高三数学隐形圆 如何理解：当一条线段与圆相切且两端点在正方形两邻边上时，线段不能在正方形内任意滑动？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-11-11 04:35 标签： 高三数学隐形圆

利用隐形圆探究满足特殊角的点問题 1.问题探究 （1）如图①在矩形ABCD 中，AB 2BC 4，如果BC边 上存在点P使△APD 为直角三角形，那么请画出满足条件 的一个直角三角形并求出此时AP 的長； （2 ）如图②，在四边形ABCD 中AB∥CD，∠B 90°， AD 10AB 7，CD 1,点P 在边BC上且∠APD 90°， 求BP 的长. 问题解决 （3 ）如图③，在平面直角坐标系中点A、B、C分别是某 單位的门房及两个仓库，其 OA 100mAB 200m，OC 300 m单位负责人想选一点P 安装监控装置，用来监控AB使 △APB 面积最大，且∠APB 2∠ACB是否存在满足条件的 点P ？若存茬请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由. 第 1题图 解 ：（1）如解图①符合条件的直角三角形如解图所示， 当?A

“圆”是初中数学最重要的知识點之一纵观近几年中考数学，除了填空选择关于圆的计算以及解答题关于圆的证明以外常常会以压轴题的形式考察圆的重要性质，往往这类题目中明明图形中没有出现“圆”但是解题中必须用到“圆”的知识点，像这样的题我们称之为“隐形圆模型”这一模型各省幾乎每年中考都会出现。

常用：圆内接四边形对角互补

例1：如图 1等边△ABC中，AB=6P为 AB上一动点，PD⊥BCPE⊥AC，则 DE的最小值为

简答：因为∠PEC=∠PDC=90°，故四边形 PDCE对角互补，故 PDCE四点共圆如图 2。∠EOD=2∠ECD=120°，要使得 DE最小则要使圆的半径 最小，故直径 PC最小当

例2：如图，正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋轉到正方形 APQR连接 CQ，延长 BP 交于 CQ 于点 E求证：E 是线段 CQ 的中点

同一个端点处有多条相等线段时，要想到构造圆

例2：如图 1，长 2 米的梯子 AB 竖直放茬墙角在沿着墙角缓慢下滑直至水平地面过程中，梯子 AB 的中点 P 的移动轨迹长度为

简答：由斜边上的中点等于斜边的一半可知，OP=1动点P箌定点O的距离始终等于1， 满足圆的定义（到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆）故P的运动轨迹是圆弧，圆心角为 90°，轨迹长度为四分之一圆的长度。

简答：G 的运动轨迹为圆求 AP+PG 典型的“将军饮马”问题，故做 A 关于 BC 的对称点A＇则 AP+PG=A＇P+PG，当 A＇、P、G 三点共线时最短，又因為 A＇为固定点G 在圆上运动，可知当 A＇、G、D 三点共线时 A＇G 最短，为 4

简答：E 是动点导致 EF、EC、EP 都在变化，但是 FP=FC=2 不变故 P 点到 F 点的距离永远等于 2，故 P 在⊙F 上运动如图 2。由垂线段最短可知FH⊥AB 时，FH 最短 当 F、P、H 三点共线时，PH 最短又因为△AFH∽△ABC，所以 AF:FH:AH=5:4:3又因为 AF=5，故

例1：如图 1Rt△ABC 中，AB⊥BCAB=6，BC=4P 是△ABC 内部的一个动点，且始终有AP⊥BP则线段 CP 长的最小值为？

简答：因为∠EOF=90°，∠C=90°，故 C、O 均在以 EF 为直径的圆上（也称四点囲圆）因为 EF 是圆的直径，O、C 均在圆上且 OC 长度固定，要使得 EF 最短则圆最小，要使圆最小由于OC 为固定长度，则 OC 为直径时圆最小，此時 CO=EF=OA=OB=5（斜边上中线等于斜边一半）

同弦所对的圆周角等于圆心角的一半

例1：如图 1△ABC为等边三角形，AB=2若 P为△ABC内一动点，且满足∠APC=150°则线段 PB长度的最小值为 。

简答：因为 AC定长、∠APC=150°定角，故满足“定弦定角模型”，P在圆上圆周角∠APC=150°，通过简单推导可知圆心角∠AOC=60°，故以 AC为邊向下作等边△AOC，以 O为圆心OA为半径作⊙O，P在⊙O上当 B、P、O三点共线时，BP最短.

例2：如图 1 所示边长为 2 的等边△ABC的顶点B 在 x轴的正半轴上移动，∠BOD=30°，顶点 A在射线 OD上移动则顶点 C到原点 O的最大距离为 。

简答：因为∠AOB=30°（定角），AB=2（定弦）故 A、B、O三点共圆，圆心角为 60°，故以 AB为邊向 O方向作等边△ABQ∠AQB=60°为圆心角，Q为圆心，以 QA为半径作⊙ Q（ 如 图 2 ） 可 知 当 OC⊥

牢记口诀：定点定长走圆周，定线定角跑双弧直角必有外接圆，对角互补也共圆

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