[第 1 章习题解答] 1-3 如题 1-3 图所示汽车從 A 地出发，向北行驶 60 km 到达 B 地 然后向东行驶 60 km 到达 c 地，最后向东北行驶 50km 到达 D 地求 汽车行驶的总路程和总位移。 解 汽车行驶的总路程为

在一般情况下是不相等的因为前者是对矢量 R 的绝

对值(大小或长度)求导，表示矢量 R 的太小随时间的变化率；而后者是 对矢量 R 的大小和方向两者哃时求导再取绝对值，表示矢量 R 大小随 时问的变化和矢量 R 方向随时同的变化两部分的绝对值 如果矢量 R 方 向不变，只是大小变化那么這两个表示式是相等的。

1-5 一质点沿直线 L 运动其位置与时间的关系为 r =6t2-2t3，r 和 t 的单位分别是米和秒求： (1)第二秒内的平均速度； (2)第三秒末和第㈣秒末的速度，

(3)第三秒末和第四秒末的加速度 解：取直线 L 的正方向为 x 轴，以下所求得的速度和加速度若 为正值，表示该速度或加速度沿 x 轴的正方向若为负值，表示该速 度或加速度沿 x 轴的反方向 (1)第二秒内的平均速度

v3=18m?s-1； 用同样的方法可以求得第口秒末的速度为 V4=48m s-1； (3)第三秒末的加速度

t=3 s 代入，就求得第三秒末的加速度为

a3= -24m?s-2； 用同样的方法可“求得第四秒末的加速度为 a4= -36m?s-2 1-6 一质点作直线运动速度和加速度的大尛分别为 v ?

(2)对上式积分，等号左边为： 等号右边为：

1-7 质点沿直线运动 在时间 t 后它离该直线上某定点 0 的距离 s 满足 关系式： s=(t -1)2(t- 2)，s 和 t 的单位分别是米和秒求 (1)当质点经过 O 点时的速度和加速度； (2)当质点的速度为零时它离开 O 点的距离； (3)当质点的加速度为零时它离开 O 点的距离； (4)当质点的速喥为 12ms-1 时它的加速度。 解：取质点沿 x

(2)质点的速度为零即

1-8 一质点沿某直线作减速运动，其加速度为 a=-cv2c 是常量。 若 t=0 时质点的速度为 v0并处于 s0 的位置上，求任意时刻 t 质点的 速度和位置 解：以 t=0 时刻质点的位置为坐标原点 O，取水平线为 x 轴质 点就沿 x 轴运动。困为是直线运动矢量可鉯用带有正负号的标量来 表示。

上式就是任意时刻质点的速度表达式 因为

于是，任意时刻质点的位置表达式为

1-9 质点作直线运动初速度為零．初始加速度为 a0，质点出发 后每经过τ 时间加速度均匀增加 b。求经过时间 t 后质点的速度和加 速度 解：可以把质点运动所沿的直线萣为直线 L，并设初始时刻质点 处于固定点 O 上 根据题意， 质点运动的加建度应该表示为：a ? a0 ? b t

另外根据位移公式可以求得经过时间 t 质点的位迻为：

解： 根据定义， 平均速度应表示为：v ? ?r

也可以用下面的方式表示 v ?

质点任意时刻的速度和加速度分别为

质点在第二秒末的速度和加速度僦是由以上两式求得的 t=2 s 代人 将 上式，就得到质点在第二秒末的速度和加速度分别为

1-12 设质点的位置与时间的关系为 x=x(t)，y=y(t)在计算质点

得结果。还可以用另一种方法计算：先算出速度和加速度分量再合 成．得到的结果为 v ? 果正确？为什么 解：第二组结果是正确的。而在一般凊况下第一组结果不正确 这是因为在一般情况下

速度和加速度中的 r 是质点的位置矢量，不仅有大小而且有方向．微分 时既要对大小微汾也要对方向微分。第一组结果的错误就在于只 对位置矢量的大小微分，而没有对位置矢量的方向微分 1-13 火车以匀加速运动驶离站台。當火车刚开动时站在第一节 车厢前端相对应的站台位置上的静止观察者发现．第一节车厢从其身 边驶过的时间是 5.0s。问第九节车厢驶过此觀察者身边需要多少时间? 解：设火车的加速度为 a每节车厢的长度为 l，第一节车厢从观 察者身边通过所需时间为 t1t1 满足

前八节车厢通过观察者身边所需时间为 t2，前九节车厢通过观察者身 边所需时问为 t3并可列出下面两个方程式：

将上式代入式(2)和式(3)，分别得到

[物理学 2 章习题解答] 2-1 处于一斜面上的物体 在沿斜面方向的力 f 作用下， 向上滑动 已知斜面长为 5.6 m，顶端的高度为 3.2 mf 的大小为 100 n，物体的 质量为 12 kg物体沿斜面向仩滑动的距离为 4.0 m，物体与斜面之间 的摩擦系数为 0.24求物体在滑动过程中，力 f、摩擦力、重力和斜面 对物体支撑力各作了多少功这些力的匼力作了多少功？将这些力所 作功的代数和与这些力的合力所作的功进行比较可以得到什么结 论？

解 物体受力情形如图 2-3 所示力 f 所作的

； 摩擦力 , 摩擦力所作的功 ； 重力所作的功 ; 支撑力 n 与物体的位移相垂直，不作功即 ； 这些功的代数和为 . 物体所受合力为 , 合力的功为 . 这表明，物体所受诸力的合力所作的功必定等于各分力所作功的代 数和

2-3 物体在一机械手的推动下沿水平地面作匀加速运动，加速度为 0.49 m?s?2 若动力機械的功率有 50%用于克服摩擦力，有 50%用于增 加速度求物体与地面的摩擦系数。 解 设机械手的推力为 f 沿水平方向地面对物体的摩擦力为 f，茬 这些力的作用下物体的加速度为 a 根据牛顿第二定律， 在水平方向上 可以列出下面的方程式 , 在上式两边同乘以 v得 , 上式左边第一项是推仂的功率( 摩擦力功率 fv 的二倍，于是有 . 由上式得 , 又有 , 故可解得 . 2-4 有一斜面长 5.0 m、顶端高 3.0 m今有一机械手将一个质量为 1000 kg 的物体以匀速从斜面底部推箌顶部， 如果机械手推动物体的方 向与斜面成 30?斜面与物体的摩擦系数为 0.20，求机械手的推力和它 对物体所作的功

)。按题意推力的功率 p 昰

解 物体受力情况如图 2-4 所示。 x 轴沿斜面向上 轴垂直于斜 取 y 面向上。可以列出下面的方程 ,(1) ,(2) . (3) 根据已知条件 , 由式(2)得 图 2-4 将上式代入式(3)得 . 将上式玳入式(1)得 , 由此解得 . 推力 f 所作的功为 . 2-5 有心力是力的方向指向某固定点(称 为力心)、力的大小只决定于受力物体到力 心的距离的一种力，万有引仂就是一种有心 图 2-5 力现有一物体受到有心力 的作用 . .

(其中 m 和 ?都是大于零的常量)， rp 到达 rq 从 求此有心力所作的功， 其中 rp 和 rq 是以力心为坐标原點时物体的位置矢量 解 根据题意，画出物体在有心力场中运动的示意图即图 2-5，物 体在运动过程中的任意点 c 处在有心力 f 的作用下作位迻元 dl，力 所作的元功为 , 所以 在物体从点 p (位置矢量为 rp)到达点 q (位置矢量为 rq)的过程 中，f 所作的总功为 . 2-6 马拉着质量为 100 kg 的雪撬以 2.0 m?s?1 的匀速率上山山嘚 坡度为 0.05(即每 100 m 升高 5 m)，雪撬与雪地之间的摩擦系数为 0.10 求马拉雪撬的功率。 解 设山坡的倾角为?则 . 可列出下面的方程式 , , . 式中 m、f、f 和 n 分别是雪橇的质量、马的拉力、地面对雪橇的摩 擦力和地面对雪橇的支撑力。从以上方程式可解得

. 于是可以求得马拉雪橇的功率为 . 2-7 机车的功率为 2.0?106 w茬满功率运行的情况下，在 100 s 内 将列车由静止加速到 20 m?s?1 若忽略摩擦力，试求： (1)列车的质量； (2)列车的速率与时间的关系； (3)机车的拉力与时间的關系； (4)列车所经过的路程 解 (1)将牛顿第二定律写为下面的形式 , (1) 用速度 v 点乘上式两边，得 . 式中 fv = p是机车的功率，为一定值对上式积分 , 即可嘚 , 将已知数据代入上式，可求得列车的质量为 . (2)利用上面所得到的方程式 ,

就可以求得速度与时间的关系，为 . (2) (3)由式(2)得 , 将上式代入式(1)得 , 由上式可以得到机车的拉力与时间的关系 . (4)列车在这 100 秒内作复杂运动，因为加速度也在随时间变化 列车所经过的路程可以用第一章的位移公式(1-11)

來求解。对于直线运动上式可化为标量式，故有 . 2-8 质量为 m 的固体球在空气中运动将受到空气对它的黏性阻力 f 的作用黏性阻力的大小与球楿对于空气的运动速率成正比，黏性阻 力的方向与球的运动方向相反即可表示为 f = ?? v，其中?是常量 已知球被约束在水平方向上，在空气的黏性阻力作用下作减速运动 初始时刻 t0 ，球的速度为 v0 试求： (1) t 时刻球的运动速度 v； (2)在从 t0 到 t 的时间内，黏性阻力所作的功 a

解 (1)根据已知条件，可以作下面的运算 , 式中 . 于是可以得到下面的关系 , 对上式积分可得 . (1) 当 t = t0 时v = v0，代入上式可得 . 将上式代入式(1)得 . (2) (2)在从 t0 到 t 的时间内， 黏性阻力所莋的功可以由下面的运算中得 出

. 2-9 一个质量为 30 g 的子弹以 500 m?s?1 的速率沿水平方向射入沙 袋内并到达深度为 20 cm 处，求沙袋对子弹的平均阻力 解 根据動能定理，平均阻力所作的功应等于子弹动能的增量即 ,

所以 . 2-10 以 200 N 的水平推力推一个原来静止的小车，使它沿水平路 面行驶了 5.0 m若小车的质量为 100 kg，小车运动时的摩擦系数为 0.10试用牛顿运动定律和动能定理两种方法求小车的末速。 解 设水平推力为 f摩擦力为 f，行驶距离为 s小车嘚末速为 v。 (1)用牛顿运动定律求小车的末速 v：列出下面的方程式 , . 两式联立求解解得 , 将已知数值代入上式，得到小车的末速为 . (2)用动能定理求尛车的末速 v： 根据动能定理可以列出下面的方程 式 , 其中摩擦力可以表示为 . 由以上两式可解得 , 将已知数值代入上式得小车的末速为 .

2-11 质量 m = 100 g 的尛球被系在长度 l = 50.0 cm 绳子的一端， 绳 子的另一端固定在点 o如图 2-6 所示。若将小球拉到 p 处绳子正好 呈水平状， 然后将小球释放 求小球运动到繩子与水平方向成? = 60? 的 点 q 时，小球的速率 v、绳子的张力 t 和小球从 p 到 q 的过程中重力所 作的功 a 解 取 q 点的势能为零，则有 , 即 , 于是求得小球到达 q 点時的速率为 图 2-6 .

设小球到达 q 点时绳子的张力为 t则沿轨道法向可以列出下面的 方程式 , 由此可解的 . 在小球从 p 到 q 的过程中的任意一点上，沿轨道切向作位移元 ds 重力所作元功可表示为 , 式中?是沿轨道切向所作位移元 ds 与竖直方向的夹角。 小球从 p 到 q 的过程中重力所作的总功可以由对上式嘚积分求得 .

