累加法在高中数学中的应用--《中学教学参考》2014年14期
累加法在高中数学中的应用
【摘要】：正在苏教版高中数学课本必修5的《数列》这一章中,等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d是用如下方法推导出来的:a2-a1=d(1)a3-a2=d(2)?an-an-1=d(n-1)将上面n-1个式子相加得:(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=(n-1)d.所以得到:an=a1+(n-1)d.推导过程就是把题目中前n项写出来,然后全部加起来,等号左边的加左边的,右边的加右边的,往往左边
【作者单位】：
【分类号】：G634.6
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刘辉;[D];华中师范大学;2014年
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400-819-9993高中数学高一教案学案[原创]函数部分教学案--预览
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2.1.1(1)函数的概念
[三维目标]
一、知识域技能
1、理解用集合观点来描述函数的概念；了解函数的构成要素，会求一些简单函数的定义域
2、掌握求某一函数值的记号与方法
二、过程与方法
　　通过三种形式引入→分析→归结出函数概念→用输入输出说明函数的定义域
三、情感态度和价值观：体会函数是描述变量间依赖关系的重要模型
[重点与难点]函数的概念
[过程]
　　一、情景引入：每天随太阳升落，气温在进行变化；年龄随着时间的推移正在增长。
说有这些，都有两个变量，当一个变量变化时，另一个也在变化，如何刻画这种关系呢？
引例1、一物体从静止自由下落时，下落距离y(m)与时间t(s)之间的关系满足：y=4.9x2
引力2：学号为1~6的学生参加数学测试成绩如下：
学号
1
2
3
4
5
6
成绩
80
75
79
80
98
80
引例3、某市某天24小时的气温图如下：
　　　　　　
　　思考：三个引例各有什么特点？
1、都涉及了两个变量，两个变量的范围都是非空数的集合（简称非空数集）2、都有一个对应法则，且对应方向为A→B
3、x的每一个值，y都有惟一的值与之对应，也称单值对应。即一个输入值对应到惟一的输出值
xf(x)即初中阶段的y ,f(x)表示x的对应值，不表示f与x 相乘；f(2)即是初中阶段的x=2时，y的值
对于引例一：在某一变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应，这样的对应称y是x的函数。这样引例二、三也称函数。
　　　　　　　　　　　　
　　你能用集合语言描述函数定义吗？
　　二、函数的定义
　　一般的，设A、B时两个非空数集，按照某种对应法则f，若对于集合A中的每个元素x，在B中都有惟一的元素y与之对应，这样的对应叫做从A到B的一个函数。记为y=f(x),x∈A。x叫做自变量，y叫做函数值（或因变量）；数集A叫做函数的定义域；函数值的取值范围集合{y|y=f(x),x∈A}叫做函数的值域。
　　例1、对于数集A=[0,6],B=[0,3],在下列对应中，哪个对应是函数，哪个不是？
(2)f:x→y=x;⑶f:x→y=x;⑷f:x→x
解：⑴是函数；⑵是函数；⑶不是函数；⑷是函数；
　　教材P24------2，3，4
　　例2、求函数f(x)=的定义域
　　解：由题意，解得x≥-1且x≠1,故函数的定义域为{x| x≥-1且x≠1}
说明：1，求具体函数定义域的原则是:每个式子有意义的一切x的范围集合.函数一般要写出关系式及定义域，不写默认为每个式子有意义的一切x的范围。
　　2，定义域为集合，一般写成集合的格式，区间是一种特殊的集合。当定义域是紧跟解析式后面时，可以在小括号内用不等式注明。
　　练习：教材24页第6题
　　例3、设一矩形的周长为80，其中一边长为x，将面积S表示为x 的函数
　　解：矩形的另一边为=40-x,S=x(40-x)=-x2+40x(0<x<40)
　　说明：应用问题如果不是对所有的式子有意义的一切值成立，后面要根据实际情况进行加注范围。
　　例4、判断下列函数是否为同一函数
　　⑴f(x)=,g(x)=x-5;⑵f(x)=,g(x)=
⑶f(x)=x,g(x)=,h(x)=;⑷f(x)=,g(x)=2x-5
　　解：⑴定义域不同，非同一函数；
　　⑵定义域不同，非同一函数
　　⑶f(x)与g(x)=|x| 对应法则不同，非同一函数;但f(x)与g(x)为同一函数
　　⑷f(x)=|2x-5|与g(x)对应法则不同，非同一函数
　　说明：确定函数有两大要素--定义域与对应法则，两者完全相同时才是同一函数，只要有一个不同，就不是同一函数，而与用那个记号记无关。
　　例5、函数y=定义域为（-∞,+∞）,求a的范围
　　解：ax2+3x-1=0无解。a=0时，方程为3x-1=0有解x=不满足条件，舍去。
a≠0时，△=9+4a<0，a<-.总之，a<-
　　三、小结：1、函数的集合定义
　　2、简单函数定义域求法原则，保持每个式子有意义；应用题注意实际范围；定义域为集合
　　3、确定函数有两大要素--定义域和对应法则。
　　四、作业：教材P28-----习题2.1(1)1、2、4、10
　　[补充习题]
1、下列哪个函数与y=x表示同一函数（
2、求下列函数的定义域：⑴f(x)=;⑵y=+
3、下列哪个图可以表示函数
4、函数y=定义域为R,求实数a的范围（用区间表示）
5、已知f(x)的定义域为(-1,1)，求y=f(x+1)的定义域（用区间表示）
[答案]1、B；2、⑴{x|x≥-，且x≠0};⑵{2}；3、A,D；4、；5、(-2,0)
　　　　　2.2.1(2)
简单函数的值域与复合函数的定义域
[教学目标]
　　一、知识与技能：
1、掌握简单函数值及值域的求法
2、了解复合函数的定义，会根据原函数求复合函数的定义域，会根据复合函数定义域求原函数定义域
二、过程与方法：
　　通过具体事例汇总出求简单函数值域的最一般方法及规律，探究复合函数定义域求法的一般规律
　　三、情感态度与价值观：
　　通过汇总，使学生理解具体→一般的思维总结过程，体会与初中学习的区别与联系
[重点]简单函数的值域与复合函数定义域
[难点]f(x)与f[g(x)]已知一个定义域求另一个的定义域
[过程]一、复习：1、什么是函数？函数的两要素是什么？
2、如何求函什么是函数的值域？（所有函数值的取值集合称此函数的值域，{y|y=f(x),x∈A}
问题：如何求一个函数值和函数的值域？
　例1、已知函数f(x)=x2+1,求(1)f(a),f(2a),f(a+1)的值；(2)求f[f(x)],并比较与[f(x)]2是否相等；(3)设g(x)=x+1，求f[g(x)]与g[f(x)]，并比较它们是否相等
　解：(1)f(a)=a2+1,f(2a)=4a2+1,f(a+1)=(a+1)2+1=a2+2a+2
　说明：函数值其实就是输入值经f加工后的输出值，在初中规定为当x=(
)时，y=_____;图示是：
　　　　　　　　　　
