【摘要】：本论文运用了传递矩阵的方法研究了磁场对于单层石墨烯δ势垒结构电子的隧穿特性。研究超晶格δ势垒的电子的隧穿特性时,我们把方势垒模型作为研究δ势垒模型的基础,然后利用势垒宽度趋于0,势垒高度趋于无穷,高度与宽度的乘积为一常数P(称之为势垒强度),从而使方势垒模型过渡到δ势垒模型,进而计算δ势垒模型结构的电子隧穿。在研究中我们发现,本系统结构中磁场强弱和势垒数目对于隧穿特性有着明显的影响。超晶格δ势垒的数目越多,石墨烯的平均电导越小。加入磁场后,入射电子由于受到洛伦磁力的影响而改变了运行轨迹,从而对透射概率产生影响。由于量子效应,在某些入射角范围内对应的透射系数会出现峰值。Klein隧穿区域发生变更,而且在一些入射角度的范围内,电子被阻止隧穿,这是因为磁场势垒和静电势垒对电子的隧穿影响。平均电导存在着振荡,振荡的强弱程度受磁场的强度和势垒的数量影响。磁场越强,电导越小,并且振荡的幅度和周期也与磁场的强弱有着密切的关系。随着δ势垒数目的增加,电导的振荡会增强。当费米能量小于某一能量值时,平均电导为“0”,电子隧穿被完全抑制。

【学位授予单位】：河北科技大学
【学位授予年份】：2016

第２７卷第５期２００７年９月

ＪｏｕｒｎａｌｏｆＹｕｎｎａｎＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ

时域有限差分法在势垒贯穿问题中的应用‘

（云南大学物理系，云南昆明６５００９１）

摘要：时域有限差分（Ｆｉｎｉｔｅ

ＴｉｍｅＤｏｍ丑ｉｎ，ＦＤＴＤ）法在量子力学问题中的应用越来越引起

人们的关注。系统介绍了该方法的基本原理、边界处理方法和初始试探波函数的选取。在此基础上．计算模拟了三种不同的势垒如方势垒、三角形势垒和谐振势垒下系统的能量变化、概率变化，再现了量子隧道效应这一重要物理现象。进一步表明了运用ＦｕＩＤ法来解决量子力学阃题是方便可行的．并且以系统平均能量方法处理截断边界能得到比较理想的结果。对于解决其它量子力学问题具有一定的指导意义。

关键词：时域有限差分法；势垒贯穿；量子隧道效应中围分类号：０４１１．３。０４１３．１

文章编号：１００７—９７９３（２００７）０５－００４３—０６

时域有限差分（Ｆｉｎｉｔｅ

ＤｉｆｆｅｒｅｎｃｅＴｉｍｅＤｏ－

互转化、概率变化过程和规律进行探讨分析。

ＦｌＹｌＤ法对于解决其它量子力学问题具有一定的指导意义。

ｍａｉｎ，ＦＤＴＤ）法…在计算电磁学中得到了充分的应用和发展”Ｊ，同时在量子力学中的应用研究也

引起了人们的关注”ｏＪ。在量子力学问题的计算

分析中，直接求解Ｓｃｈｒｉｊｄｉｎｇｅｒ方程往往比较困难。时域有限差分法的提出，为解决量子力学问

题提供了另一条相对简单方便的参考途径。其基本思想是：将含时ＳｃｈｒＯｄｉｎｇｅｒ方程转换成有限差分形式。建立时间离散的递进序列，采用合适的截断边界条件和初始概率波函数在时域上进行求解。

势垒模型被广泛应用于物理、化学和分子生

物学”１。是量子力学中的一个经典模型之一，揭

ＳｃｈｔＯｄｉｎｇｅｒ方程的有限差分形式

考虑一维含时Ｓｃｈｒｆｄｉｎｇｅｒ方程聃Ｊ

［一丽１１２嘉川圳帅’Ｉ）一１１。０．（刈），１１）

其中：ｍ为微观粒子的静止质量；ｈ为Ｐｌａｎｃｋ常数，ｔＩ＝１．０５４５９ｘ１０一Ｊ?。；ｉ刮‘二丁；以ｘ）为势能函数；驴（＊，ｔ）为描述粒子运动的概率波函数。由

示了量子力学不同于经典物理学的一个重要现象——量子隧道效应。故对势垒问题的研究有着

于廿（＊，ｔ）具有复数形式，可用其实部ｏ（Ⅳ，１）和虚

部ｂ（ｘ，ｔ）来表示，即

廿（＊，Ｉ）＝口（ｇ，ｔ）＋ｉ?ｂ（＊，￡）

本文系统的介绍了时域有限差分法的基本原

理、边界处理方法和初始试探波函数的选取原则。并采用ＦＤＴＤ法对不同的势垒贯穿问题进行研究分析。对不同形状的势垒如方势垒、线性势垒（三角形）、谐振型势垒等的系统动能和势能的相

