理论力学之动力学习题答案北航.doc

动力学（MADEBY水水）－解：运动方程：其中。将运动方程对时间求导并将代入得－证明：质点做曲线运动所以质点的加速度为：,设质点的速度为由图可知:所以:将代入上式可得证毕－证明：因为所以：证毕－解：设初始时,绳索AB的长度为,时刻时的长度为,则有关系式：并且将上面两式对时间求导得：由此解得：（a）(a)式可写成：将该式对时间求导得：(b)将(a)式代入(b)式可得：（负号说明滑块A的加速度向上）取套筒A为研究对象受力如图所示根据质点矢量形式的运动微分方程有：将该式在轴上投影可得直角坐标形式的运动微分方程：其中：将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得：－解：设B点是绳子AB与圆盘的切点由于绳子相对圆盘无滑动所以由于绳子始终处于拉直状态因此绳子上A、B两点的速度在A、B两点连线上的投影相等即：（a）因为（b）将上式代入（a）式得到A点速度的大小为：（c）由于（c）式可写成：将该式两边平方可得：将上式两边对时间求导可得：将上式消去后可求得：(d)由上式可知滑块A的加速度方向向左其大小为取套筒A为研究对象受力如图所示根据质点矢量形式的运动微分方程有：将该式在轴上投影可得直角坐标形式的运动微分方程：其中：,将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得－解：动点：套筒A动系：OC杆定系：机座运动分析：绝对运动：直线运动相对运动：直线运动牵连运动：定轴转动。根据速度合成定理有：因为AB杆平动所以由此可得：OC杆的角速度为所以当时OC杆上C点速度的大小为：－解：动点：销子M动系：圆盘动系：OA杆定系：机座运动分析：绝对运动：曲线运动相对运动：直线运动牵连运动：定轴转动根据速度合成定理有由于动点M的绝对速度与动系的选取无关即由上两式可得：(a)将（a）式在向在x轴投影,可得：由此解得：－解：动点：圆盘上的C点动系：OA杆定系：机座运动分析：绝对运动：圆周运动相对运动：直线运动（平行于OA杆）牵连运动：定轴转动。根据速度合成定理有（a）将（a）式在垂直于OA杆的轴上投影以及在OC轴上投影得：根据加速度合成定理有（b）将（b）式在垂直于OA杆的轴上投影得其中：由上式解得：－解：由于ABM弯杆平移所以有取：动点：滑块M动系：OC摇杆定系：机座运动分析：绝对运动：圆周运动相对运动：直线运动牵连运动：定轴转动。根据速度合成定理可求得：根据加速度合成定理将上式沿方向投影可得：由于根据上式可得：解：取小环M为动点OAB杆为动系运动分析绝对运动：直线运动相对运动：直线运动牵连运动：定轴转动。由运动分析可知点的绝对速度、相对速度和牵连速度的方向如图所示其中：根据速度合成定理：可以得到：加速度如图所示其中：根据加速度合成定理：将上式在轴上投影可得：,由此求得：－解：求汽车B相对汽车A的速度是指以汽车A为参考系观察汽车B的速度。取：动点：汽车B动系：汽车A（Ox’y’）定系：路面。运动分析绝对运动：圆周运动相对运动：圆周运动牵连运动：定轴转动（汽车A绕O做定轴转动）求相对速度根据速度合成定理将上式沿绝对速度方向投影可得：因此其中：由此可得：求相对加速度由于相对运动为圆周运动相对速度的大小为常值因此有：质量为销钉M由水平槽带动使其在半径为的固定圆槽内运动。设水平槽以匀速向上运动不计摩擦。求图示瞬时圆槽作用在销钉M上的约束力。解：销钉M上作用有水平槽的约束力和圆槽的约束力（如图所示）。