(2)f[f(x)]=f(x2+1)=(x2+1)2+1=x4+2x2+2,[f(x)]2=(x2+1)2=x4+2x2+1,二者不等
说明：[f(x)]2一般也记作f2(x)
(3)f[g(x)]=f(x+1)=(x+1)2+1=x2+2x+2,g[f(x)]=g(x2+1)=x2+1+1=x2+2,二者不等
练习：教材P24----5
例2、（1）求函数f(x)=(x-1)2+1在定义域为下列条件下的值域
①{-1,0,1,2,3}
（2）求函数y=的值域
解：(1)①将x的值代入，可以得到函数的值域为{5,2,1}
说明：象这种将每个值代入而得到函数值域的方法，称代入法
②作出函数的图象，值域为
③作出函数的图象：值域为[1,5]
说明：这种通过图象求函数值域的方法称图象法
　　(2) 分析一：该题难于用代入及图象法求解，原因在于分子分母都是x的关系式，只要将分子转化为不含x的式子就好办了
[方法一]y==2+≠2
∴值域为{y|y≠2，y∈R}
说明：当不能直接求函数值域时，要进行转化，转化为可求的情况。这一方法称拼凑法，具体技巧是"先写后算"，即：先写上要拼凑的结果x-3，在进行运算，保持式子的值相等。
分析二：原式是用x表示y,用y表示x不就可以解决了吗？
[方法二](y-2)x=3y+1,y≠2 否则x无解，x=
∴值域为{y|y≠2，y∈R}
此方法是用y来表示x,根据定义域不空求y的范围，称反表示法。
　　　 练习：求函数y=2x-1+的值域（设=t≥0，x=,y=-t2+t+∈，因此函数的值域为）
　例3，（1）已知函数f(x)=,求函数f(2x-3)的定义域。（2）已知f(2x-3)=,求函数f(t)的定义域
　解：（1）[方法一]f(2x-3)==定义域为{x|2x-4≥0}={x|x≥2}
　[方法二]f(2x-3)有意义，2x-3必须在f(x)的定义域之内，2x-3≥1，定义域为{x|x≥2}
　说明：这里，将2x-3可以看作一个函数g(x),得到：已知f(x)的定义域为D，求f[g(x)]的定义域，实质是求不等式g(x)∈D的解集。方法二摆脱了对函数关系式的依赖，对于不知道f(x)的关系式的函数也能适用。
（2）解：[方法一]设t=2x-3,f(t)=,t+3≥0，t≥-3，f(t)的定义域为
[方法二]f(2x-3)的定义域为，x≥0时，t=2x-3≥-3，f(t)的定义域为
说明：已知f[g(x)]定义域为D，是指x的范围为D,求f(t)（或f(x)）的定义域，是根据x∈D，求g(x)的取值范围
练习，已知f(2x-1)定义域为[0，1]，求f(3x)的定义域
（该题实质是将上面两个合成了一个题，答案：0≤x≤1
-1≤2x-1=t≤1
f(t)定义域为[-1，1]，-1≤3x≤1，f(3x)的定义域为[-1/3，1/3]
三、[总结]
　1，函数值域的一般求法为
　2，f(x)定义域为Df[g(x)]的定义域为D1
　作业：教材P29---5，7，8，9
　　[作业]补充习题：
　　1、f(x)=x2-ax+b,且f(1)=-1,f(b)=a,则f(-5)=___________
2、已知f(x)=
求=_____,=____
　　3、f(x-1)的定义域为[0,3],则f(x2)的定义域为_________
4、y=x2-4x+6,(1)定义域为时，函数的值域为______；（2）定义域为间的整数时，值域为_________
5、函数y=2x-的值域区间为______________
6、f(x)=x2+x+定义域为[n,n+1](n∈N),则f(x)值域中共有_____________个整数
1、 7*、（选作）已知f(x-2)的定义域为[0,a],求函数F(x)=f(x)-f(-x)的定义域
　　[参考答案]
　　1、29；2、=1，=2006
3、[-，]；4、（1）；
(2){3,2,6}；5、；6、2n+2；7、a≥4时，定义域为[-2,2];2≤a<4时，定义域为{x|2-a≤x≤a-2};0<a<2时，构不成函数
函数的图象
[三维目标]
　　一、知识与技能
1、进一步理解函数图象的描点画法；
2、了解并识记图象的平移、对称规律；
3、初步掌握用相关点法求函数解析式的思路与方法
二、过程与方法：
通过具体图象特征得到一般的情况，并由一般再到特殊进行应用
三、情感态度与价值观：
由特殊→一般→特殊，使学生意识认识事物的一般规律
[重点]平移、对称规律
[难点]平移、对称的应用--相关点法
[过程]一、问题情景1：如果f:A→B是集合A到B的一个函数,那么集合{(x,y)|y=f(x),x∈A}的几何意义是什么?（函数y=f(x)图象上的点，这样可以将函数图象上的点描出）
问题情景2：初中阶段作函数的方法步骤是什么？（列表--描点------连线）。
二、新课：引入主题--函数的图象
　　例1、作出下列函数的图象⑴y=x(|x|≤1)
⑵y=1-x（-1≤x≤2,x∈Z）
⑷y=
　　解：⑴⑵
　　⑶定义域{x|x≠1，x∈R},y==x
　　⑷y=|x|,当x≥0时，y=x；当x<0时，y=-x
　　说明1：作函数图象的方法步骤：列表--描点------连线。其中列表是为了描点，可以略去；连线看具体函数是否需要，故主要在于描点。也就是说，函数图象的一般作法是描点法
　　说明2：作函数图象一定要注意定义域，复杂的要先化简后画图，画图时要体现三要素：原点、正方向（用箭头表示）、长度单位（可以用一个点的坐标来体现）
例2、画出函数y=x2+1的图象，
（1）将f(-2),f(1)与f(3)从小到大用<号连接起来；（2）对于0<x1<x2,比较f(x1)与f(x2)的大小（教材例2）
　　例3、在同一坐标系内作出f(x)=x2,g(x)=(x-1)2,h(x)=x2+1的图象，由之可以看出什么规律？
　　解：图象可以看出，将f(x)=x2的图象向右平移一个单位得到g(x)=(x-1)2=f(x-1)的图象；将f(x)=x2的图象向上平移一个单位得到h(x)=x2+1=f(x)+1的图象
　　说明：一般的，将y=f(x)向右平移m个单位得到y=f(x-m)的图象；将y=f(x)的图象向上平移n个单位得到y=f(x)+n的图象。
　　例4、设f(x)=(x>0)，作出它以及y=f(-x)、y=-f(x)、y=-f(-x)的图象
　　解：
说明：y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称；y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称；y=f(x)与y=f(-x)的图象关于原点对称
　　三、总结：本节主要讲了三点内容
　　1、描点法画函数的图象（注意三要素的描出）；
　　2、图象的基本变换:
　　y=f(x)+ny=f(x)y=f(x-m),
　　3、y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称；y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称；y=f(x)与y=f(-x)的图象关于原点对称
　　四、练习：教材28页内容
　　作业： P29____3,6，11
　　[补充习题]
　　1、在同一坐标系内，函数y=ax2+bx与y=ax+b(ab≠0)的图象可以是下列中的（