2-12 一辆重量为 19.6?103 n 的汽车 由静止开始向山上行驶， 山的 坡度为 0.20汽车开出 100 m 后的速率达到 36 km?h?1 ，如果摩擦系数 为 0.10求汽车牵引力所作的功。 解 设汽车的牵引力为 f沿山坡向上，摩擦力为 f山坡的倾角为 ?。将汽车自身看为一个系统根据功能原理可以列出下面的方程式 , (1) , . 根据已知条件，可以得出 质量 以及 . 汽车牵引力所作的功为 , 将数值代入得 . 2-13 质量为 1000 kg 的汽车以 36 km?h?1 的速率匀速行驶，摩擦系 数为 0.10求在下面三种情况下发動机的功率： (1)在水平路面上行驶； (2)沿坡度为 0.20 的路面向上行驶； (3)沿坡度为 0.20 的路面向下行驶。 解 ，汽车的

从方程(1)可以解得

(1)设发动机的牵引仂为 f1 ，路面的摩擦力为 f因为汽车在水平路 面上行驶，故可列出下面的方程式 , , . 解得 . 所以发动机的功率为 . (2)设汽车沿斜面向上行驶时发动机的牽引力为 f2 可列出下面的方 程式 , , . 解得 . 发动机的功率为 . (3)汽车沿斜面向下行驶时发动机的牵引力为 f3，其方向与汽车行 驶的方向相反所列的运動方程为 , 所以

, 这时发动机的功率为 . 2-14 一个物体先沿着与水平方向成 15?角的斜面由静止下滑，然后 继续在水平面上滑动如果物体在水平面上滑荇的距离与在斜面上滑 行的距离相等，试求物体与路面之间的摩擦系数 解 设物体在水平面上滑行的距离和在斜面上滑行的距离都是 l， 斜 媔的倾角? = 15?物体与地球组成的系统是我们研究的对象。物体所 受重力是保守内力支撑力 n 不作功，物体所受摩擦力是非保守内力 作负功。以平面为零势能面根据功能原理可以列出下面的方程式 , 其中 , , 所以 . 2-15 有一个劲度系数为 1200 n?m?1 的弹 簧被外力压缩了 5.6 cm，当外力撤除时将一 图 2-7 的最大高度 h 解 将物体、弹簧和地球划归一个系统，并作为我们的研究对象 这个系统没有外力的作用，同时由于曲面光滑物体运动也没有摩擦

, 将它们代入上式，可得

个质量为 0.42 kg 的物体弹出使物体沿光滑 的曲面上滑，如图 2-7 所示求物体所能到达

力，即没有非保守内力的作用故系统的机械能守恒。弹簧被压缩状 态的弹力势能应等于物体达到最大高度 h 时的重力势能即 , . 2-16 如图 2-8 所示，一个质量为 m = 1.0 kg 的木块在水平桌面上 鉯 v = 3.0 m?s?1 的速率与一个轻弹簧相碰， 并将弹簧从平衡位置压缩了 x = 50 cm如果木块与桌面之间的摩擦系数为? = 0.25，求弹簧的劲度 系数 k 解 以木块和弹簧作为研究对象， 在木块压 缩弹簧的过程中 系统所受外力中有重力和摩 擦力，重力不作功只有摩擦力作功。根据功 图 2-8 , 其中 , 代入上式并解出彈簧的劲度系数，得 . 2-17 一个劲度系数为 k 的轻弹簧一端固定另一端悬挂一个质量 为 m 的小球，这时平衡位置在点 a如图 2-1 所示。现用手把小球沿 豎直方向拉伸?x 并达到点 b 的位置由静止释放后小球向上运动，试 求小球第一次经过点 a 时的速率 解 此题的解答和相应的图 2-1， 见前面[例题分 析]中的例题 2-1

能原理，可列出下面的方程

若把小球、弹簧、地球看作一个系统则小球所受弹性力和重力都 是保守力。系统不受任何外力莋用也不存在非保守内力，所以在小 球的运动过程中机械能守恒 另外，可以把小球处于点 B 时的位置取作系统重力势能零点而系 统的彈性势能零点应取在弹簧未发生形变时的状态，即图中所画的点 O设由于小球受重力的作用，弹簧伸长了△x0而到达了点 A。则根 据状态 B 和狀态 A 的机械能守恒应有：

式中 v 是小球到达点 A 时的速率。因为小球处于点 A 时所受的重 力 mg 和弹性力 k(△x0)相平衡故有 mg= k(△x0) (2)

将式(2)代入式(1)，即可求得尛球到达点 A 时的速率

有的读者认为．既然势能零点可以任意选择那么弹力势能的 零点若选在点 A 不是更简便吗? 如果将弹力势能零点选择在點 A，则式(1)成为下面的形式：

这显然与上面的结果不一致哪个结果正确呢?难道弹力势能零点 不能任意选择吗?

势能零点的确是可以任意选择嘚，并且如若不指明势能零点势能 的值就没有意义。读者一定还记得我们在讨论弹力势能时，得到弹 力势能表达式 EP=kx2/2 的前提是选择物体處于平衡位置(即弹簧无形变) 时系统的弹力势能为零这就是说，在使用公式 EP=kx2/2 时势能零 点就已经选定在平衡位置 O 点了。若再选择 A 点为势能零点岂不是 在一个问题中同时选择了两个弹力势能零点了吗?这显然是不能允许 的。所以在这里读者必须注意，在使用公式 EP=kx2/2 时势能零點 必须选在弹簧无形变时的平衡位置。 读者一定会想到．既然公式 EP=kx2/2 是在选择了弹簧无形变状态 为势能零点的情况下得到的那么公式 EP=mgh 是否吔是在选择了某 点为势能零点的情况下得到的?显然是这样的， 把质量为 m 的物体处于 高度为 h 处的势能写为 EP=mgh实际上已经选定了势能零点在 h=0 处。那么在我们的问题中 h=0 的位置在什么地方呢?显然，我们可以 把 B 点认为是 h=O 的位置这时 A 点的高度就是 h=△z(在上面的求 解过程中正是这样选择嘚)，也可以把 A 点认为是 h=0 的位置这时 B 点的高度就是 h=-△x。这两种选择都满足：当 h=0 时EP=0。 由上面的分析可以看到公式 EP=kx2/2 和公式 EP=mgh 中的 x 和 h 具有不同嘚含义。H 是物体所处的高度只有相对意义，而 x 代表弹 簧的形变具有绝对意义。

2-18 一个物体从半径为 r 的固定不动的光滑球体的顶点滑下問 物体离开球面时它下落的竖直距离为多大？

解 设物体的质量为 m 离开球面时速度为 v，此时它下落的竖直距离为 h对于由物体、 球体和地浗所组成的系统， 没有外力和非保守 内力的作用机械能守恒，故有 图 2-9 . (1)

在物体离开球体之前物体在球面上的运动过程中，应满足下面的 關系 , (2) 式中 n 是球面对物体的支撑力?是物体所 处位置到球体中心连线与竖直方向的夹角。在物体离开球体的瞬 间由图 2-9 可见 , 并且这时应有 , 即 . 將上式代入式(1)，得 . 于是式(2)成为

2-19 已知质量为 m 的质点处于某力场中位 置矢量为 r 的地方，其势能可以表示为 其中 k 为常量。 图 2-10 (1)画出势能曲线；

(2)求质点所受力的形式； (3)证明此力是保守力 解 (1)势能曲线如图 2-10 所示。 (2)质点所受力的形式可如下求得 . 可见 质点所受的力是与它到力心的距离 r 嘚 n+1 次方成反比的斥 力。 (3)在这样的力场中质点沿任意路径从点 p 移到点 q，它们的位置 矢量分别为 rp 和 rq该力所作的功为 . 这表明，该力所作的功呮决定于质点的始末位置而与中间路径无 关，所以此力是保守力 2-20 已知双原子分子中两原子的相互作用的势能函数可近似表示 为

, 其中 m 和 n 嘟是大于零的常量，r 是两原子中心的距离试求： (1) r 为何值时 ep(r)等于零？r 为何值时 ep(r)为极小值 (2)原子之间的相互作用形式； (3)两原子相互作用为零時其中心的距离(即平衡位置)。 解 (1) , 由此解得 . ep 为极小值要求 当 图 2-11 即 时, , , 即

, 由此可解得 . (2)原子之间相互作用力的形式为 . (3)在平衡位置处应有 ,

. 图 2-11(a)和(b)分别畫出了双原子分子中两原子的相互作用的势能函 数和作用力的函数的示意图。

[物理学 3 章习题解答] 3-1 用榔头击钉子如果榔头的质量为 500 g，击钉孓时的速率为 8.0 m?s?1作用时间为 2.0?10?3 s，求钉子所受的冲量和榔头对钉子的 平均打击力 解 对于榔头： , 式中 i1 是榔头所受的冲量， 对于钉子： , 式中 i2 是钉孓受到的冲量 ? 。 题目所要求的是 i2 和 , i2 的方向与榔头运动方向一致 , 的方向与榔头运动方向一致。 3-2 质量为 10 g 的子弹以 500 m?s?1 的速度沿与板面垂直的方姠射 向木板穿过木板，速度降为 400 m?s?1 如果子弹穿过木板所需时间

是榔头所受钉子的平均打击力；

是钉子所受的平均打击力， 显然

为 1.00?10?5 s试分別利用动能定理和动量定理求木板对子弹的平均 阻力。 解 (1)用动能定理求解： , (1) 其中 是木板对子弹的平均阻力 为穿过木板的厚度， d 它可用下

根据式(1)木板对子弹的平均阻力为

. (2)用动量定理求解： , . 与上面的结果一致。由求解过程可见利用动量定理求解要简便得 多。 3-4 质量为 m 的小球與桌面相碰撞 碰撞前、 后小球的速率都是 v， 入射方向和出射方向与桌面法线的夹角都是?如图 3-3 所示。若小球 与桌面作用的时间为?t求小浗对桌面的平均冲力。

解 设桌面对小球的平均冲力为 f并建立如 图所示的坐标系， 根据动量定理 对于小球可列 出 图 3-3 由第一个方程式可以求得 , 由第二个方程式可以求得 . 根据牛顿第三定律，小球对桌面的平均冲力为 , 负号表示小球对桌面的平均冲力沿 y 轴的负方向 3-5 如图 3-4 所示，一個质量为 m 的刚性小 球在光滑的水平桌面上以速度 v1 运动v1 与 x 轴的负方向成?角。当小球运动到 o 点时受到 图 3-4 一个沿 y 方向的冲力作用， 使小球运動速度的大 小和方向都发生了变化 已知变化后速度的方向 , .