由于销钉M的运动是给定的所以先求销钉的加速度在利用质点运动微分方程求约束力。取销钉为动点水平槽为动系。由运动分析可知销钉的速度图如图所示。根据速度合成定理有由此可求出：。再根据加速度合成定理有：由于绝对运动是圆周运动牵连运动是匀速直线平移所以并且上式可写成：因为所以根据上式可求出:。根据矢量形式的质点运动微分方程有：将该式分别在水平轴上投影：由此求出：图示所示吊车下挂一重物M绳索长为初始时吊车与重物静止。若吊车从静止以均加速度沿水平滑道平移。试求重物M相对吊车的速度与摆角的关系式。解：由于要求重物相对吊车的速度所以取吊车为动系重物M为动点。根据质点相对运动微分方程有将上式在切向量方向投影有因为所以上式可写成整理上式可得将上式积分：其中为积分常数（由初始条件确定）因为相对速度上式可写成初始时系统静止根据速度合成定理可知由此确定。重物相对速度与摆角的关系式为：水平板以匀角速度绕铅垂轴O转动小球M可在板内一光滑槽中运动（如图）初始时小球相对静止且到转轴O的距离为求小球到转轴的距离为时的相对速度。解：取小球为动点板为动系小球在水平面的受力如图所示（铅垂方向的力未画出）。根据质点相对运动微分方程有：将上式在上投影有因为所以上式可写成整理该式可得：将该式积分有：初始时,,由此确定积分常数因此得到相对速度为重为P的小环M套在弯成形状的金属丝上该金属丝绕铅垂轴以匀角速度转动如图所示。试求小环M的相对平衡位置以及金属丝作用在小环上的约束力。解：取小环为动点金属丝为动系根据题意相对平衡位置为因为金属丝为曲线所以因此在本题中相对平衡位置就是相对静止位置。小环受力如图所示。其中分别为约束力、牵连惯性力和小环的重力。根据质点相对运动微分方程有：其中：将上式分别在轴上投影有（a）以为,,因此（b）由（a）式可得（c）将和式（b）代入式（c）并利用可得：再由方程（a）中的第一式可得解：当摩擦系数足够大时平台AB相对地面无滑动此时摩擦力取整体为研究对象受力如图系统的动量：将其在轴上投影可得：根据动量定理有：即：当摩擦系数时平台AB的加速度为零。当摩擦系数时平台AB将向左滑动此时系统的动量为：将上式在轴投影有：根据动量定理有：由此解得平台的加速度为：（方向向左）取弹簧未变形时滑块A的位置为x坐标原点取整体为研究对象受力如图所示,其中为作用在滑块A上的弹簧拉力。系统的动量为：将上式在x轴投影：根据动量定理有：系统的运动微分方程为：－取提起部分为研究对象受力如图(a)所示提起部分的质量为提起部分的速度为根据点的复合运动可知质点并入的相对速度为方向向下大小为（如图a所示）。(a)(b)根据变质量质点动力学方程有：将上式在y轴上投影有：由于所以由上式可求得：。再取地面上的部分为研究对象由于地面上的物体没有运动并起与提起部分没有相互作用力因此地面的支撑力就是未提起部分自身的重力即：－将船视为变质量质点取其为研究对象受力如图。根据变质量质点动力学方程有：船的质量为：水的阻力为将其代入上式可得：将上式在x轴投影：。应用分离变量法可求得由初始条件确定积分常数：并代入上式可得：图a所示水平方板可绕铅垂轴z转动板对转轴的转动惯量为质量为的质点沿半径为的圆周运动其相对方板的速度大小为（常量）。圆盘中心到转轴的距离为。质点在方板上的位置由确定。初始时方板的角速度为零求方板的角速度与角的关系。图a图b解：取方板和质点为研究对象作用在研究对象上的外力对转轴z的力矩为零因此系统对z轴的动量矩守恒。下面分别计算方板和质点对转轴的动量矩。设方板对转轴的动量矩为其角速度为于是有设质点M对转轴的动量矩为取方板为动系质点M为动点其牵连速度和相对速度分别为。