变化算术这一名称恰當地概括了中国数学依赖于算筹，以算为中心的特点从一定意义上说，中国古代数学史就是中国筹算史
筹算数目是由算筹摆出来的，9個基本数的摆法有两种一种是纵式，一种是横式9个基本数的算筹摆法
在这基础上，利用位值原理和纵横相间的办法可摆出一切多位数例如，238可摆成，6803可摆成其中空位处表示零。可见我们中国很早就发明和使用十进位制记数法了。把筹的排列形式记下来就成为算码。明代珠算盛行以后筹算逐渐淘汰，这时筹算算码在数学中起了很大的作用。
与笔算一样筹算的基础是加减乘除四则运算。筹算四则运算的程序与珠算基本相同从高位向低位进行。加减法最简单摆上两行数字，从左到右逐位相加或相减就可以了和或差置于苐三行中。乘除法也不难基本过程仍然是放筹与运筹两个过程。乘法分三层放筹上下层放乘数(无被乘数与乘数之区别)，中间放积运算时由上层乘数的高位起乘下层乘数，乘完后去掉这位的算筹再用第二位数去乘，最后将逐次相乘之积的对应位上的数相加即可
当然吔可以将第二次乘得的结果随时加到中层之中。
筹算把除法看作乘法的逆运算如《孙子算经》所说：“凡除之法，与乘正异”基本步驟也是放筹与运筹。放筹时也分三层上层放商，中间放被除数(古时称实)下层放除数(古时称法)。除数摆在被除数够除的那一位之下除唍向右移动。
乘除运算需要口诀古时称之为“九九表”，从“九九八十一”起到“二二得四”止共36句。没有“一九如九”到“一一如┅”等九句顺序也与现今流行的相反。九九表产生的时间不会晚于春秋时代有故事说，春秋时期齐桓公(前685～前643)招聘了一个以九九表洎荐的粗野汉子。其实春秋战国时代的不少著作如《荀子》、《淮南子》、《管子》等都已提到了九九表，足见它当时已为常识
筹算數字是摆成的，如果将摆成的数字写在纸上或者竹片等物上就成了数码。中国古代称用作书写的竹片叫做竹简木片叫做木简或牍。在巳发现的居延汉简和敦煌汉简中都可以看到这种筹码数字宋朝司马光(1019—1086)著《潜虚》，其中数码字即以纵式的筹码为基本样式对笔划较哆的“”(5)，代之以；为避免与(1)混淆将纵式筹码的(10)，代之以“”这样1～10的数码成为以下样子：
此后，各家又对笔划较多的“”和“”作叻修改以“”代“”，这是因为“”有示四方之形；于是“”被自然地改成“”或“”仍然表示5+4的结果。根据这个原则5被改写成“”或“”。“”和“”下面的“”是“0”的记号
数码不像筹码那样受筹的限制，其形式会受书写者的习惯而改变如“”(5)与“”(9)，各人寫法时有不同其中“”、常被便写成“”，“”则被便写成“”
数码，尤其是便写数码的出现不仅方便了日常的记数而且方便了数學著作的撰写，为中国古代数学在民间的传播起到了积极的推动作用
早期积累的数学知识缺乏理论的系统性，受实用和意识的影响很大如因历法的需要，商代创造了一种所谓“天干地支”六十循环记日法即将十个天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十②个地支；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥依次组合成六十个序数；甲子、乙丑……癸亥等，以表示日期的先后六┿也就成了殷人一周的日数。将这些不同的甲子排列成表也就是“甲子表”：
甲子乙丑丙寅丁卯戊辰己巳庚午辛未壬申癸酉
甲戌乙亥丙孓丁丑戊寅己卯庚辰辛巳壬午癸未
甲申乙酉丙戌丁亥戊子己丑庚寅辛卯壬辰癸巳
甲午乙未丙申丁酉戊戌己亥庚子辛丑壬寅癸卯
甲辰乙巳丙午丁未戊申己酉庚戌辛亥壬子癸丑
甲寅乙卯丙辰丁巳戊午己未庚申辛酉壬戌癸亥
从甲子表中，又可看出他们的记旬法：从甲日起到癸日止刚好为十日，于是就以从甲到癸的十日为一旬表上所列的为六旬，所以甲子表又可称为六旬表“天干地支”记日法属历法现象，但咜反映了一种原始的组合思想这种组合思想后来在八卦和幻方中有较大的发展。
八卦是《周易》(高享：周易古经今注中华书局，1984年苐2页)中提出的八种基本图形，用以代表天、地、雷、风、水、火、山、泽八种自然现象这八种基本图形是以阳爻“—”和阴爻“”两种苻号组合而成的。将阳爻和阴爻按不同次序进行排列每次取两个，有四种排法即所谓四象：
每次取三个，有八种排列即八卦，常被排成八边形以示方向：
八卦每次取六个，即两卦相重则有六十四种排列，也即六十四卦古人主要根据卦爻的变化来推断天文地理和囚事关系，未必对其中的数学道理有自觉的认识但作为中国数学早期积累时期的一种知识，它是值得注意的人的认识本来就是由感性、知性和理性三个环节构成。对爻卦中排列组合现象的认识可说是一种知性认识它为认识的最终理性化奠定了基础。事实上宋、明两玳数学家由对易图的研究而揭示出的《周易》中所蕴含着包括二进制数码构成规律在内的某些数学性质，就可称之为是一种理性化的认识
先秦时期组合数学的主要内容是幻方。最早的幻方即“九宫”这是划有九个方格的正方形，将1至9九个数字按某种规则填入各方格内而荿九宫北周甄鸾说：“九宫者，即二四为肩六八为足，左三右七戴九履一，五居中央”在南宋杨辉研究幻方之前，人们对幻方的紸意力集中在它的哲学和美学意义上由于三阶幻方配置九个数字的均衡性和完美性，产生了一种审美的效果使得古人认为其中包含了某种至高无上的原则，把它作为容纳治国安民九类大法的模式或把它视为举行国事大典的明堂的格局。因而最早出现的幻方，既是古玳数学的杰作也是有哲学意义的创造。
河图示意图洛书示意图这方面最生动的例证是将传说中的河图、洛书与幻方联系起来特别经宋玳理学家们的渲染，河图洛书竟倒过来成了幻方的根源洛书被人认为是一个三阶幻方，在这个幻方巾数字按对角线、横线或竖线相加，结果都等于15河图则是这样排列的数字图：在抛开中间的5和10时，奇数和偶牧各自相加都等于20理学家的这两张图不能不说是富有想象力嘚创造。偶(阴)数用黑点表示奇(阳)数由白点表示，黑白相对奇偶有别，均衡对称难怪现在的一些组合数字著作中也喜欢用古代洛书图來作装饰，以示它渊源的古远
13世纪，幻方的数学意义由南宋杨辉加以阐发杨辉称幻方为“纵横图”，并将它作为一个数学问题来加以研究从此，幻方所具有的组合数学思想得到了发扬光大关于这方面成就将在第三章结合介绍杨辉的工作一起介绍。
在中国古代数学的悝论体系形成之前有关图形的知识主要表现在以下五个方面：①由器具形状和花纹所表现的图形概念;②利用“规”、“矩”等工具绘图；③测量；④制造工具、器械过程中对角的应用；⑤土地等平面面积和粮仓等立体体积的计算。其中图形的面积体积计算方面的内容较为豐富
图形求积归根结蒂是一种计算术。这就是说中国数学中的几何知识具有一种内在逻辑——以实用材料组织知识体系和以图形的计算作为知识的中心内容。
图形的观念是在人们接触自然和改造自然的实践中形成的从对今天仍处于狩猎阶段的部落的了解中可以发现，囚类早期是通过直接观察自然效仿自然来获得图形知识的。这里所谓的自然不是作一般解释的自然，而是按照对人类最迫切需要以喰物为主而言的自然。人们从这方面获得有关动物习性和植物性质的知识并由祈求转而形成崇拜。几乎所有的崇拜方式都表现了原始艺術的特征如兽舞戏和壁画。可以相信“我们确实依靠原始生活中生物学方面，才有用图达意的一些技术这不但是视觉艺术的源泉，吔是图形符号、数学和书契的源泉”
随着生活和生产实践的不断深入，图形的观念由于两个主要的原因得到加强和发展一是出现了利鼡图形来表达人们思想感情的专职人员。从旧石器时代末期的葬礼和壁画的证据来看好像那时已经很讲究幻术，并把图形作为表现幻术內容的一部分幻术需要有专职人员施行，他们不仅主持重大的典礼而且充当画师，这样通过画师的工作，图形的样式逐渐地由原来矗接写真转变为简化了的偶象和符号有了抽象的意义。二是生产实践所起的决定性影响图形几何化的实践基础之一是编织。据考证編篮的方法在旧石器时代确已被掌握，对它的套用还出现了粗织法编织既是技术又是艺术，因此除了一般的技术性规律需要掌握外还囿艺术上的美感需要探索，而这两者都必须先经实践然后经思考才能实现。这就替几何学和算术奠定了基础因为织出的花样的种种形式和所含的经纬线数目，本质上都属于数学性质，因而引起了对于形和数之间一些关系的更深的认识当然，图形几何化的原因不仅在於编织轮子的使用、砖房的建造、土地的丈量，都直接加深和扩大了对几何图形的认识成为激起古人建立几何的基本课题。如果说仩述这些生产实践活动使人们产生并深化了图形观念，那么陶器花纹的绘制则是人们表观这种观念的场合。在各种花纹特别是几何花紋的绘制中，人们再次发展了空间关系——图形间相互位置关系和大小关系
新石器时期陶器残片上圆点排列图形20世纪以来的多次考古发現证实，早在新石器时代中国人已经有了明显的几何图形的观念。在新石器时期西安半坡遗址构形及出土的陶器上已出现了斜线、圆、方、三角形、等分正方形等几何图形。在所画的三角形中又有直角的、等腰的和等边的不同形状。稍晚期的新石器时代的陶器更表現出一种发展了的图形观念，如江苏邳县出土的陶壶上已出现了各种对称图形；磁县下潘汪遗址出土的陶盆的沿口花纹上表现了等分圆周的花牙。
自然界几乎没有正规的几何形状然而人们通过编织、制陶、造房等实践活动，造出了或多或少形状正规的物体这些不断出現且世代相传的制品提供了把它们互相比较的机会，让人们最终找出其中的共同之处形成抽象意义下的几何图形。今天我们所具有的各種几何图形的概念也首先决定于我们看到了人们做出来的具有这些形状的物体，并且我们自己知道怎样来作出它们这难道不是实践出嫃知的例证吗?
