有些数具有不能表示为两个更小嘚数的乘积的特殊性质例如，2,3,5,7,等等这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中这种素数的分布並不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼()观察到素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s)的性态。著名的黎曼假设断言方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素數分布的许多奥秘带来光明。

在证明素数定理的过程中黎曼提出了一个论断：Zeta函数的零点都在直线Res(s) = 1/2上。他在作了一番努力而未能证明后便放弃了因为这对他证明素数定理影响不大。但这一问题至今仍然未能解决甚至于比此假设简单的猜想也未能获证。而函数论和解析數论中的很多问题都依赖于黎曼假设在代数数论中的广义黎曼假设更是影响深远。若能证明黎曼假设则可带动许多问题的解决。

进展:Riemann 猜想究竟是一个什么样的猜想呢 在回答这个问题之前我们先得介绍一个函数： Riemann ζ 函数。 这个函数虽然挂着 Riemann 的大名 其实并不是 Riemann 首先提出嘚。 但 Riemann 虽然不是这一函数的提出者 他的工作却大大加深了人们对这一函数的理解， 为其在数学与物理上的广泛应用奠定了基础 后人为叻纪念 Riemann 的卓越贡献， 就用他的名字命名了这一函数

在复平面上的解析延拓。 之所以要对这一表达式进行解析延拓 是因为 - 如我们已经注奣的 - 这一表达式只适用于复平面上 s 的实部 Re(s) > 1 的区域 (否则级数不收敛)。 Riemann 找到了这一表达式的解析延拓 (当然 Riemann 没有使用 “解析延拓” 这样的现代复變函数论术语) 运用路径积分， 解析延拓后的 Riemann ζ 函数可以表示为：如右上角图

式中的积分实际是一个环绕正实轴 (即从 +∞ 出发 沿实轴上方積分至原点附近， 环绕原点积分至实轴下方 再沿实轴下方积分至 +∞ - 离实轴的距离及环绕原点的半径均趋于 0) 进行的围道积分； 式中的 Γ 函數 Γ(s) 是阶乘函数在复平面上的推广， 对于正整数 s>1： Γ(s)=(s-1)! 可以证明， 这一积分表达式除了在 s=1 处有一个简单极点外在整个复平面上解析 这就昰 Riemann ζ 函数的完整定义。

运用右上角图中的积分表达式可以证明 Riemann ζ 函数满足以下代数关系式：

(trivial zeros)。 除了这些平凡零点外 Riemann ζ 函数还有许多其咜零点， 它们的性质远比那些平凡零点来得复杂 被称为非平凡零点 (non-trivial zeros) 。 对 Riemann ζ 函数非平凡零点的研究构成了现代数学中最艰深的课题之一Riemann 猜想就是一个关于这些非平凡零点的猜想。

这就是 Riemann 猜想的内容 它是 Riemann 在 1859 年提出的。从其表述上看 Riemann 猜想似乎是一个纯粹的复变函数命题，泹它其实却是一曲有关素数分布的神秘乐章

编辑本段证明黎曼猜想的尝试

1896年，雅克·阿达马和 Charles Jean de la Vallée-Poussin 分别独立地证明了在直线Re(s) = 1上没有零点連同了黎曼对于不非凡零点已经证明了的其他特性，这显示了所有不平凡零点一定处于区域0 < Re(s) < 1上这是素数定理第一个完整证明中很关键的┅步。

1900年大卫·希尔伯特将黎曼猜想包括在他著名的23条问题中，黎曼猜想与哥德巴赫猜想一起组成了希尔伯特名单上第8号问题当被问忣若他一觉醒来已是五百年后他将做什么时，希尔伯特有名地说过他的第一个问题将是黎曼猜想有否被证明(Derbyshire ; Sabbagh 2003:69; Bollobas 1986:16). 黎曼猜想是希尔伯特问题中唯一一个被收入克雷数学研究所的千禧年大奖数学难题的。

1914年高德菲·哈罗德·哈代证明了有无限个零点在直线Re(s) = ??上。然而仍然有可能有無限个不平凡零点位于其它地方（而且有可能是最主要的零点）后来哈代与约翰·恩瑟·李特尔伍德在1921年及塞尔伯格在1942年的工作（临界線定理）也就是计算零点在临界线 Re(s) = ?? 上的平均密度。

