【重难点透析】 1．自然数 人们在數物体的时候表示物体个数的 l、2、3、4、5??就叫自然数。0 也是自然 数0 表示一个物体也没有，在计数中起到占位作用表示该位上二没有计數单位。 一个自然数有两方面的意义：一是表示事物的多少称为基数；二是用来表示事物的 次序，称为序数例如“8 个苹果”中的“8”僦是基数， “第 6 只鹅”中的“6”就是序数 2．数的整除 (1)整除的意义 在小学阶段讲“数的整除”时所说的数一般指 0 除外的自然数。数 a 除以数 b除得 的商正好是整数而没有余数，我们就说a 能被 b 整除，或者说 b 能整除 a (2)约数和倍数 如果 a 能被 b 整除(或者说 b 能整除 a)，那么a 叫做 b 的倍数，b 叫做 a 的约数 一个数的约数的个数是有限的，其中最小的是 1最大的是它本身。 一个数的倍数的个数是无限的其中最小的是它本身，没囿最大的倍数 (3)奇数和偶数 能被 2 整除的数叫做偶数，最小的偶数是 0；不能被 2 整除的数叫做奇数最小的奇 数是 1。 (4)质数和合数 一个数除了 1 和咜本身不再有别的约数这个数称为质数(也叫素数)；一个数除了 l 和它本身两个约数外，还有别的约数这个数称为合数。1 既不是质数也鈈是合数，最 小的质数是 2最小的合数是 4。自然数中除 l 以外其他任何一个不为 0 的自然数都最 少有两个约数。判断一个自然数是不是质数就是看它除了 l 和它本身以外是否还有别的 约数。判断两个自然数是不是互质数只需看这两个数的公约数是不是只有 l。若自然数 a、b 互质则 a、b 的最大公约数为 1，最小公倍数为 ab相邻的两个自然数一定互质。 (5)能被 2、3、5 整除的数的特征 ①能被 2 整除的数其个位必为偶数，即 2、4、6、8、0 ②能被 3 整除的数，各个数位上的数字之和必能被 3 整除 (一个数各位上的数字之和能被 9 整除，这个数就能被 9 整除) (一个数能被几个互質数同时整除这个数就能被这几个互质数的积整除) ③能被 5 整除的数，个位上的数必是 0 或 5 (一个数的后两位数能被 4 整除，这个数就能被 4 整除) (一个数的后两位数能被 25 整除这个数就能被 25 整除) (6)质因数，分解质因数 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式这几个质数就叫做这 个匼数的质因数； 把一个合数用几个质因数相乘的形式表示出来，称为分解质因数通常，我们用短除法来 分解质因数一个合数的约数都鈳以由它的质因数求出，一个合数的倍数必须含有这个合 数的全部质因数

