部队通令嘉奖，功臣单位代表，铁道部奖。
∵圆M为Rt⊿AOB的外接圆，∴AB为直径，
∵直线AE于园M相切于A（A是AE与圆的唯一交点），
∴当点C运动到∠ABE=30°, 亦即BE为∠ABO的角的平分线时，直线AE于园M相切。
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答案（1）（，），P（0，2t），Q（t，0）；（2）①；②当t=1时，S有最大值，最大值为1．
解析试题分析：（1）如答图1，作辅助线，由比例式求出点D的坐标；
（2）①所求函数关系式为分段函数，需要分类讨论：答图2，答图3表示出运动过程中重叠部分（阴影）的变化，分别求解.
②画出函数图象，由两段抛物线构成．观察图象，可知当t=1时，S有最大值．
试题解析：解：（1）如答图1，过点C作CF⊥x轴于点F，CE⊥y轴于点E，
由题意，易知四边形OECF为正方形，设正方形边长为x．
∵CE∥x轴，∴△BEC∽△BOA.∴，即，解得x=．
∵PQ∥AB，∴，即.
∵P（0，2t），∴Q（t，0）．
∵对称轴OC为第一象限的角平分线，∴对称点坐标为：M（2t，0），N（0，t）．
（2）①当0＜t≤1时，如答图2所示，点M在线段OA上，重叠部分面积为S△CMN．
当1＜t＜2时，如答图3所示，点M在OA的延长线上，
设MN与AB交于点D，则重叠部分面积为S△CDN．
设直线MN的解析式为y=kx+b，
将M（2t，0）、N（0，t）代入得，解得.
∴直线MN的解析式为.
同理求得直线AB的解析式为：y=﹣2x+4．
联立与y=﹣2x+4，求得点D的横坐标为．
综上所述，S关于t的函数关系式为．
②画出函数图象，如答图4所示：
观察图象，可知当t=1时，S有最大值，最大值为1．
考点：1.双动点和轴对称问题；2.正方形的判定和性质；3.相似三角形的判定和性质；4.直线上点的坐标与方程的关系；5.待定系数法的应用；6.由实际问题列函数关系式；7.分类思想、数形结合思想和方程思想的应用.
