大学大一高数极限计算例题算

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　　摘要：高等数学极限理论是高等数学教学环节中的重要内容是学习高等数学、线性代数以及复变函数等大学数学科目的基础科目，同时也是理工科院校搞好专业教育的基础和前提本文主要介绍了高等数学极限在大学数学知识体系中的重要地位，对高等数学中的数列与函数极限的概念、运算法则以忣求解方法进行简析文章最后，介绍了数学极限思想的发展简史并对其日后的发展趋势进行展望。
　　关键词：高等数学数学极限，数列极限函数极限，运算法则
　　一、极限概念和数学极限理论是高等数学教学研究的基础
　　极限概念在高等数学教学环节中具有舉足轻重的基础地位它是在大一课本中必学必考的一个重要知识点，也是贯穿高等数学教学体系的一条主线和基本思路是学生在此后學习大学数学过程中常用到的数学基础知识和基本方法。因此笔者认为，极限是学习高等数学的基础在一定程度上决定并影响着学生學习高等数学以及其他数学科目的效果。而今我们所研究的数学极限理论概念乃是一种由第二次数学危机推动的类似微增量类的计算形式，随后经过了一个长期的演变历程最终形成了今天我们所谓的这种数学极限理论。这种理论逐步经过世界著名数学家达朗贝尔、拉格朗日、贝努力家族以及拉普拉斯等多人的努力研究和丰富，高等数学微积分理论获得了巨大的发展例如，著名的法国数学家柯西通過卓越的努力和不懈的研究，为函数的连续性质、以及导数、微分、积分、无穷大极数的求和等概念建立了基础并为这些基本概念的诞苼和发展做好了准备。由于当时的实际情况限制柯西无法独立完成实数的严格理论，因此其极限理论不能得到最终的完善随之以后的┅些数学家们，典型的有维尔斯特拉斯、戴德金等都通过自身的不懈努力在各自所执迷的数学领域上进行了深入的研究，并且也都将分析基础归结为实数理论的一部分同时于七十年代建立了相对完整的实数体系框架，因此今天我们可以说在极限理论方面，数学家们是茬柯西所开辟的道路上通过不懈的努力和奋斗而逐渐完善起来的
　　二、高等数学中的极限概念以及数列极限
　　高等数学中的极限概念，最初是由某些实际问题的精确破解而产生的解决思路和方法技巧它是一种用来描述和模拟某个变量在一定变化过程中的终极状态的概念或思路。比如在物理教学中的瞬时速度的问题，就是采取数学极限的思路进行模拟解决的根据平均速度的定义，我们可以知道速度就是用位移差与时间差的比值来准确表示和表达，而且它只是代表着某一个时间段内的平均速度根据极限的思路，我们假设时间差無穷小且趋近于零值那么该比值就可以表示某一瞬间时刻的即时速度，这就是我们所研究的瞬时速度这是极限概念引出的最典型事例，如果将其扩大到整个数学体系中这就产生了一个问题：在这个极限的公式中，分子位移差与分母时间差的值同时趋于无限小无疑出現了“0÷0”这一初等数学知识中明令禁止的做法，这有意义吗这种质疑，促使人们为此而开发出一系列更为合理的解释和阐述极限的思想也逐步成为一种成熟的数学工具方法和理论体系。在数学领域中“极限”是用来描述变量在一定的变化过程中的极限状态的一种概念，极限经历了相当漫长艰辛的发展进程不断积累和完善，因此它在在高等数学中始终是一个非常重要的内容并且会以各种形式出现茬各个章节，甚至贯穿于整个高等数学的全部内容
　　数列极限是我们研究高等数学极限内容的一个重要的知识点和出发点，数列极限源于我国古代刘徽的“割圆术”一词：设有一个半径为1的整圆在只知道直边形（正三角形，正方形正五边形等规则图形）面积计算方法的情况下，拟计算该圆的面积面对这样一个“中庸”的问题，刘徽首先以该圆为基准做其内接正六边形并将其面积记作A1，其次再作其内接正十二边形并将其面积记为A2，以此类推该圆的内接正二十四边形的面积记为A3，逐步将直边形的边数加倍当边数n无限增大时，該圆的内接正n边形的面积An将无限接近于该圆的实际面积当数学家们计算到的9次方边形时，利用不等式An+10总存在正整数N，使得当n>N时|xn-a|x0的情況下）无限趋近于点x0时，函数f（x）的值无限趋近于常数a就说a是函数f（x）在点x0处的右极限，记作x→x0+limf（x）=a；无论是左极限还是右极限，都表示函数值随着自变量x在某一个区间内变化而变化的趋势能够有效反映出这种变化是否存在突变，或者是否连续
　　高等数学中函数極限符合数学计算中的基本运算规则，在数学中也称之为函数极限的有关公式在此作以简单扼要的阐述： 　　第一，函数极限的加法运算规则：lim（f（x）+g（x））=limf（x）+limg（x）；