　　2、函数y=x+的图象是下列中的（
　　3、函数f(x)=x2+bx+c,且f(-1)=f(3),则f(1),c,f(-1)从小到大的顺序是_____________;f(1),f(2),f(4)从小到大的顺序是__________________
　　4、垂直于x轴的直线x=a与一个函数y=f(x)交点的个数为_______________
　　5、y=f(x)图象向左平移一个单位后如图，比较f(1.5)与f(2)的大小
　　
6、求函数y=x2-4x+6,x∈与y=2x-的值域区间
　　7、写出函数f(x)=x2-x关于y轴对称、x轴对称及原点对称的函数关系式
　　*8（选作）根据函数y=(k>0)的对称中心为(0,0),求函数y=(b>a)的对称中心
　　[参考答案]1、C；2、C；3、f(1)<c<f(-1),f(1)<f(2)<f(4);4、至多一个；
5、f(2)>f(1.5);
6、(1);(2)。
　　7、关于y轴对称f(-x)=x2+x；关于x轴对称-f(x)=-x2+x；关于原点对称-f(-x)=-x2-x
　　*8、y=1+,设f(x)=,则1+=f(x+a)+1,y=f(x)向左平移a个单位，再向上平移1个单位得到y=f(x+a)+1的图象；而y=f(x)的对称中心为(0,0),原函数的对称中心为(-a,1)
　　
具体函数的表示方法
[三维目标]
一、知识与技能：
1、了解具体函数表示法是对应法则的三种方式；
2、会根据分段函数、常数函数求值，并会画其图象
二、过程与方法：
1、通过复习函数要素的条件，来说明函数表示的三种形式；
2、通过实例说明常数函数与分段函数，进而会分段函数表示与求值
三、情感态度和价值观：
1、由要素到表示法，体会联系变化的观点；
2、实例说明常数函数与分段函数，来体会发展的观念
[重点与难点]分段函数的应用
[过程]一、复习函数的三要素：定义域、值域、对应法则
二、问题情景：购买某种饮料x听，所需钱数为y元，若每听2元，试表示x∈{1,2,3,4}时的函数关系。
表示一：
x（听）
1
2
3
4
y（元）
2
4
6
8
（说明：这一表示方法称列表法）
表示二：在坐标系内作出函数的图象，有：
这一方法称图象法
表示三：y=2x, x∈{1,2,3,4};
这一方法称解析法
一般具体函数的表示，可以用图表形式来体现对应关系--列表法；可以用图象形式来体现对应关系--图象法；可以用初中阶段的关系表达式体现对应关系--解析（式）法。引入主题：具体函数的表示方法
二、典例剖析
例1、国内投寄信件（外埠），每封信不足20克付邮资80分，超过20克不超过40克付邮资160分，依此类推，写出以每封信x克(x≤60)为自变量，以应付邮资y（分）为函数值的函数关系式并画出函数的图象
解：y=,图象如图
象这样，将定义域分成几个不同的范围，在不同范围上对应法则也不同，反应到图象上分成了数段，称分段函数.注意：分段函数是一个函数而不是多个函数，所以书写时用单向大括号分别列出不同的对应情况。
练习1：作出下列函数的图象：(1)y=|x|; (2) f(x)=|x+3|;(3) y=|x+5|+|x-3|
练习2：y=1(x∈R)是否为一个函数，是作出其图象（是函数，图象如图(1), 函数值恒为某一个值，这样的函数称常数函数）
例2、某市出租汽车收费标准如下：在3km以内（含3km）路程按起步价7元收费，超过3km以外的路程按2.4元/km收费，试写出收费关于路程的函数解析式
解：设路程为xkm时，收费为y元，则y=
练习：教材P31---1,3
思考：是否所有的函数都有图象？（未必，如D(x)=就没有图象）
例3、已知f(x)=,求f(0)、f(7)的值
解：f(0)=f(4)=f(8)=f(12)=12+3=15,f(7)=f(11)=14
三、总结及作业：
　　函数的表示方法有列表法、图象法、解析式法，分段函数与常数函数式是两种特殊的函数。作业P32_1、2、5、6、7、8、11
　　[补充习题]
　　1、国家征收个人所得税是分段计算的，总收入不超过1600元的，免征个人所得税；超过1600元的部分需要争税，设全月纳税所得额为m，m=全月总收入-1600元，税率见下表：
级数
全月纳税所得额
税率%
级数
全月纳税所得额
税率%
1
不超过500元部分
5
6
超过4至元部分
30
2
超过500元至2000元部分
10
7
超过6至元部分
35
3
超过2000元至5000元部分
15
8
超过8至元部分
40
4
超过5000元至20000元部分
20
9
超过100000元至200000元部分
45
5
超过20000元至40000元部分
25
10
超过200000元部分
50
　　若某人月收入为x元，所纳税为y元，则y是x得函数的大致图象可能是（
2、入图，矩形ABCD的边AB=5cm,BC=4cm,动点P从A出发，在折线AD-DC-CB上以1cm/s的速度向B匀速移动，则△ABP面积S(cm2)与运动时间t(s)之间的函数关系是图中的（
　　3、向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与深h的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是（
4、函数f(x)=,若f(x)=3,则x=_____________
5、函数f(x)=,则f[f()]=________________
6、根据函数f(x)的图象，写出其解析式_____________________
7、作出函数y=|x2-2x|+1的图象
8*（选作）说明方程|x2-4x+3|=a实数根的解的个数
[参考答案]1、B；2、A；3、B；4、；5、3/2；6、f(x)=
7、略；8*、作图象知道，a1时，方程有两个不同的实数解；a=1时，有三个实数解；0<a<1时，有四个解
　　
2.1.2(2)函数解析式的求法
　　[三维目标]
　　一、知识与技能
　　1、掌握求函数解析式的直接法、待定系数法、拼凑与换元的一般方法
　　2、理解求函数解析式的消元法、赋值法特殊方法
　　3、在赋值法基础上，了解抽象函数的有关概念
　　二、过程与方法
　　通过复习引入直接法与待定系数法，通过差异分析找出拼凑、换元、赋值法
　　三、情感态度与价值观
　　通过推陈出新，来体会联系发展的辨证关系
　　[重点、难点]解析式求法
　　[备注]本节是一个课件03
[过程] 一、情景引入：复习函数的表示方法有哪些？最常用的是什么方法？（答：函数表示方法有解析式法、列表法、图象法三种。解析式法是最常用的表示方法。）
问题：函数的解析式怎样求呢？（标题：函数解析式求法）
二、典例分析
例1，已知f(x)=,求g(x)=的解析式
分析：f(x)是分类定义的，相应的f(x-1)与f(x-2)也是分类定义的
解：f(x-1)=,f(x-2)=
g(x)=
说明：这一方法，根据f(x)的定义而直接求g(x)的解析式，称直接法
练习： 已知函数=4x+3，g(x)=x,求f[g(x)]（解：f[g(x)]=4g(x)+3=4x+3；）
说明：[f(x)]2常常写成f2(x)
　　例2、f(x+1)=4x2+8x+7,求f(x)的解析式
