微分中值定理的问题呀

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-09-06 04:16 标签： 微分

，也是微积分学的理论基础，在许多方面它都有重要的作用，在进行一些公式推导与定理证明中都有很多应用。中值定理是由众多定理共同构建的，其中拉格朗日中值定理是核心，罗尔定理是其特殊情况，柯西定理是其推广。

拉格朗日、罗尔、柯西等人

是两个不同的函数；而导数只是反映函数在一点的局部特征；如果要了解函数在其

的整体性态，就需要在导数及函数间建立起联系，

就是这种作用。微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日定理、

定理、泰勒定理。是沟通导数值与

之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。以

组成的一组中值定理是一整个

的理论基础。拉格朗日中值定理，建立了函数值与导数值之间的定量联系，因而可用中值定理通过导数去研究函数的性态；中值定理的主要作用在于理论分析和证明；同时由柯西中值定理还可导出一个求极限的洛必达法则。中值定理的应用主要是以中值定理为基础，应用导数判断函数上升，下降，取

，凹形，凸形和拐点等项的重要性态。从而能把握住函数图象的各种几何特征。在极值问题上也有重要的实际应用。

微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、

、经济学等自然科学、社会科学及

等多个分支中，有越来越广泛的应用。特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。

客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。

由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继

后，全部数学中的最大的一个创造。

微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种

，‘无限求和’就是积分。十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨完成了许多数学家都参加过准备的工作，分别独立地建立了微积分学。他们建立微积分的出发点是直观的

，但是理论基础是不牢固的。因为“无限”的概念是无法用已经拥有的

公式进行演算，所以，直到十九世纪，

理论，这门学科才得以严密化。

学习微积分学，首要的一步就是要理解到，“

”引入的必要性：因为，代数是人们已经熟悉的概念，但是，代数无法处理“无限”的概念。所以为了要利用代数处理代表无限的量，于是精心构造了“极限”的概念。在“极限”的定义中，绕过了用一个数除以0的麻烦，而引入了一个过程任意小量。就是说，除数不是零，所以有意义，同时，这个过程小量可以取任意小，只要满足在Δ的

内，都小于该任意小量，我们就说他的极限为该数。

在一些等式的证明中，我们往往容易思维定式，只是对于原来的式子要从哪去证明，很不容易去联系其它，只从式子本身所表达的意思去证明。已知有这样一个推论，若函数

在区间I上可导，且连续，则

处处为0的曲线一定是平行于x轴的直线。这个推论的证明应用拉格朗日中值定理。

无穷小（大）量阶的比较时，看到两个

（大）量之比的极限可能存在，也可能不存在。如果存在，其

也不尽相同。称两个无穷小量或两个无穷大量之比的

为 型或 型不定式极限。解决这种极限的问题通常要用到洛比达法则。这是法则的内容，而在计算时往往都是直接的应用结论，没有注意到定理本身的证明，而这个定理的证明也应用到了中值定理

在一元函数微分学中，微分中值定理是应用函数的局部性质研究函数在

上整体性质的重要工具，它在数学分析中占有重要的地位，其中拉格朗日中值定理是核心，罗尔定理是其特殊情况，柯西定理是其推广。拉格朗日微分中值定理有许多推广，这些推广有一些基本的特点，这就是把定理条件中可微性概念拓宽，然后推广微分中值表达公式。微分中值定理的应用为数学的进一步发展提供了广阔的天地。

中值定理拉格朗日中值定理

中必然有一点，它的斜率与整段曲线平均斜率相同（严格的数学表达参见下文）。中值定理又称为微分学基本定理，

定理，拉格朗日中值定理，以及有限改变量定理等。

满足在闭区间[a,b]上连续；在开区间(a,b）内可导，那么在（a,b）内至少有一点

满足在闭区间[a,b]上连续；在开区间（a,b）内可导；在区间端点处的函数值相等，即

，那么在（a,b）内至少有一点

补充：几何上，罗尔定理的条件表示，曲线弧 （方程为）是一条连续的曲线弧，除端点外处处有不垂直于 轴的

，且两端点的纵坐标相等。而定理结论表明，弧上至少有一点 ，曲线在该点切线是水平的。

⑴在闭区间[a,b]上连续；

⑵在开区间（a,b）内可导；

那么在（a,b) 内至少有一点

成立。也叫Cauchy中值定理。

若令u=f(x),v=g(x），这个形式可理解为参数方程，而

则是连接参数曲线的端点斜率，

表示曲线上某点处的切线斜率，在定理的条件下，可理解如下：用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的弦，这一点Lagrange也具有，但是Cauchy中值定理除了适用y=f(x）表示的曲线，还适用于参数方程表示的曲线。

f(x）在a到b上的积分等于

[a, b]上连续，则在 [a, b]上至少存在一个点 ξ，使下式成立

  • 1. 李文荣. 关于中值定理“中间点”的渐近性[J]. 数学的实践与认识,-57.
  • 2. ]陈玉. 积分型中值定理的推广及统一表示[J]. 大学数学,):61-65.
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  • 4. 同济大学数学系．高等数学 上册：高等教育出版社，2007年4月 第六版：233

【摘要】：微分中值定理是说对于在每一点都可导的连续曲线的每一条弦都可以找到平行于该弦的切线,但对于每一条切线能否找到平行于该切线的弦呢?这一问题大多数教科书都很少涉及.该文就这一问题在什么条件下能实现进行了系统的论述,建立了微分中值定理的逆定理.对微分中值定理的教学有一定的参考与帮助作用.