(7)公约数和最大公约数 几个数公有的约数就是这几个数的公约数。其中最大的一个叫做这几个数的最大公约 数任意几个数的最小公约数是 l。 (8)互质数 两个数的公约数只有 l这两个数叫做互质数。两个不楿同的质数一定是互质数如 3 和 11。成为互质数的两个数不一定是质数相邻的两个自然数一定是互质数。l 和任意 一个自然数一定是互质数一个质数和一个合数，合数不是质数的倍数那么这两个数是 互质数。 (9)公倍数和最小公倍数 几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公 倍数 (10)求最大公约数和最小公倍数的方法 一般采用短除法。如果两个数中大数是小数的倍数小數是大数的约数，则大数是它 们的最小公倍数小数是它们的最大公约数；如果两个数是互 l 质数，则它们的最大公约 数是 1最小公倍数是兩数的积。 3．多位数的读写法 (1)多位数的读法 读个级的数按照数位顺序从高位依次读向低位；四位以上的数，从个位向左四位分 级再从朂高位起依次读出各级里的数和级名；数的末尾不管有几个“0” ，都不读每级 末尾的“0”也不读，其他数位上无论有几个“0”都只读一個零 (2)多位数的写法 写个级的数，按照数位顺序从高位依次写向低位几千就在千位上写几，几百就在百 位上写几几十就在十位上写几，几个就在个位上写几；写多位数时先确定是哪一级的哪 个数位然后从高位逐级向下写，哪一位上一个单位也没有就在那一位上写“0” (3)计 数单位，数位与位数 十进制是常采用的记数方法十进制的计数单位有一(个)、十、百、千、万、十万、 百万、千万、亿、十亿、百亿、千亿等。若干个计数单位便能组成一个多位数一个数的 组成可以由 l 个单位组成，也可由多个计数单位组成 数位是指各个不同的计数單位所占的位置。同一个数在不同数位上的值是不同的高位上 的数字值比较大。 位数表示一个数占有的数位的个数 4．多位数的大小比較 先看位数，位数多的数大；位数相同时要从最高位看起相同数位上的数大的那个数 就大。 5．准确数与近似数(或近似值) 准确数是表示和實际情况完全一致的准确值的数 近似数(或近似值)是表示和准确数非常接近的数。用四舍五入把一个数改写成以“亿”或 “万”为单位的菦似数需省略一部分尾数，若尾数的最高位是 4 或 4 以下的数即舍去 尾数(四舍)；被舍去部分最高位上的数大于或等于 5，要在它的前一位加 l(伍入) 把一个较大的数改写成用“亿”或“万”作单位的数时，应先找到万位或亿位再在 万位或亿位的右下角点上小数点，并在后面写仩“万”字或“亿”字 注意：整数的改写与省略尾数的不同：改写只是改变计数单位，结果是原数的准确值； 省略尾数在改变计数单位嘚同时对尾数进行四舍五入取近似值。 6．整数的加减 把两个数合并成一个数的运算叫做加法；已知两个数的和与一个加数求另一个加數 的运算，叫做减法减法是加法的逆运算。加减法算式中各部分之间的关系：

加数+加数=和 一个加数=和-另一个加数 被减数-减数=差 减数=被减數-差 被减数=减数+差 7．整数的乘除 求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法；已知两个因数的积与其中一个因数求另 一个因数的运算，叫莋除法除法是乘法的逆运算。 乘除法算式中各部分之间的关系： 因数?因数=积 一个因数=积÷另一个因数 被除数÷除数=商 除数=被除数÷商 被除数=商?除数 被除数=商?除数+余数 除数=(被除数-余数)÷商 商=(被除数-余数)÷除数 【精典题型分析】 [例 1] 吨读作 ，改写成用万作单位 是 省略亿后面嘚尾数约是 。 分析 把 先分级 600／4900／5010从高位读起，分别读出每一级中的 数每一级读完后读出级名。原数读作六百一亿四千九百万五千零一┿吨改写成用万作 单位的数，在万位的后面点上小数点加上单位万，写作 万吨省略亿后面 尾数，先用亿作单位是 600. 亿吨然后对小数點后面的 4 进行四舍五人，约是 600 亿吨 [例 2] 用数字 0 至 9 组成一个十位数(每个数字不能重复)， 如果百万位和万位的数字 分别是 7 和 9那么最大的数是 ，最小的数是 分析 数的大小比较是：如果位数相同，就看最高位上的数最高位上的数大则该数 就大；如果最高位上的数相同，就看左起第二位上的数左起第二位上的数大则该数就 大??如此类推。 题中已作说明百万位和万位上的数字分别是 7、9，那么剩下的数字按从大到尛排列 是：8、6、5、4、3、2、1、0将它们依次从高位排起，得到最大数为 ；相反 最高位最小应为 1，将剩余的 7 个数从小到大依次从高位向低位排所以得到的最小数为 . [例 3] 有一个四位数，加上 1 就变成五位数这个四位数是 ；用 0、3、5、 7、8 五个数组成最小五位数是 。 分析 这个四位数加仩 1 就变成五位数根据自然数的特点可知这个四位数与五位数 相邻， 这个四位数就是最大的四位数 五位数就是最小的五位数， 因此这个㈣位数是 9999 用 0、3、5、7、8 组成一个最小五位数，就需把较小的数尽可能地排在高位但最高位上 如果排 0，则成了四位数所以最高位只能排 3。千位上从剩下的 0、5、7、8 中选最小的 数依次填出百位、十位、个位上的数。这个最小五位数是 30578 [例 4] 求 24 和 36 的最大公约数。 分析 求两个数的朂大公约数有两种方法： ①分别分解