相对速度沿相对轨迹的切线方向牵连速度垂直于OM连线。质点M相对惯性参考系的绝对速度。它对转轴的动量矩为其中：系统对z轴的动量矩为。初始时此时系统对z轴的动量矩为当系统运动到图位置时系统对z轴的动量矩为由于系统对转轴的动量矩守恒。所以有因此可得：由上式可计算出方板的角速度为－取链条和圆盘为研究对象受力如图（链条重力未画）设圆盘的角速度为则系统对O轴的动量矩为：根据动量矩定理有：整理上式可得：由运动学关系可知：因此有：。上式可表示成：令上述微分方程可表示成：该方程的通解为：根据初始条件：可以确定积分常数于是方程的解为：系统的动量在x轴上的投影为：系统的动量在y轴上的投影为：根据动量定理：由上式解得：－取整体为研究对象系统的动能为：其中：分别是AB杆的速度和楔块C的速度。若是AB杆上的A点相对楔块C的速度则根据复合运动速度合成定理可知：因此系统的动能可表示为：系统在运动过程中AB杆的重力作功。根据动能定理的微分形式有：系统的动力学方程可表示成：由上式解得：－质量为的均质物块上有一半径为的半圆槽放在光滑的水平面上如图A所示。质量为光滑小球可在槽内运动初始时系统静止小球在A处。求小球运动到B处时相对物块的速度、物块的速度、槽对小球的约束力和地面对物块的约束力。图A图B解：取小球和物块为研究对象受力如图B所示由于作用在系统上的主动力均为有势力水平方向无外力因此系统的机械能守恒水平动量守恒。设小球为动点物块为动系设小球相对物块的速度为物块的速度为则系统的动能为设为势能零点则系统的势能为根据机械能守恒定理和初始条件有即()系统水平方向的动量为：()根据系统水平动量守恒和初始条件由()式有由此求出将这个结果代入上面的机械能守恒式()中,且最后求得：下面求作用在小球上的约束力和地面对物块的约束力。分别以小球和物块为研究对象受力如图CD所示。设小球的相对物块的加速度为物块的加速度为对于小球有动力学方程（a）图C图D对于物块由于它是平移根据质心运动动力学方程有（b）将方程（a）在小球相对运动轨迹的法线方向投影可得其中相对加速度为已知量。将方程（b）在水平方向和铅垂方向投影可得令联立求解三个投影方程可求出－取小球为研究对象两个小球对称下滑设圆环的半径为R。每个小球应用动能定理有：（a）将上式对时间求导并简化可得：(b)每个小球的加速度为取圆环与两个小球为研究对象应用质心运动定理将上式在y轴上投影可得：将(a),(b)两式代入上式化简后得时对应的值就是圆环跳起的临界值此时上式可表示成上述方程的解为：圆环脱离地面时的值为而也是方程的解但是时圆环已脱离地面因此不是圆环脱离地面时的值。－取圆柱、细管和小球为研究对象。作用于系统上的外力或平行于铅垂轴或其作用线通过铅垂轴。根据受力分析可知：系统对铅垂轴的动量矩守恒。设小球相对圆柱的速度为牵连速度为由系统对z轴的动量矩守恒有：其中：则上式可表示成：由此解得：其中：根据动能定理积分式有：其中：将其代入动能定理的积分式可得：将代入上式可求得：则：由可求得：－取链条为研究对象设链条单位长度的质量为应用动量矩定理链条对O轴的动量矩为：外力对O轴的矩为：因为：所以上式可表示成：积分上式可得：由初始条件确定积分常数最后得：－取套筒B为动点OA杆为动系根据点的复合运动速度合成定理可得：研究AD杆应用速度投影定理有：再取套筒D为动点BC杆为动系根据点的复合运动速度合成定理将上式在x轴上投影有：－AB构件（灰色物体）作平面运动已知A点的速度AB的速度瞬心位于C应用速度瞬心法有：设OB杆的角速度为则有设P点是AB构件上与齿轮I的接触点该点的速度：齿轮I的角速度为：－AB杆作平面运动取A为基点根据基点法公式有：将上式在AB连线上投影可得因此因为B点作圆周运动此时速度为零因此只有切向加速度（方向如图）。