与 x 轴成?角。如果冲力与小球作用的时间为?t求小球所受的平均冲 力和运动速率。 解 设小球受到的平均冲力为 f根据题意，它是沿 y 方向的小球 受到撞击后，运动速率为 v2根据动量定理，在 y 方向上可以列出下 面的方程式

, 由此得到 . (1) 小球在 x 轴方向上不受力的作用动量是守恒的。故有 , 由此求得小球受到撞击后的运动速率为 . (2) 将式(2)代入式(1)即可求得小球所受的岼均冲力

. 3-7 求一个半径为 r 的半圆形均匀薄板的质心。 解 将坐标原点取在半圆形薄板的圆心 上并建立如图 3-5 所示的坐标系。在这种 情况下质惢 c 必定处于 y 轴上，即 图 3-5 , . 质量元是取在 y 处的长条如图所示。长条的宽度为 dy长度为 2x。根据圆方程 , 故有 . 如果薄板的质量密度为?则有

. 令 , 则 ，對上式作变量变换并积分，得 . 3-8 有一厚度和密度都均匀的扇形薄板其半径为 r，顶角为 2? 求质心的位置。 解 以扇形的圆心为坐标原点、以頂角的平分线为 y 轴建立如图 3-6 所示的坐标系。在这种情况下质心 c 必定处于 y 轴上，即 , . 质量元可表示为 图 3-6 ,

式中?为扇形薄板的质量密度ds 为图Φ黑色方块所示的扇形薄板 面元。整个扇形薄板的质量为 , 于是 . 将 代入上式得

3-9 一个水银球竖直地落在水平桌面上，并分成三个质量相等的尛 水银球 其中两个以 30 cm?s?1 的速率沿相互垂直的方向运动， 如图 3-7 中的 1、2 两球求第三个小水银球的速率和运动方向 (即与 1 球运动 方向的夹角? )。 解 建立如图 3-8 所示的坐标系 在水平方向上， 水银求不受力的作用所以动量守恒，故可列出下 面的两个方程式 图 3-8

, . 式中 v 是 1、2 两球的运动速率v3 昰第三个 图 3-7 , . 3-10 如图 3-9 所示， 一个质量为 1.240 kg 的木块与一个处于平衡位置的轻弹簧的一 图 3-9 端相接触它们静止地处于光滑的水平桌面 水银小球的运动速率。由上两方程式可解的

上一个质量为 10.0 g 的子弹沿水平方向飞行并射进木块，受到子弹 撞击的木块将弹簧压缩了 2.0 cm如果轻弹簧的劲度系數为 2000 n?m?1 ，求子弹撞击木块的速率

解 设木块的质量为 m；子弹的质量为 m，速度为 v；碰撞后的共 同速度为 v此类问题一般分两步处理：第一步是孓弹与木块作完全 非弹性碰撞，第二步是子弹在木块内以共同的速度压缩弹簧 第一步遵从动量守恒，故有 . (1) 第二步是动能与弹力势能之间嘚转换遵从机械能守恒，于是有 . (2) 有式(2)解得 . 将 v 值代入式(1)就可求得子弹撞击木块的速率，为 . 3-11 质量为 5.0 g 的子弹以 500 m?s?1 的速率沿水平方向射入静止 放置在水平桌面上的质量为 1245 g 的木块内 木块受冲击后沿桌面滑 动了 510 cm。求木块与桌面之间的摩擦系数 解 这个问题也应分两步处理：第一步是孓弹与木块作完全非弹性 碰撞过程，第二步是子弹处于木块内一起滑动而克服桌面的摩擦力作 功的过程 第一步遵从动量守恒，有 . 式中 v 是朩块受冲击后沿桌面滑动的速度 第二步遵从功能原理，可列出下面的方程式

3-12 一个中子撞击一个静止的碳原子核如果碰撞是完全弹性正 碰，求碰撞后中子动能减少的百分数已知中子与碳原子核的质量之 比为 1:12。 解 设中子的质量为 m与碳核碰撞前、后的速度分别为 v1 和 v2； 碳核嘚质量为 m，碰撞前、后的速度分别为 0 和 v因为是正碰，所 以 v1、v2 和 v 必定处于同一条直线上 完全弹性碰撞，动量守恒故有 , (1) 总动能不变，即

. 3-13 質量为 m1 的中子分别与质量为 m2 的铅原子核(质量 m2 = 206 m1 )和质量为 m3 的氢原子核(质量 m3 = m1 )发生完全弹性正碰 分别求 出中子在碰撞后动能减少的百分数，并说奣其物理意义 解 求解此题可以利用上题的结果： . 对于中子与铅核作完全弹性正碰的情形： . 铅核的质量比中子的质量大得多，当它们发生唍全弹性正碰时铅 核几乎保持静止，而中子则以与碰前相近的速率被反弹回去所以动 能损失极少。 对于中子与氢核作完全弹性正碰的凊形： . 氢核就是质子与中子质量相等，当它们发生完全弹性正碰时将 交换速度，所以碰撞后中子静止不动了，而将自身的全部动能茭给 了氢核 3-14 如图 3-10 所示，用长度为 l 的细线将一个质量为 m 的小球悬 挂于 o 点手拿小球将细线拉到水平位置，然后释放当小球摆动到 细线竖矗的位置时，正好与一个静止放置在水平桌面上的质量为 m 的

物体作完全弹性碰撞求碰撞后小球达到的最高位置所对应的细线张 角?。 解 小浗与物体相碰撞的速度 v1 可由下式求 得 . (1) 小球与物体相碰撞在水平方向上满足动量 图 3-10 守恒，碰撞后小球的速度变为 v2物体的速度为

v，在水平方向上应有 . (2) 完全弹性碰撞动能不变，即 . (3) 碰撞后小球在到达张角?的位置的过程中满足机械能守恒，应有 . (4) 由以上四式可解得 . 将上式代入式(4)得

[物理学 5 章习题解答]

5-1 作定轴转动的刚体上各点的法向加速度，既可写为 an = v2 /r 这表示法向加速度的大小与刚体上各点到转轴的距离 r 成反比；吔可 以写为 an = ?2 r， 这表示法向加速度的大小与刚体上各点到转轴的距离 r 成正比这两者是否有矛盾？为什么 解 没有矛盾。 根据公式 说法向加速度的大小与刚体上各

点到转轴的距离 r 成反比，是有条件的这个条件就是保持 v 不变； 根据公式 ，说法向加速度的大小与刚体上各点到轉轴的距离 r

成正比也是有条件的，条件就是保持?不变 5-2 一个圆盘绕通过其中心并与盘面相垂直的轴作定轴转动，当圆 盘分别在恒定角速喥和恒定角加速度两种情况下转动时圆盘边缘上 的点是否都具有法向加速度和切向加速度？数值是恒定的还是变化 的 解 (1)当角速度?一定時，切向速度 度 , 即不具有切向加速度而此时法向加速度 , 可见是恒定的。 (2)当角加速度一定时即 , 这表示角速度是随时间变化的。由此可得

吔是一定的所以切向加速

. 切向加速度为 , 这表示切向加速度是恒定的。法向加速度为 , 显然是时间的函数 5-3 原来静止的电机皮带轮在接通电源后作匀变速转动，30 s 后转 速达到 152 rad?s?1 求： (1)在这 30 s 内电机皮带轮转过的转数； (2)接通电源后 20 s 时皮带轮的角速度； (3)接通电源后 20 s 时皮带轮边缘上一点的線速度、切向加速度和 法向加速度，已知皮带轮的半径为

, 切向加速度为 , 法向加速度为 . 5-4 一飞轮的转速为 250 rad?s?1 开始制动后作匀变速转动，经过 90 s 停圵求开始制动后转过 3.14?103 rad 时的角速度。 解 飞轮作匀变速转动 速度为 . 从制动到转过 . 所以 . 5-5 分别求出质量为 m = 0.50 kg、半径为 r = 36 cm 的金属细圆环 和薄圆盘相对於通过其中心并垂直于环面和盘面的轴的转动惯量；如 果它们的转速都是 105 rad?s?1 ，它们的转动动能各为多大 解 (1)细圆环：相对于通过其中心并垂矗于环面的轴的转动惯量为 , 转动动能为 .

，角速度由?0 变为??应满足

(2)相对于通过其中心并垂直于盘面的轴的转动惯量为 , 转动动能为 . 5-7 转动惯量为 20 kg?m2 、 直径为 50 cm 的飞轮以 105 rad?s?1 的角 速度旋转。现用闸瓦将其制动闸瓦对飞轮的正压力为 400 n，闸瓦与 飞轮之间的摩擦系数为 0.50求： (1)闸瓦作用于飞轮的摩擦力矩； (2)从开始制动到停止，飞轮转过的转数和经历的时间； (3)摩擦力矩所作的功 解 (1)闸瓦作用于飞轮的摩擦力矩的大小为 . (2)从开始制动到停圵，飞轮的角加速度?可由转动定理求得 , 根据 , 所以飞轮转过的角度为 , 飞轮转过的转数为 . 因为

, 所以飞轮从开始制动到停止所经历的时间为 . (3)摩擦仂矩所作的功为 . 5-8 轻绳跨过一个质量为 m 的圆盘状定滑轮 其一端悬挂一质量为 m 的物体，另一端施加一竖直向下的拉力 f使定滑轮按逆时针方姠转 动，如图 5-7 所示如果滑轮的半径为 r，求物体与滑轮之间的绳子张 力和物体上升的加速度 解 取定滑轮的转轴为 z 轴，z 轴的方向垂直与纸媔并 指向读者根据牛顿第二定律和转动定理可以列出下面的 方程组 , , 图 5-7 . 其中 , . 5-10 一根质量为 m、长为 l 的均匀细棒，在竖直平面内绕通过其 一端并與棒垂直的水平轴转动如图 5-8 所示。现使棒从水平位置自 由下摆求：

(1)开始摆动时的角加速度； (2)摆到竖直位置时的角速度。 解 图 5-8 (1)开始摆动時的角加速度：此时细棒处于水平位 置所受重力矩的大小为

, 相对于轴的转动惯量为 , 于是，由转动定理可以求得

. (2)设摆动到竖直位置时的角速度为?根据机械能守恒，有 , 由此得 . 5-13 如果由于温室效应地球大气变暖，致使两极冰山熔化对 地球自转有何影响？为什么 解 地球自转變慢。这是因为冰山融化水向赤道聚集，地球的转 动惯量增大地球的自转角动量守恒，即 j ? = 恒量 . 所以角速度变小了

5-15 一水平放置的圆盘繞竖直轴旋转，角速度为?1 它相对于此 轴的转动惯量为 j1 。现在它的正上方有一个以角速度为?2 转动的圆 盘这个圆盘相对于其对称轴的转动慣量为 j2。两圆盘相平行圆心 在同一条竖直线上。上盘的底面有销钉如果上盘落下，销钉将嵌入 下盘使两盘合成一体。 (1)求两盘合成一體后的角速度； (2)求上盘落下后两盘总动能的改变量； (3)解释动能改变的原因 解 (1)将两个圆盘看为一个系统，这个系统不受外力矩的作用总角 动量守恒，即 , 所以合成一体后的角速度为 . (2)上盘落下后两盘总动能的改变量为

. (3)动能减少是由于两盘合成一体时剧烈摩擦致使一部分动能轉 变为热能。 5-16 一均匀木棒质量为 m1 = 1.0 kg、长为 l = 40 cm可绕通过其 中心并与棒垂直的轴转动。一质量为 m2= 10 g 的子弹以 v = 200 m?s?1

的速率射向棒端并嵌入棒内。设子弹嘚运动方向与棒和转轴相垂直 求棒受子弹撞击后的角速度。 解 将木棒和子弹看为一个系统该系统不受外力矩的作用，所以 系统的角动量守恒即 , (1) 其中 j1 是木棒相对于通过其中心并与棒垂直的轴的转动惯量，j2 是 子弹相对于同一轴的转动惯量它们分别为 , . (2)

将式(2)代入式(1)，得

. 5-17 有一質量为 m 且分布均匀的飞轮半径为 r，正在以角速度? 旋转着突然有一质量为 m 的小碎块从飞轮边缘飞出，方向正好竖直 向上试求： (1)小碎块仩升的高度； (2)余下部分的角速度、角动量和转动动能 (忽略重力矩的影响)。 解 (1)小碎块离开飞轮时的初速为 , 于是它上升的高度为 .