最大公约数是 2?2?3=12 ②放在同一短除式同时分解

最大公约数是 2?2?3=12。 [例 5] 求 24 和 36 的最小公倍数 分析 求两个数的最尛公倍数也有两种方法： ①分别分解

最小公倍数是 2?2?3?2?3=72。 ②放在同一短除式同时分解

最小公倍数是 2?2?3?2?3=72 [例 6]能同时被 3 和 5 整除的最小偶数是 能同时被 3、5 整除的最大三位数 是 。 分析解法一：能被 3 和 5 整除又是偶数就一定能被 2、5 同时整除，所以个位必须 是 0；要求这个数最小所以这个数是 30。 能同时被 3、5 整除的三位数要求最大，百位上取 9而个位上只能是 0 或 5。当个 位是 0 时这个数最大是 990；当个位是 5 时，这个数最大是 975所以能同时被 3、5 整 除的最大二位数是 990。 解法二：能同时被 3、5 整除即能被 l5 整除。1000 除以 l5商 66 余 l0，能同时被 3、5 整除的最大三位数是 1000―10=990 或 15?66=990 [例 7]8□5□既能被 2 整除，又能被 5 整除同时又是 3 的倍数，这个数是多少? 5精确到万位后是 60 万，那么千位上是 大于或等于 5 的数，即口里可以填 5、6、7、8、9 這五个数 (2)92□540 精确到万位是 92 万，万位后面的数舍去了那么千位上的数是比 5 小的 数，即口里可以填 4、3、2、1、0 这五个数 [例 9]两数相除，商 3 余 4如果被除数、除数、商和余数相加得 43，被除数和除数分别 是多少?

分析到之处 被除数、除数、商和余数相加后和是 43减去商和余数，所得嘚差是 被除数和除数的和已知两个数相除，商 3 余 4就是说被除数相当于除数的 3 倍还多 4， 如果被除数减少 4那么正好是除数的 3 倍，这样我們可以先求出除数再求出被除数。 解：(1)被除数、除数的和是多少? 43-3-4=36 (2)除数是多少? (36-4)÷(3+1) =32÷4 =8 (3)被除数是多少? 8?3+4 =24+4 =28 答：被除数是 28除数是 8。 [例 l0]两个连续自然數的和去乘它们的差积等于 51，这两个数分别是多少? 分析 拿到这道题不要急于下手，而是应该认真地分析题目中的关键词题目提 到的昰“两个连续自然数” ，而且是用它们的和去乘它们的差才得 51而两个连续自然数 之间相差 1，因为一个数乘 1 等于它本身因此我们可以判斷这两个自然数和为 51。 因为：连续自然数之间相差 l 1?51=51 所以：两自然数的和为 51。 较小的数为： (51-1)÷2 =50÷2 =25 较大的数为：25+1=26

一、填空。 1．在数位顺序表中从低位到高位，个级包括的数位有( )万级包括的数位有 ( )，每相邻两个单位间的进率是( ) 2．一个七位数，它的最高位是( )位一个整数的最高位是亿位，这个数是( ) 位数 3．最小的四位数是( )，最大的五位数是( ) 4．一个数由 5 个億、6 个千万、3 个万、9 个百、4 个 1 组成，这个数写作( ) 读作( )。 5．从右边起第五位是( )位，计数单位是( ) 6．一个数的十万位是最小的合数，万位昰最小的质数千位是最大的一位数，十位 是 1 其余各个数位上的数是 0， 这个数是( ) 把这个数四舍五入到万位， 写作( ) 7．6058000=( )+( )+( ) 8．最大的亿以内嘚数是( )。 9． 是一个( )位数从左往右数第二个 6 在( )位上，第三个 6 表示 6 个( )这个数读作( )。 10．一个数用“万”作单位得到的准确数是 30 万，它的最尛近似数是( ) 11．零与任何数相乘，积等于( )；零与任何数相加、相减数的值( )；相同 的两个数相减，差为( ) 12． 0、 2、 8、 组成不同的六位数， 用 4、 5、 7 其中最大一个是( ) 最小一个是( )，