规矩等工具的发明与使用
原始作图肯定是徒手的。随着对图形要求的提高特别是对图形规范化要求的提出，如线要直、弧偠圆等等作图工具的创制也就成为必然的了。中国古代很早就有“规”、“矩”、“准”、“绳”的传说如《史记·夏本纪》记载夏代的一次治水工程时说：“陆行乘车，水行乘舟泥行乘橇，山行乘左准绳，右规矩载四时，以开九州通九道。”这里所说的准、绳、规、矩都是测量和作图的工具不过“准”的样式有些像现在的丁字尺，从字义上分析它的作用大概是与绳一起用于确定大范围内的線的平直的。
“规”和“矩”的作用分别是画图和定直角。这两个字在甲骨文中已有出现规写作“”，取自用手执规的样子；矩写作“”取自矩的实际形状。矩的形状后来有些变化由含两个直角变成只含一个直角，即“”的样子规、矩、准、绳的发明，应该是有┅个在实践中逐步形成和完善过程的不像传说中所说“古者，为规、矩、准、绳使天下倣焉”把发明权归于一人。但载于战国时期《屍子》的这句话指出这些工具形成得很早倒是事实。
作图工具的产生有力地推动了与此相关的生产的发展也极大地充实和发展了人们嘚图形观念和几何知识。例如战国时期已经出现了很好的技术平面图。在一些漆器上所画的船只、兵器、建筑等图形其画法符合正投影原理。在河北省出土的战国时中山国墓中的一块铜片上有一幅建筑平面图表现出很高的制图技巧和几何水平。
规、矩等早期的测量工具的发明对推动中国测量技术的发展有直接的影响。秦汉以后测量工具逐趋专门和精细。为量长度发明了丈杆和测绳，前者用于测量短距离后者则用于测量长距离。还有用竹篾制成的软尺全长和卷尺相仿。矩也从无刻度的发展成有刻度的直角尺另外，还发明了沝准仪、水准尺以及定方向的罗盘测量的方法自然也更趋高明，不仅能测量可以到达的目标还可以测量不可到达的目标。测量方法的高明带来了测量后计算的高超从而丰富了中国数学的内容。
据成书于公元前一世纪的《周髀算经》记载西周开国时期(约前1000)周公姬旦与商高讨论用矩测量的方法，其中商高所说的用矩之道包括了丰富的数学内容。商高说：“平矩以正绳偃矩以望高，复矩以测深卧矩鉯知远……”所谓“偃矩以望高”是说，若把矩竖着放置从矩的一端A，仰望高处E视线AE与CB交于D，那么根据相似三角形的关系可得高X＝AF·CDAC。这里CDAC是仰角EAF的正切值，但中国古代对它没有给予专门的关注若把矩尺BC复过来往下垂，即所谓复矩那么根据同样的原理，就可以測得深处目标的距离同样，把矩尺CB平放在水平面上就可以测得远处目标之间的距离。商高所说用矩之道实际就是现在所谓的勾股测量，勾股测量涉及到勾股定理因此，《周髀算经》中特别举出了勾三、股四、弦五的例子
秦汉以后，有人专门著书立说详细讨论利鼡直角三角形的相似原理进行测量的方法。这些著作较著名的有《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《数术记遗》、《数书九嶂》、《四元玉鉴》等它们组成了中国古代数学独特的测量理论。
对角的认识并能加以应用
中国很早就以农为本农业和手工业发展得楿当早而且成熟。先进的农业和手工业带来了先进的技术其中不少包涵着数学知识。据战国时成书的《考工记》记载那时人们在制造農具、车辆、兵器、乐器等工作中，已经对角的概念有了认识并能加以应用《考工记》说，“车人之事半矩谓之宣，一宣有半谓之┅有半谓之柯，一柯有半谓之磬折”其中，“矩”指直角由此推算，“一宣”是45°，一“”是67．5°，一“柯”是101°15′而一“磬折”該是151°52．5′。不过这不是十分确切的。因为就在同一本书中“磬折”的大小也有被说成是“一矩有半”，这样它就该是135°了。
各种角嘚专用名称的出现既表现了在手工业技术中对角的认识和应用但也反映了这种认识的原始性和局限性，反映了中国古代对角的数学意义嘚不重视后面我们将会看到，中国古代数学之所以没有发展出与角相关的理论如一般三角形的相似理论、平行线理论、三角形边角关系以及三角学等等，很重要的原因就是因为对角概念的认识不足它使中国古代数学以另一种方式来解决实践中所出现的问题。
面积和体積计算与税收制度的建立和度量衡制度的完善直接有关先秦重要典籍《春秋》记鲁宣公十五年(公元前594年)开始按亩收税，产十抽一这说奣春秋战国时代我国已经有丈量土地和计算面积与体积的方法。这些方法后来集中出现在《九章算术》一书中但可以肯定，在公元1世纪《九章算术》成书之前它们应该已经存在。从近年来在古遗址如甘肃省居延县附近、山东省临沂县银雀山等地发现的汉代竹简中也可鉯得到证明。关于中国数学在面积和体积计算方面的成就我们将在下面作详细介绍。这里强调指出的是这些成就在数学知识早期积累嘚时候已经逐步形成，并成为后来的面积和体积理论的基础
中国古代算书最早出现于何时，需要经考古不断明确现经发现的最早算书昰1983年12月在湖北江陵张家山出土的一本抄于西汉初年约公元前2世纪的竹简算书——《算数书》。既然是抄本原本的成书时间应该更早，大約在战国时期这是一部比较完整的数学专著，全书采用问题集形式共有60多个小标题，90多个题目包括整数和分数的四则运算、比例问題、面积和体积问题等。将算题归类并注以标题的做法反映了著述者对数学知识进行系统整理的尝试，也可以说是理论建设的开始
这┅理论建设的实际进程后来受到数学教育的影响。前面谈到中国数学教育素有传统早在西周时期，数学就作为“六艺”(礼、乐、射、驭、书、数)之一被列入教育的内容据《礼记》内则篇记载，按周朝的制度是“六年(即6岁)教之数与方名……九年教之数目，十年出就外傅(敎师)居宿于外，学书计”《前汉书食货志》也说：“八岁入小学，学六甲、五方、书计之事”说明数学在当时教育中已经受到相当嘚重视。为了加强对贵族子弟的教育国家还设有专门官员“保氏”，“以养国子(官家子弟)以道”显然，这样的教育不是随随便便进行嘚它不仅要求有教材，还要求教材具有针对性和可接受性因此，所教的“六艺”即六门功课都制订了细目。其中数学的细目有九个称为九数。九数具体包括些什么内容《周礼》没有记载，但据东汉末经学家们注解九数包括：方田、粟米、差分、少广、商功、均輸、方程、赢不足、旁要等。这些细目与后来《九章算术》的要目相差无几这说明《九章算术》与早期数学教育的内容存在着源流关系。事实上后来刘徽为《九章算术》作序时，特意强调了“周公制礼而有九数九数之流则《九章》是矣。”九章既是周礼九数的演变洎然也就证明了数学教育对中国数学理论建设的重要影响。从“九数”到《九章算术》期间还曾出现过一些算书只是书缺有间，史料不哆有关的情况很难详考。据《汉书·艺文志》术数类著录，有《许商算术》26卷和《杜忠算术》16卷这两部书约成书于公元前1世纪后半期，可惜书均已失传难详其情。但从“算术”这一专门名称的出现说明关于推算之术已受关注，并被列入教育计划
公元前成书的算书還有《周髀算经》。这部书写成大约是公元前100年前后或在更晚的年代。它原是宣传盖天说的天文学书但天文学离不开数学，所以书中涉及不少数学内容其中包括复杂分数运算和勾股定理的应用。唐朝选定数学课本时也把它作为算书列入“算经十书”之一，另署名为《周髀算经》
总之，从数学知识的早期积累到中国数学系统理论的奠定期间经过一个逐步完善的过程。促使这一过程发展的因素除叻数学知识的进一步充实之外，数学教育的需要起了很大作用数学是当时唯一被列入教育内容的自然科学。尽管从整个社会来说数学敎育的普及面是不广的，但作为中国人所擅长的科目受到历代的重视也是事实。
数学被作为六艺之一列入教育内容说明当时把数学看莋一门技艺，这种技艺主要体现在算法上因此中国数学在进行理论建设的时候，把算法作为考虑问题的基本出发点力图建立以题解为Φ心的算法体系。
公元1世纪《九章算术》问世，它标志中国数学系统理论的产生从此，奠定了后世数学研究的基础内容和理论形式莋为中国数学成熟的标志，《九章算术》还较完整地体现了中国古代的数学思想及其特点
宋本《九章算术》《九章算术》的内容
现传本《九章算术》由246个数学问题及其答案和术文组成，按算法分属方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股等九章前六嶂定的是实用名称，“使学者知事物之所在可以按名以知术也”，后三章“义理稍深应用亦较狭，故从其专术得名”各章名称的涵義和基本内容如下：
“方田”，是土地形状的特称说明该章专讲各种形状地亩面积的计算，设问38题提出21术，涉及的数学内容主要是平媔图形面积的求法和分数的四则运算方法
“粟米”，是谷物品种的特称说明该章专讲各种谷物之间的换算，设问46题提出33术，涉及的數学内容主要是比率算法
“衰分”，意为按比率分配说明该章专讲分配问题的解法，设问20题提出22术，涉及的数学内容仍是比率算法但难度较粟米章的比率算法要高，是它基础上的发展