(2)小碎块离开飞輪前、后系统不受外力矩的作用所以总角动量 守恒。小碎块离开飞轮前飞轮的角动量就是系统的总角动量，为 ； 飞轮破裂后小碎块楿对于转轴的转动惯量为 , 角动量为 . 碎轮的角动量为 , 式中?2 是碎轮的角速度。总角动量守恒l = l1 + l2 ，即 , 整理后为 , 所以 . 这表明飞轮破碎后其角速度不變 碎轮的角动量为 . 碎轮的转动动能为 .

[物理学 6 章习题解答]

6-1 有一个长方体形的水库， 200 m 长 宽 150 m，水深 10 m求水对水库底面和 侧面的压力。 图 5-9 水对沝库底面的压力为 解

侧面的压力应如下求得：在侧面上建立如图 5-9 所示的坐标系在 y 处取侧面窄条 dy，此侧面窄条所受的压力为 , 整个侧面所受嘚压力可以表示为 . 对于 h = 10 m、l = 200 m 的侧面： . 对于 h = 10 m、l = 150 m 的侧面： . 侧面的总压力为 . 6-3 在 5.0?103 s 的时间内通过管子截面的二氧化碳气体(看作为理 想流体)的质量为 0.51 kg已知该气体的密度为 7.5 kg?m?3 ，管子的直 径为 2.0 cm求二氧化碳气体在管子里的平均流速。 解 单位时间内流过管子截面的二氧化碳气体的体积即流量为

, 岼均流速为 . 6-4 当水从水笼头缓慢流出而自由下落时， 水流 随位置的下降而变细何故？如果水笼头管口的内 直径为 d水流出的速率为 v0 ，求在沝笼头出口以 下 h 处水流的直径 解 当水从水笼头缓慢流出时，可以认为是定常 图 5-10 流动遵从连续性方程，即流速与流管的截面积成

反比所以水流随位置的下降而变细，如图 5-10 所示 可以认为水从笼头流出后各处都是大气压，伯努利方程可以写为 , 改写为 , (1) . 这表示水流随位置的下降流速逐渐增大。整个水流可以认为是一 个大流管h1 处的流量应等于 h2 处的流量，即 . (2) 由于 , 所以必定有

, 这表示水流随位置的下降而变细 根據题意， , 即 .(3) 将式(3)代入式(2)得 , 式中 d1 = d，d2 就是在水笼头出口以下 h 处水流的直径上式可化 为 . 从上式可解得 ， h2 处的流速为 v2，代入式(1)得

. 6-6 文丘里流量计是由一根粗细不均匀的 管子做成的，粗部和细部分别接有一根竖直的 细管如图 5-11 所示。在测量时将它水平地 接在管道上。当管中有液体流动时两竖直管 图 5-11 中的液体会出现高度差 h。如果粗部和细部的

横截面积分别为 sa 和 sb试计算流量和粗、细两处的流速。 解 取沿管轴的沝平流线 ab(如图 5-11 中虚线所示)并且 a、b 两 点分别对应两竖直管的水平位置，可以列出下面的伯努利方程

, 改写为 , 即 .(1) 另有连续性方程 . (2) 以上两式联立可解得 , , 流量为 . 6-7 利用压缩空气将水从一个密封容器内通 过管子压出，如图 5-12 所示如果管口高出容器 内液面 0.65 m，并要求管口的流速为 1.5 m?s?1 求容器內空气的压强。 图 5-12 伯努利方程 , 可以认为 ,

解 取如图 5-12 中虚线 ab 所示的流线 并运用

. 6-9 用图 5-5 所示的虹吸管将容器中的水吸出。如果管内液体作定 常流動求： (1)虹吸管内液体的流速； (2)虹吸管最高点 b 的压强； (3) b 点距离液面的最大高度。 解 此题的解答见上面[例题分析]中的例题 5-4 6-12 从油槽经过 1.2 km 长的鋼管将油输送到储油罐中，已知钢管 的内直径为 12 cm 油的黏度系数为 0.32 pa?s，密度为 0.91 g?cm?3 如果要维持 5.2?10?2 m3 ?s?1 的流量，试问油泵的功率应为多大 解 首先根据泊肃叶公式求出油被输送到 1.2 km 处所需要的压强差 . 为保持一定的流量，油泵的功率为 .

[物理学 7 章习题解答] 7-2 一个运动质点的位移与时间的关系为 m,

其Φ x 的单位是 mt 的单位是 s。试求： (1)周期、角频率、频率、振幅和初相位； (2) t = 2 s 时质点的位移、速度和加速度 解 (1)将位移与时间的关系与简谐振动嘚一般形式 相比较，可以得到 角频率 初相位 . s?1, 频率 , 周期 , 振幅 ,

(2) t = 2 s 时质点的位移 . t = 2 s 时质点的速度 . t = 2 s 时质点的加速度 . 7-3 一个质量为 2.5 kg 的物体系于水平放置的轻彈簧的一端弹簧 的另一端被固定。若弹簧受 10 n 的拉力其伸长量为 5.0 cm，求物体 的振动周期 解 根据已知条件可以求得弹簧的劲度系数 , 于是，振动系统的角频率为

. 所以物体的振动周期为 . 7-4 求图 7-5 所示振动装置的振动频率，已知物体的质量为 m两 个轻弹簧的劲度系数分别为 k1 和 k2。 解 以岼衡位置 o 为坐标原点建立如图 7-5 所示的坐标系。若物 体向右移动了 x则它所受的力为 . 根据牛顿第二定律，应有 图 7-5 改写为 . 所以 , . 7-5 求图 7-6 所示振动裝置的振动频率 已知物体的质量为 m，两个轻弹簧的劲度系 图 7-6 数分别为 k1 和 k2 解 以平衡位置 o 为坐标原点，建立如图 ,

7-6 所示的坐标系当物体由原点 o 向右移动 x 时，弹簧 1 伸长了 x1 弹簧 2 伸长了 x2 ，并有 . 物体所受的力为 , 式中 k 是两个弹簧串联后的劲度系数由上式可得 , .

于是，物体所受的力可叧写为 , 由上式可得 , 所以 . 装置的振动角频率为 , 装置的振动频率为 . 7-6 仿照式(7-15)的推导过程 导出在单摆系统中物体的速度与角 位移的关系式。 解 由敎材中的例题 7-3单摆的角位移?与时间 t 的关系可以写为 ? = ? 0 cos (? t+?) ,

单摆系统的机械能包括两部分, 一部分是小物体运动的动能 , 另一部分是系统的势能，即單摆与地球所组成的系统的重力势能 . 单摆系统的总能量等于其动能和势能之和即 , 因为 , 所以上式可以化为 . 于是就得到 , 由此可以求得单摆系統中物体的速度为 . 这就是题目所要求推导的单摆系统中物体的速度与角位移的关 系式。 7-7 与轻弹簧的一端相接的小球沿 x 轴作简谐振动振幅為 a，位 移与时间的关系可以用余弦函数表示若在 t = 0 时，小球的运动状态 分别为 (1) x = ?a； (2)过平衡位置向 x 轴正方向运动； (3)过 x = (4)过 x = 处，向 x 轴负方向运动； 处向 x 轴正方向运动。

. 7-8 长度为 l 的弹簧 上端被固定， 下端挂一重物后长度变为 l + s 并仍在弹性限度之内。若将重物向上托起使弹簧缩回箌原来的长度， 然后放手重物将作上下运动。 (1)证明重物的运动是简谐振动； (2)求此简谐振动的振幅、角频率和频率； (3)若从放手时开始计时求此振动的位移与时间的关 系(向下为正)。 解 (1)以悬挂了重物后的平衡位置 o 为坐标原点建立如 图 7-7 图 7-7 所示的坐标系。因为当重物处于坐标原點 o 时重力

与弹力相平衡即 , . (1) 当重物向下移动 x 时，弹簧的形变量为(s + x )物体的运动方程可 以写为 , 将式(1)代入上式，得 , 即 . (2)

重物的运动满足这样的微汾方程式所以必定是简谐振动。 (2)令 , (3) 方程式(2)的解为 . (4) 振幅可以根据初始条件求得：当 t = 0 时x0 = ?s，v0 = 0于是 . 角频率和频率可以根据式(3)求得： , . (3)位移与时間的关系： 由 0，根据式(4)可以得到 , . 由以上两式可解得 . 故有 . , 以及当 t = 0 时， 0 = ?s 0 = x

7-9 一个物体放在一块水平木板上，此板在水平方向上以频率?作 简谐振動若物体与木板之间的静摩擦系数为?0 ，试求使物体随木板 一起振动的最大振幅 解 设物体的质量为 m，以平衡位置 o 为坐标原点建立如图 7-8 所 礻的坐标系 由于物体与木板之间存在静摩擦力，使物体跟 随木板一起在水平方向上作频率为?的简谐振动 图 7-8 , 可见，加速度 a 的大小正比与振幅 a在最大位移处加速度为最大 值 . 最大加速度 amax 对应于最大振幅 amax，而与此最大加速度所对应的 力应小于或等于重物与木板之间的最大静摩擦力物体才能跟随木板 一起振动。所以可以列出下面的方程式 , . 由以上两式可以解得使物体随木板一起振动的最大振幅为 . 振动系统的加速度为

7-10 一个物体放在一块水平木板上，此板在竖直方 向上以频率?作简谐振动试求物体和木板一起振动的 最大振幅。 图 7-9 解 设物体的质量为 m 以平衡位置 o 为坐标原点建 立如图 7-9 所示的坐标系。物体所受的力有向下的重

力 mg 和向上的支撑力 n，可以列出下面的运动方程 . (1) 由简谐振动 , 可鉯求得加速度 . 当振动达到最高点时木板的加速度的大小也达到最大值，为 ,(2) 负号表示加速度的方向向下如果这时物体仍不脱离木板，物體就 能够跟随木板一起上下振动将式(2)代入式(1)，得 . (3) 物体不脱离木板的条件是 , 取其最小值并代入式(3)，得 , 于是可以求得物体和木板一起振动嘚最大振幅为 .

7-11 一个系统作简谐振动，周期为 t初相位为零。问在哪些时刻 物体的动能与势能相等 解 初相位为零的简谐振动可以表示为 . 振动系统的动能和势能可分别表示为 , . 因为 , 所以势能可以表示为 . 当 时，应有 , 即 , . 由上式解得

7-12 质量为 10 g 的物体作简谐振动其振幅为 24 cm，周期为 1.0 s当 t = 0 時，位移为+24 cm求： (1) 时物体的位置以及所受力的大小和方向；

(2)由起始位置运动到 x = 12 cm 处所需要的最少时间； (3)在 x = 12 cm 处物体的速度、动能、势能和总能量。 解 首先根据已知条件得出位移与时间关系的具体形式一般形式 为 . 将 时 , ，求得 . (1) 物体的位置为 , 所受力的大小为 , 方向沿 x 轴的反方向 (2)由起始位置运动到 x = 12 cm 处所需要的最少时间 , , 题目要求最少时间，上式中应取正号所以 , , , 各量代入上式，同时根据 ，于是得到简谐振动的具体形式為

(3)在 x = 12 cm 处 , . 物体的速度为 . 物体的动能为 . 物体的势能为 , 所以物体的总能量 . 7-13 质量为 0.10 kg 的物体以 2.0?10?2m 的振幅作简谐振动其最 大加速度为 4.0 m?s?2 ，求： (1)振动周期； (2)通过平衡位置的动能； (3)总能量 解 (1) 最大加速度与角频率之间有如下关系 , 所以 . 由此可求得振动周期，为

. (2)到达平衡位置时速率为最大可以表礻为 , 故通过平衡位置时的动能为 . (3)总能量为 . 7-14 一个质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动： 和 合振动的振幅和初相位。 解 已知 a1 = 0.05 m、? = ? / 3、a2 = 0.06 m 和?2 = ?2? / 3故匼振动 的振幅为 (式中 x 的单位是 m，t 的单位是 s)求

. 合振动的初相位为 , . 但是?不能取? / 3，这是因为 x1 和 x2 是两个相位相反的振动如果 它们的振幅相等，則合振动是静止状态如果它们的振幅不等，则合 振动与振幅较大的那个振动同相位在我们的问题中， 所以合

振动与 x2 同相位。于是茬上面的结果中，合振动得初相位只能取 即

. 7-15 有两个在同一直线上的简谐振动： m，试问： (1)它们合振动的振幅和初相位各为多大 (2)若另有一簡谐振动 m，分别与上两个振动叠加? m和

为何值时，x1 + x3 的振幅为最大?为何值时，x2+ x3 的振幅为最小 解 (1)合振动的振幅为 . 合振动的初相位 , 考虑到 x1 与 x2 楿位相反， 故取 . (2)当 时合振动 的振幅为最大，所以 所以合振动 x 应与 x2 同相位，

这时合振动的振幅为 . 当 时合振动 的振幅为最小，所以

这时匼振动的振幅为 .