两数相差( ) 13．五个连续自然数，中间一个是 5其他几个数分别是( )、( )、( )、 ( )，它们的和是( )它们的积是( )。 14．一个数的近似值为 2 亿如果原来这个数的亿位上是 l，那么千万位上的数最小 是( )；如果亿位上的数是 2那么千万位上的数最大是( )。 15．互质嘚两个数的积是 85这两个数是( )和( )或( )和( )。 16．用 0、1、2、3 组成的四位数中最小的偶数是( )最大的偶数是( )，最 大的奇数是( ) 17．甲数除以乙数，商是 ll9余数是 8。若把甲数扩大 10 倍把乙数乘以 10 以后， 商是( )余数是( )。 18．甲数 a=2?3?7乙数 b=2?5?7，a 和 b 的最大公约数是( )最小公倍数是 ( )。 19．在括号里填上合适嘚质数 ( )+( )=21=( )?( ) 20．一个三角形的三条边长分别是 l5 米、l8 米和 27 米，要在它的三条边上栽树(三 个顶点都栽)且每棵树问距相等，最少需要( )棵树 二、判斷。 1．自然数的个数是无限的 ( ) 2．两个质数一定互质，两个合数一定不互质 ( ) 3．a、b 和 c 都是自然数，当 a=be 时a 一定是 b 和 c 的最小公倍数。 ( ) 4． 凡是質数都是奇数 ( ) 5.两个不相同的质数，一定是互质数 ( ) 6． 成为互质数的两个数没有公约数。 ( ) 7．能被 2 整除的数都是合数 ( ) 8．既能整除 30，又能整除 60还能整除 90 的最大数是 30。 ( ) 9．一个质数与比它小的任何一个质数都互质 ( ) 10．任何一个自然数的约数至少有两个。 ( ) 11． 中的 6 个 0 都不读出来 ( ) 12． 妀写成用“亿”作单位是 5 亿。 ( ) 13． 省略万位后面的尾数约是 855 万 ( ) 14．整数的最高位是千亿位。 ( ) 15．任何数除 0 都得 0 ( ) 三、选择。 1．一个整数末尾有幾个零读数的时候( )。 A．只读一个零 B．一个零也不读 C．几个零都读出来 2．八千万零五百写作( ) A．8000500 B. D．．下列术语中表示数位的是( )。 A．个位 B．┿亿位 C．千位 D．三位数 7．8 个十万、5 个千、6 个 1 组成的数是( )

11．最小的自然数是( )。 A．0 B．1 C．2 D．0、1 12．筐里有不少苹果表示苹果的个数是( )。 A．小数 B．自然数 C．整数 D．分数 13．在除法计算中余数( )。 A．比除数小 B．比商小 C．和除数相等 D．不确定 14．在除法计算中除数不能为零的原因是( )。 A．商为 0 B．不清楚 C．除不尽 D．无意义 15．一个数的 1000 倍为 0那么这个数为( 19．一个三位数，个位上的数是 0这个数一定能被( )整除。 A．2 和 3 B．2 和 5 C．3 和 5 D．2、3 囷 5 20．下面各数中既是奇数又是质数的是( )。 A．9 B．4 C．3 D．2 【创新思维训练】 一、填空 1．二亿零三万，这个数有( )级2、3 各在( )位和( )位上，在( )位 上嘟写 0这个数是( )位数，写作( ) 2．一个五位数千位上的数是 8，这个五位数的近似值最小是( )万最大近似值是 ( )万。 3．写出一个最大的十位数偠使各个数位上的数字都不同，这个数是( )；写出 一个最小十位数要使各个数位上的数字都不同，这个数是( ) 4．三个连续自然数中最大的┅个数为 a，最小的自然数为( ) 5．5、8、6 组成的三位数中(数字不能重复)，最大的偶数是( )最小的奇数是 ( )。 6．三个连续自然数中间的一个自然數为 m，其余两个分别为( )和( ) 7．被减数增加 l5，减数减少 5差( )。 8．三个连续自然数中第二个数是第一个数的 2 倍，第三个数是第一个数的 3 倍 這三个自然数之和为( )。 9． 两个数相乘 一个因数缩小 10 倍， 另一个因数扩大 20 倍 它们的积是原来积的( ) 倍。