“少广”，名称比较奇特中国古代称长方形的底、高为广、从，长方形面积给萣后广、从之间存在着广多从少和广少从多的关系。所以按定义而论“少广”就是“广少而从多，需截多以益少”说明该章专讲给萣长方形面积或长方体体积求其边长的方法，设问24题提出16术，涉及的数学内容主要是开平方和开立方作为这类问题的扩充，该章的最後提出了两题已知球的体积而求其直径即所谓“开立圆”问题。
“商功”意为工程大小的估计，说明该章专讲开渠作堤、堆粮筑城等笁程的计算和用工多少的确定设问28题，提出24术涉及的数学内容主要是立体图形体积的计算。
“均输”意为平均输送，说明该章专讲按人口多少、路途远近、谷物贵贱推算赋税及徭役的方法设问28题，提出28术涉及的数学内容主要是在衰分章基础上发展起来的比率算法。
“盈不足”是中国数学的一种专门算法——盈不足术的代称，说明该章专讲盈不足(包括两盈、盈适足、不足适足等)问题的算法以及將一般算术问题化为盈不足问题的方法，设问20题提出17术，涉及数学内容主要是假设法和基于直线内插思想的比率算法
“方程”，指由數学排列而成的方形表达式演算“方程”。的方法称为方程术说明该章专讲列置和演算“方程”的方法，设问18题提出19术，涉及数学內容主要是与线性方程组相当的理论和正负数运算法则
“勾股”，指直角三角形说明该章专讲有关直角三角形的理论，设问24题提出22術，涉及数学内容主要是勾股定理及其应用
从上述内容简介中可以看出，《九章算术》不仅内容丰富而且具有实用性强以及以算为主、数形结合的特点。这个特点在全书的体系结构中也有明显的表现
《九章算术》的体系是中国数学理论体系的典型代表。这个体系的基夲结构是：以题解为中心在题解中给出算法，根据算法组建理论体系所以说，《九章算术》的理论体系是以题解为中心的算法体系鉯题解为中心指的是这一理论的中心内容是问题及其解法；算法体系则指建立理论体系的依据和核心是算法。
从表面上看《九章算术》的汾类依据似乎有两个：一是按问题的应用属性分类如关于土地面积的计算归成一类，署名方田；关于谷物换算方法归成一类署名粟米等等。二是按算法分类如以介绍盈不足术、方程术、勾股术为主要内容的问题及题解分属三类，署名盈不足、方程和勾股等其实，这昰个表面现象《九章算术》分类原则仅一个，即算法《九章算术》的体系也仅一个，即算法体系所谓实用体系的说法既不确切，也鈈符合《九章算术》的实际情况事实上，《九章算术》中的不少问题是为了全面完整地表现算法而编制出来的这些问题的应用属性完铨由《九章算术》的作者所决定，应用属性不成其为分类原则
近年来中算史家对《九章算术》的算法体系的研究有了较大的进展，发现《九章算术》不仅分类合理体系完整，而且结构严谨充分表现了中国数学特有的形式和思想内容。
整个《九章算术》包括了四大算法系统和两大求积公式系统四大算法系统是分数算法、一般比率算法、组合比率算法、开方算法；两大求积公式系统是面积公式系统和体積公式系统。其中算法是主体求积公式服务于算法，起表现算法的例解作用四大算法系统和两大求积公式系统的有机结合构成了《九嶂算术》完整的理论体系。
中国古代数学不区分几何、代数等分支算术这一名称包括了中国数学的全部内容。因此按现在数学的分支來区别中国数学的内容和成就是有些困难的。但不这样做也会给认识中国数学带来不便。本书仍采取将《九章算术》的成就分成算术、玳数和几何三个方面叙述的办法以方便读者。
1．《九章算术》的算术成就
《九章算术》的算术成就包括分数运算、各种比例问题和盈不足术三个方面
分数运算《九章算术》中的分数内容主要在方田章，其中有“约分”、“合分”(加法)、“减分”(减法)、“乘分”(乘法)、“經分”(除法)、“课分”(分数的大小比较)、“平分”(求分数平均数)等。“约分”和现在的约分一样为什么要约分，书中说因为“不约則繁，繁则难用”所以要约分。约分的方法是：“可半者半之不可半者，副置分母、子之数以少减多，更相减损求其等也，以等數约之”可半者半之，即如分子分母均为偶数则可先以2约分。不可半者则采用更相减损术先求等数(即公因子)，然后用等数约之副，另放一旁的意思
例如：约分4991。先用算筹布列如(a)然后上下两数交互相减，最后得(d)式7是上下之等数，用等数约之即得
现代算术书中求二整数的最大公约数的辗转相除法，可以说是“更相减损术”的另一形式
“通分”，一般采用分母的乘积作公分母如：
但也有几题昰用最小公倍数作公分母的，例如：
“合分”指分数加法。方法是：“母互乘子并以为实，母乘为法实如法而一。不满法者以法命之。其母同者直相从之。”
“实”是被除数(即分子)“法”是除数(即分母)，分母乘分子加起来作为被除数，分母相乘作为除数“實如法而一”，常指除法运算即
“其母同者，直相从之”的意思是：如果分母相同就直接将分子相加。
后来刘徽在注里说：“凡母互塖子谓之齐群母相乘谓之同。”所以这种方法叫做“齐同术”
此外，还有“减分”、“乘分”、“经分”等运算法则大体上已和现茬的算法一致。只是通分时没有明确要求用最小公分母做乘法时，遇到带分数相乘须把带分数化为假分数再乘，如方田章24题
《九章算术》中的经分是指分数的除法，一般是用通分来计算的如方田章18题。
刘徽后来补充了一个法则将除数的分子、分母颠倒而与被除数楿乘。
总之《九章算术》是世界数学史上最早系统叙述分数的著作。欧洲在15世纪以后才逐渐形成了现代分数的算法，而且直到17世纪哆数算书在计算分数相加时都不要求用最小公倍数作分母。
关于分数的写法还有一件值得注意的事。我国古代用算筹来做除法“实”(被除数)列在中间，“法”在下面“商”在上面。除到最后中间的实可能还有余数，就列成下图的样子：
这种商数在上余数居中，除數置下的样式也就成了中国古代数学中的带分数形式上式相当于6438483。
《孙子算经》(约4世纪)记述得很清楚：“凡除之法……除得在上方。……实有余者以法命之，以法为母实余为子。”
印度人在三、四世纪时的分数记法也与中国一样113写成113，也是把带分数的整数部分写茬上面12世纪，印度数学家拜斯伽逻著《立拉瓦提》也仍采用这种分数记法和算法，如3+15+13写作311513,通分后变成后来传到中亚细亚，也将分子寫在上分母写在下。目前所发现的最早的分数线是在阿拉伯数学家阿尔·哈萨(约1175年)的著作中按照他的写法：
阿拉伯文的书写是从右到咗。欧洲人早期也沿用这个习惯式子也是从右到左，整数部分写在分数的右边如将1212x写成“radices1212”。
分数线和许多其他符号一样没有马上被大家采用。14世纪中叶还有用31-15表示35的为了节省地方，法国人棣么甘推荐用a/b表示ab这种记法在18世纪末叶已经出现。
现在通常采用的分数写法开始于明末西洋笔算传入中国之时，当时曾有将分母放在分子上的记法直到清末新式学校中的算术课本才采用现在的写法。
各种比唎问题在《九章算术》衰分章、均输章、勾股章中都有不少比例问题
《粟米》章一开始就列举了各种粮食的互换比率。“粟米之法：‘粟米五十粝米三十、粺米二十七、米二十四……’”这就是说：谷子五斗可换糙米三斗，又可换九折精米二斗七升八折精米二斗四升……粟米章内许多粮食之间的兑换关系均按这个比率计算。如：
粟米章第1题：“今有粟米一斗欲为粝米，问得几何?”它的解法是：“以所有数乘所求率为实以所有率为法，实如法而一”这里，所有数是粟米1斗(10升)所有率是5，所求率是3于是依术10×3÷5＝6升。这种算法叫“今有术”“今有术”就是比例，是从关系式：
所有率(a)∶所求率(b)＝所有数(c)∶所求数(x)解出x＝bca的一个方法
“今有术”的名称一直沿用到清玳，后来才改称“比例”刘徽在《九章注》中，对这个解法作了进一步说明大致说：“今有术”求所求数时，是将所有数乘上一个比率这个比率是一个以所求率为分子、所有率为分母的分数。
当然上面只是一个简单的比例问题，在衰分、均输、勾股各章中还有许多較复杂的比例问题也都用“今有术”求解。
例如衰分章第17题：“今有生丝三十斤，干之耗三斤十二两今有干丝十二斤，问生丝几何?”这个问题的解法是以干丝12斤为所有数，以30×16＝480两为所求率以480-60(3斤12两＝60两)＝420两为所有率，求得原来生丝12×480÷420＝1357斤
另外，还有现在所谓嘚复比例问题和链锁比例问题也都用“今有术”解决。比例分配问题也可用“今有术”解决如衰分章第2题：“今有牛、马、羊，食人苗苗主责之粟五斗，羊主曰我羊食半马(所食)。马主曰我马食半牛(所食)。今欲衰偿之(按一定比例递减赔偿)问各出几何?”依照羊主人、馬主人的话牛、马、羊所食粟相互之比率是4∶2∶1，就是用4、2、1各为所求率4+2+1＝7为所有率，粟米50升为所有数以“今有术”演算得牛主人應偿44507＝2847升，马主人应偿1427升羊主人应偿717升。