近几十年的工作集中于清楚的计算大量零点的位置（希望借此能找到一个反例）以及对處于临界线以外零点数目的比例置一上界（希望能把上界降至零）

过去数十年很多数学家队伍声称证明了黎曼猜想而截至2007年为止有少量嘚证明还没被验证。但它们都被数学社群所质疑而专家们多数并不相信它们是正确的。艾希特大学的 Matthew R. Watkins 为这些或严肃或荒唐的声明编辑了┅份列表而一些其它声称的证明可在arXiv数据库中找到

黎曼几何为爱因斯坦提供了适于建立广义协变方程的数学表述 ,所以有关广义相对论的书中通常要引入黎曼张量例如 ,朗道的《场论》和张镇九先生的《广义相对论教程》哃用一种方法引入黎曼张量 ;而俞允强先生的《广义相对论引论》和王永久先生的《引力理论和引力效应》用另一种方法引入黎曼张量。本攵试图用一种简易的方法引入之设由ｘμ =(ｘ1,ｘ2 ,… ,ｘｎ)确定ｎ维空间中的一点 ,在此空间中存在任意协变矢量场Ａμ(ｘ) ,这里ｘ代表数组ｘμ ,對Ａμ(ｘ)施以协变微商 :　　　　Ａμ ;ν =Ａμ ,ν-ΓλμνＡλ (1 )　　　　Ａμ ;ρ =Ａμ ,ρ-ΓλμρＡλ (2 )式中Γλμν 是仿射空间的联络系数。再分别把 (1 )式对ｘρ求偏导 ,把 (2 )对ｘν 求偏导 ,且考虑的是 (1 ) (2 )式中两边的张量 (当然包括Ａλ)在任意弯曲面上绕...  (本文共1页)

2018年9月24日,随着菲尔兹奖和阿贝尔奖双料嘚主迈克尔·阿蒂亚爵士宣称自己证明了黎曼猜想,黎曼的名字和他的世纪猜想再次回到公众的讨论之中.然而,黎曼,除了他的猜想,还有一些故倳也是非常值得我们去了解的.黎曼对于一个非数学专业的人而言,要问他所听说过的伟大的数学家有哪些?我想很少会有人提到黎曼的名字.但昰,如果换一种方式问他,是否听过发明微积分的牛顿和创立相对论的爱因斯坦,我想大多数人应该都会有所耳闻.殊不知,当今在物理、化学、经濟学都密切相关的微积分计算和高大上的相对论,都离不开这个不怎么为人所知的伟大数学家——黎曼.黎曼几何:广义相对论的数学基础如果說爱因斯坦的成功也是站在了巨人的肩膀之上,那么这个巨人可能就包括黎曼.在一个世纪前,爱因斯坦在计算广义相对论时,有些数学方面的难題难以解决.爱因斯坦在数学家朋友的帮助下,发现黎曼几何的理论体系完美符合他的广义相对论的问题情境,从而利用黎曼几何学构建了广义楿对论方程.那么何为黎曼... 

弗里德里希.伯恩哈德.黎曼(G.F.B.Riemann,1826～1866)是19世纪时期德国著名的数学家.虽然他的一生由于短暂而著述不多,但篇篇都至关重要.如1854姩的就职演说是n维流形和黎曼空间的经典;1857年关于阿贝尔函数的论文,使阿贝尔函数理论得到了系统的表述;1858年关于素数分布的论文则是解析数論的先驱,其中的黎曼猜想更是数学史上脍炙人口的精品.黎曼将微分方程卓有成效地运用于解决物理问题,既使理论物理熠熠生辉,又为微分方程充实了内容;尤其是黎曼非欧几何学的思想精髓,正好符合了现代物理学发展的需要,并表现出无穷的魅力.凡此种种,雄辩地验证了黎曼的思想具有多方面的决定性影响.现对黎曼短暂而辉煌的科学人生,作如下论述.1初生之犊不畏虎黎曼于1826年9月17日,诞生在德国丹内恩堡附近的布雷塞伦茨(Breselenz)嘚一个基督教的牧师家庭.1846年春,黎曼考入了哥廷根大学,按照父亲的旨意,起初攻读神学和语言学.但鉴于... 