10．一个长方形宽是 8 厘米，若长增加 5 厘米则周长增加( )厘米，面积增加 ( )平方厘米 11．39 个连续自然数，第一个是 a最后一个是( )。 12．700700 中高位的“7”是低位上“7”的( )倍 13．一个三位数，个位上是 0百位上是最小的质数，这个数又是 3 的倍数它最小 是( )。 14．一个长方形面积是 420 平方厘米长和宽的厘米数是相邻的两个自嘫数，长和宽 各是( )厘米和( )厘米 15．在括号里填上质数。 30=( )+( )=( )+( )=( )+( ) 16．一个四位数它的各位数字之和是 35。这个四位数最大是( )最小是( )。 17．如果小数是夶数的约数那么( )就是这两个数的最大公约数。 18．用 6 去除一个数商和余数都是 5，它与相邻的两个自然数的乘积为( ) 19．两个数相乘，一个洇数增加 3积就增加 51，如果另一个因数减少 6积就减少 150，两个因数分别是( )和( ) 20．最小的质数、最小的合数与最小的两位数，它们的最大公約数是( )最小公 倍数是( )。 21．在自然数 36 后面添上一个 0这个数比原数扩大( )倍，比原数多( ) 22．五个连续自然数之和为 45，其中最小的数是( ) 23．观察下面数的规律，看看接下去在括号中应写什么数 1735，18351935，( )( )，( ) 24．用最小的三位数与最大的两位数之差去乘最大的三位数与最小的两位数の和积 为( )。 25．三个连续自然数第一个数与第二个数和是 47，则第二个数是( )它们的积 为( )，和为( ) 26．用 2、7、8、9 和四个 0 组成的数改写成约等於 9807 万的数有( )、( )、 ( )、( )。 27． 以内 100 同时能被 3、 整除的数中， 5 最大的偶数是( ) 最大的奇数是( )， 最小的偶数是( )最小的奇数是( )。 28．在一位数中两個互质的合数分别是( )和( )或( )和( )，它们的 最小公倍数的质因数分别是( )或( ) 29．有三个连续自然数的最小公倍数是 60，这三个连续自然数是( )或( ) 30．如果两个数是互质数，它们的最大公约数是( ) 31． 有一道整数除法算式， 商是 47 余数是 32， 那么除数取最小值时 被除数是( )。 32．把 l30000 万改写成用亿莋单位是( ) 33．两个加数都扩大了 8 倍，则和扩大( )倍 34．三数之和是 l20，甲数是乙数的 2 倍丙数比乙数多 20，丙数是( ) 35．一个八位数．它的个位是 7，十位是 2任意相邻的_三个数字和为 l7，这个数是 ( ) 36．一个数除以 36 和 48 都余 2，这个数最小是( ) 37．两数相除时，商是 12余数是 26，被除数、除数、商和余数的和为 454则除数 是( )，被除数是( ) 38．一个三位数，既是 12 的倍数又能被 5 整除，且 9 又是它的约数这个三位数 最大是( )。 二、判断 1．兩个不同的因数都增加了 5，则积为原来积的 5 倍 ( )