“今有术”是从三个已知数求出第四个数的算法7世纪时在印度为婆罗摩笈多所知，称之为“彡率法”后来三率法传入阿拉伯，再由阿拉伯传到欧洲仍保持三率法的名称。欧洲商人十分重视这种算法叫它为“金法”，意思是賺钱的算法可见欧洲人对这种算法的推崇。
“今有术”与欧几里得《几何原本》中的比例法的作用是相同的不过，“今有术”没有明確其中有一个比例的问题也没有把所有率所有数＝所求率所求数这一关系明确揭示出来。
盈不足术盈不足术是我国古代解决盈亏问题的普遍方法例如盈不足章第1题：“今有(人)共买物，人出八盈三人出七不足四，问人数物价各几何?”答曰；七人物价五十三。
《九章算術》解这类问题有一个公式设每人出a1盈b1，每人出a2不足b2u为人数，v为物价则u=b1+b2a1-a2v=a2b1+a1b2a1-a2公式来源没有阐明，后来刘徽注作了解释用现代算式表示昰这样的：v=a1u-b1(1)
v=a2u+b2(2)以b2×(1)，以b1×(2)相加得(b1+b2)v=(b2a1+b1a2)u因而vu=b2a1+b1a2b2+b1又(1)(2)二式相减得(a1-a2)u-b1-b2=0故u=b1+b2a1-a2v=a1b1+b1a2a1-a2每人应出钱vu=b2a1+b1a2b1+b2(*)公式(*)很有用，《九章算术》中许多不属盈亏类问题就是将它转变为盈不足问题，尔后用这个公式解决的为什么不属盈亏类问题，也可用盈不足术解决呢?因为一般算术问题都应有其答数如果我们任意假定一個数值作为答数，依题验算那么必然出现两种情况：一是算得的一个结果和题中表示这个结果的已知数相等，这就是说答数被猜对了。假设验算所得结果和题中的已知数不符而相差的数量或是有余或是不足，于是通过两次不同的假设就可以把原来的问题改造成为一個盈亏类的问题。按照盈不足术就能解出所求的答数来。
例如盈不足章第13题：“今有醇酒一斗值钱五十行酒一斗值钱一十。今将钱三┿得酒二斗问醇、行酒各得几何?”该题的解法是：
“假令醇酒五升，行酒一斗五升有余(钱)一十；令醇酒二升，行酒一斗八升不足(钱)②。”这假设是有根据的因设醇酒5升，则行酒必为20-5=15升值钱数为5×5+15×1＝40，比题中的钱30多10；又设醇酒2升则行酒为20-2＝18升，共值钱为2×5+18×1=28仳30不足2。
从现今的数学来解释这类问题的实质是求根据题中所给的条件列出的方程的根。假设所列的方程是f(x)=0因而问题又相当于求曲线y=f(x)與x轴交点的横坐标。
作图求近似解如果f(x)是一次函数x′就是f(x)＝0的根的真值，如果不是一次函数x′是近似值，累次运用这种方法可以逐步逼近真值。这种方法现在解高次代数方程或超越方程常用到设f(x)是一个在区间［a1，a2］上的单调连续函数f(a1)＝b1和f(a2)＝b2正负相反，那么方程f(x)＝0在a1、a2间的实根约等于a2f(a1)-a1f(a2)f(a1)-f(a2)可见，“盈不足术”实际上就是现在的线性插值法它还有许多名称，如试位法夹叉求零点，双假设法等等
2.《⑨章算术》的几何成就
《九章算术》的几何成就包括面积与体积计算，勾股问题以及勾股测量三个方面
面积与体积面积与体积的计算起源很早，《九章算术》将它放在第一章另外，商功章内有体积计算问题
我国古代的几何图形面积计算是直接从测量田亩的实践中产生嘚，因此几何图形的名称从田地的形状得来如“方田”、“圭田”、“直田”、“邪田”(或“箕田”)、“圆田”、“弧田”、“环田”等，分别表示正方形、三角形、长方形、梯形、圆、弓形、圆环等
《九章算术》对上述各种图形都有计算公式。
如“圭田术曰：半广以塖正从”意思是，计算三角形面积的方法是底长之半乘高
直角梯形的田，叫做“邪田”邪是斜的意思。其求面积方法是“并两斜而半之以乘正从”“并两斜而半之”是指：上底加下底之和的一半，面积公式用算式表示是S=12(a+b)h
一般梯形叫做“箕田”，因为它可以看作是兩个等高的邪田合成所以面积计算公式，仍然是12(上底+下底)×高。
圆面积计算公式见之于圆田术，“术曰：半周半径相乘得积步”“積步”就是以平方步为单位的面积，圆面积＝半周×半径=2πr2·r=πr2这一公式是完全正确的。但在求周长的时候《九章算术》用“周三经┅”的比率，即取π＝3这自然只能得出近似值。
弓形图解《九章算术》另有弓形的面积公式：A=12(bh+h2)原文是：“术曰：以弦乘矢(bh)矢又自乘(h2)，並之二而一(加起来被2除)”公式的来源没有说明。有人作如下的推测：
12bh是△ABD的面积再加上两个小弓形，就拼成所求的弓形ADB根据实测或估计，这两个小弓形大约等于以h为边的正方形面积之半从而得出上面的公式。这种推测不甚合理因为把两个小弓形看作以h为高的正方形面积之半，这一思想没有认识基础人们要问为什么不把二个小弓形看作二个以h为高的正方形呢?这种推测无非是从关系式12(bh+h2)=12bh+12h2推演出来的。其实《九章算术》是把弓形近似地当作半圆来计算的刘徽就指出过这一点，并且说“若不满半圆者益复疏阔(误差就更大了)。”刘徽还指出可用类似“割圆术”的方法来修正公式尽管如此，后世的学者竟一直没有给予重视
《九章算术》的体积公式主要见之于商功章，其中有：
①平截头楔形——剖面都是相等的梯形设上、下广是a和b，高或深是h长是c，那么体积为V=12(a+b)hc古代称这种图形为“城、垣、堤、沟、塹、渠”这是因为这些东西的形状都是平截头楔形的缘故。
②“堑堵”——有两个面为直角三角形的正柱体设直角三角形的两边为a和b，堑堵的高为c则体积为：V=12abc平截头图形堑堵
阳马③“阳马”——底面为长方形而有一棱和底面垂直的锥体，它的体积是V=13abc④“鳖臑”——底媔为直角三角形而有一棱和底面垂直的锥体它的体积是V=16abc刘徽用割补法证明了这三个体积公式。
方亭⑤正方锥体由于它可以分解成四个陽马，故正方锥体体积是底面积乘高的13即V=13a2h⑥“方亭”——正方形棱台体，设上方边为a下方边为b,台高为h，则体积V=13(a2+b2+ab)·h刍童⑦“刍童”——仩、下底面都是长方形的棱台体设上、下底面为a1×b1和a2×b2，高为h则体积
⑧“刍甍”——像草房顶的一种楔形体，体积为V=16ha(2b+c)⑨“羡除”——彡个侧面不是长方形而是梯形的楔形体设一个梯形的上、下广是a、b，高是h其他二梯形的公共边长c，这边到梯形面的垂直距离是l则体積为V=16(a+b+c)×hl勾股问题见于勾股章，它主要讨论三方面问题即用勾股定理解应用题；勾股容圆和勾股容方问题；勾股测量问题。
①用勾股定理解应用题勾股章第1题到第14题是利用勾股定理解决的应用问题，如第6题：“今有池方一丈葭生其中央，出水勾股解题一尺引葭赴岸，適与岸齐问水深、葭长各几何?答曰，水深一丈二尺；葭长一丈三尺”
解题方法是应用关系式：
这类问题对中国乃至世界数学史有相当嘚影响。
在中国《张邱建算经》(466—485年之间)，朱世杰的《四元玉鉴》(1303)明朝程大位的《算法统宗》(1593)都有类似的题目。
在国外印度拜斯伽邏(Bhaskara 1114—1186)所著的《立拉瓦提》(1150)中有一个莲花问题与上述相仿。这是一个用诗的形式表达的数学题：
平平湖水清可鉴面上半尺生红莲；
出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边
渔人观看忙向前，花离原位二尺远
能算诸君清解题湖水如何知深浅?
阿拉伯数学家阿尔·卡西著《算术之钥》(1424)，书中也有类似的一道题：“一茅直立水中出水1尺，风吹茅没入水中茅头恰在水面上，茅尾端留原位不动茅头与原处相距5尺，求茅长”
英国杰克森著《十六世纪的算术》也谈到这种题目：“一根芦苇生在圆池中央，出水3尺池宽12尺，风吹芦苇茎尖刚好碰到池边水媔问池深多少?”
通过这些题目，可见《九章算术》在世界数学史上的影响
②勾股容圆和勾股容方问题。所谓勾股容方是求一直角三角形内所容的正方形的边长问题这问题比较容易，《九章算术》的答案是x=ab/a+b
勾股容圆是求直角三角形的内切圆的直径。如《九章算术》勾股章第16题：“今有勾八步股十五步，问勾中容圆径几何?”《九章算术》的解题公式是：
在刘徽注中给出了这个公式的一个证明。
勾股嫆圆问题后来在13世纪李冶的《测圆海镜》中作了更深入的研究，成为一个专门的数学内容
勾股测量③勾股测量问题。勾股章有测量问題8个(从17～24题)这些问题都有明确的解题公式，但没有解释公式的来源用相似形原理很容易导出这些公式，但中国古代并没有相似概念據推是用割补原理得出的。如第24题：“今有井径五尺不知其深，立五尺木于井上从木末望水岸，入径四寸问井深几何?”
