行列式计算方法算

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-09-23 07:41 标签： 行列式计算方法

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VB行列式计算器，可以计算行列式的值经典算法

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2018考研数学线性代数：三阶行列式计算方法

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　　摘 要：行列式的计算是求解线性方程组的重要工具，是线性代数的基础。其中，高阶行列式的计算方法尤为重要。由于高阶行列式的计算应用定义法较为复杂，本文通过求解一道习题，给出计算高阶行列式除基本算法―― 化三角形法外，还有叠加法、加边法、析因法、辅助行列式、递推公式法和数学归纳法等6种计算方法，并给出每个方法适应的条件和解题步骤。行列式计算方法多种多样，高阶行列式形式虽然复杂，只要在计算过程中，仔细观察行列式的特点，选择恰当的计算方法，既可以在保证计算速度，又可以保证计算质量，还可以使高阶行列式的计算变得简单。计算就会变得比较容易。
　　关键词：高阶行列式 计算 方法
　　中图分类号：G71 文献标识码：A 文章编号：X（2015）07（b）-0224-02
　　行列式的计算是学习线性代数的基础，是求解线性方程组的基础，但行列式的计算方法很多，综合性较强。首先介绍一下行列式的定义与性质。
　　1 行列式的定义与性质
　　1.1 行列式的定义
　　将个数排成n行n列并在左右两边各加一竖线后得到的算式称为n阶行列式，通常用大写字母表示。记为。其中D为n阶行列式指的n！项的代数和，这些项是一切可能的取自D1的不同的行与不同的列上的n个元素的乘积。项的符号为，如果是偶排列时，这一项是正的，如果是奇排列时，这一项是负的。
　　1.2 行列式的性质
　　（1）性质1：行与列互换，行列式的值不变。
　　（2）性质2：交换两行（列）的位置，行列式的值变号。
　　（3）性质3：某行（列）的公因子可以提到行列式的符号外。
　　（4）性质4：如果某行（列）的所有元素都可以写成两项的和，则该行列式可以写成两个行列式的和；这两个行列式的这一行（列）的元素分别为对应的两数之一，其余各行（列）元素与原行列式相同。
　　（5）性质5：某行（列）的倍数加到另一行（列），行列式的值不变。
　　有以上性质还可以得出以下方面。
　　（1）推论1：两行（列）对应元素对应成比例，行列式的值为0。
　　（2）推论2：某行（列）元素全为0，行列式的值为0。
　　（3）推论3：两行（列）对应元素相同，行列式的值为0。
　　2 高阶行列式的计算方法与应用举例
　　行列式是求解线性方程组的重要工具，在很多领域都有重要的应用。在文献[7]中主要研究的是求解特殊行列式―― 缺行范德蒙行列式的计算方法，但是对应一般的高阶行列式没有归纳总结。
　　行列式的计算方法多种多样，一般用行列式的定义、性质、化三角形法等方法计算行列式，但对于一些高阶行列式或含有字母的行列式，用一般方法计算显得有些费劲，甚至是不容易求解出来。通过参考教材[1-3]及文献[4-6]，收集一些计算行列式的计算方法。下面以一道题目为例，介绍几种计算高阶行列式的方法。
　　2.1 化三角形法
　　通过运用行列式的性质，对行（或列）进行消去变换，消去变换可将原行列式主对角线一侧的元素全化为零（三角行列式）。此方法是求解行列式最常用的方法。
　　仔细观察这个行列式，会发现每一行（列）构成的元素相同，将第2行、第3行、…、第n行加到第一行再进行计算。该方法适用于每行（列）构成元素相同，即把所有的行（列）加起来相同。
　　根据行列式的特点，在原行列式的基础上添行列使其升阶构造一个容易计算的新行列式，进而求出原行列式的值。此方法适合行列式除了字母以外行对应元素数字构成相同。
　　析因法是根据行列的性质结合多项式的理论而成的方法。如例题，可以将行列式Dn看作一个关于x的多项式f（x），然后对行列式施行某些变换或求导数，求出f（x）的互素的一次因式，使f（x）与这些因式的乘积h（x）只相差一个常数k，根据多项式相等的定义，比较f（x）与h（x）的某一项的系数，求出c值，便可求得Dn=ch（x）。
　　设Dn=f（x），根据Dn的形式，当x=a（行列式元素相同根据性质行列式值为0），x=（n-1）a（行列式的第一列是第2列、第3列、第4列…、第n列的和，根据行列式的性质可知行列式值为0）是Dn=0，所以（x-a）、（x-（n-1）a）是f（x）的一次因子。
　　根据行列式的求导法则，可以得：
　　一般地，递推公式法是根据行列式的性质，然后按行（列）展开，把一个n阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式的线性关系，再把再根据此关系递推求得所给行列式的值。
　　2.6 数学归纳法
　　数学归纳法是常用的证明方法，利用数学归纳法来计算行列式分两步进行：第一步是发现和猜想；第二步是证明猜想的正确性。
　　一般地，若要证的结果已知时，可用数学归纳法来证明，其步骤如下：（1）验证n取第一个值（n=0，1或2等）时公式成立；（2）假定n=k时公式成立，验证当n=k+1时公式也成立，若要求的结果未知时，也可先猜想其结果，然后用数学归纳法证明其猜想结果成立。
　　2.7 辅助行列式法[4]
　　辅助行列式法的解题步骤是：在行列式的各元素中加上一个数x，使新行列式除主对角线外，其余各元素均为0，然后计算新行列式的主对角线上各元素的代数余子式，最后所求行列式。
　　对行列式每一个元素加-a，得到的新行列式为：
　　通过上述计算，可以看出行列式的计算是灵活多样的，只要在高阶行列式的计算过程中，仔细观察行列式的特点，选择恰当的计算方法，既可以在保证计算速度，又可以保证计算质量，还可以使高阶行列式的计算变得简单。该文通过例题的多解，总结求解计算高阶行列式的几种方法。
　　[1]张禾瑞，郝炳新.高等代数（第4版）[M].北京：高等教育出版社，1997.
　　[2]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编.高等代数（第2版）[M].北京：高等教育出版社，2003.
　　[3]徐仲，陆全，张凯院，等.高等代数（北大?第3版）导教?导学?导考[M].西安：西北工业大学出版社，2003.
　　[4]卢潮辉.从一题多解谈行列式的计算[J].牡丹江教育学院学报，2010，119（1）：144-145.
　　[5]张瑜，张越.浅谈递推法在行列式计算中的应用[J].赤峰学院学报：自然科学版，2014，30（17）：5-7.
　　[7]于荣娟，陈红红，杨海波.浅谈某类行列式的计算[J].内蒙古农业大学学报：自然科学版，2013，34（2）：161-164.

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