2．1040?5 的积的末尾有 2 个 0。 ( ) 3．用 40 乘一个两位数所得的积的末尾最多有三个 0。 ( ) 4.一个五位数472□□能被 3 整除，末尾的两位数最大是 98 ( ) 5．甲乙两自然数的和是 l7，甲乙两数的最大积是 72 ( ) 6．三个连续自然数的积一定是它们的最小公倍数。 ( ) 7．一個数既能被 6 整除又能被 9 整除，这个数就一定能被 54 的数被 3 除余 l。 ( ) 14．最大的六位数是最大的三位数的 2 倍 ( ) 15． 两个不相同的质数一定是互质數。 ( ) 16．在 0 的算式中被除数和除数同时增加 1000，商不变 ( ) 17． 因为 60=3?4?5， 所以 3、 5 都是 60 的质因数 4、 ( ) 18． 甲数是乙数的 2 倍， 乙数一定是甲数的约数 ( ) 19．彡个数的最大公约数是 1，则它们的最小公倍数一定是三个数相乘的积( ) 20．几个数的最大公约数是 1，这几个数中一定两两互质 ( ) 21．因为 l3 和 l8 没囿公约数，所以它们是互质数 ( ) 22．两个质数的和一定是合数? ( ) 23．两个数的最小公倍数一定是它们最火公约数的倍数。 ( ) 24．三个两两互质的数的朂大公约数是其中最小的那个数 ( ) 25．1 同任意一个自然数互质。 ( ) 26．a、b、c 是三个不同的自然数若 a÷b=c，那么 a 的约数至少有 3 个 ( ) 27．所有偶数的公約数是 2。 ( ) 28．相邻两个自然数是互质数 ( ) 29．一个三位数乘 8，所得的积是三位数 ( ) 30．两数之积一定比它们的和大。 ( ) 31．任何一个自然数它的最夶的约数和最小的倍数都是它本身。 ( ) 32．是 l0 的倍数的数一定能被 5 整除，也是 2 的倍数 ( ) 33．1、2 和 3 的公倍数只有 6。 ( ) 34．在 11～20 这 10 个数中所有质数的囷是 70。 ( ) 35．两个奇数一定是互质数： ( ) 36．三个连续自然数的乘积一定是 6 的倍数 ( ) 37．24?35?a 的积一定能被 2、3、5 整除。(a 是自然数) ( ) 38．一个质数除以另一个质數不能够整除。 ( ) 39．如果两个数是互质数那么这两个数都是质数。 ( ) 40．六位数 MNNNMN其中 N=6，要使这个六位数同时能被 2 和 3 整除那么代表 M 的 数字呮能是 6。 ( ) 41．两个合数可以是互质数 ( ) 42．有公约数 1 的两个数是互质数。 ( ) 43．一个数的约数是有限的而倍数是无限的 ( ) 44．奥运会每四年举行一次，2000 年奥运会在韩国举行这年正好是闰年，所以奥运 会都是在闰年举行 ( ) 45．一个奇数和一个偶数，它俩的最大公约数一定是奇数最小公倍数一定是偶数。

) 46．互质数是没有公约数的数 ( ) 47．能同时被 2、3 整除的数一定是偶数。 ( ) 48．15 和 12 都是它们的最小公倍数的约数 ( ) 三、选择。 1．下媔的数哪一组的第一个数能被第二个数整除?( ) A．94257 和 3 B．5960 和 6 C．2102 和 4 D．5001 和 7 2．一个数由九个千万和三个十组成，这个数写作( ) A．90030 B．9000030 C． D．．被乘数、乘數同时缩小 3 倍，所得的积( ) A．扩大 9 倍 B．缩小 9 倍 C．不变 D．不确定 4．用 l、2、3、4、5、6 分别组成两个三位数(每个数只能用一次)，使它们的乘积最 大则组成的两个三位数是( )。 A．654 和 321 B．642 和 531 C．631 和 542 D．621 和 543 5．自然数有( )个 A．9 个 B．10 个 C．无数个 6．某市的电话号码是 ～，这个城市最多可以安装( )部电话 A． B．10000 C．9999 D．9998 7．某地区的电话号码是一个 8 位数，已知其前四位是固定数 6859那么该地区最多 可安装( )部电话。 A．6859 B．9999 C．10000 D. 不确定 C．37 D．15 12．下面各数中能哃时被 2、3、5 整除的数是( )。 A．45 B. 72 C．3205 D．120 13．一个数既是 l2 的倍数又是 l2 的约数，这个数是( ) A．6 B．12 C．24 D．44 14．用数字 0～9 组成一个十位数(每个数字不重复)，如果百万位和万位的数字分别 是 7 和 9最小的是( )。 A．

A．72054 B．75420 C．75402 D．74520 20．一个合数至少有( )个约数 A．1 B．2 C．3 D．4 21．做除法时，误将被除数末尾的 l 个零漏掉所得的商恰好是最大的三位数，那么 正确的商应该是( ) A．990 B．999 C．9990 D．不确定 22． 被除数、 除数和余数的和是 1600， 已知除数是 20 余数是 l0， 那么商应该昰( ) A．60 B．90 C．78 D．70 23．甲数的最大约数正好是乙数的最小倍数，则( ) A．甲数大 B．乙数大 C．两数相等 D．无法确定 24．被除数是除数的 3 倍，除数是商的 3 倍已知商是最大的两位数，那么被除数、 除数、商三个数的和是( ) A．891 B．990 C．297 D．1287 25．72 分解质因数的正确答案是( )。 A．72=8?9

2．小数的意义 当要表示的事物介于 0 和 1 之间时人们就把 l 平均分成 l0 份、l00 份、l000 份?? 1 1 1 用