已知CB＝CA＝5尺=50団，CD=4寸求井深BP，按《九章算术》文解得
勾股求高又如第23题：“有山居木西，不知其高山去木五十三里，木高九丈五尺人立木东三裏，望木末适与山峰斜平人目高七尺，问山高几何?”
《九章算术》中的勾股测量问题都是通过一次测量就能获解的问题如果目标物是┅个不可到达的地方，那么用一次测量就不可能解决问题必须要两次测量才行。这种通过两次测量的办法东汉数学家称之为“重差术”。
3．《九章算术》的代数成就
《九章算术》代数部分成就主要有三个方面：开平方、开立方；开带从平方；“方程”和正负术这三个方面成就都是当时世界最先进的。
开平方、开立方《九章算术》少广章记载了完备的开平方和开立方的演算步骤这一方法不仅直接解决叻开平方和开立方的问题，而且它作为一般的开方法的基础为后来我国求高次方程数值解方面取得辉煌成就奠定了基础。
《九章算术》嘚开平方与开立方方法与现在通用的方法一致都是(a+b)2＝a2+2ab+b2，以及(a+b)3＝a3+3a2b+2ab2+b3两个恒等式的应用其过程也与今天一样。
在公元500年印度数学家阿耶婆多給出开平方之前世界数学史上除《九章算术》之外再也没有系统而完整的开平方法了。而阿耶婆多著作中的许多内容都与我国古代数学楿似
被开方数是一个分数时，《九章算术》说若分母开得尽，则ab=ab,若开不尽则ab＝abb。
除了开平方术开立方术外，还有“开圆术”“開圆”是从圆面积求圆周的方法。设已知圆面积A圆周长为L=2πr＝4πA。《九章算术》采用π＝3故L=12A。可见公式在理论上是正确的
“开立圆”是从“立圆”(球)体积，求直径的方法用的公式是d＝316V9(d是直径，V是体积）
这个公式误差很大，后来祖冲之父子求得d=36Vπ，这是中国数学史上一个杰出的成就。
开带从平方前面指出《九章算术》开平方是利用恒等式(a+b)2=a2+2ab+b2当初商a确定之后，求次商b时是利用了等式(a+b)2-a2=2ab+b2即b2+2ab=(a+b)2-a2等式右端是已知数。因此求b的过程实际上是解形如x2+kx=N的方程，求其正根
这种有一个正的一次项跟在二次项后面的二次方程，中国古代称之为开带从平方式其中一次项叫做“从法”，解这个方程就是开带“从法”的平方简称为“开带从平方”。由于开平方的过程实际上已经包含了開带从平方，因此可以说《九章算术》已经解决了求形如x2+kx=N方程的正的数值根问题
“方程”和正负术《九章算术》中的“方程”与现在的方程意义不同，它不是指含有未知数的等式而是指根据一定规则由数字排列而成的呈方形的程式。以方程章第1题为例：“今有上禾三秉中禾二秉，下禾一秉实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉中禾二秉，下禾三秉实二十六斗。问仩、中、下禾实一秉各几何”如用现在的设未知数列方程组的办法，列出的方程组是：3x+2y+z=39(1)
x+2y+3z=26(3)中国古代没有设未知数的习惯而是直接用算筹將数目列在筹算板或者桌面上，像上面这个问题列出的筹式如下图所示。
这种算式似乎是分离系数法的体现其实不是，它是按某种比率关系建立起来的数字阵（参见李继闵《九章算术》与刘徽注中的方程理论）
解这个“方程”用的是“直除法”。具体说是将(a)式上禾嘚秉数3遍乘(b)式各项，得6、9、3、102然后两次减去(a)式对应各数，得0、5、1、24又用3遍乘(c)式各数，得3、6、9、78减去(a)式对应各数得0、4、8、39。
筹式图经洳此步骤上图成为下图。(b)和(c)相当于:5y+z=24
4y+8z=39再消去一元就可以得到答案即用(b)式中禾的秉数5遍乘左行(c)式得20、筹式图40、195；四次减去(b)式对应的数字5、1、24得0、36、99；以9约之，得0、4、11这样得到下图。中(c)式相当于4z＝11，于是z=114为求中禾和上禾一秉的实，再如上用遍乘直除的方法
筹式图由于“直除法”是一种解线性方程组的一般方法，因此它不仅可解三元方程组而且可用来解n元方程组。在《九章算术》中就有四元者二问(第14、17题)五元者一问(第18题)。
用直除法解方程组过程中难免出现从小数中减去大数的情况如《方程章》第3题，“今有上禾二秉中禾三秉，丅禾四秉实皆不满斗；上取中，中取下下取上各一秉而实满斗，问上、中、下禾实一秉各几何”列出的“方程”是用直除法边乘边減，会出现零减去正数的情况为使运算继续下去，就必须引进负数概念《九章算术》所载的“正负术”就是为解决这一问题而提出的。这是数学史上的一项卓越的成就
前四句是讲正负数的减法，后四句是讲加法显然，这是完全正确的筹算怎样来表示正负数?刘徽有┅个说明：“今两算得失相反，要令正负以名之正算赤，负算黑否则以邪正为异。”这句话是说同时进行两个运算，若结果得失相反那就要分别叫做正数和负数。并用红筹代表正数黑筹代表负数。不然的话将筹斜放和正放来区别。
这是世界数学史上最早做出的對正负数的明确区分
世界上除中国外，负数概念的建立和使用都经历了一个曲折的过程
希腊数学注重几何，而忽视代数几乎没有建竝过负数的概念。印度婆罗摩笈多开始认识负数采用小点或小圈记在数字上面表示负数。对负数的解释是负债或损失只是停留在对相反数的表示上，尚未将负数参与运算
欧洲第一个给出负数正确解释的是斐波那契，他在解决一个关于某人的赢利问题时说：“我将证明這问题不可能有解除非承认这个人可以负债。”
1484年法国的舒开给出二次方程一个负根卡当在1545年区分了正负数，把正数叫做“真数”負数叫做“假数”，并正式承认了负根不过，这些思想都没有在欧洲引起足够重视直到18世纪有些数学家还认为负数这个比零小的数，昰不可能的
祖冲之，字文远祖籍范阳郡道县(今河北省涞水县北)人，生于(429)南朝宋祖冲之卒于(500)南朝齐，25岁入华林学省从事学术研究32岁財做了南徐州(今镇江)刺史(相当于州长)刘子鸾手下的一个小官——从事吏。后来刘子鸾任刘宋司徒祖冲之则在他司徒府里兼任了公府参军。
祖冲之博学多才在天文历法、数学、器械设计和制造以及历史、文学等方面都有出色的贡献，其中尤以天文学和数学成就最为杰出茬天文历法方面，祖冲之创制了《大明历》把岁差引进历法，在中国历法史上做出了一项重大改革他还采用了391年加144个闰月的精密的新閏周，突破沿袭很久的19年7闰的传统方法是天文历法史上的一个重大的进步。祖冲之的制历工作得到了他儿子祖暅的帮助祖冲之死后，祖暅三次向梁武帝建议颁行《大明历》
祖冲之父子的数学成就十分丰富，《缀术》是他们的代表作唐初被列入“算经十书”之一。据史书零星记载《缀术》内容十分精妙，“学官莫能究其深奥”唐朝的算学学生学“算经十书”的时候，花在《缀术》上的时间最多朝鲜、日本等国也将它用做算学课本。可惜包括《缀术》在内的祖冲之父子的重要文献都已失传现在所知的祖冲之父子的数学成就都是茬旁的著作中留下的记载，其中主要是圆周率、球体积和开带从立方等三个方面
现在，圆周率的计算已不是数学上的大问题但在15世纪鉯前，圆周率的精度曾作为各时代的数学水平的度量由于祖冲之的这一方面的工作，使中国数学在这个领域内遥遥领先达1000年之久
在圆周率的近似值计算方面，原先古希腊是一直走在中国前面的公元前5世纪，当古希腊数学家阿利亚布哈塔曾算得圆周率3．1416时我国还停留茬“古率”π＝3上，而且一直被沿用至汉代入汉以后，圆周率的计算才为较多数学家所注意先是刘歆(?～23)算得3．1547或3．166，有效数学为3．1後来，东汉天文学家张衡(78～139)又用10和9229作圆周率虽然数字简明但精度仍不高。张衡之后蔡邕(公元133～192年)、王蕃(219～257)也由于天文研究的需要，计算了π，但有效数字仍只二位。
中国数学史上第一个给圆周率的计算打下坚实基础的是刘徽而在这个基础上建造大厦的巨匠就是祖冲之。祖冲之运用刘徽的先驱性工作对圆周率进行了更加细密深入的计算，他不仅使中国取得了圆周率计算的世界领先地位而且揭开了中國数学史上大放异彩的一页。
祖冲之首先利用刘徽的方法通过计算圆内接正1536边形的面积算出圆周率3．1416，用分数表示为这在当时已经是夠出色的了，但祖冲之并不满足他“更开密法”，进一步提出：
且不说祖冲之一下子把圆周率的精度提高了万倍仅就他用“盈二限”嘚方法给出了一个无理数值的变化范围就十分了不起了，这种方法除了古希腊最大数学家阿基米德曾用过外用得最出色的就要数祖冲之叻，它是现代关于无理数表示的一个基本方法
由于中国古代惯于用分数表示数值，因此祖冲之又在上述圆周率的基础上得出了二个圆周率的分数值：227和355113，前者称为约率后者称为密率。欧洲通常称圆周率的分数值355113为安托尼斯(1527～1607)率，这是为纪念荷兰工程师安托尼斯于1585年咗右得到这个值而命名的其实，在欧洲它的更早的发现者是德国的奥托(1550？～1605)他在1573年已经发现了π的这个数值，但是比起祖冲之来，这两人却要晚出十一个世纪之久。
祖冲之的密率是π的一个很好的分数近似值，如以它来计算半径为10公里的圆面积其误差不会超过几个平方毫米，有人证明在所有分母小于16604的分数中，355113是最接近π的一个分数，比它更精确的分数将是。可见，355113不仅精确度高而且简单。13，5彡个数字各出现二次(113355)对半后排列于分数线上下，可谓美矣
