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经典的奥数：7+3=106如何移动一根火柴使等式成立，你的脑洞大吗
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内容加载中《算法导论》读书笔记--第三章函数的增长 课后题
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标签：本章的课后题看一下即可，比较平凡。 3.1渐近记号 引用一下别人的答案，非常感谢： 原文地址： |概念回顾| 当输入规模大到使只有运行时间的增长量级有关时，就使在研究算法的渐进效率。 几个重要渐进记号的定义：
Θ(g(n))={ f(n): 存在正常数c1,c2和n0，使对所有的n&=n0，有0&=c1g(n)&=f(n)&=c2g(n) }
O(g(n))={ f(n): 存在正常数c和n0，使对所有n&=n0，有0&=f(n)&=cg(n) }
Ω(g(n))={ f(n): 存在正常数c和n0，使对所有n&=n0，有0&=cg(n)&=f(n) }
o(g(n))={ f(n): 对任意正常数c，存在常数n0&0，使对所有的n&=n0，有0&=f(n)&=cg(n) }
ω(g(n))={ f(n): 对任意正常数c，存在常数n0&0，使对所有的n&=n0，有0&=cg(n)&f(n) } |习题解答| 3.1-1 设f(n)与g(n)都是渐进非负函数。利用Θ记号的基本定义来证明max(f(n),g(n))=Θ(f(n)+g(n))。 证明：因为f(n)和g(n)都使渐进非负函数，同时假设存在这样的整数c1,c2和n0，使得： 0&=c1(f(n)+g(n))&=max(f(n)+g(n))&=c2(f(n)+g(n)) 成立。 令c2=1，则第3个不等式显然成立，因为两正数之和定大于两个中的最大值；再令c1=1/2，则第2个不等式也成立，因为两正数中最大的一个数定大于或等于两数的平均值；第1个不等式，因为f(n)与g(n)都使渐进非负，所以也显然成立。综上，既该等式确实成立。最后再根据Θ记号的定义可得：max(f(n),g(n))=Θ(f(n)+g(n))。 3.1-2 证明对任意实常数a和b，其中b&0，有 [2] (n+a)^b=Θ(n^b) 证明：要想证明上式成立，先要来证明等式： [1] 0&=c1(n^b)&=(n+a)^b&=c2(n^b) 也就使说存在两个正常数c1,c2，使得当n充分大时(n+a)^b，能够被夹在c1(n^b)和c2(n^b)中间。显然，因为b&0，c1,c2已知为正常数，所以第一个等式：0&=c1(n^b)当n充分大时成立。接着，第二、三个等式分别除于(n^b)后得(n^b不可能为0)：c1&=((n+a)/n)^b&=c2，进一步推得：c1&=(1+a/n)^b&=c2。又因为，a,b均为实常数，且当n充分大时，a/n趋向于0。所以，c1,c2分别可取值1/2,2，使得等式成立，等式(1)成立，也就证明了等式(2)成立。 3.1-3 解释为什么“算法A的运行时间至少是O(n2)”这句话是无意义的。 答：根据O记号的定义可知，它是用来表示上界的，当用它作为算法的最坏情况运行时间的上界时，就有对任意输入的运行时间的上界。我们说“一个算法A的运行时间为O(n2)”，它表示的是说该算法运行时间的一个上界，适用于每个输入的运行时间，这与题中的“至少是”表达的是同一个意思。所以题中的话是无意义的。 3.1-4& 2^(n+1)=O(2^n)成立吗？2^(2n)=O(2^n)成立吗？ 答：第一个成立；第二个不成立。 因为，[1] 0&=2^(n+1)&=c(2^n)，当n充分大时，第一个等式0&=2^(n+1)显然成立。第二个等式两边分别除以2^n，得：2&=c，即c&=2。即存在这样两个正常数c(c可取大于等于2的任意一个常数)使得等式(1)成立，所以得：2^(n+1)=O(2^n)成立。 同理，0&=2^(2n)&=c(2^n)，第二个等式两边除以(2^n)得：2^n&=c，因为c为正常数，当n充分大时，不存在这样的c使之成立，也就证明了，2^(2n)=O(2^n)不成立。 3.1-5 证明定理3.1 定理3.1 在o中表示当n趋于无穷大时，函数f(n)相对于g(n)来说就不重要了。 证明：根据o记号的定义：对f(n)=o(g(n))，界o&=f(n)&=cg(n)对所有常数c&0成立，这句话说明了函数g(n)的增长速度要快于f(n)，当n趋向无穷大时，差距就更大了。所以等式3.1时成立的。 3.1-6 证明：一个算法的运行时间是Θ(g(n))当且仅当其最坏情况运行时间O(g(n))，且最佳情况运行时间是Ω(g(n))。 证明：一个算法的运行时间是Θ(g(n))，则说明存在这样两个正常数c1,c2使得(当n充分大时)：0&=c1g(n)&=f(n)&=c2g(n)，因而等式0&=c1g(n)&=f(n)成立，完整地说，即存在正常数c1和n0，使得对所有n&=n0，有0&=c1g(n)&=f(n)成立。