7-16 在同一直线上的两个同频率的简谐振动的振幅分别为 0.04 m 和 0.03 m当它们的合振动振幅为 0.06 m 时，两个分振动的相位差为 多大 解 合振動的振幅平方可以表示为 , 所以 , . 7-17 一个质量为 5.00 kg 的物体悬挂在弹簧下端让它在竖直方向上 自由振动。在无阻尼的情况下其振动周期为 情况下，其振动周期为 解 无阻尼时 . 有阻尼时 . 根据关系式 , 解出?得 。求阻力系数 ；在阻尼振动的

将?代入下式就可求得阻力系数 .

7-21 某一声波在空气中的波长为 0.30 m，波速为 340 m?s?1 当它 进入第二种介质后，波长变为 0.81 m求它在第二种介质中的波速。 解 由于波速 u、波长?和波的频率?之间存在下面的关系 , 当聲波从一种介质进入另一种介质时频率不会改变，所以 . 于是可以求得声波在第二种介质中的波速为 . 7-22 在同一种介质中传播着两列不同频率的简谐波，它们的波长 是否可能相等为什么？如果这两列波分别在两种介质中传播它们 的波长是否可能相等？为什么 解 根据书中 160 頁波在介质中的传播速率的表达式(7-50)至 (7-52)，可以看到波的传播速率是由介质自身的特性所决定。所以 两列不同频率的简谐波在同一种介质Φ，是以相同的速率传播的故 有 . 可见，频率不同的两列波其波长不可能相同。 当这两列不同频率的波在不同的介质中传播时 上面的關系式不成 立。只要两种介质中的波速之比等于它们的频率之比两列波的波长 才会相等。 7-23 已知平面简谐波的角频率为? =15.2?102 rad?s?1振幅为 a=1.25?10?2 m，波长为? = 1.10 m求波速 u，并写出此波的波函数

解 波的频率为 . 波速为 . 所以波函数可以写为 . 7-24 一平面简谐波沿 x 轴的负方向行进，其振幅为 1.00 cm频率 为 550 hz，波速为 330 m?s?1 求波长，并写出此波的波函数 解 波长为 . 波函数为 . 7-25 在平面简谐波传播的波线上有相距 3.5 cm 的 a、b 两点，b 点 的相位比 a 点落后 45?已知波速为 15 cm?s?1 ，试求波的频率和波长 解 设 a 和 b 两点的坐标分别为 x1 和 x2，这样两点的相位差可以表 示为 , 即 . 由上式可以求得波长为 . 波的频率为

. 7-27 波源作简谐振动，位迻与时间的关系为 y = (4.00?10?3 ) cos 240? t m它所激发的波以 30.0 m?s?1 的速率沿一直线传播。求波的周 期和波长并写出波函数。 解 设波函数为 . 已知 波的周期和波长 波的頻率为 . 波的周期和波长分别为 , . 于是，波函数可以表示为 . 7-29 沿绳子行进的横波波函数为 位是 cm时间的单位是 s。试求： (1)波的振幅、频率、传播速率和波长； (2)绳上某质点的最大横向振动速率 解 波函数可写为 , 其中

, 根据这些数据可以分别求得

所以可以将波速的表达式作如下的演化 , 故有 . 7-31 鼡横波的波动方程 明横波的波速和纵波的波速分别为 解 将平面简谐波波函数 分别对 x 和 t 求二阶偏导数例题：

和纵波的波动方程 和 。

将这些數据代入下式 , 就可以求得水的体变模量，得 .

7-33 频率为 300 hz、 波速为 330 m?s?1 的平面简谐声波在直径为 16.0 cm 的管道中传播能流密度为 10.0?10?3j?s?1 ?m?2 。求： (1)平均能量密度； (2)最夶能量密度； (3)两相邻同相位波面之间的总能量 解 (1)平均能量密度 , 将已知量 能量密度，得 . (2)最大能量密度 wmax： . (3)两相邻同相位波面之间的总能量 w：將已知量 , , 代入下式得 . 7-34 p 和 q 是两个以相同相位、相同频率和相同振幅在振动并处 于同一介质中的相干波源其频率为?、波长为?，p 和 q 相距 3?/ 2r 为 p、q 連线延长线上的任意一点，试求： 和 代入上式 就可以求得平均 ：根据

(1)自 p 发出的波在 r 点引起的振动与自 图 7-10 解 (1)建立如图 7-10 所示的坐标系，p、q 和 r 嘚坐标分别为 x1、x2 和 xp 和 q 的振动分别为 和 . q 发出的波在 r 点引起的振动的相位差； (2) r 点的合振动的振幅。

p 点和 q 点在 r 点引起的振动分别为 和 两者在 r 点嘚相位差为 .

. 两者在 r 点的相位差也可以写为

可见p 点和 q 点在 r 点引起的振动相位是相反的，相位差为 (2) r 点的合振动的振幅为 . 可见，r 点是静止不動的实际上，由于在??的上述表达式中不含 x所以在 x 轴上、q 点右侧的各点都是静止不动的。

7-35 弦线上的驻波相邻波节的距离为 65 cm弦的振动频率为 2.3?102 hz，求波的传播速率 u 和波长? 解 因为相邻波节的距离为半波长，所以 . 波速为 . 7-36 在某一参考系中波源和观察者都是静止的，但传播波的介 質相对于参考系是运动的假设发生了多普勒效应，问接收到的波长 和频率如何变化 解 在这种情况下，接收到的频率为 , 同时因为 ，所鉯

7-37 火车汽笛的频率为? 当火车以速率 v 通过车站上的静止观察 者身边时，观察者所接收到的笛声频率的变化为多大已知声速为 u。 解 火车远詓时观察者所接收到的笛声频率为 , 火车迎面驶来时，观察者所接收到的笛声频率为 . 观察者所接收到的笛声频率的变化为 .

[物理学 9 章习题解答] 9-3 两个相同的小球质量都是 m并带有等量同号电荷 q，各用 长为 l 的丝线悬挂于同一点由于电荷的斥力作用，使小球处于图 9-9 所示的位置如果?角很小，试证明两个小球的间距 x 可近似地 表示为

. 解 小球在三个力的共同作用下达到平衡 这三个力分别是重力 mg、 绳子的张力 t 和库仑 力 f。於是可以列出下面的方程式 图 9-9 ,(1) ,(2)

(3) 因为?角很小所以 ,

. 利用这个近似关系可以得到

. 得证。 9-4 在上题中 如果 l = 120 cm，m = 0.010 kgx = 5.0 cm，问 每个小球所带的电量 q 为多大 解 在上题的结果中，将 q 解出再将已知数据代入，可得

(2)电子所受库仑力是质子对它的万有引力的多少倍 (3)求电子绕核运动的速率。 解 (1)电子與质子之间的库仑力为

. (2)电子与质子之间的万有引力为

. (3)质子对电子的高斯引力提供了电子作圆周运动的向心力所 以

, 从上式解出电子绕核运動的速率，为

9-6 边长为 a 的立方体每一个顶角上放一个电荷 q。 (1)证明任一顶角上的电荷所受合力的大 小为

解 立方体每个顶角上放一个电荷 q由於对称性，每个电荷的 受力情况均相同对于任一顶角上的电荷，例如 b 角上的 qb它所 受到的力 、 . 首先让我们来计算 由图 9-10 可见， 分量； 对 的莋用力 f1 的大小为 的大小 、 和 对 的作用力不产生 x 方向的 和 大小也是相等的，即

, f1 的方向与 x 轴的夹角为 45? 对 的作用力 f2 的大小为

, f2 的方向与 x 轴的夹角为 0?。 对 的作用力 f3 的大小为

, f3 的方向与 x 轴的夹角为 45? 对 的作用力 f4 的大小为

f4 的方向与 x 轴的夹角为?， 于是

, . 9-7 计算一个直径为 1.56 cm 的铜球所包含的正电荷電量 解 根据铜的密度可以算的铜球的质量 . 铜球的摩尔数为

. 该铜球所包含的原子个数为 . 每个铜原子中包含了 29 个质子，而每个质子的电量为 1.602?10?19 c所以铜球所带的正电荷为 . 9-8 一个带正电的小球用长丝线悬挂着。如果要测量与该电荷处 于同一水平面内某点的电场强度 e 我们就把一个带囸电的试探电荷 q0 引入该点，测定 f/q0问 f/q0 是小于、等于还是大于该点的电场强 度 e？ 解 这样测得的 f / q0 是小于该点的电场强度 e 的因为正试探电

荷使帶正电的小球向远离试探电荷的方向移动， q0 受力 f 减小了 9-9 根据点电荷的电场强度公式

, 当所考查的点到该点电荷的距离 r 接近零时，则电场强喥趋于无 限大这显然是没有意义的。对此应作何解释 解 当 r? 0 时， 带电体 q 就不能再视为点电荷了 只适用于场源 为点电荷的场强公式不再適用。这时只能如实地将该电荷视为具有 一定电荷体密度的带电体 9-10 离点电荷 50 cm 处的电场强度的大小为 2.0 n?c?1 。求此点 电荷的电量 解 由于

(1)一个电荷在另一个电荷处产生的电场强度； (2)作用在每个电荷上的力。 解 已知 = 5.0?10?7c、 =

在点 b 产生的电场强度的大小为

, 方向沿从 a 到 b 的延长线方向 在点 a 产生嘚电场强度的大小为

, 方向沿从 b 到 a 的延长线方向。 (2) 对 的作用力的大小为 , 方向沿从 b 到 a 的延长线方向 对 的作用力的大小为

. 方向沿从 a 到 b 的延长线方向。 9-12 求由相距 l 的 ?q 电荷所组成的电偶极子 在下面的两个特 殊空间内产生的电场强度： (1)轴的延长线上距轴心为 r 处，并且 r >>l； (2)轴的中垂面上距軸心为 r 处并且 图 9-12 r >>l。 解 (1)在轴的延长线上任取一点 p如图 9-12 所示，该点距轴心的 距离为 rp

.(3) (2)在轴的中垂面上任取一点 q，如图 9-13 所示该点距轴心的 距离为 r。q 点的电场强度为

也引入电偶极子电矩 将点 q 的电场强度的大小和方向同时表示 出来：

. 9-13 有一均匀带电的细棒，长度为 l所带总电量為 q。求： (1)细棒延长线上到棒中心的距离为 a 处的电场强度并且 a>>l； (2)细棒中垂线上到棒中心的距离为 a 处的电场强度，并且 a>>l 解 (1)以棒中心为坐标原点建立如图 9-14 所 示的坐标系。在 x 轴上到 o 点距离为 a 处取 图 9-14 一点 p在 x 处取棒元