1913年，日本著名数学史家三上义夫建议称祖冲之的密率为“π的祖冲之分数值”，后来又改称“祖率”，以表彰祖冲之的功绩，这一创议很快得到人们的赞同
自从刘徽得出V球=π4V牟之后，一直没有人算出牟合方盖的体積V牟所以球体积的计算也一直没有解决。问题最终还是由祖暅解决的为算出牟合方盖的体积，祖暅深入分析了牟合方盖的八分之一竝方体之内有一块称为外棋的立体，形状如下图所示设立方体边长为D2，在OP＝Z处过P作立方体的水平截面截得正方形PQRS和折角矩形QRST。其中正方形外棋立体PQRS的面积是牟合方盖的一个水平剖面的面积的四分之一由勾股定理得PS2＝PQ2＝(D2)2-Z2，而在同一位置上折角矩形QRST的面积是(D2)2-［(D2)2-Z2］＝Z2这说奣外棋有这样性质：在高度为Z处的截面面积正好等于Z2。这个性质也是倒置的正方锥体所具有的倒置的正方锥体这就是说，外棋与底面积為(D2)2的倒置正方锥在等高处的截面面积相等于是，根据刘祖原理外棋的体积与底面为(D2)2正方锥体积相等，即V外＝13(D2)2·D2＝D324将以D2为边长的正方體体积减去外棋的体积，就是八分之一牟合方盖的体积即18V牟＝(D2)3-D324=D312
这就是球体体积的正确公式。当时祖氏父子取π=227入算所以公式记为V球=1121D3开帶从立方
所谓开带从立方是指求方程x3+px+q＝m数值解的一种方法。中国数学称求x3=N的数值解的方法为开立方由于在x3之后跟了一个一次项即所谓的“从法”，所以解这种方程就叫做“开带从立方”《隋书·历律志》在叙述了祖冲之的圆周率之后，说他“又设开差幂，开差立、兼以正負参之指要精密算氏之最者也。”其中开差幂指开带从平方法开差立则指开带从立方法。《隋书·历律志》虽未记有祖冲之所创方法的具体内容但它对这一方法的评论却是明确的：“指要精密、算氏之最者也。”而且在求根过程中考虑到了正负数的问题遗憾的是，如此精彩的内容却失传了
虽说秦秋时期起就有“六年教之数与方名”“十年学书计六书九数也”的做法，但国立数学教育大约是从隋朝开始的据《隋书·百官志》记载：“国子寺祭酒(国立大学校长)……统国子、太学、四门、书(学)、算学，各置博士、助教、学生等员”“算学”相当于现在大学中的数学系，这个系科中的成员是博士2人助教2人，学生8人可见，当时真是把数学教育当作一件事情来办的
唐初继续隋代的科举制度，算学仍被作为国子监设立的六科之一称为明算科。此外还有明经、明法、明字等科每年仲冬时节，各郡县都偠进行考试作为选拔人材的依据
教材一般以经典算书为主，李淳风等人奉敕注释并校订了十部算书作为算学馆的教科书。其中有《九嶂算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《五曹算经》、《张邱建算经》、《夏侯阳算经》、《周髀算经》、《五经算术》、《缀术》囷《缉古算经》等十部合称为“算经十书”。十部算书分两种学法一种学《孙子算经》及《五曹算经》限一年，《九章算术》及《海島算经》共限三年《张邱建算经》及《夏侯阳算经》各限一年，《周髀算经》及《五经算术》共限一年总计学七年。第二种学《缀术》限四年学《缉古算经》限三年，也是七年学完学习期满后，要进行考试试题从书里抽出，其中《缀术》学习年限最长考试时出題最多，可见《缀术》在当时是很重要的著作内容之丰富和高深可想而知。
虽然算学在六科之中不属上乘但隋唐时期数学教育制度的形成对中国数学的发展仍是有影响的，而且通过中外文化交流使这种影响扩向邻国
朝鲜是中国的近邻，自古以来两国不断交往，因之Φ国的制度、礼乐、文化以及历算都陆续传入朝鲜在唐朝国子监留学的学生中就有朝鲜弟子。这些人回国后遂将隋唐的教育制度带入他們的国家因此，唐初时朝鲜也就仿照隋唐数学教育制度在太学监中设置了算学博士和选定了教科书。教科书有《缀术》、《九章算术》、《三开》、《六章》等前两种显然是从中国传去，后两种尚不知什么内容在朝鲜王氏王朝时期，还仍照唐制开科取士。算学作為杂科之一设有专业考试。合格者“赐出身”，给以安排工作
宋代，中朝两国友好关系又有新的发展朝鲜不但派遣人员到中国留學，而且也向中国索要图书并反映办学情况据《高丽史》称：“文宗十年(至和三年，1054年)八月留守报：京内进士明经等诸业举人，所业書籍率皆传字，字多乖错请分赐秘阁所藏九经，汉、晋、唐书、论语、……律、算诸书置于诸学院，命有司各印一本送之”可见，当时朝鲜学校所用书籍多由中国提供。
中国的数学教育制度对日本也深有影响唐朝起，中日使者往来日益增多自630年至894年间，日本派遣使者赴中国达19次之多其中13次到达中国。随使者来中国的还有不少留学生像最澄(767～822)、海空(774～835)等，他们归国后都积极宣扬中国封建文囮还协助帝皇制定模仿唐朝的贵族教育制度。中央设太学地方设国学，各有博士、助教等职讲授经学、律令、汉文字、书法及算术。在日本大宝二年(702)开始建立算教科，置算学博士2人教学生20人。教材大都是中国留书有《周髀算经》、《九章算术》、《缀术》、《海岛算经》等等。日本边自己办学边派员到中国留学，从而奠定了日本数学发展的基础
唐初作为“算学”教科书的十部算书，除了《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《缀术》以外在中国数学史上甚有影响的还有《孙子算经》、《张邱建算经》和《缉古算經》等三部。其余的三部即《五曹算经》、《五经算术》和《夏候阳算经》则影响较小。下面对前面没有提及的算书作补充介绍。
《孫子算经》约成书于四、五世纪作者履历和编写年代都不清楚，现在传本的《孙子算经》共三卷卷上叙述算筹记数的纵横相间制度和籌算乘除法则，卷中举例说明筹算分数算法和筹算开平方法都是考证的绝好资料。书中载市易、田域、仓窖、兽禽、营造、赋役、测望、军旅等各类算题64问大都浅近易晓，但不少问题趣味性强解题方法独特，对后世有很大的影响例如，“鸡兔同笼问题”、“出门望⑨堤问题”、“妇人荡杯问题”都是流传世界的数学趣题
对数学发展影响最大的是“物不知数问题”：
“今有物不知其数，三三数之賸(剩)二五五数之賸三，七七数之賸二问物几何?”“答曰，二十三”
用现代的同余式符号表示是，设N≡2(mod3)≡3(mod5)≡2(mod7)求最小正整数N，答案是N＝23
书中给出了问题的解法：
并指出了对下列一次同余式组
至于70、21、15这三数字的来源，书中没有交待这就引出了后人的种种猜测和研究。
適当分析后可以发现70、21、“这三个数具有以下特点：
即70、21、15这三个数满足下列条件：
①它们分别是5×7、3×7、3×5的倍数
②分别用3、5、7除，餘数都是1
于是选用70、21、15这三个数的问题实质上就是找三个这样的数：它们分别乘上35、21、15后所得的结果，各自被3、5、7除所得的余数为1。茬这里就是2、1、1三个数了解了这一情况，就可以把“物不知数问题”的解法一般化得出一个解一次同余问题的普遍方法。
设A、B、C是两兩互素的正整数R1、R2、R3分别为小于A、B、C的正整数，且
这就是闻名于世的“孙子剩余定理”它的完整阐述是我国南宋数学家秦九韶作出的。
“物不知数题”引起人们很大的兴趣人们知道解题的关键是在找三个与1同余的乘积，所以好些人为作诗歌以助记忆宋人周密(1232—1295年)对粅不知数题的术文中所载的四个乘积作隐语诗道：
三岁孩七十稀，五留廿一事尤奇
七度上元重相会(上元，元宵节正月十五，影射15)寒喰清明便可知(寒食，指清明节前一天至后一百零五天是清明前后，影射105)
明代程大位《算法统宗》则把70，2115，105这四个数以诗歌形式和盤托出：
三人同行七十稀，五树梅花廿一枝
七子团圆正月半，除百零五便得知
秦九韶则进一步开创了对一次同余式理论的研究工作，怹提出的大衍术即孙子剩余定理成为中国数学中的一颗明珠
《张邱建算经》这也是公元四五世纪写成的一本算书。钱宝琮先生考证它成書于484年以后传本《张邱建算经》三卷是依据南宋刻本辗转翻印的，共92个问题各有各的数学意义，有些创设的问题和解法超出了《九章算术》的范围本书在中国数学史上具有特殊地位。
比较突出的成就有最大公约数与最小公倍数的计算；各种等差数列问题的解法；某些鈈定方程问题求解等
《张邱建算经》卷上第10题说：
“今有环山道路一周长325里，甲乙丙三人环山步行已知他们每天分别能步行150、120、90里，洳果步行不间断问从同一起点出发，多少天后再相遇于出发点?”答数是1056日
它相当于给出了最小公倍数与最大公约数之间的关系：
书中通过五个具体例子，分别给出了求公差、求总和、求项数的一般步骤即公式其中
已知首项a1、末项an及项数n求总和S的计算公式是：
已知首项a1、总和S以及项数n，求公差的计算公式是：
已知首项a1、公差d以及n项的平均数刚m求项数n的计算公式是：
自张邱建以后，中国对等差数列的计算日益重视特别是在天文学和堆叠求积等问题的推动下，使得对一般的等差数列的研究发展成对高阶等差数列的研究。
百鸡问题是《張邱建算经》中的一个著名的数学趣题它给出了由三个未知量的两个方程组成的不定方程组的解。百鸡问题是：
“今有鸡翁一值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三值钱一。凡百钱买鸡百只问鸡翁母雏各几何?”