将式（２）代入式（１），则一维ＳｃｈｒｉＪｄｉｎｇｅｒ方程变为

争（州）一丽１１争（列）＋古以小ｂ（ｘ，ｔ）（孙）争∽牡嘉务∽小如小出力（３６）

在足够大的有限区间内，将空间￡和时间ｔ

?收稿日期．＊２００７—０４—０４

作者简介：谷桂初（１９８２一），男，湖南省娄底市人，硕士生，主要从事时域有限差分法在计算电磁学和量子力学中

通讯作者：周庆（１９６３一），女，贵州人，博士，教授，主要从事物理电子和光电子学的研究．

云南师范大学学报（自然科学版）第”卷

进行离散化，分别用＾和ｎ表示空间和时间的节

点。血和血表示空间和时间的差分增量，则

妒（＊，Ｉ）＝砂（ｔ?缸，１７，?△ｔ）＝妒（ｋ，ｎ）＝驴４（ｋ）（４）

根据有限差分近似ｍ，有

警＊击渺（㈨ⅢⅥ＿１）一缈㈤］

故式（３４）和式（３ｂ）可近似写成

ｏ一（％）：ｎ一似）一；鱼［６＾（ｔ＋１）＋扩（％一１）一Ｚｍ

２６＾（圳＋＿产以”叭＾）

６ｎ＋ｌ（Ｉ）＝６４（＆）＋ｓ‘．ｍｌｔ［。４（＾＋１）＋口“（ｋ－１）一

２ａ“（Ｉ）］一！二—｛÷业ｙ（＾）?ｎ４（％）

其中”＝畚。（６口）式和（６６）式即为一维

ＳｃｈｒｉＭｉｎｇｅｒ方程的有限差分近似形式。１．２初始试探波函数的选取

初始试探波函数的选取，原则上要使其能够近似地描述粒子的初始运动。对于双原子分子振

动运动的初始试探波函数，一般采取谐振子的经

典波函数来处理。对粒子在自由空间中运动，其

概率一般满足高斯型分布，为此采取高斯波包型波函数为其初始试探波函数。其实部和虚部形式

口（￡）＝唧［一ｏ．５?（Ｘ了－－Ｘ０）２］．ｃ＊

ｃ－０．５．．Ｘ－口Ｘｏ）２］．血

其中：＾为其波长；口为高斯波包宽；‰为高斯脉冲的中心。在本文中，初始试探波函数需满足归一化条件

即在运用ＦＤＴＤ法计算模拟时，初始渡函数需乘

以其归一化系数。１．３边界截断处理

在ＦＤＴＤ中，不可能也没必要计算无限大的区间，所以必须进行边界截断处理。在此采用系统平均能量的截断处理方法。对于概率波函数

一旦ｉ争（圳）＝Ｅ?班（州）

其中：Ｅ为系统的总能量。将式（２）代入（９）式，有

一孕鲁［ｎ（刈）＋ｉ?６（刈）］＝Ｅ?［。（¨）＋ｆ

等式两边实郝和虚部分别对应相等，则

曲女唑掣：Ｅ．口（州）（１ｌｂ）

令边界端点（ｘｍｉ。和Ｋ一）处的能量Ｅ“（ｋ。）和Ｅ“

（ｋ）为此时系统的平均能量Ｅ４，则由式（５６）得

到边界条件的有限差分近似形式

∽ｃｕ圳ｃｕ一扣他，。２旬Ｐ“（＆，。）＝。４（Ｋｍ．ｎ）＋铲１?６“（ｋ）

ｋｔｒ１（ｋ）２口４（ｋ）＋ｉＩｕＥ?扩（ｋ）

ｃｋ，圳ｃｋ，一扣耐ｃｋ，ｎ２∞

ｉ＝（吵㈣砂＞＝一Ｔ＋一Ｖ

势能均值为Ｐ＝（廿Ｉｖｌ廿）

＝亡ｙ（＊）Ｉ砂（钳）ｌ“

第５期各桂初，等：时域有限差分法在势垒贯穿问题中的应用?４５?