解：[方法一]f(x+1)= 4[(x+1)-1]2+8[(x+1)-1]+7=4[(x+1)2-2(x+1)+1]+8(x+1)-8+7
=4(x+1)2+3
∴f(x)=4x2+3
　　说明：该题因为左边自变量为x+1，右边也变成含有它的式子，这一方法称拼凑法，拼凑的技巧是"先写后算"，即先写上要拼凑的结果x+1,再看多算了什么，进行加、减、乘、除四则运算，以保持式子的值相等
　　[方法二]令x+1=t则x=t-1
f(t)=4(t-1)2+8(t-1)+7=4t2-8t+4+8t-8+7=4t2+3
∴f(x)=4x2+3
　　说明：这一方法是将x+1看作一个变量t，称代换法或换元法，这也是已知f[g(x)]的解析式求f(x)解析式的一种方法。
　　练习：若,求f(x) （
(x≥1)）
例3、已知f(x)是x的一次函数，且f[f(x)]=4x-1,求f(x)
解：设f(x)=ax+b(a≠0)，则f[f(x)]=af(x)+b=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=4x-1有
解得或∴f(x)=2x-或f(x)=-2x+1之一
说明：象这样已知f(x)的结构形式时，可以先设成其结构式（如：一次函数设为ax+b二次函数设为ax2+bx+c,其中a≠0），在根据条件求出相应的系数，代回到原设的式子中，而得出解析式，这一方法称待定系数法。
例4，对一切非零实数x，有f(x)+2f()=3x,求f(x)
分析：该式有两个变量f(x)和f()，要解出f(x)，不可能；需要再造出一个f(x)和f()的方程，如何造呢？观察式子的特征：再f作用下仅有两个量x及，于是想到能否用一个代替另一个而得到一个方程呢？
解：由f(x)+2f()=3x
以代替x得f()+2f(x)=3
②
由①②消去f()得f(x)=-x(x≠0)
　　说明：当发现"f"作用下，仅有x及另外一个与x有关的式子时，可以用该式代替x，得到另一个关系式，消去其他即可得到f(x)的解析式，这一方法与解方程组方法类似，称消去法。
　　练习：已知f(x)满足f(0)=1,对任意实数x,y有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求函数f(x)的解析式（令x=y得f(0)=f(x)-x(2x-x+1)故f(x)=x2+x+1;另法：令x=0得f(-y)=f(0)-y(-y+1),从而f(-y)=1-y(-y+1),f(x)=x2+x+1说明：这一解法是对x、y取一定值而求出的，也称赋值法，解时要分析已知与结论之间的差异进行赋值，这是求抽象函数解析式的常用方法）
1、这种通过比较已知与结论间的差异，再消除差异，从而使问题获得解决的思想方法称差异分析法。它是求数学计算性题最常用的方法。
2、该题消除差异的具体方法是对x、y取一定值而求出的，称赋值法。
三、[总结]求f(x)解析式的常用方法有
1，直接法
2，待定系数法：已知f(x)的结构形式时
3，拼凑或换元法：已知f[g(x)]解析式求f(x)解析式时
4，代入消元法：当"f"作用下，时，仅有x及另外一个与x有关的式子，可以用代换法得到另一式,消去其他，解出f(x)（有时用差异分析的赋值法）
四、作业：教材P32----3,4,10,13
[补充习题]
1，已知f(x)图象如图，则f(x)的解析式为（
D,x2-2|x|+1
　2,对任意x、y∈R,有f(xy)=f(x)+f(y),则下列结论中正确的序号为____（可以填多个）
①f(1)=0;
②f()=-f(x)
③f()=f(x)-f(y)
④f(x)<f(x)+f(1)
　　3，已知函数f(+1)=x+1,则函数f(x)的解析式为(
)?
A.f(x)=x2 B.f(x)=x2+1(x≥1)?C.f(x)=x2－2x(x≥1)D.f(x)=x2－2x+2(x≥1)
4，⑴f(3x-4)=9x2-12x+16,则f(x)=____________;
⑵f(2x+1)=x2-2x,则f()=___________;
⑶f(x-)=x2+,则f(x)=_______________
　5,一个实系数的一次函数f(x),满足f{f[f(x)]}=8x+7,则f(x)=______________
　6,已知f(x)=,f(a)=3,则a=__________
　7、已知f(x)=3x-1,g(x)=2x+3,求f[g(x)],g[f(x)]
　8，已知f(x)是x的二次函数，f(2x)+f(3x+1)=13x2+6x-1,求f(x)
　9、f(x)对x>0时有f(x1x2)=f(x1)+f(x2),且f(27)=8,求f()的值
　10（选作）已知f(x)满足af(4x-3)+bf(3-4x)=2x(其中a2≠b2)条件时，求其解析式
[答案]1，B;
3，C；4,⑴x2+4x+16;⑵;⑶x2+2;
6,；7，f[g(x)]=6x+8,g[f(x)]=6x+1；8、f(x)=x2+1；9、f(27)=f(3×3×3)=f(3)+f(3)+f(3)=3f(3)=6f()=8,f()=；8,设4x-3=t,有af(t)+bf(-t)=,以-t代替t得af(-t)+bf(t)= ,从中消去f(-t)得f(t)= ;f(x)=
2.1.3(1)函数的单调性定义及图象观察法
[三维目标]
一、知识与技能
1、理解函数单调性的概念
2、掌握图象观察法确定函数的单调区间
二、过程与方法
通过图象引入函数单调性的定义，并指明判断函数单调性的图象方法及注意事项
三、情感态度与价值观
通过具体→抽象的汇总，培养学生的抽象能力及应用能力，体验认识事物的具体→抽象→具体的过程
[教学重点难点]在某个区间上单调增（或减）与单调增（或减）区间的区别
[授课类型]：新授课
[教学过程：]
　　一、问题情景：作出函数y=|x2-2x-3|的图象，从图象观察，x在什么区间上y随x的增大而增大，在什么区间上y随x的增大而减小？
　　
　　( 在区间[-1,1] 及[3，+∞)上y随x的增大而增大，在区间(-∞,1]及[1,3]上y随x的增大而减小)
　　象这样，y随x的增大而增大（减小）的区间，我们称函数在这个区间上单调增（减），相应的函数称增函数（或减函数）。若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.
　　二、要点内容：
　　通过图象得到的这样的区间，我们称图象观察法。
　　问：上面引例中的函数，在区间[4,+∞）上单调性如何？能否说这个函数的单调增区间是[4,+∞）？（单调增，不能，说"函数的单调区间是..."是针对整个定义域而言的，既不能多，也不能少，那怕是一个值；而"函数在××区间上单调增（或减）"或"函数在××区间上是增（或减）函数"，可以是其中一部分区间。注意区分这种说法的不同）
　　练习1：教材P37----6,
　　练习2：练习：作出函数y=|x2-x-6|的图象，并指出其单调区间
　　（解答：增区间[-2,]及,减区间及[，3]）
　　说明1：函数的单调性是对某个区间而言的，有多个增（或减）区间时，是在各自单独的区间列上单调，而不是取并集后形成的一个集合上单调。
　　说明2：中学阶段研究的主要是连续函数或分段连续函数，在考虑它的单调区间时，能包括的尽量包括端点；还要注意，对于在某些点上不连续的函数，单调区间不包括不连续点.