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　　摘要： 根据教学大纲要求和当前职业教育改革的先进理念，在“微分中值定理”一课中运用启发式教学法，利用图形直观降低理论难度，通过典型例题的分析讲解和一定数量的练习，精讲多练，突出重点，重视知识的运用.

中国论文网 /9/view-5808961.htm　　关键词： 微分中值定理 教学设计 启发式教学 讲练结合


　　《应用数学》是我院机电工程系、信息技术系、车辆工程系、电子电气系各专业的一门必修公共课，是学生提高文化素质和学习有关专业知识、专门技术及获取新知识能力的重要基础.主要讲授极限与连续，导数、微分及其应用，积分及其应用等一元函数微积分的内容.要注意引导学生在其他课程和实践中使用数学，使学生认识数学的实用价值和经济价值，逐步形成数学意识，提高学生分析和解决实际问题的能力.
　　（二）本次课的地位
　　本课教学内容是微分中值定理和函数的单调性，是导数应用的基本内容.微分中值定理是获得可导函数单调性判定方法的理论基础.单调函数在《应用数学》课程中占有重要的地位，函数单调性的讨论是解决诸如“用料最省”“产值最高”“质量最好”“耗时最少”等最值问题的重要方法.
　　（三）教学设计理念与思路
　　学院以突出职业能力培养为导向，在加强实践性教学、压缩基础课教学的实践中做了大胆的尝试，各专业新的培养方案要求在高职数学教育教学中，把培养数学素质作为教学过程的主线，加强对学生进行数学知识应用能力的培养，从而使学生的数学知识、能力、素质得到协调发展.根据教学大纲要求和当前职业教育改革的先进理念，课运用启发式教学，精讲多练，突出重点，通过图形直观降低理论难度，重视知识在实际问题中的应用.
　　1.掌握函数极值的概念.
　　2.了解罗尔定理、拉格朗日中值定理，能运用.
　　3.掌握函数单调性的判定方法，能熟练运用.
　　（二）教学重点和难点
　　重点：函数单调性的判定.
　　难点：拉格朗日中值定理的理解与运用.
　　根据教学大纲要求和当前职业教育改革的先进理念，本次课运用启发式教学，利用图形直观直接得出微分中值定理（拉格朗日中值定理），通过典型例题的分析讲解和一定数量的练习，精讲多练，突出重点，重视知识的运用.
　　[板书设计]整个黑板分左中右三大栏，左栏用来书写新课知识要点，如拉格朗日中值定理及其两个推论、函数的极值及极值点概念、极值点的必要条件、单调性判断定理等；中栏右栏用来书写即写即擦的内容，如例题示范和课堂练习讲评等.
　　[新课引入]通过前面的学习，我们已经认识了导数，它描述函数随自变量而变化的瞬时变化率.我们现在已经能够熟练地计算函数的导数了.本章我们开始学习导数的应用.
　　[新课讲授]§3.1微分中值定理
　　定理（拉格朗日中值定理）：如果函数y=f（x）满足下列两个条件：（1）在闭区间[a，b]上连续；（2）在开区间（a，b）内可导，则至少存在一点使得或.
　　推论：如果函数f（x）在区间（a，b）内满足f′（x）≡0，则在（a，b）内（c为常数）.
　　推论：如果对（a，b）内任意x，均有f′（x）=g′（x），则在（a，b）内f（x）与g（x）之间相差一个常数，即（c为常数）.
　　[课堂练习]验证拉格朗日中值定理对函数y=4x-5x+x-2在[0，1]上的正确性.
　　[新课讲授]§3.2函数的单调性
　　函数的极值：极大值与极小值的统称.
　　极值点：使函数f（x）取得极值的点x称为函数f（x）的极值点.
　　注意：函数在一个区间上可能有几个极大值和几个极小值，其中有的极大值可能比极小值小；函数的极值概念是局部性的，它们与最大值、最小值不同.
　　定理（极值点的必要条件）：设函数f（x）在x处可导，且在点x处取得极值，那么.
　　可导函数的极值点必是驻点，驻点不一定是极值点.如：在x=0处.
　　对一个连续函数，极值点还可能是尖点（使导数不存在的点）.如：在x=0处.
　　定理（单调性判断定理）：设f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，那么
　　①若在（a，b）内f′（x）>0，则函数f（x）在[a，b]上单调增加；
　　②若在（a，b）内f′（x）　　例：求出函数f（x）=x-lnx的单调区间.
　　答案：f（x）的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞），单调增区间有（-1，0）和（1，+∞），单调减区间有（-∞，-1）和（0，1）.
　　思路：令可证f（x）在（-∞，1]上严格单调减少，在[1，+∞）上严格单调增加.故对任意x≠1，有即e>ex.
　　提示：令，则在[0，+∞）上单调增加，所以，当x>0时，有即即这时.
　　2.求函数的单调性与极值.
　　答案：函数的定义域为（-∞，+∞）.减区间为（-∞，3），增区间为（3，+∞），极小值y（3）=-.
　　[课堂练习及讲评]（略）
　　2.函数的极值和极值点概念.
　　3.函数单调性的判定和运用.
　　[1]孙薇荣等.微积分[M].高等教育出版社，2004.
　　[2]王玉华.应用数学基础[M].高等教育出版社，2010.
　　[3]赵强.浅析高职数学课程教学的研究与实践[J].时代教育，2011（8）.

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