考虑单个电子与势垒的作用过程，如图１所

２势垒贯穿问题的计算分析

２．１计算模型与计算参数的选取

示。电子质量ｍ＝９．１ｘ１０—３１蛔，初始动能ＫＥ

＝ｌＯｅＶ，势垒最高ｖｏ＝１５ｅＶ．图ｌ中Ｐ１、忍、Ｐ３分

别表示三个作用区间内找到电子的概率。

图１不同势垒（一方势垒、——三角形势垒、…谐振势垒）的作用模型

Ｄｉｆｆｖｒｅｎｔｍｏｄｅｌｓａｂｏｕｔｔｈｅｉｎｔｅｍｃｌｌｏｎｏｆｔｈｅｅｌｅｃｔｒｏｎａｎｄｄｉｆｆｅｒｅｎｔ

ｐｏｔｅｎｔｉａｌ嫡ｅｍ

ｉｎｃｌｕｄｉｎｇｒｅｅｔａ“ｇｕｌ“ｐｏｔｅｎｔｉａｌ—ｂａｒ－

ｔｉｅｒ。ｄｅｌｔｏｉｄｐｏｔｅｎｔｉａｌ—ｂａｒｒｉｅｒａｎｄｓｙｎｔｏｎｉｃｐｏｔｅｎｔｉａｌ—ｈａｒｒｉｅｒ．ｅａｐｅｃｌｉｖｅ］ｙ

图１中各势垒函数为（单位：ｅ矿）方势垒

图２给出了不同时刻的概率波函数。（＾）随着空间节点的变化关系，其中横轴表示空间节点。可以看出，当时间步Ｎ＝ｌ步时，图中表示的是初始试探波函数随着空间节点ｋ的变化关系，此时

墨≤＾≤ＫｏＫ≤ｔ≤墨

电子还没有与方势垒作用；随着时间的推移，在Ⅳ＝４５００步左右，电子与方势垒开始作用；Ｎ＝１００００步时，其作用效果比较明显；在Ｎ＝３００００步的图形中，可以清楚的看出。在方势垒的右边有

ｙ（ｋ）＝２－０．１５ｋ＋７５

００１５酽＋１．２／（一２２５９，≤％≤墨

一定的波形，说明电子有一定的概率可以穿透方势垒，这正是量子隧道效应的具体体现。

同时从量子力学观点来看，由于粒子的波动

在本文计算中，考察区问Ｏ≤ｚ≤７ｒｗｚ，空间增量△ｘ＝Ｏ．Ｏｌｎｍ，系数５＝１０００ｓｅｃ?ｒｎ，一，总时间迭代步数取３００００步。

对于初始波函数，令波长Ｉｔ＝３９Ａｚ；高斯波包

性，问题与波透过一层介质相似，有一部分波穿

过，一部分波被反射回去。故随着粒子与方势垒

的作用，图中左边区域（式。＜ｋ（置）概率波函数

的最大峰值减小，波形密集度增加，势垒区和右边

宽口＝３０Ａ。；高斯脉冲的中心ｘ０＝１５０Ａｚ。

采用ＦＤＴＤ法，计算模拟得到电子与势垒的

区域有一部分波。按照泼函数的统计诠释，粒子有一部分概率穿过势垒，有一定的概率被反射回

云南师范大学学报（自然科学版）第”卷

图２不同时刻ＩＮ＝１．４５００．１００００．３００ＧＯ）的撬率波函数ａ（ｋ）随空间节点ｋ的变化关系．其中横轴表示空间节点

Ｔｈｅｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ

ｗ州ｅｆｕｎｃｔｉｏｎ口【ｋ）ｗｉｔｈ

ｒｅｓｐｅｃｔｔｏｓｐａｃｅ—ｓｔｅｐｋ址ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｔｉｍｅ—ｓｔｅｐⅣ。ｗｈｅｒｅⅣ；１－４５００，１０（】００