所以，根据Ω记号的定义得：该算法的最佳情况运行时间是Ω(g(n))。同理，因为等式0&=f(n)&=c2g(n)成立，所以该算法的最坏情况运行时间是O(g(n))。综上，证得该说法成立。 3.1-7 证明o(g(n))∩ω(g(n))是空集。 证明：根据o(g(n))={ f(n): 对任意正常数c，存在常数n0&0，使对所有的n&=n0，有0&=f(n)&=cg(n) }，而集合ω(g(n))={ f(n): 对任意正常数c&0，存在常数n0&0，使对所有n&=n0，有0&=c(g(n))&f(n) }。在同等条件下有以下两个等式： [1] 0&=f(n)&=cg(n)1，o(g(n)) [2] 0&=cg(n)2&f(n)，& ω(g(n)) 推得： [1] g(n)1&=(1/c)f(n) [2] g(n)2&(1/c)f(n) 可得，o(g(n))和ω(g(n))两集合没有共有部分。即证得o(g(n))∩ω(g(n))是空集。 3.1-8 可以将我们的表示法扩展到有两个参数n和m的情形，其中n和m的值可以以不同的速率，互相独立地趋于无穷。对给定的函数g(n,m)，O(g(n,m))为函数集 O(g(n,m))={ f(n,m): 存在正整数c,n0和m0，使对所有n&=n0或m&=m0，有0&=f(n,m)&=cg(n,m) }。 给出对应的Ω(g(n,m))和Θ(g(n,m))的定义。 [1] Ω(g(n,m))={ f(n,m): 存在正整数c,n0和m0，使对所有n&=n0或m&=m0，有0&=cg(n,m)&=f(n) } [2] Θ(g(n,m))={ f(n,m): 存在正整数c1,c2,n0和m0，n0和m0，使对所有n&=n0或m&=m0，有0&=c1g(n,m)&=f(n)&=c2g(n,m) } 下面这个答案比较靠谱，需要推导一下：标签：原文地址：http://www.cnblogs.com/batteryhp/p/5011778.html
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迷上了代码！高中数学导数，证明不等式成立，做好这些让你的高三成绩突飞猛进高中数学导数，证明不等式成立，做好这些让你的高三成绩突飞猛进孙老师数学百家号利用导数证明不等式成立是高考常考题型之一，可以归类到高中数学基本题型中，所以掌握这种题型的证明方法很重要，特别在高三第一轮复习阶段，熟练掌握各种基本题型的解题方法尤其重要，高考数学中比较难的题，一般都是由基本题型构成，或者是可以转化为基本题型来解决。有心的学生，除了做好基础知识的储备外，同时会有目的地掌握尽可能多的基本题型的解法，到高三复习期间，成绩往往会突飞猛进，令人惊讶。可以说，在扎实的基础下，谁掌握了更多基本题型的解法，谁就更有可能在未来的高考中考出高分。分析：这是一道利用导数证明不等式成立的常见题型，遇到这样的问题，首先考虑把右边的式子移到左边，然后转化为最值问题解决，详情见下方：咱们一步一步把证明不等式成立的问题等价转化为证明函数最值问题，现在要做的就是利用导数的知识求出函数f(x)的最小值，然后证明这个最小值大于0即可。函数f(x)在开区间(0,＋∞)上单调递增，显然f(x)没有最小值，而根据前面的分析，咱要证的是f(x)的最小值大于0，现在求不出最小值怎么办？做题和做人一样要学着变通，根据单调性，f(x)的最小值要比f(0)大一点儿，所以虽然写不出最小值，但是可以得到一个不等式：f(x)＞f(0)，这时观察可以发现f(0)恰好等于0，即证出了f(x)＞0，问题就这样解决了。虽然我用了“恰好”这个词，实际上完成这道题绝不是因为“碰巧”，是必然，数学讲究精确，不管是什么样的题，只要你的思路合理，不论过程多么繁杂，最终一定会“恰好”得出结论。本题剩余过程如下：这是利用导数证明不等式最常见的题型，这个证明思路并不是通用解法，也就是说使用这种方法并不能解决所有这类题型，下一节将讲解另一种方法，两种方法放在一起基本可以解决所有证明不等式成立问题。初中、高中、基础、提高、中考、高考；关注孙老师数学，你想要的，这里都有！本文由百家号作者上传并发布，百家号仅提供信息发布平台。文章仅代表作者个人观点，不代表百度立场。未经作者许可，不得转载。孙老师数学百家号最近更新：简介:初中数学课程，高中数学课程作者最新文章相关文章用数学归纳法证明，第二步假设n=k成立，来证明n=k+1成立时，能直接用k-1时等式成立吗？-
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用数学归纳法证明:1+
时,在第二步证明从n=k到n=k+1成立时,左边增加的项数是(...：
A 解:因为左边的特点:分母逐渐增加1,末项为 ;由n=k,末项为 到n=k+1,末项为 ,∴应增加...