根据加速度基点法公式将上式在AB连线上投影可得（瞬时针）－齿轮II作平面运动取A为基点有将上式在x投影有：由此求得：再将基点法公式在y轴上投影有：由此求得再研究齿轮II上的圆心取A为基点将上式在y轴上投影有由此解得：再将基点法公式在x轴上投影有：由此解得：又因为由此可得：－卷筒作平面运动C为速度瞬心其上D点的速度为卷筒的角速度为：角加速度为：卷筒O点的速度为：O点作直线运动其加速度为：研究卷筒取O为基点求B点的加速度。将其分别在x,y轴上投影同理取O为基点求C点的加速度。将其分别在x,y轴上投影－图示瞬时AB杆瞬时平移因此有：AB杆的角速度：圆盘作平面运动速度瞬心在P点圆盘的的角速度为：圆盘上C点的速度为：AB杆上的A、B两点均作圆周运动取A为基点根据基点法公式有将上式在x轴上投影可得：因此：由于任意瞬时圆盘的角速度均为：将其对时间求导有：由于所以圆盘的角加速度。圆盘作平面运动取B为基点根据基点法公式有：－滑块C的速度及其加速度就是DC杆的速度和加速度。AB杆作平面运动其速度瞬心为PAB杆的角速度为：杆上C点的速度为：取AB杆为动系套筒C为动点根据点的复合运动速度合成定理有：其中：根据几何关系可求得：AB杆作平面运动其A点加速度为零B点加速度铅垂由加速度基点法公式可知由该式可求得由于A点的加速度为零AB杆上各点加速度的分布如同定轴转动的加速度分布AB杆中点的加速度为：再取AB杆为动系套筒C为动点根据复合运动加速度合成定理有：其中：aK表示科氏加速度牵连加速度就是AB杆上C点的加速度即：将上述公式在垂直于AB杆的轴上投影有：科氏加速度由上式可求得：：取圆盘中心为动点半圆盘为动系动点的绝对运动为直线运动相对运动为圆周运动牵连运动为直线平移。由速度合成定理有：速度图如图A所示。由于动系平移所以根据速度合成定理可求出：由于圆盘O在半圆盘上纯滚动圆盘O相对半圆盘的角速度为：由于半圆盘是平移所以圆盘的角速度就是其相对半圆盘的角速度。再研究圆盘取为基点根据基点法公式有：为求B点的加速度先求点的加速度和圆盘的角加速度。取圆盘中心为动点半圆盘为动系根据加速度合成定理有（a）其加速度图如图C所示将公式（a）在和轴上投影可得：由此求出：圆盘的角加速度为：下面求圆盘上B点的加速度。取圆盘为研究对象为基点应用基点法公式有：（b）将（b）式分别在轴上投影：其中：由此可得：－（b）取BC杆为动系（瞬时平移）套筒A为动点（匀速圆周运动）。根据速度合成定理有：由上式可解得：因为BC杆瞬时平移所以有：－（d）取BC杆为动系（平面运动）套筒A为动点（匀速圆周运动）。BC杆作平面运动其速度瞬心为P设其角速度为根据速度合成定理有：根据几何关系可求出：将速度合成定理公式在x,y轴上投影::由此解得:DC杆的速度(b)BC杆作平面运动,根据基点法有:由于BC杆瞬时平移,,上式可表示成:将上式在铅垂轴上投影有:由此解得:再研究套筒A,取BC杆为动系（平面运动）套筒A为动点（匀速圆周运动）。(a)其中:为科氏加速度,因为,所以动点的牵连加速度为:由于动系瞬时平移,所以,牵连加速度为,则(a)式可以表示成将上式在y轴上投影:由此求得:－(d)取BC杆为动系套筒A为动点动点A的牵连加速度为动点的绝对加速度为其中为动点A的科氏加速度。将上式在y轴上投影有上式可写成(a)其中：（见－d）为BC杆的角加速度。