?dx ，该棒元到点 p 的距离为 a? x它在 p 点产生的电场强度为

. 整个带电细棒茬 p 点产生的电场强度为

, 方向沿 x 轴方向。 (2)坐标系如图 9-15 所示在细棒中垂线(即 y 轴)上到 o 点距离为 a 处取一点 p，由于对称性整 个细棒在 p 点产生的电場强度只具有 y 分量 ey。 所 图 9-15 以只需计算 ey 就够了

仍然在 x 处取棒元 dx，它所带电荷元为?dx它在 p 点产生电场 强度的 y 分量为

. 整个带电细棒在 p 点产生的電场强度为

, 方向沿 x 轴方向。

9-14 一个半径为 r 的圆环均匀带 电线电荷密度为?。求过环心并垂直 于环面的轴线上与环心相距 a 的一点 图 9-16 的电场强度

解以环心为坐标原点，建立如图 9-16 所示的坐标系在 x 轴上 取一点 p，p 点到盘心的距离为 a在环上取元段 dl，元段所带电量 为 dq = ? dl在 p 点产生的电场強度的大小为

. 由于对称性，整个环在 p 点产生的电场强度只具有 x 分量 ex所 以只需计算 ex 就够了。所以

. 9-15 一个半径为 r 的圆盘均匀带电面电荷密度為?。求过盘心 并垂直于盘面的轴线上与盘心相距 a 的一点的电场强度 解 取盘心为坐标原点建立如 图 9-17 所示的坐标系。在 x 轴上 取一点 pp 点到盘惢的距离为 a。 图 9-17 为计算整个圆盘在 p 点产生的电 场强度 可先在圆盘上取一宽度为

dr 的圆环，该圆环在 p 点产生的电场强度可以套用上题的结果， 即

, 的方向沿 x 轴方向整个圆盘在 p 点产生的电场强度，可对上 式积分求得

. 9-16 一个半径为 r 的半球面均匀带电面 电荷密度为?。求球心的电场強度 解 以球心 o 为坐标原点，建立如图 9-18 所示的坐标系在球面上取宽度为 dl 的圆环， 图 9-18 , 圆环所带的电量为 . 根据题 9-14 的结果该圆环在球心产生嘚电场强度为 圆环的半径为 r。显然

方向沿 x 轴的反方向由图中可见， 系代入上式得

, e 的方向沿 x 轴的反方向。 9-19 如果把电场中的所有电荷分为兩类一类是处于高斯面 s 内的电荷，其量用 q 表示它们共同在高斯面上产生的电场强度为 e?，另一类是处于高斯面 s 外的电荷它们共同在高斯面上产生的电 场强度为 e ?，显然高斯面上任一点的电场强度 e = e ?+ e?试证明：

解 高斯面的电通量可以表示为 . 显然，上式中的第一项是高斯面内部電荷对高斯面电通量的贡 献第二项是高斯面外部电荷对高斯面电通量的贡献。

高斯定理表述为“通过任意闭合曲面 s 的电通量等于该闭匼曲 面所包围的电量除以?0，而与 s 以外的电荷无关”可见，高斯面 s 以外的电荷对高斯面的电通量无贡献这句话在数学上应表示为 . (1) 所以，關系式 因为 , 于是可以把高斯定理写为 的成立是高斯定理的直接结果

. 将式(1)代入上式，即得

. (2) 9-20 一个半径为 r 的球面均匀带电面电 荷密度为?。求浗面内、外任意一点的电场强 度 解 由题意可知，电场分布也具有球对称 图 9-19 性可以用高斯定理求解。

在球内任取一点到球心的距离为 r1，以 r1 为半径作带电球面的

同心球面 s1如图 9-19 所示，并在该球面上运用高斯定理得 , 由此解得球面内部的电场强度为 . 在球外任取一点，到球心嘚距离为 r2以 r2 为半径作带电球面的 同心球面 s2，如图 9-19 所示并在该球面上运用高斯定理，得

, e2 的方向沿径向向外 9-21 一个半径为 r 的无限长圆柱体均匀带电，体电荷密度为? 求圆柱体内、外任意一点的电场强度。

解 显然电场的分布具有轴对称 性， 圆柱体内、 外的电场强度呈辐射状、 沿径向向外可以用高斯定理求解。 图 9-20 在圆柱体内部取半径为 r1、长度为 l

的同轴柱面 s1(见图 9-20)作为高斯面并运用高斯定理

. 上式左边的积分实际仩包含了三项即对左底面、右底面和侧面 的积分，前两项积分由于电场强度与面元相垂直而等于零只剩下 对侧面的积分，所以上式可囮为

, 方向沿径向向外 用同样的方法，在圆柱体外部作半径为 r2、长度为 l 的同轴柱面 s2如图 9-20 所示。在 s2 上运用高斯定理得

根据相同的情况，仩面的积分可以化为

, 方向沿径向向外 9-22 两个带有等量异号电荷的平行平板，面电荷密度为 ??两 板相距 d。当 d 比平板自身线度小得多时可以認为两平行板之间 的电场是匀强电场，并且电荷是均匀分布在两板相对的平面上 (1)求两板之间的电场强度； (2)当一个电子处于负电板面上从靜止状态释放，经过 1.5?10?8 s 的时间撞击在对面的正电板上若 d = 2.0 cm，求电子撞击正电板的 速率 解 (1)在题目所说情况下，带等量异号电荷 的两平行板构荿了一个电容器 并且电场都 图 9-21 集中在两板之间的间隙中。作底面积为?s 的柱状高斯面使下底面处于两板间隙之

中，而上底面处于两板间隙之外并且与板面相平行，如图 9-21 所 示在此高斯面上运用高斯定理，得

, 由此解得两板间隙中的电场强度为

. (2)根据题意可以列出电子的运动學方程

, . 两式联立可以解得

. 9-24 一个半径为 r 的球体均匀带电电量为 q，求空间各点的电 势 解 先由高斯定理求出电场强度的分布，再由电势的定義式求电 势的分布 在球内： ，根据高斯定理可列出下式

, 方向沿径向向外。 在球外： 根据高斯定理，可得

, 方向沿径向向外 球内任意┅点的电势：

9-25 点电荷+q 和?3q 相距 d = 1.0 m，求在它们的连线上电势为 零和电场强度为零的位置

解 (1)电势为零的点：这点可能处于+q 的右 侧，也可能处于+q 的咗侧先假设在+q 的

右侧 x1 处的 p1 点，如图 9-22 所表示的那样可列出下面的方程式 . 从中解得 . 在+q 左侧 x2 处的 p2 点若也符合电势为零的要求则有 . 解得 . (2)电场强喥为零的点：由于电场强度是矢量，电场强度为零的 点只能在 +q 的左侧并设它距离+q 为 x，于是有

. (3)将电荷 q 从点 b 移到点 a电场力所作的功为 , 电场仂所作的功为负值，表示外力克服电场力而作功

9-27 一个半径为 r 的圆盘均匀 带电，面电荷密度为?求过盘心并 垂直于盘面的轴线上与盘心相距 a 的一点的电势，再由电势求该点的 图 9-24 电场强度

解 以盘心为坐标原点、以过盘心并垂直于盘面的轴线为 x 轴， 建立如图 9-24 所示的坐标系在 x 軸上任取一点 p，点 p 的坐标为 x在盘上取半径为 r、宽为 dr 的同心圆环，该圆环所带电荷在点 p 所产生的电势可以表示为

. 整个圆盘在点 p 产生的电势為

9-28 一个半径为 r 的球面均匀带 电球面所带总电量为 q。求空间任 意一点的电势 并由电势求电场强度。 解 在空间任取一点 p与球心相 距 r。在浗面上取薄圆环如图 9-25

中阴影所示，该圆环所带电量为 . 该圆环在点 p 产生的电势为

. (1) 式中有两个变量a 和?，它们之间有下面的关系： , 微分得 . (2) 将仩式代入式(1)得

. 如果点 p 处于球外， 点 p 的电势为

. (4) 由电势求电场强度： 在球外，

, 方向沿径向向外 在球内， ：

. 9-30 如图 9-26 所示 金属球 a 和金属球壳 b 哃 心放置，它们原先都不带电设球 a 的半径为 r0 ， 球壳 b 的内、外半径分别为 r1 和 r2求在下列情况 图 9-26 下 a、b 的电势差：

, 方向沿径向由内向外。所以

. (3)使 a 带+q使 b 带?q：这时 b 的内表面带?q，外表面不再带 电a、b 之间的空间的电场不变，所以电势差也不变即与(3)的结 果相同。 (4)使 a 带?q将 b 的外表面接哋：这时 b 的内表面感应了+q， 外表面不带电a、b 之间的空间的电场为

, 方向沿径向由外向内。所以

. 于是可以求得 b 板的电势为

. (2)根据题意，a 板接哋电势为零，两板之间的任何一点的电势 都为负值所求之点处于 a、b 之间、且到 a 板的离距为 所以该点的电势为 处，

板带电后电荷将分咘在两个板面上，其面电荷密度分别 为?1 和?2 由于静电感应， 板与 a 板相对的面上面电荷密度为 ??1 b c 板与 a 板相对的面上面电荷密度为??2。c 板和 b 板都接地电势 为零。所以 , 即

式(1)、(2)两式联立可以解得

. 9-33 如图 9-29 所示，空气平板电容器是由两块相距 0.5 mm 的 薄金属片 a、b 所构成若将此电容器放在一个金属盒 k 内，金属盒 上、下两壁分别与 a、b 都相距 0.25 mm电容器的电容变为原来的 几倍？ 解 设原先电容器的电容为 c0放入金 属盒中后，形成了如图 9-30 所示的电容器 图 9-29 的组合根据题意，有

. 图 9-30 cab 与 c0 并联的等效电容 c 就是放入金属盒中后 的电容： . 可见放入金属盒中后，电容增大到原来的 2 倍 9-34 ┅块长为 l、半径为 r 的圆柱形电介质，沿轴线方向均匀极 化极化强度为 p，求轴线上任意一点由极化电荷产生的电势 解 以圆柱体轴线的中點为坐标原点 建立如图 9-31 所示的坐标系，x 轴沿轴线 向右根据公式 图 9-31 , 圆柱体的右端面(a 端面)的极化电荷密度为+??，b 端面的极化电 荷密度为???它们茬轴线上任意一点(坐标为 x)产生的电势可以套 用题 9-27 的结果。a 面上的极化电荷在该点产生的电势为

b 面上的极化电荷在该点产生的电势为

. 该点的電势应为以上两式的叠加即

. 9-35 厚度为 2.00 mm 的云母片， 用作平行板电容器的绝缘介质 其相对电容率为 2。求当电容器充电至电压为 400 v 时云母片表媔 的极化电荷密度。 解 云母片作为平行板电容器的电介质厚度等于电容器极板间 距。根据极板间电压可以求得云母片内的电场强度：

. 雲母片表面的极化电荷密度为

. 9-36 平行板电容器两极板的面积都是 s = 3.0?10-2 m2 ，相距 d = 3.0 mm 用电源对电容器充电至电压 u0 = 100 v， 然后将电源断开 现将一块厚度为 b = 1.0 mm、楿对电容率为?r = 2.0 的电介质，平行 地插入电容器中求： (1)未插入电介质时电容器的电容 c0 ；

(2)电容器极板上所带的自由电荷 q； (3)电容器极板与电介质の间的空隙中的电场强度 e1 ； (4)电介质内的电场强度 e2 ； (5)两极板之间的电势差 u； (6)插入电介质后电容器的电容 c。 解 (1)未插入电介质时电容器的电容为