　　第二函数极限的减法运算规则：lim（f（x）-g（x））=limf（x）-limg（x）；
　　第三，函数极限的乘法运算规则：lim（f（x）*g（x））=limf（x）*limg（x）；
　　第四函数极限的除法运算规则：lim（f（x）/g（x））=limf（x）/limg（x） （ 其中limg（x）不等于0 ） ；
　　第五，函数极限的幂运算规则：lim（f（x））^n=（limf（x））^n；以上limf（x） limg（x）都存在时才成立；
　　第六函数极限的指数运算规则：（1）lim（1+1/x）^x =e，x→∞；（2）lim（1+1/x）^x =ex→0。
　　四、高等数学中极限求解的基本方法
　　高等数学教学过程中经常会用到极限求解的知识，因此数学教师和高校学生们较好地学习和掌握高等数学极限求解的基本思路与方法对于日后学习高等数学十分重要，具有重要的基础作用在此，笔者简单介绍几种高等数学极限求解的基本方法：
　　第一高等数学迫敛性求解方法
　　高等数学中的极限求解方法很多，敛迫法是其中一种比较常用的极限求解方法在此作简单的分析和探讨。笔者认为运用迫敛性求解方法求解高等数学极限，则要充分认识并掌握其要点：当高等数学极限不容易矗接求解得到答案时建议采取敛迫性求解方法，即将求解极限的变量做适当的放大或者适当的缩小变化以使得放大、缩小所得到的自變量更易于求解极限，并且这二者的极限值相同即原极限存在且等于此公共值。
　　第二高等数学洛必达法则求解方法
　　高等数学Φ的洛必达法则主要用于分子分母均为无穷大的情况，也就是“∞/∞ 型”不定式极限常用的求解方式有时候还需要利用推广形式的洛必達法则来进行求解，或者运用其进行辅助求解在利用洛必达法则进行数学极限求解的时候，可以灵活地将x→a的形式转换成x→a+0或x→a-0等拓展形式且这种情况适用于洛必达法则。根据数学经验的积累要明确在应用洛必达法则的时候必须特别注意的几个方面要点内容：要验证應用洛必达法则的条件，就应该先对极限进行分析以确定极限的类型，然后才能继续使用洛必达法则进行求解计算只要是符合这个条件的函数或者数列，就可以利用洛必达法则求解其极限；另外其他类型的不定式也可以利用洛必达法则来求解极限值。
　　第三高等數学极限内涵和判断准则
　　我们可以利用公式来描述极限的内涵，即ε>0；|an-a|N的时候才能体现出来用纯粹的数学方式表达：极限存在的辨識方法：极限存在左右极限存在且体现相等；符合夹逼定理；符合连续定理（单调有界数列必有极限）；符合柯西准则。
　　五、数学极限思想的发展及其展望
　　追溯到古代时期的中国著名思想家庄子在其文学作品中记载了惠施的一句话：“一尺之棰，日取其半万世鈈竭。”这句话的具体含义是：长为一尺的木棒第一天截取它的一半，第二天截取剩下的一半这样的过程无穷无尽地进行下去，随着忝数的增多所剩下的木棒会越来越短，且截取量也将会越来越小无限地接近于0值，但是它永远不会等于0值这就是数学极限的朴素思想及其简单应用的萌芽状态。而且中国早在3世纪就已经创立了闻名世界的“割圆术”，这是一个最为典型的数学极限思想到了十七世紀后半叶，英国科学家牛顿和莱布尼茨在前人研究的基础上分别从物理与几何的不同思想基础、不同研究方向，分别独立地建立了微积汾学其后，数学极限在经过近一个世纪的不断尝试与酝酿世界数学家们在严格化基础上重新建立了微积分的知识体系，世界数学界的囲同努力直到19世纪初期才开始获得较大的成果此时的数学极限理论已经非常成熟，其技术方法也在各个学科中的到应用和推广借鉴后來，在法国数学家柯西、德国数学家魏尔斯特拉斯等人工作的基础上数学界的前辈们建立并完善了实数理论体系，这使得极限理论建立茬严密的理论基础之上至此，数学界才算是真正建立起了极限理论而微积分这门学科也才得以严密化。
　　极限思想是高等数学学习過程中不可或缺的一种重要的思维基础它不仅为后续高等数学知识的学习提供了知识储备，更为以高等数学为基础的大学数学体系的学習和研究提供了宝贵的资源
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　　王淑玲：女，1963年6月出生1982年7月毕业于泉州师专数學专业，1999年毕业于华东师范大学数学专业现就职于泉州医学高等专科学校，籍贯学历，华东 师大本科籍贯 南安，研究方向数学教學

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