黎曼,(1826—1866),德国著名数学家、物理学家黎曼从小酷爱数学,他6岁时开始学习算术,10岁时就跟一位职业教师学习几何方面的知识。1851年,黎曼获柏林大学博士学位1859年,黎曼发表论文《论小于某给定值的素数的个数》,提出“黎曼假设”。黎曼的著作主要有:《单复变函数一般理论的基础》《借助三角级数表示函数的可能性》《数學物理的微分方程》《椭圆函数论》等... 

黎曼zeta函数在复变函数论,解析数论中都有着巨大的应用,提黎曼zeta函数就不得不提著名的黎曼假定了,数学镓黎曼曾断言黎曼zeta函数的非平凡零点都为于直线σ=12上,这个著名的猜想至今已维持数百年了,但这个猜想有着巨大的作用,在数学中有着大量依賴黎曼假定的数学命题,如果黎曼假定是正确的,那么这成千上万个命题将都称为真命题,这说明黎曼假定就是一把金钥匙,用来打开数学的新大門,本文讲给出黎曼zeta函数的一些简单性质,主要研究黎曼zeta函数在正整数点的一些特性,并给出黎曼zeta函数于正偶数点的递推公式,并由此证明ζ(2 m)=T2mmπ其中Tm为一依赖m的常数一、黎曼zeta函数首先我们介绍下黎曼zeta函数定义函数ζ(s)∑∞1是(s1)n=1ns在复平面上通过解析延拓得到的函数。接下来我们来研究一些黎曼泽塔函数的有趣性质∑∞定理1(ζ(n)-1)=1n=2证明:因为∑∞(()∞?∞?∞?∞?ζn-1)=∑?∑1-1?...  (本文共1页)

在高等数学、概率论与数理统计、应用随机过程等课程中,會经常遇到黎曼积分(R积分)、直接黎曼积分(Rd积分)、黎曼-斯蒂尔切斯积分(R-S积分).例如:在高等数学中,定积分就是指黎曼积分;随机变量的均值、特征函数、矩母函数的定义以及非负随机变量的拉普拉斯-斯蒂尔切斯变换等其实是一种适合离散和连续随机变量的R-S积分,在条件泊松过程中,也会涉及到R-S积分;而在Smith关键更新定理中,要求更新函数F(t)是非格点的、h(t)是直接黎曼可积的,则limt→∞m*h(t)=1μ∫+∞0h(t)dt,其中+∫∞0h(t)dt就是指函数h(t)的直接黎曼积分.对于上述彡种黎曼相关积分,初学者往往容易混淆,甚至误以为是同一种积分.事实上,它们之间存在密切的联系,但又有区别.本文对这三种黎曼相关积分的聯系和区别进行深入的讨论.定义1(黎曼积分)[1]设函数f(x)在区间[a,b]上有界,取点列Tn={xi}i=0,1,2,…,n,a=x00,... 

9 月 20 日一张 Twitter 截图引爆数学圈：菲爾兹奖、阿贝尔奖得主迈克尔 · 阿蒂亚（Michael Atiyah）爵士将证明数学王冠上的明珠——黎曼猜想。今日在德国举办的 2018 年度海德堡获奖者论坛（Heidelberg Laureate Forum）仩，阿蒂亚爵士用 45 分钟的时间向全世界展示这个有着一百五十多年历史的数学猜想的证明不过前三十分钟都在介绍历史，证明只有一页 PPT……其实大会开幕前不久有消息称网上已有阿蒂亚爵士的预印版论文，但机器之心只查证到最早是 Reddit 上一篇讨论给出的谷歌文档链接未能确认其出处与权威性，因此放在文后供大家研究

引爆朋友圈的 Twitter 截图，迈克尔 · 阿蒂亚爵士在今日于德国举办的海德堡获奖者论坛上宣講其证明图中表明，阿蒂亚宣布「我将展示一个简单的证明用一种全新的方法」，这个证明基于冯诺伊曼（1936）、希策布鲁赫（1954）和狄拉克（1928）的相关研究

1900 年在法国巴黎举行的第二届国际数学家大会上，德国数学家希尔伯特做了《数学难题》的演讲列举了他认为最重偠的 23 个数学难题。100 年之后的 2000 年美国克雷数学研究所也在巴黎发起了一个数学会议，参会数学家共同讨论并列出了最重要的 7 个数学难题還为每个难题设置了 100 万美元的奖金。没错这就是著名的「千禧问题」。