　　例：对于函数f(x)=x2-2ax+2,求下列条件下实数a的值或范围
　　⑴函数的单调增区间为；⑵函数在上单调增
　　解：⑴函数f(x)的对称轴为x=2,因其增区间为，对称轴应为x=2,而二次函数只有一个对称轴，故a=2
　　⑵函数在上单调增,只要对称轴不在区间的右侧，故a≤2
　　思考：知道函数图象的，可以用图象观察法得到单调区间，但有的函数不知道函数图象，那么如何给函数单调性下个定义呢？
　　定义：对于函数的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值，⑴若当<时，都有<,则说在这个区间上是增函数，有的书上用符号↑；⑵若当,则说在这个区间上是减函数. 有的书上用符号↓
　　练习1：教材P37----6
　　练习2：x>0时，f(x)>f(0),则f(x)单调增。正确吗？（不正确）
　　三、小结
　　1、函数的单调区间是区间列，不是一个集合，所以在多个区间时，不能用并相连。书写时能包含的尽量包含端点。
　　2、函数在那个区间上单调增（或减），这个区间可能比增（或减）区间要"小"；而函数的增（或减）区间是谁，是指该区间恰好是增（或减）区间，不能"多"，也不能"少"，它们是两个不同的概念。
　　3，图象观察法判断函数单调性也就是看函数的图象从左到右是上升还是下降。
　　4、函数单调性定义注意是针对的任意点
四、课后作业：课本P43-----1，2，
[补充习题]
1、填表
函数
单调区间
单调性
y=+b
k>0
2、函数y=|x-1|+|x-4|的单调增区间是__________,单调减区间为___________
3、函数y=的单调区间是___________
4、⑴函数f(x)=x2+ax+1在上单调减，则实数a的范围是__________⑵函数f(x)=-x2+ax+2+a2在上是增函数，在上是减函数，则a=___
　　5、二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),又f(x)在[0,2]上是增函数，且f(a)≥f(0),则实数a的范围是________________
6、根据自己举出的函数例子或画图填空
⑴若y=f(x)在区间I上单调增，则A>0时y=Af(x)+B在区间I上的单调性为__________, A<0时y=Af(x)+B在区间I上的单调性为__________
⑵若y=f(x)的图象关于直线x=a对称，且在区间[a+c,a+3c]上单调减，则在其对称区间[a-3c,a-c]上的单调性为_____________
⑶若y=f(x)关于点(0,0)对称，在区间(a,b)（a>0）上单调增,则在点(0,0)的对称区间(-b,-a)上，f(x)的单调性为_____________
　7、函数f(x)=mx2-(5m-2)x+m2-4在上是增函数，求实数m的取值范围
　8、画出下列函数的图象，并指出其单调区间
　⑴y=3
⑵y=||x|-3|
　9*（选作）若函数f(x)=a|x-b|+2在上为增函数，求实数a、b的取值范围
函数
单调区间
单调性
y=+b
k>0
(-∞,0)及（0，+∞）
↓
↓
　　 [参考解答]：
　　1、
2、，；
3、单调减区间为(-∞，-1)及(-1,+∞)
4、⑴a≤-2；⑵6；
5、[0，4]；
6、⑴增，减；⑵增；⑶减
7、m=0时，f(x)=2x-4满足条件；m≠0时，，0<m≤2；总之m的范围是[0，2]
8、⑴无单调区间
⑵单调增区间[-3,0]、
单调减区间、[0，3]
　　9*、f(x)= 在上为增函数,作出图象
2.1.3(2)函数的单调性定义验证法
[三维目标]
一、知识与技能
　　1、了解函数单调性的定义有原始定义和变形定义两种
　　2、会用定义验证函数的单调性
　二、过程与方法
　　通过具体的例子说明函数单调性证明的定义验证法的一般步骤：设值----作差变形-----判断，并由此导出变形的具体常见技巧
　　三、情感态度和价值观
　　体会变形的具体技巧
[重点]单调性定义验证法的步骤
[难点]变形的技巧
[过程]
一、复习引入：
　　问题1：函数单调性判断的方法是什么？定义是什么？
　　答：、图象观察法；对于函数的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值，⑴若当<时，都有<,则说在这个区间上是增函数，有的书上用符号↑；⑵若当,则说在这个区间上是减函数. 有的书上用符号↓
问题2：如果不知函数的图象，怎么知道其单调性？（答：定义验证）
　问题3：如何进行定义验证？（引入主题函数单调性的定义验证法）
二、新课内容
例1、证明函数f(x)=在定义域内单调增
证明：函数的定义域为
[方法一]设x1,x2为上任意两个值，x1<x2,
则f(x2)-f(x1)=-=
∴x2-x1>0 而+>0
∴f(x2)>f(x1) ∴函数f(x)=在定义域内单调增
[方法二]f2(x2)-f2(x1)=x2-x1>0,∴f2(x2)>f2(x1)
∵f(t)=t2在t≥0上单调增
∴f(x2)>f(x1) ∴函数f(x)=在定义域内单调增
说明：证明一个函数单调性的一般步骤为：设值--作差变形--判断结论
例2、证明函数y=x3在(-∞,+∞)上单调增
证明：任意实数x1,x2,x1<x2,
有y2-y1=x23-x13=(x2-x1)(x22+x2x1+x12)=(x2-x1)[(x2+)2+]
∵x10, (x2+)2+>0
∴函数y=x3在(-∞,+∞)上单调增
说明：证明一个函数单调性的常见变形有：分解因式、配平方、乘方及开方（限于非负数）、有理化
　　例3、求函数f(x)=x+在（2，+∞）及(0,2)上的单调性
　解：对于任意x2>x1>2,f(x2)-f(x1)= (x1x2-4),x1x2>x12>4,f(x2)>f(x1),∴f(x) 在（2，+∞）上↑
　　对于任意x1,x2∈(0,2)；0<x1<x2,f(x2)-f(x1)=x2+-(x1+)=(x1x2-4)
>0,x12<x1x2<x22,
∴x1x2-4<x22-4≤0，即x2≤2时，f(x2)-f(x1)<0,f(x)在(0,2)上单调增
说明：仿此同理还可以证出，函数y=x+(k>0)在↑，在↓这是一个很常见的结论，也是高考命题的高频点，请记住该结论
三、总结：