怎么用数学归纳法证明数列单调递增：
分类讨论或者代数
用数学归纳法证明,第二步假设n=k成立,来证明n=k+1成立时,能直接用k-1时等式成立吗?：
v-e+f=1怎么用数学归纳法证明???：
这是欧拉公式的平面形式吧,在三维立体中,应该是V-E+F=2. 如果是用数学归纳法,可以根据面的数量...高考数学压轴题考点：不等式6个证明技巧（分数给你送上门了）
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高考数学压轴题考点：不等式6个证明技巧（分数给你送上门了）
沪江网校刘爱洁老师：人称爱姐，首席高中数学资深教师，北京科技大学数学系研究生。所带学生单科成绩可进步20-80分，提倡快乐学习，爱上数学！你靠什么冲出高考重围？实力？运气？解题技巧？的确，缺一不可。实力是平时日积月累的努力；技巧是你大脑中形成系统的捷径；而运气，则是上天犒赏给奋斗的礼物。但是，高考的题目中，有80%都是中低档难度，也就是说，要想脱颖而出成为佼佼者，压轴题是无论如何都要攻克的难关！压轴题目一般是开放型的题目，每年都是会变化。但大概率题目是函数、数列、圆锥曲线、不等式等知识的综合问题。今天，我就来总结一下不等式的证明方法。一.比较法所谓比较法，就是通过两个实数a与b的差或商的符号（范围）确定a与b大小关系的方法，即通过来确定a,b大小关系的方法。前者为作差法，后者为作商法。但要注意作差法适用范围较广；作商法再用时注意符号问题，如果同为正的话是没有问题的，同为负的话记得改变不等式的符号。二.分析法和综合这两个方法我们一般会一起使用，分析法是从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。综合法是从已知或证明过的不等式出发，根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式。我们来看一个例题，已知如果要用综合法或者分析法的话，对于过程上需要写明，即证，所以要证，也就是说，即等价于……一些转化的语句来过渡我们的题目，当然这两个方法我们经常一起用，因为分析完条件，分析结论，两个一起分析做题速度更快一些呢。三.反证法从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的。这个方法其实是按照集合的补集理论来的，正难则反，但是要注意用反证法证明不等式时，必须将命题结论的反面的各种情形都要考虑到，不能少的。反证法证明一个命题的思路及步骤：1） 假定命题的结论不成立；2） 进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾;3） 由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的;4） 肯定原来命题的结论是正确的。四.放缩法在证明过程中,利用不等式的传递性,作适当的放大或缩小,证明有更好的不等式来代替原不等式。放缩法的目的性强,必须恰到好处,。同时在放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及，灵活性很大。（明天会另附文章详细说明本方法哈，本篇就不详细介绍了呢，敬请期待）五.数学归纳法这个方法比较尴尬，容易的题目很好用，难的题目不好用，但是其实可以用。它的基本思路是对于含有n(n∈N)的不等式，当n取第一个值时不等式成立，如果使不等式在n=k(n∈N)时成立的假设下，还能证明不等式在n=k+1时也成立，那么肯定这个不等式对n取第一个值以后的自然数都能成立。比如下边这个例题，我们可以用数学归纳法，但是重点是放缩和转化求解，这也是难点，所以数学归纳法的尴尬就在这个位置了呢，对于这个方法只能说能用就用，不能用不要勉强。六.其他方法对于其他的方法，有换元法，均值不等式法，求导法，不一一说明，因为这几个都很常见，还有一个要重点说明一下就是柯西不等式，这个是大学才学的内容，但是有些压轴题目就是用这个不等式求解的，所以咱们介绍一下这个方法。柯西不等式可以说是我们均值不等式的高级一些的形式，证明思路也是和我们的均值不等式差不太多，所以大家对于一些知识的来源要注重一下，因为这是我们创新的基础。好啦，不等式的证明方法很多种，本文仅仅总结一些常见的方法，大家做题的时候要好好思考，好好的做一下，才能真正的学有所得。在高考剩余的时间内里要多去思考题目的突破点，不要只看结论。做题应该思考的是我如果没有答案下一次遇见这个类型的题目应该如何进行下手，如何进行求解做题，如何保证得分。希望总结的这几个技巧对大家是有帮助的，高考数学压轴题所需要的不等式的技巧还是蛮多的。高考学子们，加油！--------------------我是学习的分割线----------------------欢迎加入爱洁老师学霸QQ群 （长按可复制），抓紧宝贵机会解决数学疑惑，别给你的高考留遗憾！本文为沪江刘爱洁老师原创，如转载请标明。
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