再取BC杆上的C点为动点套筒为动系由加速度合成定理有其中上式可表示为将上式在y轴投影有：该式可表示成：（b）联立求解(a),(b)可得－AB杆作平面运动其速度瞬心位于P可以证明：任意瞬时速度瞬心P均在以O为圆心R为半径的圆周上并且A、O、P在同一直径上。由此可得AB杆任何时刻的角速度均为杆上B点的速度为：AB杆的角加速度为：取A为基点根据基点法有将上式分别在x,y轴上投影有－取DC杆上的C点为动点构件AB为动系根据几何关系可求得：再取DC杆上的D点为动点构件AB为动系由于BD杆相对动系平移因此将上式分别在x,y轴上投影可得求加速度：研究C点有将上式在y轴投影有由此求得再研究D点由于BD杆相对动系平移因此将上式分别在x,y轴上投影有－由于圆盘纯滚动所以有根据质心运动定理有：根据相对质心的动量矩定理有求解上式可得：若圆盘无滑动摩擦力应满足由此可得：当：时－研究AB杆BD绳剪断后其受力如图所示由于水平方向没有力的作用根据质心运动定理可知AB杆质心C的加速度铅垂。由质心运动定理有：根据相对质心的动量矩定理有：刚体AB作平面运动运动初始时角速度为零。A点的加速度水平AB杆的加速度瞬心位于P点。有运动关系式求解以上三式可求得：－设板和圆盘中心O的加速度分别为圆盘的角加速度为圆盘上与板的接触点为A则A点的加速度为将上式在水平方向投影有（a）取圆盘为研究对象受力如图应用质心运动定理有(b)应用相对质心动量矩定理有(c)再取板为研究对象受力如图应用质心运动定理有(d)作用在板上的滑动摩擦力为：(e)由(a)(b)(c)(d)(e)联立可解得：－解：由于系统在运动过程中只有AB杆的重力作功因此应用动能定理可求出有关的速度和加速度。系统运动到一般位置时其动能为AB杆的动能与圆盘A的动能之和：其中：因此系统的动能可以表示成：系统从位置运动到任意角位置AB杆的重力所作的功为：根据动能定理的积分形式初始时系统静止所以因此有将上式对时间求导可得：将上式中消去可得：根据初始条件可求得初始瞬时AB杆的角加速度：因为所以AB杆的角加速度为顺时针。初始瞬时AB杆的角速度为零此时AB杆的加速度瞬心在点由此可求出AB杆上A点的加速度：－设碰撞后滑块的速度、AB杆的角速度如图所示根据冲量矩定理有：(a)其中：为AB杆质心的速度根据平面运动关系有(b)再根据对固定点的冲量矩定理：系统对固定点A（与铰链A重合且相对地面不动的点）的动量矩为滑块对A点的动量矩和AB杆对A点的动量矩由于滑块的动量过A点因此滑块对A点无动量矩AB杆对A点的动量矩（也是系统对A点的动量矩）为：将其代入冲量矩定理有：(c)由（a,b,c）三式求解可得：(滑块的真实方向与图示相反)－研究整体系统对A轴的动量矩为：其中：AC杆对A轴的动量矩为设为BC杆的质心BC杆对A轴的动量矩为根据冲量矩定理可得：（a）再研究BC杆其对与C点重合的固定点的动量矩为根据冲量矩定理有：（b）联立求解（a）,(b)可得－碰撞前弹簧有静变形第一阶段：与通过完全塑性碰撞后一起向下运动不计常规力碰撞前后动量守恒因此有：碰撞结束时两物体向下运动的速度为第二阶段：与一起向下运动后再回到碰撞结束时的初始位置根据机械能守恒可知：此时的速度向上大小仍然为第三阶段：与一起上升到最高位置此时弹簧被拉长。根据动能定理有：上式可表示成：若使脱离地面弹簧的拉力必须大于其重力因此有将代入上式求得：。若则注：上述结果是在假设与始终粘连在一起的条件下得到的若与之间没有粘着力答案应为如何求解请思考。－取AB杆为研究对象初始时杆上的A点与水平杆上的O点重合当时系统静止AB杆上A点的速度为角速度为初始时受到冲击力的作用应用对固定点O的冲量矩定理可得其中：由此解得：当时滑块A以加速度向右运动取AB杆为研究对象应用相对动点A的动量矩定理有：将上式积分并简化可得：其中C是积分常数由初始条件确定出。