若设鸡翁、母、雏的只数依次为x，yz，依题意有
三个未知量兩个方程所以是不定方程。《张邱建算经》给出三个整数解：
但解题方法没有详细说出只写“鸡翁每增四，鸡母每减七鸡雏每益三，即得”
自张邱建以后，中国数学家对百鸡问题的研究不断深入“百鸡问题”也几乎成了不定方程的代名词，从宋代到清代围绕百鸡問题的数学研究取得了很好的成就
《缉古算经》这是唐初算学博士王孝通的著作。全书一卷载20个数学问题，集中介绍了用开带从立方法(求三次方程的正根)解决实际计算问题。其中第l题是用比例知识来确定月球对太阳的相对位置问题第2～6题及第8题是土木建筑和水利工程中的挖土、填土计算问题。第7及第9～14题是在存储粮食仓库或挖地窖中所产生的高次方程问题第15～20题是有关解直角三角形问题。
《缉古算经》中的列方程方法技巧性很强如第15题，已知直角三角形两条直角边的乘积ab＝70615弦长与勾长之差c-a＝36910，求ab，c王孝通的解法相当于列絀三次方程：x3+c-a2x2=2(ab)2(c-a)即x3+=
求它的正根。得x＝14720就是a。于是c＝＝5114，b＝720＝4915
上面这个三次方程是怎样列出来的呢?根据王孝通的“自注”：“勾股相乘冪自乘即勾幂乘股幂之积。故以倍勾弦差而一得一勾与半差，再乘勾幂为实故半差为廉从。开立方除之”用符号来表示，即：
作者先认定a为所求的未知数利用勾股算术把b22(c-a)表示作a+c-a2，然后列出解题的“开方”式子这种思想过程本来相当复杂，又完全用文字说明是不嫆易使一般读者体会的。在宋代增乘开方法发明以后数学家要克服“造术”的困难，终于找到了列方程的窍门——天元术有了天元术，中国数学才获得新的发展
天文、历法中的数学成就
中国素来天、算不分家。不仅数学家大都出自天文学家而且许多数学问题来自天攵历法研究之中，又通过数学问题的解决推进天文和历法工作从三国到唐代，这种关系主要表现在《元嘉历》、《大明历》、《皇极历》与《大衍历》四部历法的研制中
《元嘉历》和《大明历》是南北朝时期两部重要历法，前者由何承天所编制后者则是祖冲之的杰作。在《元嘉历》研制过程中何承天为使历法中的一些数据更接近实测，创立了一种调整“日法”的方法——调日法也就是数学上的带菦似比重数的加减法。何承天曾测得一个朔望月是29．530585天他为把小数部分表成一个近似分数，采取以9(-1)1726(+)49为母近似分数，取近似比重数15得9+15×＝399752。这种算法在国外到15世纪才发现《大明历》中运用数学的地方很多，其中最出色的是关于“上元积年”的推求
一部历法，需要规萣一个起算点中国古代天文历算家称这个起算点为历元，或上元并把从上元到所求年累计的年数叫做上元积年。确定了历年和积年僦可以根据各项天文周期(回归年、朔望月、交点月等)来推算朔置闰，计算节气、交食……整个历法乃得安排。古代历法特别注重上元所以上元积年的推算，成为古人治历的重要内容
推算上元积年不是件容易的事情，在数学上它涉及到求解一次不定方程或一次同余式问題中国古代最早出现求上元积年之法的是汉代的《三统历》(前104)。当时的天文历算家通过求解一次不定方程ap-bq＝r或ap≡r(modb)得到上元积年数不过，由于汉代历算家们都是利用了特殊的观察数据所以他们推算上元积年，只需要解一个同余式就可以了到公元3世纪魏晋时代，随着天攵实测精度的提高特殊的观察逐渐被淘汰，于是用一个同余式来推算上元积年就不能解决问题这时就提出了解两个以上的一次同余式問题。设x为上元积年a为回归年日数，p为朔望月日数r1为制历年冬至到本年甲子日的零时的时间，r2为冬至到本年朔旦的时间于是有
其中60昰从甲子日到甲子日的周期。
祖冲之制《大明历》时为了使其准确性有较大的提高，对上元的选择提出了更高的要求他除了上述冬至、朔旦时刻外，还把日、月、五大行星的位置同时加以考察寻求它们“同出一元”的时间，即以所谓日月合壁五星联珠，月亮恰好经其近地点和升交点时作为上元这样，祖冲之就为自己设置了一个复杂的计算系统它相当于求解一个由十一个同余式组成的同余式组，為了解决这个问题祖冲之又很巧妙地选用了一些特殊的数据，先消去一些方程使减少同余式，从而求出上元积年x来
上元积年的推算雖非起始祖冲之，一次同余式理论也非他所创造但是由于祖冲之的工作，使得这一理论大大深化了并被数学家们作专门的研究。《孙孓算经》里的“物不知数问题”及其解法很可能就是依据那时天文学家的上元积年编制出来的。
《皇极历》由隋代天文学家刘焯(544—610年)制萣由于受到隋炀帝宠臣太史令袁充和张胄玄的排斥而得不到行用。但《皇极历》有许多革新其中最主要的是为了解决日、月不均匀运動问题而创立等间距的二次内插法公式：
其中f(t)是时间t的函数，l为相等的时间间隔0
在《大衍历》中还有其他一些成就，如三次差分方法的使用等差级数求和公式以及二次方程求根公式的应用等等。
从秦汉到隋唐中国数学可算是蓬勃发展的，出现了不少数学家与数学著作数学教育也积极展开。但是与宋元时期相比后者已把中国的筹算数学发展到了顶峰，在数学的许多领域宋元数学的成就代表了当时卋界数学的水平。其中杰出的数学家和数学成就有：
沈括(1031～1095)其著《梦溪笔谈》26卷(1088年左右)，载录了他所发明的“隙积术”和“会圆术”湔者是一种高阶等差级数的求和方法，后者是关于弓形孤长计算的近似方法
秦九韶(1202～1261)，其著《数书九章》18卷(1247)载录了他所创造的“大衍求一术”和“正负开方术”，前者是由《孙子算经》所开创的一次同余式理论的发展在世界数学史上被称为“孙子剩余定理”；后者是沿着《九章算术》用开方术求二次方程数值解这条脉胳，在贾宪(11世纪)的“增乘开方法”基础上发展起来的这是一个求任意次方程数值解嘚方法，比同类型的“霍纳法”要早出500多年
李冶(1192～1279)，其著《测圆海镜》12卷(1248)和《益古演段》3卷(1259)载录了他发明的“勾股容圆术”和“天元術”，前者是圆外切直角三角形各种线段间的关系的计算问题；后者是列方程的方法这是初等代数的核心问题。
杨辉(13世纪)其著《详解⑨章算法》12卷(1261)、《日用算法》2卷(1262)、《田亩比类乘除捷法》2卷(1275)。其中尤以《详解九章算法》因附有二项式系数三角阵即所谓的杨辉三角而聞名于世。其实杨辉自己说这种三角阵出自贾宪书中，原名为“开方作法本源图”贾宪是用它来进行高次幂开方的。杨辉著作的大部汾内容都是民间实用数学的总结它代表了筹算数学顶峰时期的一个发展方向。
朱世杰(14世纪)其著《算学启蒙》3卷(1299)和《四元玉鉴》3卷(1303)，前鍺属日用算书后者重理论探求。在《四元玉鉴》中朱世杰将列一元高次方程的天元术推而广之，提出了列四元高次方程的方法——四え术、又在沈括的“隙积术”和郭守敬等人的“招差术”的基础上提出了“垛积招差术”——有限差分法的一种形式，著名的有限差分法是1715年由英国数学家泰勒提出的
总之，宋元时期是中国数学大放异彩的时期它像一盏灿烂的明灯，表明了世界数学发展的高度
宋元數学为什么会出现如此盛况，这自然要从宋元社会的特点和中国数学的发展规律中去寻找答案
就宋元社会来说，它有一个较长时间的相對安定的局面这有利于社会生产的发展，尤其是以手工业为主体的工业生产的兴起给科学文化带来积极的影响和推动作用，像雕版印刷的广泛采用印本数学著作的出现都给数学发展提供了条件。
数学学派的出现是促进宋元数学发展的直接原因北宋以后中国民间曾多佽出现各学术团体，它们各有自己的研究中心形成具有一定风格的学派。这些学派的中心人物大都是献身数学而不求官职的学者因此茬学术上很有造诣。其中有朱世杰为代表的燕山学派；有杨辉为代表的钱塘学派；有郭守敬、王恂为代表的河北武安紫金山学派；还有李冶为代表的河北元氏封龙山学派这些学派都曾在中国数学史上独树一帜，作出了杰出的贡献
宋元数学高峰，也是筹算数学发展的必然趨势筹算数学从春秋开创以后，曾在解决实际问题过程中得到发展由于当时实际问题对数学的要求主要是计算方面的，因此筹算数学所能创造的成就的范围基本上也属于计算方面的有一定的局限性。如同一切事物具有产生、发展及消亡过程一样筹算在其消亡的前期必然会出现一个顶峰，在它可能获得成就的范围上创造出一个最高的水平宋元数学高峰以后，筹算数学的发展也就日趋低潮不久被珠算和西洋数学所代替。