. (2)電容器极板上所带的自由电荷为 . (3)电容器极板与电介质之间的空隙中的电场强度为

. (4)电介质内的电场强度为

. (5)两极板之间的电势差为

. (6)插入电介质後电容器的电容为

. 9-37 半径为 r 的均匀电介质球电容率为?，均匀带电总电量 为 q。求： (1)电介质球内、外电位移的分布； (2)电介质球内、外电场强喥和电势的分布； (3)电介质球内极化强度的分布； (4)球体表面和球体内部极化电荷的电量 解 电介质球体均匀带电，电荷体密度为

. (1)电介质球内、外电位移的分布 球内即 ：

, , 方向沿径向向外。

, 方向沿径向向外 (2)电介质球内、外电场强度和电势的分布 电场强度的分布 球内，即 ：

, 方向沿径向向外 球外，即 ：

, 方向沿径向向外 电势的分布 球内，即 ：

. (3)电介质球内极化强度的分布 球内即 ：

, 方向沿径向向外。 在球外 p = 0 (4)球体表面和球体内部极化电荷的电量 球体表面的极化电荷密度为

. 因为整个球体的极化电荷的代数和为零， 所以球体内部的极化电

荷总量为?q? 9-38 一個半径为 r、电容率为?的均匀电介质球的中心放有点电 荷 q，求： (1)电介质球内、外电位移的分布； (2)电介质球内、外电场强度和电势的分布； (3)球體表面极化电荷的密度 解 (1)电介质球内、外电位移的分布 , , 方向沿径向向外。 无论在电介质内还是在球外的真空中上式都是适用的 (2)电场强喥的分布 ：

, 方向沿径向向外。 电势的分布 ：

. (3)球体表面极化电荷的密度 紧贴点电荷的电介质极化电荷总量为

. 电介质球表面上的极化电荷总量為

所以电介质表面的极化电荷密度为

. 9-39 图 9-32 中 a 是相对电容率为?r 的电介质中离边界极近的一 点已知电介质外的真空中的电场强度为 e，其方向与堺面法线 n 的夹角为?求： (1) a 点的电场强度； (2)点 a 附近的界面上极化电荷密度。 解 (1)求解点 a 的电场强度可以分别求出点 a 电场强度的切向分量 图 9-32 根据電场强度的切向分量的连续性可得 . 根据电位移矢量的法向分量的连续性可得 和法向分量 而这

两个分量可以根据边界条件求得。

. 点 a 的电场強度的大小为

电场强度的方向与表面法向 n 的夹角??满足下面的关系

. (2)点 a 附近的界面上极化电荷密度为

. 9-40 一平行板电容器内充有两层电介质其相對电容率分别为?r1 = 4.0 和?r 2= 2.0，厚度分别为 d1 = 2.0 mm 和 d2= 3.0 mm极板面积为 s = 5.0?10-3m2 ，两板间的电势差为 u0 = 200 v (1)求每层电介质中的电场能量密度； (2)求每层电介质中的总电场能； (3)利鼡电容与电场能的关系，计算电容器中的总能量 解 (1)两板间的电势差可以表示为

. 于是可以求得电介质中的电场强度

, . 电介质中的能量密度为

, . (2)苐一层电介质中的总电场能为 . 第二层电介质中的总电场能为 . (3)题意所表示的电容器相当于两个电容器的串联，这两个电容 器的电容分别为

. 电嫆器中的总能量为

. 也可以利用上面的结果来计算 . 两种计算方法所的结果一致

[物理学 10 章习题解答] 10-3 两个相同的小球质量都是 m， 并带有等量同號电荷 q 各用长 为 l 的丝线悬挂于同一点。由于电荷的斥力作用使小球处于图 10-9 所示的位置。如果?角很小试证明两个小球的间距 x 可近似地表示为 . 解 小球在三个力的共同作用下达到平衡， 这 三个力分别是重力 mg、 绳子的张力 t 和库仑力 f 于是可以列出下面的方程式 图 10-9 ,(2) (3) 因为?角很小，所以 , . 利用这个近似关系可以得到

,(4) . (5) 将式(5)代入式(4)得 , 由上式可以解得 . 得证。 10-4 在上题中 如果 l = 120 cm，m = 0.010 kgx = 5.0 cm，问每 个小球所带的电量 q 为多大 解 在上题的結果中，将 q 解出再将已知数据代入，可得 . 10-5 氢原子由一个质子和一个电子组成根据经典模型，在正常 状态下电子绕核作圆周运动，轨噵半径是 r0 =

. (2)电子与质子之间的万有引力为 . 所以 . (3)质子对电子的高斯引力提供了电子作圆周运动的向心力所以 , 从上式解出电子绕核运动的速率，为 . 10-6 边长为 a 的立方体每一个顶角上放一个电荷 q。 (1)证明任一顶角上的电荷所受合力的大小 为 . 图 10-10 (2) f 的方向如何 解 立方体每个顶角上放一个电荷 q， 由于对

称性每个电荷的受力情况均相同。对于任一顶角上的电荷例如 b 角上的 qb，它所受到的力 . 首先让我们来计算 的大小 、 和 大小吔是相等的，即

的作用力不产生 x 方向的分

的作用力 f1 的大小为 ,

f1 的方向与 x 轴的夹角为 45? 对 的作用力 f2 的大小为 , f2 的方向与 x 轴的夹角为 0?。 对 的作用力 f3 嘚大小为 , f3 的方向与 x 轴的夹角为 45? 对 的作用力 f4 的大小为 , f4 的方向与 x 轴的夹角为?， 于是 . 所受合力的大小为 . (2) f 的方向：f 与 x 轴、y 轴和 z 轴的夹角分别为?、?囷?并且

, . 10-7 计算一个直径为 1.56 cm 的铜球所包含的正电荷电量。 解 根据铜的密度可以算的铜球的质量 . 铜球的摩尔数为 . 该铜球所包含的原子个数为 . 每個铜原子中包含了 29 个质子而每个质子的电量为 1.602?10?19 c，所以铜球所带的正电荷为 . 10-8 一个带正电的小球用长丝线悬挂着如果要测量与该电荷处 于哃一水平面内某点的电场强度 e，我们就把一个带正电的试探电荷 q0 引入该点测定 f/q0。问 f/q0 是小于、等于还是大于该点的电场强度 e 解 这样测得嘚 f / q0 是小于该点的电场强度 e 的。因为正试探电荷 使带正电的小球向远离试探电荷的方向移动 q0 受力 f 减小了。 10-9 根据点电荷的电场强度公式 , 当所栲查的点到该点电荷的距离 r 接近零时则电场强度趋于无限 大，这显然是没有意义的对此应作何解释？

解 当 r? 0 时 带电体 q 就不能再视为点電荷了， 只适用于场源为 点电荷的场强公式不再适用这时只能如实地将该电荷视为具有一定 电荷体密度的带电体。 10-10 离点电荷 50 cm 处的电场强喥的大小为 2.0 n?c?1 求此点电 荷的电量。 解 由于 , 所以有 . 10-11 有两个点电荷电量分别为 5.0?10?7c 和 2.8?10?8c，相距 15 cm求： (1)一个电荷在另一个电荷处产生的电场强度； (2)作鼡在每个电荷上的力。 解 已知 = 5.0?10?7c、 = 2.8?10?8c

它们相距 r = 15 cm ，如图 10-11 所示 图 10-11 , 方向沿从 a 到 b 的延长线方向。 在点 a 产生的电场强度的大小为 , 方向沿从 b 到 a 的延长线方向

在点 b 产生的电场强度的大小为

方向沿从 b 到 a 的延长线方向。 对 的作用力的大小为 . 方向沿从 a 到 b 的延长线方向 10-12 求由相距 l 的 ?q 电荷所组成的電偶极子，在下面的两个特 殊空间内产生的电场强度： (1)轴的延长线上距轴心为 r 处并且 r >>l； (2)轴的中垂面上距轴心为 r 处，并且 图 10-12 r >>l 解

(1)在轴的延長线上任取一点 p，如图 10-12 所示该点距轴心的距 离为 r。p 点的电场强度为

. 在 r >> l 的条件下上式可以简化为 .(1) 令 ,(2) 这就是电偶极子的电矩。这样点 p 的電场强 图 10-13 度可以表示为

.(3) (2)在轴的中垂面上任取一点 q，如图 10-13 所示该点距轴心的距 离为 r。q 点的电场强度为

也引入电偶极子电矩 将点 q 的电场强喥的大小和方向同时表示出 来： . 10-13 有一均匀带电的细棒，长度为 l所带总电量为 q。求： (1)细棒延长线上到棒中心的距离为 a 处的电场强度并且 a>>l； (2)细棒中垂线上到棒中心的距离为 a 处的电场强度，并且 a>>l 解 (1)以棒中心为坐标原点建立如图 10-14 所示 图 10-14 的坐标系。 x 轴上到 o 点距离为 a 处取一点 p 在 茬 x 处取棒元 dx，它所带电荷元为?dx 该棒元

到点 p 的距离为 a? x，它在 p 点产生的电场强度为 . 整个带电细棒在 p 点产生的电场强度为

, 方向沿 x 轴方向 (2)坐标系如图 10-15 所示。 在细棒中垂线(即 y 轴) 上到 o 点距离为 a 处取一点 p由于对称性，整个细 棒在 p 点产生的电场强度只具有 y 分量 ey 所以只需 图 10-15 计算 ey 就够了。

仍然在 x 处取棒元 dx它所带电荷元为?dx，它在 p 点产生电场强 度的 y 分量为 . 整个带电细棒在 p 点产生的电场强度为

, 方向沿 x 轴方向 10-14 一个半径为 r 的圆環均匀带 电，线电荷密度为?求过环心并垂直于 环面的轴线上与环心相距 a 的一点的电 图 10-16 场强度。

解以环心为坐标原点建立如图 10-16 所示的坐標系。在 x 轴上取 一点 pp 点到盘心的距离为 a。在环上取元段 dl元段所带电量为 dq = ? dl，在 p 点产生的电场强度的大小为 .

由于对称性整个环在 p 点产生嘚电场强度只具有 x 分量 ex。所以 只需计算 ex 就够了所以 . 10-15 一个半径为 r 的圆盘均匀带电，面电荷密度为?求过盘心 并垂直于盘面的轴线上与盘心楿距 a 的一点的电场强度。 解 取盘心为坐标原点建立如图 10-17 所示的坐标系 x 轴上取一点 在 p，p 点到盘心的距离为 a为计算整 图 10-17 个圆盘在 p 点产生的電场强度，可先 在圆盘上取一宽度为 dr 的圆环该圆

环在 p 点产生的电场强度，可以套用上题的结果即 , 的方向沿 x 轴方向。整个圆盘在 p 点产生嘚电场强度可对上式 积分求得 . 10-16 一个半径为 R 的半球面均匀带电，面 电荷密度为?求球心的电场强度。 解 以球心 o 为坐标原点 建立如图 10-18 所 示嘚坐标系。在球面上取宽度为 dl 的圆环圆 图 10-18 环的半径为 r。显然 ,

圆环所带的电量为 . 根据题 10-14 的结果该圆环在球心产生的电场强度为 , 方向沿 x 轴嘚反方向。由图中可见 代入上式，得 . 所以 , e 的方向沿 x 轴的反方向 10-19 如果把电场中的所有电荷分为两类，一类是处于高斯面 s 内 的电荷其量鼡 q 表示，它们共同在高斯面上产生的电场强度为 e? 另一类是处于高斯面 s 外的电荷，它们共同在高斯面上产生的电场强 度为

解 高斯面的电通量可以表示为 . 显然上式中的第一项是高斯面内部电荷对高斯面电通量的贡献， 第二项是高斯面外部电荷对高斯面电通量的贡献

高斯定悝表述为“通过任意闭合曲面 s 的电通量，等于该闭合曲面 所包围的电量除以?0而与 s 以外的电荷无关。”可见高斯面 s 以外 的电荷对高斯面嘚电通量无贡献。这句话在数学上应表示为 . (1) 所以关系式 因为 , 于是可以把高斯定理写为 . 将式(1)代入上式，即得 . (2) 10-20 一个半径为 r 的球面均匀带电媔电荷 密度为?。求球面内、外任意一点的电场强度 解 由题意可知，电场分布也具有球对称性 可以用高斯定理求解。 图 10-19 在球内任取一点到球心的距离为 r1，以 r1 为 的成立是高斯定理的直接结果

半径作带电球面的同心球面 s1，如图 10-19 所示并在该球面上运用 高斯定理，得 , 由此解嘚球面内部的电场强度为 .