３００００ｒｅｓｐｅｃ６ｖｅｌｙ．

一图３给出了电子与不同势垒的作用过程中，系统的动能期望值ＫＥ、势能期望值ＰＥ和各个区

在初始区域中的概率变化；Ｐ２表示的是粒子在势垒区的存在几率；１＇３是粒子穿透势垒到达势垒右

间内概率（Ｐｌ、Ｐ２、Ｐ３及Ｐｓｕｍ）随时间的变化关

系，其中横轴表示时间步。

边的概率；Ｐｓｕｍ是计算区间总的概率，为Ｐｓｕｍ＝

Ｐｌ＋Ｐ２＋Ｐ３。对于三个势垒中的概率变化，总有Ｐｓｕｍ＝１，即不论各个区域概率如何变化，总的概

从系统的动能期望值与势能期望值的关系图

中可以看出，动能的减少，恰是系统势能的增加，系统总的能量不变。其中，与三角形势垒作用下，各能量变化幅度最大，而方势垒中的能量变化幅

率不随时间改变，恒等于１。这不仅是归一化条

件限制的结果，也正是概率守恒（或粒子数守恒）的表现。比较三个势垒中的概率曲线，发现三角

度最小。能量的变化反映了粒子与势垒的相互作

用。同时，在能量变化峰值的两侧，图形并不对

形势垒中的Ｐ３幅值最大，Ｐｌ和Ｐ２变化最大，而方势垒中的概率变化最小。也即三角形势垒的贯

穿系数最大。Ｐ３不为零，这正是量子隧道效应作用的结果。

称，图中方势垒和谐振势垒中比较明显。说明对

称型的势垒，能量的变化并不完全对称。这也反映

了微观粒子量子力学中的不确定性。

图３中的概率变化曲线中：Ｐｌ反映的是粒子

联系能量变化和概率变化来看，能量变化时，

各区域内的概率也相应发生变化。当粒子与势垒

第５期谷桂初，等：时域有限差分法在势垒贯穿问题中的应用

作用时，动能和势能的转化关系，恰恰与各区域内过程，得到了概率波函数、系统能量的变化规律，符合理论上的解析分析，说明了用系统平均能量

的方法来处理截断边界是可行的。

概率的变化相对应。能量变化和概率变化是对应

图２和图３清楚的描述了粒子与势垒的作用

●５●■ｗ０■＇卸¨２￥００ｅ２５Ｎｏ，∞¨

●５８０椰●伸｜ｓ０００

２●¨●签０Ｎ’∞¨●

＇，时●２６０００∞Ｏ■３∞●●

圈３能量期望值和各区域概率髓时间的变化关系。其中横轴表示时间步

Ｔｈｅｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎｅｎｅｒｇｙ

ｋｉｎｅｔｉｃａｎｄｐｏｔｅｎｔｉａｌ

ｅｎｅｒｇｙ．－ｅｓｐｏｃｔｉｖｅｌｙＪｏｆｔｈｅｓｙｓｔｅｍａｎｄｔｈｅｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙｉｎ

ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ吓㈣

ｗｉｔｈｒｅｓｐｅｃｔｔｏｔｉｍｅ。ｗｈｅｒｅｔｈｅ

ａｘｉｓｍｅａｎｓｔｉｍｅ—ｓｔｅｐ

云南师范大学学报（自然科学版）

ｖａｌｖｉｎｇＭａｘｗｅｌｌ０

ｍｅｄｉａ［Ｊ］．ＩＥＥＥＴｒａｍＡｎｔｅｎｎａｓａｎｄＰｒｏｐａｇａｔｉｏｎ．

本文系统地介绍了ＦＤＴＤ法的基本原理、边界处理和初始试探波函数的选取，发展了ＦＤＴＤ

１９６６，１４（Ｉ）：３０２—３０７．

葛德彪，闰玉渡．电磁渡时域有限差分法［Ｍ］．西安：西安电子科技大学出版社，２００２．

［３］黄整，陈晓敏，朱正和．时域有限差分法对双原子分

子振动光谱计算的应用［Ｊ］．原子与分子物理学报，２０００，１７（４）：５７６—５８２．［４］Ｃｈａｎｇ

Ｓ，Ｈ．ａｎｄＴａｌｌｏｖｅＡ．，Ｆｉｎｉｔｅ—ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｔｉｍｅ

法在势垒问题中的应用．以系统平均能量方法处

理截断边界．用此方法计算模拟了在不同势垒

（方势垒、三角形势垒、谐振势垒）下粒子波函数、

系统动能期望值、势能期望值、各区域内概率的变

化关系．再现了微观世界量子隧道效应这一重要

物理现象。进一步表昵，运用ＦｌＹｒＤ法来解决量

—ｄｏｍａｉｎｍｏｄｅｌｏｆｌａｓｉｎｇａｃｔｉｏｎｉｎｅｌｅｃｔｒｏｎａｔｏｍｉｃ３８２７—３８３３．

ｆｏｕｒ—ｌｅｖｅｌｔｗｏ—Ｅｘｐ．，２００４，１２：

ｓｙｓｔｅｍ［Ｊ］，Ｏｐｔｉｃｓ

子力学问题是方便可行的，并且以系统平均能量

方法处理截断边界能得到比较理想的结果。对于

［５］范康年．物理化学（第二版）［Ｍ］．北京：高等教育出

版社，２００５．［６］

其它难于直接求解的量子力学问题的解决提供了

曾谨言．量子力学（卷Ｉ）［Ｍ］．北京：科学出版社，

［７］ＴｈｏｍａｓＪＷ．Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ

ＰａｒｔｉａｌＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＥｑｕａｔｉｏｎｓ：

ＦｉｎｉｔｅＤｉ∞陆ｒｅｎｃｅ

Ｍｅ＆ａｄｓ［Ｍ］．Ｂｅ硒ｍｓ：Ｗｏｒｌｄ

１ｉｓｈｉｎｇＣｏｒｐｏｒａｔｉｏｎ，１９９７．

［Ｉ］ＹｅｅＫＳ．Ｎｕｍｅｒｉｃａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｉｎｉｔｉａｌｂｏｕｎｄａｒｙ

ＴｈｅａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆｔｈｅＦｉｎｉｔｅＤｉｆｆｅｒｅｎｃｅＴｉｍｅ

Ｄｏｍａｉｎｍｅｔｈｏｄｉｎｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍｏｆｐｏｔｅｎｔｉａｌｂａｒｒｉｅｒ

６５００９１，Ｃｈｉｎａ）

ｉｎｑｕａｎｔｕｍ—ｍｅｃｈａｈｉｅａｌ

ｏｆＰｈｙｓｉｃｓ，ＹｕｎｎａｎｕｎｉｖｅＢｉｔｙ，Ｋｕｎｍｉｎｇ

Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＴｈｅａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆｔｈｅＦｉｎｉｔｅＤｉｆｆｅｒｅｎｃｅＴｉｍｅ

Ｄｏｍａｉｎ（Ｆ啪）ｍｅｔｈｏｄ

ｐｒｏｂｌｅｍｓｂｅｃｏｍ∞ｍｏｒｅａｎｄｍｏｒｅｉｎｔｅｒｅｓｔｉｎｇ．１１ｌｅｐｏｓｔｕｌａｔｅ．ｔｈｅｂｏｕｎｄａｒｙｃｕｔ—ｏｇｃｏｎｄｉｔｉｏｎａｎｄｔｈｅｉｎｉｔｉａｌｔｒｉａｌｗａｖｅｆｕｎｅｔｉｏｎａ＂ｄｅｓｅｆｉｂｅｄ．Ｂａｓｅｄ

ｍｅｔｈｏｄ．ｔｈｒｅｅ

ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｐｏｔｅｎｔｉａｌ—ｂａｌｌｉｅｒｐｒｏｂｌｅｍｓｉｎ—

ｅｌｕｄｉｎｇｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒｐｏｔｅｎｔｉａｌ—ｂａｒｒｉｅｒ。ｄｅｌｔｏｉｄｐｏｔｅｎｔｉａｌ—ｂａｒｒｉｅｒａｎｄｓｙｎｔｏｎｉｃｔｅｄ．Ｔｈｅｅｎｅｒｇｙｖａｒｉａｔｉｏｎａｎｄｔｈｅｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙｖａｒｉａｔｉｏｎ

ｐｏｔｅｎｔｉａｌ—ｂａｒｒｉｅｒ

ｃａｌｃｕｌａｔｅｄａｎｄｍｏｄｅｌｅｄ．ｔｈｅ

ｏｆｑｕａｎｔｕｍｔｕｎｎｅｌｅｆｆｅｃｔｒｅａｐｐｅａｒｅｄ．ＩｔｉｓｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔｔｏａｐｐｌｙｔｈｅＦＤＴＤｍｅｔｈｏｄｉｎ

ｑｕａｎｔｕｍ—ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ

ｐｒｏｂｌｅｍｓａｎｄ

ａｃｃｅｐｔａｂｌｅｗｈｉｌｅｕｓｉｎｇｔｈｅｂｏｕｎｄａｒｙｃｕｔ—ｏ仃ｂａｓｅｄ

ｔｈｅｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎｅｎｅｒｇｙｏｆ

ｔｈｅｓｙｓｔｅｍ．Ａｎｄｉｔｉｓｐｏｔｅｎｔｉａｌｌｙｆｕｒｔｂｅｒ

ｅｘｔｅｎｄｅｄｔｏｏｔｈｅｒｑｕａｎｔｕｍ—ｍｅｃｈａｎｉｃａｌｐｒｏｂｌｅｍｓ．

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｔｈｅＦｉｎｉｔｅＤｉｆｆｅｒｅｎｃｅＴｉｍｅＤｏｍａｉｎｍｅｔｈｏｄ，ｐｏｔｅｎｔｉａｌ

ｐｅｎｅｔｒａｔｉｏｎ，ｑｕａｎｔｕｍ

ｔｕｎｎｅｌｅｆｆｅｃｔ

时域有限差分法在势垒贯穿问题中的应用

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：

云南师范大学学报（自然科学版）