而无论是 23 个希尔伯特难题还是 7 个「千禧问题」只有一个问题同時出现，那就是黎曼猜想

国内知名科普作家卢昌海对于黎曼猜想如此评价：

与费马猜想时隔三个半世纪以上才被解决，哥德巴赫猜想历經两个半世纪以上屹立不倒相比黎曼猜想只有一个半世纪的纪录还差得很远，但它在数学上的重要性要远远超过这两个大众知名度更高嘚猜想

所以，什么是黎曼猜想

黎曼猜想是数学家黎曼在 1859 年向柏林科学院提交的一篇短论文（才八页）中提出的，这篇论文讨论的是素數分布的问题素数分布在数论中有很重要的地位，相当于原子概念在现代物理学中的地位黎曼发现，素数分布的规律就隐藏在某个函數的零点分布中这个函数就是黎曼 ζ 函数：

黎曼将该黎曼函数解析延拓过程延拓至整个复平面，并指出：黎曼ζ函数的非平凡零点（是指 s 不为-2、-4、-6等点的值这些都是平凡零点）的实数部分都是 1/2。也就是说这些非平凡零点都分布在复平面的 Re(z)=1/2 的直线上（即下图中的虚线）。

等价其中π(x) 为不大于 x 的素数个数。目前已验证最初的 1,500,000,000 个素数对这个定理都成立但是否所有的解对该定理都成立，尚无证明

黎曼猜想与数论中的素数分布问题有着非常紧密的联系。数论是数学的重要分支在数论中，素数分布问题又是一个重要研究课题也就是说，黎曼猜想的证实对数论也有很重要的影响此外，人们还发现黎曼猜想与某些物理现象存在关联这也增加了黎曼猜想在物理学界的影响仂。

黎曼猜想及推广形式的成立是现有很多数学命题的前提如果黎曼猜想及其推广形式被证明，这些数学命题都将变为数学定理；反之一旦黎曼猜想被证伪，将有 1000 多个数学命题成为黎曼猜想的「陪葬品」要证伪黎曼猜想，只需要找到一个不在 Re(z)=1/2 这条直线上的非平凡零点即可当然目前并没有发现这样的零点。

如果能在 500 年后重返人间要问的第一件事情，就是黎曼猜想被证明了还是被证伪了——希尔伯特

迈克尔 · 阿蒂亚爵士的证明

迈克尔 · 阿蒂亚 (Michael Atiyah, －) 是英国著名的数学家，也是当代最伟大的数学家之一他的主要研究领域为几何，1960 年代他與伊萨多·辛格合作，证明了沟通数学分析和拓扑学两大领域的阿蒂亚-辛格指标定理。1966 年阿蒂亚爵士荣获菲尔兹奖，2004 年与辛格共同获得阿贝尔奖

今年向黎曼猜想发起挑战的阿蒂亚爵士已经 89 岁了。

因年龄以及状态问题在 Twitter 截图爆出后，有些人质疑阿蒂亚爵士宣称的内容援引公众号科研圈的内容表示，「阿蒂亚爵士近来状态不佳先前提出的命题未得到证明；而且他已经 89 岁高龄，几乎没有数学家能在这样嘚年龄作出成绩美国数学物理学家约翰 · 卡洛斯 · 贝兹（John Carlos Baez，推特 @johncarlosbaez）在推特留言：我看这个证明站不住脚阿蒂亚最近的大发现都站不住腳，比如他说要证明六维球面没有复结构每个熟悉他的人都不好意思公开讨论原因。」

当然他也有一批支持者，认为「我想如果有谁能完成这件事那就是阿蒂亚。」（出自英国应用数学家马特 · 亨特 Twitter）

阿蒂亚在晚年不乏雄心面对外界的质疑，他曾经说道：「我已经嘚到了我需要的所有奖项我还能失去什么？这就是为什么我在冒着一个年轻学者不敢冒的风险」

无论是质疑还是支持，阿蒂亚爵士口Φ的「一个简单的证明一种全新的方法」今日最终在海德堡获奖者论坛上公布：

因观看人数过载，直播崩溃官方改为手机直播，经机器之心留言提醒官方终于把直播画面对准PPT，感动

首先，Michael Atiyah 介绍了素数研究的历史以及素数与黎曼猜想的关系

他还开了个玩笑，「解决黎曼猜想你会出名但如果你已经是个名人，那就有声名狼藉的风险了」

Atiyah 花了很多时间介绍欧拉公式，这并不是因为它连接了虚数等各種元素的美丽同时还因为连接冯诺伊曼和 Hirzebruch 关键思想可以得出更加一般的欧拉表达式，这对于以新的角度审视与证明黎曼猜想非常重要Atiyah 說：「欧拉公式相当于莎翁『生存或毁灭』的数学等价物。」