验证一个函数的单调性，一般用定义进行，定义含有原始定义和变形定义；其步骤为：设值--作差变形--判断结论，常见变形有：分解因式、配平方、乘方及开方（限于非负数）、有理化
证明一个函数的单调性，目前只能用定义。
四、作业：教材P43----4，7
[补充习题]
1、判断函数f(x)=x2-在区间（0，+∞）上的单调性，并证明
2、用定义证明f(x)=-x在R上是减函数
3、当a≠0时，讨论函数f(x)=(-1<x<1)的单调性
　　4、已知函数f(x)对任意实数x,y，有：f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时有f(x)>0
（1）求f(0)的值；(2)判断f(x)与f(-x)的大小关系；(3)判断f(x)的单调性并证明；(4)如果定义域变为(0,+∞)，其余条件不变，而且已知f(2)=1,解关于x的不等式f(x)+f(x-3)<3
[解答参考]1、增；2、证明时分子有理化；3、a>1时，减；ax1,f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)>0,f(x2)>f(x1),f(x)↑(4)由已知可以导出f(6)=3，f(x+x-3)<f(6)即f(2x-3)<f(6),3<x<
总之，f(x)↓
练习：判断下列函数的单调性
⑴f(x)=
x∈（0，+∞）（答⑴↓；⑵↑）
2.1.3(3)函数单调性的解析式观察法
[三维目标]
一、知识与技能
1、了解函数单调性的意义是函数值y随自变量x的增大而变化的意义
　　2.能应用常见结论及解析式观察法判断函数的单调性
　　3、了解复合函数单调性的规律
二、过程与方法
通过化为生为熟，体现化归与转化的思想方法
三、情感态度与价值观
通过化难为易，体会联系与变化的辨证关系
[重点、难点]解析式观察法判断函数的单调性
[教学过程：]
一、1、复习判断函数单调性的方法是什么？（定义验证法与图象观察法）
2、函数单调性的实质是什么？（y随x的增大而变化的情况，因此我们可以通过观察这一变化情况，直接得到函数的单调性，这一方法称解析式观察法。）
二、新课内容
　　引例：判断函数y=x3+x在R上的单调性
　　（解答：y=x3↑，y=x↑，y=x3+x↑）一般的有：
　　f(x)与g(x)具有相同的单调性,则f(x)+g(x)、f(x)+A(常数)与它们的单调性相同
　　将引例变形为1、y=2(x3+x)+1及y=-2(x3+x)+1，单调性又如何？（y=2(x3+x)+1↑，y=-2(x3+x)+1↓）一般的有：
　　Af(x)+B(A为常数)在A>0时,与f(x)在同一区间上具有相同单调性,在A<0时具有相反的单调性;
　　再将引例变形为2：f(x)=呢？（此时定义域为{x|x∈R,且x≠0}；当x<0时，x3+x0时，x3+x>0且随x的增大而增大，f(x)↓。所以f(x)的单调减区间为(-∞，0)及(0,+∞)）
　　思考：一般的，与f(x)在同一区间上一定具有相反的单调性吗？如果不是，加什么条件可以使之成立？（不一定，如-1<2但其倒数-1并不大于1/2，加上同号条件方可）
　　于是有：f(x)恒正或恒负,则与f(x)在同一区间上具有相反的单调性;
证明：不妨设f(x)↑且恒正,则对于x1<x2,0<f(x1)<f(x2)
-=<0, <,所以↓，与f(x)与具有相反的单调性。
例2也可以这样看：原函数可以看成是由y=及u=x3+x组合而成的，前者y=在u0上都随u的增大而减小（单调减），后者u=x3+x单调增，而u<0与x0与x>0解集也相同，于是f(x)的单调减区间为(-∞，0)及(0,+∞)
一般的，y=f[g(x)]可以看作由y=f(u)及u=g(x)组合而成的，称两个函数的复合函数。其单调性的一般规律是：
　　
　　增 ↗
　　减 ↘
　　
　　增 ↗
　　减 ↘
　　增 ↗
　　减 ↘
　　
　　增 ↗
　　减 ↘
　　减 ↘
　　增 ↗
两个函数的复合函数，在其构成函数具有相同单调性时，其复合函数为增函数；具有不同单调性时，复合函数为减函数（简称"同向增，异向减"或"同增异减"）.
　练习1、函数y=在(-∞,1)上的单调性是__________
　　（解：y==-1+,1-x↓且恒正，↑，↑，原函数单调增）
练习2、指出函数y=的单调区间（单调增区间[-2,0],减区间[0,2]）
　　三、总结：1、用解析式观察法可以把一些不会画图象的比较复杂的解析式转化为已经学过的式子去判断单调性
　　2、函数单调性的判断方法有：图象观察法、定义验证法和解析式观察法；但是证明函数的单调性只能用定义法
　　四、作业
　补充习题：
　　1、定义在R上的函数f(x)对任意两个不等的实数a,b，总有>0成立，则必有：（
）
　A，函数f(x)在R上是减函数
B，f(x)在R上是增函数
C，f(x)既不是增函数，也不是减函数
D，无法确定
　 2、函数y=的单调减区间为__________________
3、f(x)=在定义域内的单调性是_______________；g(x)=x-的单调性是____________________________________
4、f(x)=x2-在区间（0，+∞）上的单调性是__________
5、y=2+x3在定义域内的单调性是_________
6、函数f(x)=的单调区间
7、讨论函数f(x)=在区间(-1,1)上的单调性
8、要使函数y=在（2,+∞）上减，求k的取值范围
　9、已知f(x)=x2-2x-8,求y=f(2-x2)的减区间
10*(选作) 求函数f(x)=的单调区间
参考答案：1、B；2、；3、减；(-∞,0)及(0,+∞)上的增函数；4、单调增；5、单调增；6、函数定义域为{x|x∈R,且x≠-1，0}，在x<-1上，x2+x↓且恒正，↑；在-1<x≤-上，x2+x↓且恒负，↑。同理，可以得到其他区间上函数的单调性。有：f(x)的增区间为(-∞,-1)及,减区间为及(0,+∞)
7、f(x)定义域为(-1,1),其单调性取决于1-x2,由于它在上↑，上↓，故原函数在上↑，上↓
8、函数定义域为{x|x≠2，-1，x∈R}，其单调性取决于 t=x2-x-2的单调性，而t=x2-x-2在(2,+∞)上↑且恒正，↓，要使↓，只要k<0
　9、原函数可以看作y=f(u)=u2-2u-8与u=2-x2的复合函数，f(u)在u≤1上↓，在u≥1上↑.