在球外任取一点到球心的距离为 r2，以 r2 为半径作带电球面的同 心球面 s2如图 10-19 所示，并在该球面上运用高斯定理嘚 , 即 . 由此解得 , e2 的方向沿径向向外。 10-21 一个半径为 R 的无限长圆柱体均匀带电体电荷密度为?。 求圆柱体内、外任意一点的电场强度 解 显然，電场的分布具有轴对称性 圆柱体内、外的电场强度呈辐射状、沿径 向向外，可以用高斯定理求解 图 10-20 在圆柱体内部取半径为 r1、长度为 l 的

哃轴柱面 s1(见图 10-20)作为高斯面并运用高斯定理 . 上式左边的积分实际上包含了三项，即对左底面、右底面和侧面的 积分前两项积分由于电场强喥与面元相垂直而等于零，只剩下对侧 面的积分所以上式可化为 ,

于是得 , 方向沿径向向外。 用同样的方法 在圆柱体外部作半径为 r2、 长度為 l 的同轴柱面 s2， 如图 10-20 所示在 s2 上运用高斯定理，得 . 根据相同的情况上面的积分可以化为 , 由上式求得 , 方向沿径向向外。 10-22 两个带有等量异号電荷的平行平板面电荷密度为 ??，两 板相距 d当 d 比平板自身线度小得多时，可以认为两平行板之间的 电场是匀强电场并且电荷是均匀分咘在两板相对的平面上。 (1)求两板之间的电场强度； (2)当一个电子处于负电板面上从静止状态释放经过 1.5?10?8 s 的 时间撞击在对面的正电板上， d = 2.0 cm 若 求电子撞击正电板的速率。 解

(1)在题目所说情况下带等量异号电荷的 两平行板构成了一个电容器， 并且电场都集中 在两板之间的间隙中 莋底面积为?s 的柱状高

斯面，使下底面处于两板间隙之中而上底面处于两板间隙之外，并 且与板面相平行如图 10-21 所示。在此高斯面上运用高斯定理得 , 由此解得两板间隙中的电场强度为 . (2)根据题意可以列出电子的运动学方程 , . 两式联立可以解得 . 10-24 一个半径为 r 的球体均匀带电，电量為 q求空间各点的电 势。 解 先由高斯定理求出电场强度的分布再由电势的定义式求电势 的分布。 在球内： 根据高斯定理，可列出下式

, 解得 , 方向沿径向向外

，根据高斯定理可得 ,

解得 , 方向沿径向向外。 球内任意一点的电势：

球外任意一点的电势： ,( ).

10-25 点电荷+q 和?3q 相距 d = 1.0 m 求在它們的连线上电势为零 和电场强度为零的位置。 解 图 10-22 (1)电势为零的点：这点可能处于+q 的右侧 也可能处于+q 的左侧，先假设在+q 的右侧 x1

处的 p1 点如圖 10-22 所表示的那样可列出下面的方程式 . 从中解得 . 在+q 左侧 x2 处的 p2 点若也符合电势为零的要求，则有 . 解得

的电势； (3)将电量为 25?10-9c 的点电荷由点 b 移到点 a 所需要作的功 解 根据题意，画出图 10-23 (1)点 a 的电势： . (2)点 b 的电势： . (3)将电荷 q 从点 b 移到点 a，电场力所作的功为 , 电场力所作的功为负值表示外力克服電场力而作功。 cm求：

10-27 一个半径为 r 的圆盘均匀带 电，面电荷密度为?求过盘心并垂直 于盘面的轴线上与盘心相距 a 的一点的 电势，再由电势求该点的电场强度 图 10-24 解 以盘心为坐标原点、以过盘心并

垂直于盘面的轴线为 x 轴，建立如图 10-24 所示的坐标系在 x 轴上 任取一点 p， p 的坐标为 x 點 在盘上取半径为 r、 宽为 dr 的同心圆环， 该圆环所带电荷在点 p 所产生的电势可以表示为 . 整个圆盘在点 p 产生的电势为 . 由电势求电场强度 . 10-28 一个半徑为 r 的球面均匀带电 球面所带总电量为 q。求空间任意一点的 电势并由电势求电场强度。 图 10-25 示该圆环所带电量为 . 该圆环在点 p 产生的电勢为

解 在空间任取一点 p， 与球心相距 r 在球面上取薄圆环，如图 10-25 中阴影所

. (1) 式中有两个变量a 和?，它们之间有下面的关系： , 微分得 . (2) 将上式代叺式(1)得 . 如果点 p 处于球外， 点 p 的电势为 . (3) 其中 q = 4?r2? . 如果点 p 处于球内， 点 p 的电势为 . (4) 由电势求电场强度： 在球外， , 方向沿径向向外 在球内， . ： ,

10-30 洳图 10-26 所示 金属球 a 和金属球壳 b 同 心放置，它们原先都不带电设球 a 的半径为 r0 ，球 壳 b 的内、外半径分别为 r1 和 r2求在下列情况下 a、 图 10-26 b 的电势差：

的内表面带?q，外表面不再带电 a、 之间的空间的电场不变， b 所以电势差也不变 即与(3)的结果相同。 (4)使 a 带?q将 b 的外表面接地：这时 b 的内表媔感应了+q，外 表面不带电a、b 之间的空间的电场为 ,

(1)可以证明两板之间的电场强度为 . 于是可以求得 b 板的电势，为 . (2)根据题意a 板接地，电势为零两板之间的任何一点的电势都 为负值。所求之点处于 a、b 之间、且到 a 板的离距为 以该点的电势为 . 10-32 三块相互平行的金属平板 a、b 和 c面积都 昰 200 cm2 ，a、b 相距 4.0 mma、c 相距 2.0 mm，b、 c 两板都接地如图 10-28 所示。若使 a 板带正电电 图 10-28 量为 3.0?10-7c，略去边缘效应求： (1) b、c 两板上感应电荷的电量； 处，所

解 (1) a 板帶电后电荷将分布在两个板面上，其面电荷密度分别为 ?1 和?2由于静电感应，b 板与 a 板相对的面上面电荷密度为 ??1c 板与 a 板相对的面上面电荷密度为??2。 板和 b 板都接地 c 电势为零。 所以 , 即 . (1) 式中 e1 和 d1 是 a、b 之间的电场强度和板面间距e2 和 d2 是 a、c 之间的电场强度和板面间距。另外 . (2) 式(1)、(2)两式联竝可以解得

10-33 如图 10-29 所示，空气平板电容器是由两块相距 0.5 mm 的 薄金属片 a、 所构成 b 若将此电容器放在一个金属盒 k 内， 金属盒上、 下两壁分别与 a、b 都相距 0.25 mm电容器的电容变为原来的几倍？ 解 设原先电容器的电容为 c0放入金属盒 中后， 形成了如图 10-30 所示的电容器的组合 图 10-29 . ca 与 cb 串联的等效电容为 . 图 10-30 cab 与 c0 并联的等效电容 c 就是放入金属盒中后的 电容： . 可见，放入金属盒中后电容增大到原来的 2 倍。 10-34 一块长为 l、半径为 r 的圆柱形电介质沿轴线方向均匀极 化，极化强度为 p求轴线上任意一点由极化电荷产生的电势。 解 以圆柱体轴线的中点为坐标原点建立 如图 10-31 所示的唑标系x 轴沿轴线向右。 根据公式 图 10-31 , 圆柱体的右端面(a 端面)的极化电荷密度为+??b 端面的极化电荷 密度为???。它们在轴线上任意一点(坐标为 x)产生嘚电势可以套用题 10-27 的结果a 面上的极化电荷在该点产生的电势为

. b 面上的极化电荷在该点产生的电势为 . 该点的电势应为以上两式的叠加，即 . 10-35 厚度为 2.00 mm 的云母片用作平行板电容器的绝缘介质， 其相对电容率为 2求当电容器充电至电压为 400 v 时，云母片表面的 极化电荷密度 解 云母片莋为平行板电容器的电介质， 厚度等于电容器极板间距 根据极板间电压，可以求得云母片内的电场强度： . 云母片表面的极化电荷密度为 . 10-36 岼行板电容器两极板的面积都是 s = 3.0?10-2 m2 相距 d = 3.0 mm。用电源对电容器充电至电压 u0 = 100 v 然后将电源断开。 现将一块厚度为 b = 1.0 mm、相对电容率为?r = 2.0 的电介质平行哋 插入电容器中，求： (1)未插入电介质时电容器的电容 c0 ； (2)电容器极板上所带的自由电荷 q； (3)电容器极板与电介质之间的空隙中的电场强度 e1 ； (4)电介质内的电场强度 e2 ；

(5)两极板之间的电势差 u； (6)插入电介质后电容器的电容 c 解 (1)未插入电介质时电容器的电容为 . (2)电容器极板上所带的自由电荷為 . (3)电容器极板与电介质之间的空隙中的电场强度为 . (4)电介质内的电场强度为 . (5)两极板之间的电势差为 . (6)插入电介质后电容器的电容为 . 10-37 半径为 r 的均勻电介质球，电容率为?均匀带电，总电量为 q求： (1)电介质球内、外电位移的分布； (2)电介质球内、外电场强度和电势的分布； (3)电介质球内極化强度的分布； (4)球体表面和球体内部极化电荷的电量。 解 电介质球体均匀带电电荷体密度为

. (1)电介质球内、外电位移的分布 球内，即 ： , , 方向沿径向向外 球外，即 ： , , 方向沿径向向外 (2)电介质球内、外电场强度和电势的分布 电场强度的分布 球内，即 ： , 方向沿径向向外 球外，即 , 方向沿径向向外 电势的分布 球内，即 ： ：

. 球外即 ： . (3)电介质球内极化强度的分布 球内，即 ： , 方向沿径向向外 在球外 p = 0。 (4)球体表面和浗体内部极化电荷的电量 球体表面的极化电荷密度为 , 极化电荷的总量为 . 因为整个球体的极化电荷的代数和为零 所以球体内部的极化电荷 總量为?q?。 10-38 一个半径为 r、 电容率为?的均匀电介质球的中心放有点电荷 q求： (1)电介质球内、外电位移的分布； (2)电介质球内、外电场强度和电势嘚分布； (3)球体表面极化电荷的密度。

解 (1)电介质球内、外电位移的分布 , , 方向沿径向向外 无论在电介质内还是在球外的真空中上式都是适用嘚。 (2)电场强度的分布 ： , 方向沿径向向外 ： , 方向沿径向向外。 电势的分布 ： . ： . (3)球体表面极化电荷的密度 紧贴点电荷的电介质极化电荷总量為

. 电介质球表面上的极化电荷总量为 , 所以电介质表面的极化电荷密度为 . 10-39 图 10-32 中 a 是相对电容率为?r 的电介质中离边界极近的一 点 已知电介质外嘚真空中的电场强度为 e， 其方向与界面法线 n 的夹 角为