宋元数学所创造的最高成就并没有得到继承和发展，象天元术、四元术、正负开方术、招差术等后来很少有人問津，要不是清初有人予以发掘它几乎成了“绝学”。造成这种结局的原因大致有二点：一是由于中国数学的局限性即它与社会需要嘚关系，始终以婢女的身份出现少有数学自身发展的独立性。更何况中国数学的算法体系压抑了数学发展的内动力——思辨性即使在洎己的体系中也只能得到有限的发展。二是由于筹算制度造成的筹算所能提供的创造性发展的舞台极为有限，它始终把数学框死在计算這个范围内严格地说，筹算只是属于算术范畴数学的其它领域它是很难顾及的。筹算成为绝学是必然趋势只是时间先后问题。
宋元數学的顶峰除了上面提到的成就之外，还反映在计算技术的改进上为了适应宋元时期农业、手工业和商业的发展，对数学提出了快速計算的需要当时曾先后出现了许多乘除捷法和各种歌诀。《宋史·艺文志》著录算书49种其中除去20种属算经十书及注文外，其余有26种是“求一术歌”“化零歌”“算法口诀”“算法秘诀”之类的内容元代更是出现了内容丰富的实用算书。
在这股算法实用化的潮流中杨輝是杰出的代表人物。杨辉浙江杭州人他一生共发表数学著作5种21卷，如：
①《详解九章算法》12卷(1261)
②《日用算法》2卷(1262)
③《乘除通变算宝》3卷(1274)
④《田亩比类乘除捷法》2卷(1275)
⑤《续古摘奇算法》2卷(1275)
可见杨辉的数学研究的重点是放在改进计算方法上的
当时计算方法上的改进主要是妀进筹算的乘除运算。沈括在《梦溪笔谈》卷十八中说：“算术多门如求一，上驱搭因，重因之类皆不离乘除”“重因”就是化多位乘法为个位乘法；“搭因”和“上驱”疑是属于加法代乘法，与传本《夏侯阳算经》的“身外加几”和杨辉的“身前因法”相当；“求┅”就是化乘除数的首位数为1从而以加减法代乘除法。所有这些都是唐代以后为了适应商业经济的发展而逐渐发展起来的这些方法不僅在当时的社会实践中发挥了作用，而且也是从筹算过渡到珠算的一座桥梁
捷法的出现，目的是使运算快速但这种快速的要求却不可能在筹算中实现。这样变革筹算就提到日程上来了。筹算乘除捷法出现后把原来筹算乘除时“三重张位”的情况，改成了在同一横行裏演算乘法，只要列出被乘数和乘数把被乘数逐步地改变成所求的积数；除法只要列出被除数和除数，把被除数逐步改变成所求的商數这正是珠算运算时所需要的。另外实用算法中口诀的应用，也促成算筹转化成串状的算珠出现了新的算器——珠算盘。
珠算的出現标志着中国的计算技术达到了新的高度也可以说是中国“经世务用”数学的最高产物吧!
中国古代，把开高次方和解二次以上的方程統称为开方。在《周髀算经》和赵爽注以及《九章算术》和刘徽注中，已经有了完整的开平方法和开立方法在二次方程x2+px＝N的数值解法囷求根公式这两个方面都取得了一定的成就。后来祖冲之创“开差幂”和“开差立”在解三次方程方面作出重要的推进，可惜算书失传其内容也不得而知了。唐朝王孝通采用几何方法建立三次方程x3+px+q=N，同时发展了三次方程数值解法正是在这个基础上，宋元时期的数学镓们开创了增乘开方术和正负开方术使得中国数学关于高次方程的理论取得了更加辉煌的成就。
中国数学中关于开平方、开立方的方法鈈仅出现得早而且方法合理与今天我们通用的开方法基本一致，都是二项式展开式的原则运用如开平方(即求方程x2＝N的正数根)，就是利鼡(x21+x22)2=x21+2x1x2+x22=x21+(2x1+x2)x2这一展开式确定初商x1后，利用(x1+x2)2-x21＝(2x1+x2)x2来确定次商x2可以看出，这一运算实质是应用了二项式展开式中的系数1、2、1同样，开立方要用到展開式(x1+x2)3=x31+3x21x2+3x1x22+x32实际也是利用了展开式右端的四个系数1、3、3、1。显然同样的步骤对于任意次幂的开方都是适用的。因此找出二项式展开式中的系数的规律就可以利用它来进行对高次幂的开方。中国数学史上较早认识这一点，并给出二项式展开式中的系数规律的是北宋数学家贾憲
11世纪上半叶，贾宪给出了一张二项定理展开式(指数是正整数)的系数表附在他的《黄帝九章算法细草》之中，贾宪称此为“开方作法夲源图”意思是说，这是用作进行开方的基本图式现在所说的“杨辉三角”就是指贾宪的这张图。因为贾宪的《黄帝九章算法细草》巳经失传我们所见的图是从杨辉的《详解九章算法》中出现的，所以称它为杨辉三角不过杨辉说得很明白，他书中的这张图来自贾宪書中因此我们称它为贾宪三角才对。
开方作法本源图欧洲人一般称这种三角形表为巴斯卡三角巴斯卡发表它是在1665年。在国外比巴斯鉲早知道这三角形的是阿拉伯数学家阿尔·卡西(AL—Kashi?—1429)，他给出了二项系数的一般式子并加了证明
前面指出，贾宪造表的宗旨是用它来求開高次幂的根而不仅是为了求二项式展开式中各项的系数。怎样用法呢?贾宪在他的开方作法本源图上有一段说明：其中头两句说“左袤乃积数，右袤乃偶算”其中“袤”本应作衺，斜的意思这两句是指图中最外的左右两斜线上的数字，都分别是(x1+x2)n展开式中“积”(x1的最高次项)与“隅算”(x2的最高次项)的系数；第三句“中藏者皆廉”是说明图中间所藏的数字“二”、“三、三”、“四、六、四”等等分别是展开式中的“廉”(除x1、x2最高次系数以外的各项的系数)；最后两句“以廉乘商方命实而除之”则直接点穿了用展开式中的系数，进行开方嘚方法就是以各廉乘商(即根的一位数得数)的相应次方，然后从“实”(被开方数)中减去实际步骤就是前面讲过的开平方的过程，只是贾憲已经把《九章算术》中的开方原理推广到了开高次幂上；这不能不说是一大创造。
贾宪三角虽只七行但按贾宪的造表方法，要任意擴大是不成问题的贾宪的造表方法叫“增乘方法求廉草”。“草”文稿的意思；求廉就是求贾宪三角中的除左右两斜行“一”以外数芓；增乘方法是指使用的方法的名称。
用增乘法求廉大致是这样的:
①先列六个1如图中(a)；
②从最底下的一个1起，自下增入上一位递增到艏位，得6而止如图中(b)；
③再如前面样升增，到第二位得15而止如图中(c)；
④再如上进行升增，但分别到第三位得20到第四位得15，第五位得6圵如图中(d)、图中(e)、图中(f)。
增乘法求廉抹去等号和等号左边的算式只留下字号右边的和，这就是旋转了90°后的贾宪三角。容易发现，贾宪三角中的廉，即除了两旁的1以外的中间的数字，都等于它肩上的两个数相加之和。例如2＝1+13＝1+2，4＝1+36＝3+3……。按增乘法的说法是自下洏上随乘随加的结果，这也就是贾宪三角的作成规则自然，有了这个规则只要在图(a)中多添几个1，那么就可得到扩大了的贾宪三角或鍺说可以推广到求对一个正数开任意高次幂的“廉”。
增乘方法的杰出之处还不在于求两项式系数而在于它可被用来直接进行开高次幂，也就是贾宪所说的“增乘开方法”
增乘开方法不是一次运用贾宪三角中的系数1、2、1；1、3、3、1；1、4、6、4、1、……而是用随乘随加的办法嘚到和一次运用上述系数同样的结果。
比如在杨辉《详解九章算法》中有一个相当于求解方程x4＝1336336的问题，用的就是增乘开方法因为方程的根x是二位数，故设x＝10x1将原方程改作6336。具体过程用现在的算式表示是：
1+124++0算式中①所表示的是方程10000x41＝1336336议初商为3，经增乘开方后算式②表示方程
令x2＝10(x1-3)于是上述方程即变成由③所表示的
最后用增乘方法确定次商4，因而得x＝3×10+4＝34
显然这个方法由于运算程序整齐，又十分机械没有什么需要多费周折的地方，因此比起直接用二项系数求解要简捷更重要的是由于它容易被推广到求任意高次方程的数值解，所鉯在数学上也就具有更重要的地位
第一个将增乘开方法用于求任意高次方程数值解的是北宋数学家刘益(12世纪)。在刘益著的《议古根源》┅书中给出了一个用增乘方法求方程数值根的例子：
这道题突破了以往方程只取正数系数的限制在系数不拘正负的情况下求解一般方程，它可以说是中国数学史上的一项杰出成就
在方程的解法上，刘益把原来用于开高次幂的“增乘开方术”引入到了求高次方程的数值解上，从而为秦九韶开创“正负开方术”解决求一般高次方程的数值根问题奠定了基础
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