　而u≥12-x2≥1x2≤1-1≤x≤1,同理u≤1x≥1或x≤-1
　u=2-x2在x≤0上↑，在x≥0上↓。
这样有
　
原函数的单调减区间为及[0，1]
10*、y==1+
在x>-b上，↓；xb时，函数单调减区间是(-∞,-b)及（-b,+∞）;a<b时，函数的单调增区间是(-∞,-b)及（-b,+∞）
　　　　　　　　　　　2.1.(4)函数的最值
[三维目标]
一、知识与技能
1，体会最值的几何意义
2，理解最值的定义
3，掌握求最值的图象法和单调性法基本方法
二、过程与方法
体会→抽象→应用诞生方法→应用
三、情感态度与价值观
体验方法是从知识及感觉中诞生的
[重点、难点]求函数最值的方法应用
[过程]
　　一、问题情景：作出函数y=-x2+4x在[-1,4]上的图象，由图象看出，这个函数x=2时函数值有最高点4，称函数的最大值，当x=-1时函数有最低点-5，称函数的最小值
　　　　　　　　　　　　　　　
　进入主题：函数的最值
　学生活动思考：
　1、如何通过图形语言体现和符号语言表示函数的最值？
图形语言
符号语言
图象的最高处，函数的最大值
ymax=fmax(x)=f(
)
图象的最低处，函数的最小值
Ymin=fmin(x)=f(
)
　　2、怎样给由函数最值下定义
　　定义：一般的，设函数y=f(x)的定义域为A。
　　若存在定值x0∈A，使得对于任意x∈A，有f(x)≤f(x0)恒成立，则称f(x0)为f(x)的最大值，记作ymax=fmax(x)=f(x0)；
　　若存在定值x0∈A，使得对于任意x∈A，有f(x)≥f(x0)恒成立，则称f(x0)为f(x)的最小值，记作ymin=fmin(x)=f(x0)。
　　二、求函数最值的基本方法
　　1、图象法
　　2、观察得到结论：对于定义域范围内某一值x0,在其左增右减，则在f(x0)处最大值；在其左减右增，f(x0)处取得最小值。这一方法称根据函数的单调性求最值，是函数最值的一般方法。简称单调性法
　　3、定义法（用于证明）
　　例1、判断函数y=在区间上又最值吗？有，求出。在[-2,-1]上呢？
　　解：用图象法，如图在上，ymin=f(-1)=-1，无最大值
　　同理，在[-2,-1]上，ymin=f(-1)=-1,ymax=f(-2)=-
　　说明：1、函数的最值一定能够取到！即"方程f(x)=最值"在定义域范围内有解。
2、ymax=fmax(x)与ymin=fmin(x)在整个定义域范围内表示的是最值，在部分范围内不是函数的最值
　　
练习：判断函数y=1(x∈[-1,1])有无最值（答：有，常数函数最值是其本身）
例2、已知函数f(x)为y=2-x及y=x2中的较大者，即f(x)=max{2-x,x2},作出f(x)的图象，并求f(x)的最值
解：f(x)=,fmin(x)=f(1)=1,f(x)无最大值
例3、求函数y=在x∈[1,5]上的最值
解：y==+在x∈[1,5]上↓，∴ymax=f(1)=2,ymin=f(5)=
说明：这一方法称单调性法。如果不涉及证明，求函数最值一般用图象法或单调性法
例4、已知函数f(x)对任意实数x,y，有：f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时有f(x)>0
⑴求f(0);
⑵判断f(x)的单调性；
⑶若f(1)=2,求f(x)在[-3,3]上最值
解：⑴令y=0有f(x+0)=f(x)+f(0),故f(0)=0
⑵对于d>0时，f(d)>0,f(x+d)=f(x)+f(d)>f(x),故f(x)↑
⑶fmax(x)=f(3)=f(1+1+1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=6。f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x),f(-x)=-f(x),故fmin(x)=f(-3)=-f(3)=-6
三、总结：求函数最值的一般方法
四、作业：教材P43---3
[补充习题]
1、一次函数f(x)=kx+b在[a,c]上的最值是（
）
A,最大值为ka+b,最小值为kc+b
B,最大值为kc+b,最小值为ka+b
C,最大值为max{ka+b,kc+b},最小值为min{ka+b,kc+b}
D未必有最大值，也未必有最小值
2、函数f(x)=的最小值为_________
3、对于任意实数x，设f(x)=min{2-x2,x}，则fmax(x)=______________
4、若不等式mx>m-1对任意x∈[-1，1]总成立，则m的范围是______________
5、函数y=|x-2|-|x+1|的最值情况是________________________________
6、求函数f(x)=在[2,4]上的最值
7、根据函数的图象，求出函数的最值(1)y=-2；(2)y=；
(3)f(x)=x|x|-2x,x∈[-2,3]
8、已知函数f(x)对任意实数x,y，有：f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时有f(x)<0
⑴判断f(x)的单调性;⑵若f(1)=-2,求f(x)在[-4,4]上最值
9（选作）求函数y=,x∈[0，3]的最值
　　 [参考解答]1、C；2、0；3、1；4、m0时，f(d)<0,f(x+d)=f(x)+f(d)<f(x),故f(x)↓；⑵=f(3)= fmin(x)=f(4)=f(1+1+1+1)=4f(1)=-8
f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x),f(-x)=-f(x),故fmax(x)=-f(4)=8
9*、设t=x+2∈[2，5]，y=f(t)=t+-2↑，ymax=f(5)=,ymin=f(2)=
2.1.3(5)函数的奇偶性
[三维目标]
一、知识与技能
1、了解图形语言说明函数奇偶性的直观意义
2、理解函数奇偶性的符号语言意义
3、掌握判断函数奇偶性的一般方法及初步应用
二、过程与方法
通过图形语言与符号语言的对比，说明函数奇偶性的定义，推断出判断函数奇偶性的一般方法
三、情感态度与价值观
　通过本节学习，使学生体会事物是在一定基础上发展的思维方法
[重点与难点] 奇偶性的判断方法及应用
[过程]
　　一、日常生活中有许多的对称：⑴水中的倒影；⑵扣子；⑶盛开的花朵......