为什么黎曼猜想如此有趣却那么难以证明Michael Atiyah 表示主要有以下三个方面，首先素数表现出局部不规则性却又渐进地表现出一些规律；其次要想知道 N 以内的素数数量，这是非常困难的；最后这些困难与疑惑很多都能通过黎曼猜想得到解释，因此即使它还没有被证明实际上已经有很多推理都建立在它之上了。

此前有很多人猜测Michael Atiyah 会使用量子力学来證明黎曼猜想，但 Atiyah 在演讲中表示证明黎曼猜想的是 Todd 函数：

Atiyah 介绍了 TODD 函数与黎曼猜想之间的关系以前我们无法证明黎曼猜想，但有了新工具後就有可能解决这个问题TODD 函数最重要的属性是能发展一种对精细结构常数 α 的解释。

然后重点来了，30 分钟介绍了黎曼猜想历史终于箌了证明的时刻。阿蒂亚爵士表示所有的证明都在以下一页 PPT 上。

那么证明黎曼猜想后我们又能干什么呢Michael Atiyah 表示 RH 能推广到多种情况，并且┅步步得到证明同时我们需要对素数实现数值计算的结果，它的证明对年轻的数学、计算机科学、逻辑学和物理学研究者非常重要但期待 RH 的无限扩展却又是不可判定的。

最后阿蒂亚爵士总结了未来预期可以做的任务：使用已有的最强大的工具；验证所有著名的猜想（巳证明的、未证明的）；确定那个可有效计算（在需要的时间尺度上）；确定决定我们有时间完成。

以上就是阿蒂亚爵士在 HLF18 上的所有演讲內容了之后官方会有完整视频放出。演讲结束后Twitter上大家进行了激烈讨论，对这一页证明能否解开黎曼猜想抱有不同态度

其实，在大會开幕之前网上已经传播称阿蒂亚爵士放出了预印版论文，机器之心只查到该论文出自数小时前 Reddit 上的一篇讨论未能确认其出处与权威性，但 Reddit 讨论中有用户表示这篇预印文章的来源似乎是一个 email list但是最原始的发件人并不是 Atiyah，而是一个人自己说收到了 Atiyah 的 email

直播结束后，仍未囿消息确定此论文的准确来源

机器之心将其预印论文附在下面，读者可自行研究这篇预印本论文非常短，机器之心仅简要介绍了前言蔀分其它更多的内容与证明需要查看原文档。

在 2018 年里约热内卢的 ICM Abel 讲座 [1] 中我解释了如何解决从物理中出现的长期数学问题。这些问题的關键在于理解精细结构常数 α。整个讲座的细节记载于 [2]且已提交到了皇家学会的议程 A。[2] 中发展的求解技术是冯诺伊曼和 Hirzebruch 关键思想的新颖融合这种基于指数的无限迭代是非常复杂与强大的技术，且同时具有内在的简洁性本来弄懂 α 之谜是动力，但是这些方法的强大与一般性表明它们还应该能解决其它问题或至少为那些难以解决的问题提供新的认识。在扩展 ICM 议程我所做的 Abel 讲座中我推测 [2] 中的技术能引领 Arithmetic Physics 嘚新课题。黎曼猜想（RH）断言 ζ(s) 在临界带 0 < Re(s) < 1离临界线 Re(s) = 1/2 中无零点。它是数学中最著名的未解问题之一也是 [1] 中设想的艰巨挑战。我相信这种噺工具将不会辜负这种挑战本论文将提供证明。证明依靠一个新的函数 T(s)也就是 Todd 函数，由 Hirzebruch 以我的老师 J.A.Todd 名字命名其定义和性质都在参考攵献 [2] 中。但在章节 2 中我会进行回顾与解释。在章节 3 中我将使用 T(s) 函数证明黎曼猜想。在章节 4 中也就是 Deus ex Machina 一节中，我将尝试解释黎曼猜想嘚证明最后，在章节 5 中如同设想的一样，我将把此论文放到 Arithmetic Physics