上式可表示成若AB杆可转动整圈则应有因此。若的最小值大于零则AB杆就可以完成整圈转动。下面求的极值。将上式求导令其为零有求得极值点为：当函数取最大值当函数取最小值若使最小值大于零则有由此求得：－图示瞬时AB杆的加速度瞬心位于P点设其角加速度为则质心加速度为：根据动静法有：－（）取AB杆和滑块C为研究对象AB杆平移质心加速度如图所示根据动静法有：（）滑块C无水平方向的作用力其加速度铅垂向下AB杆平移其加速度垂直于AD如图所示。两者加速度的关系为根据动静法有由此求得：（）先研究滑块C根据约束可知：根据动静法有：因为：所以有关系式即：再研究整体应用动静法有上式可表示成：由上式解得：－（）研究AB杆将惯性力向杆的质心简化根据动静法有：（）若必有因此当－设OA杆和AB杆的角加速度分别为。将各杆的惯性力向各自质心简化。研究整体根据动静法有：AB杆根据动静法有：上述平衡方程可简化为求解该方程组可得：－取圆盘A的角加速度为AB杆的角加速度为。设AB杆的质心为C其加速度为将惯性力分别向各刚体的质心简化。作用于AB杆质心C的惯性力为：研究整体（a）研究AB杆(b)将(a)－(b)得：上式化简为：还可写成：即：将上式积分可得：再根据初始条件：确定由此可得根据动能定理有：（C）其中：再利用（c）式可表示成(d)当,,再将(d)式求导,然后销去,最后可得当,可求得,又因为当AB杆铅垂时。再取圆盘为研究对象应用动静法有再研究整体利用动静法有－此瞬时AB杆作瞬时平移所以因为AB杆的角速度为零且A点的加速度为零取A为基点有又因为B点作圆周运动所以将该式在铅垂轴上投影：由此解得：AB杆质心C的加速度垂直于AB杆其大小为：应用动静法：－图示瞬时AB杆瞬时平移其加速度瞬心位于P点。设OA、AB杆的质心分别为。各点加速度如图所示其大小为有关的惯性力为：应用动静法和虚位移原理有因为：上式可表示成因为所以由此解得研究AB杆及滑块B由此解得：xyoyzoxyAOAOBRAOBRxMOABMOABOx’y’y’x’OMOMOMOMOMRRoFθORRoOMMxxyxoMPABABABABzCxyOCBPBCPOAB图AOAB图B图COOB图DPyxyyxyxPORORxyxyxyPARPCBCIBAPABCABCPPACAPPPP

原方程化简为－4x＝0

若该方程是关于x的一元一次方程，可知x的系数不为零且次数为1，即k-2≠0且|k|-1=1，可得k=-2

“三个同学对问题“若方程组a1x+b1y=...”的最新评论

欢迎来到乐乐题库，查看习题“三个同学对问题“若方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是x=3/y=4，求方程组3a1x+2b1y=5c13a2x+2b2y=5c2的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是____又x=5/y=10”的答案、考点梳理，并查找与习题“三个同学对问题“若方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是x=3/y=4，求方程组3a1x+2b1y=5c13a2x+2b2y=5c2的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是____又x=5/y=10”相似的习题。