　　二、已经学过的几个函数
　　对应作出四个函数的图象，完成表格形式
图象举例
图象对称特征
名称
符号表示
y=x2的图象
关于y 轴对称
偶函数
定义域内任意x,f(-x)=f(x)=f(|x|)
y=x
与y=的图象
关于原点
奇函数
定义域内任意x ,f(-x)=-f(x)
这样判断函数奇偶性的一般方法有
思考：函数具有奇偶性的前提条件是什么？（定义域关于原点对称）
练习、教材P40-----3，4
强调对任意定义域内x，才具有奇偶性
例1、判断下列函数的奇偶性
⑴f(x)=
解：⑴函数的定义域为{x|x≥1或x≤-1}关于原点对称，f(-x)===f(x),f(x)为偶函数
⑵函数定义域为{x|x≥1}不关于原点对称，它是非奇非偶函数
⑶函数的定义域为{1，-1}关于原点对称，f(x)=0=f(-x)=-f(x)为 既奇又偶函数
⑷函数的定义域为R,关于原点对称。这样，x为无理数时，-x也是无理数，D(-x)=0=D(x)；x为有理数时，-x也是有理数，D(-x)=1=D(x)。总之，对任意实数x,D(-x)=D(x),故D(x)为偶函数
说明：判断函数奇偶性的方法从图象法和定义法中选择一个即可，用定义法时，一般步骤是：求出（定义域）--指出（定义域是否关于原点对称）--算出（f(x)与f(-x)的关系）--断出（函数的奇偶性）
思考：一个函数既是奇函数又是偶函数，这样的函数解析式是什么？有多少个？（f(x)=0,但由于任意关于原点对称的区间都可以作为其定义域，所以有无穷多个）
例2、f(x)=x5+ax3+bx-8,若f(-2)=10,求f(2)的值
解：f(x)+8=x5+ax3+bx设为g(x)是奇函数，g(-2)=-g(2),f(-2)+8=-[f(2)+8],10+8=-f(2)-8,
f(2)=-26
练习：y=f(x)是A上的奇函数，如果0∈A,求f(0)的值
例3、f(x)是定义在R上的奇函数，在(0,+∞)上单调增，判断f(x)在(-∞,0)上的单调性并证明
解：单调增；
证明：对任意x1,x2∈(-∞,0)，x1-x2>0
∵f(x)在(0,+∞)上单调增∴f(-x1)>f(-x2)又∵f(x)是定义在R上的奇函数
∴-f(x1)>-f(x2),f(x1)<f(x2)∴f(x)↑
三、总结：本节主要学习了：
1、函数奇偶性的概念：对定义域内任意x，f(-x)=±f(x)，正为偶函数，负为奇函数
2、函数奇偶性的判断方法有，注意判断函数奇偶性的前提是定义域必须关于原点对称。步骤是：求出--指出--算出--断出。
四、作业：1、教材P43-----5、6、8
2、补充作业
1、奇函数y=f(x)(x∈R)的图象必过(
)点
A,(a,f(-a))
B,(-a,f(a))
C,(-a,-f(a))
2、函数y=x3+bx2+c是(2a-1,a)上的奇函数，则实数a、b、c的值为____、___、___
3、设f(x)为奇函数，且在(-∞,0)上是减函数，f(-2)=0,则xf(x)<0的解集为______________
4、函数y=f(x) 是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是_______
①y=f(|x|);
②y=f(-x);
③y=xf(x);
④y=f(x)+x
5、函数y=f(x+2)是偶函数，则y=f(x)的对称轴方程为（
6、定义在R上的函数f(x)对定义域内任意x、y,有f(x+y)=f(x)+f(y)⑴求f(0);⑵判断f(x)的奇偶性
7、判断下列函数的奇偶性⑴f(x)=
⑵f(x)=
(3) f(x)=(x+1)
8*判断函数f(x)=的奇偶性
[参考答案]1、C；2、解答：a=1/3,b=c=0；3、{x|x2}（作图象）；4、②④
5、B；6、解⑴f(x+0)=f(x)+f(0)
所以f(0)=0；⑵f[x+(-x)]=f(x)+f(-x),即f(0)=f(x)+f(-x),∴f(-x)=f(0)-f(x)=-f(x),f(x)为奇函数；当f(x)=0时，它既是奇函数又是偶函数。
7、⑴函数的定义域为,所以f(x)=,f(-x)=-f(x)是奇函数
⑵作出函数的图象，它关于原点对称，故f(x)为奇函数
(3)定义域为{x|-1≤x<1}不关于原点对称，为非奇非偶函数
8*定义域为R,f(x)=0时，既是奇函数，又是偶函数；f(x)不恒为0时，为奇函数。
2.1.3(6)函数的奇偶性和单调性
[三维目标]
一、知识与技能
1、进一步熟悉函数的单调性与奇偶性的一般判断方法
2、会用性质转化求函数的解析式
3、会根据函数的单调性和奇偶性的性质解有关的不等式
二、过程与方法
　通过例题，说明一些主要该记忆的结论，并阐述或复习一下解题的一般方法
三、情感态度和价值观
通过例子，使结论与方法并重。体验结论与方法相联系的观点。
[重点]结论
[难点]解题方法
[过程]
一、复习：1、判断函数单调性的一般方法是什么？
（图象观察、解析式观察、定义验证）
2、判断函数奇偶性的一般方法是什么？
问题：如何应用？引入主题
　　3、练习：已知函数f(x)为R上的奇函数，则下列哪个正确（
）①f(0)=0；②f(x)在上有最小值-1，则在上有最大值1；③f(x)在上单调增，则在上单调减（①②）
二、典型例题
例1、已知奇函数f(x),在x>0时，f(x)=x2+x+1,求f(x)的解析式
解： f(x)为奇函数，f(-0)=-f(0),f(0)=0；x0,f(-x)=(-x)2-x+1=x2-x+1,因f(-x)=-f(x)故f(x)=-x2+x-1
说明1：已知奇偶性及部分区间上函数的解析式，一般用相关点法求函数另一部分区间上的解析式。
练习1：f(x)为R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=x2-2x,求f(x)解析式（f(x)=）
练习2：f(x)为定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数，且在. (0,+∞)上单调增，f(-2)=0,解关于x的不等式xf(x)<0
(作大致图象(-2,0)∪(0,2))
例2、已知定义在(-2,2)上的偶函数f(x)，当x≥0时是减函数，且f(1-a)<f(a),求实数a的取值范围已知函数
解：f(|1-a|)|1-a|>|a|>-2,-1<a<
说明：无论函数的单调性还是奇偶性，都不能跑出定义域之外。
练习1：已知定义在(-2,2)上的偶函数f(x)，当x≥0时是减函数,比较f(-)与f(a2-a+1)的大小（f(-)≥f(a2-a+1)）
　　练习2：偶函数f(x)在[0，π]上单调增，则f()、f(-3)、f(-)从小到大排列是__________（f()<f(-)<f(-3)）
例3、函数f(x)定义在R上，且对一切x,y,有f(x+y)=f(x)+f(y),判断f(x)的奇偶性
解：首先令x=y=0可以得到f(0)=0,令y=-x得f(0)=f(x)+f(-x),故f(-x)=-f(x),f(x)为奇函数；当f(x)=0时，它同时也是偶函数
总之，f(x)=0时，f(x)为既奇又偶的函数；f(x)不恒为0时，是奇函数
三、总结：今天主要要记住几个结论：
1、一个奇函数在原点有定义，则f(0)=0。
2、函数f(x)=x+（k>0）的性质
四、作业：教材P43----9
[补充习题]
1、f(x)是定义在实数集上的偶函数，且在上单调减，则f(-)、f(a2+1)、f(a2+4)从小到大的顺序是_________________
2、若f(x)是定义在实数集上的偶函数，且在x≥0时单调增，则使f(π)<f(a)成立的实数a的范围是___________________
3、f(x)、g(x)分别为偶函数、奇函数，且f(x)+g(x)=,则f(x)与g(x)的解析式为___________________、__________________
4、定义在区间（－，＋）的奇函数f（x），f（x＋2）＝－f（x），当0≤x≤1时，f（x）＝x，则f（7.5）等于___________
5、已知f(x)为定义在实数集上的奇函数，若h(x)=af(x)+bg(x)+2,且h(-2)=25,则h(2)=____________
6、设f(x)为R上奇函数，当x>0时，f(x)=+1,求f(x)的解析式
7、已知定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在[0,2]上单调减，且f(1-a)-f(1-a2)<0,求实数a的范围
8*（选作）设为实数，函数，
（1）讨论的奇偶性；（2）求的最小值
[参考答案]
1、f(a2+4)<f(a2+1)< f(-)
3、f(x)=-,g(x)=
7、解：f(1-a)=f(|1-a|)<f(1-a2)|1-a2|≥0，-1≤a<0
8*（I）当时，函数
此时，为偶函数
当时，，，
，
此时既不是奇函数，也不是偶函数
（II）（i）当时，
当，则函数在上单调递减，从而函数在上的最小值为．
若，则函数在上的最小值为，且．
（ii）当时，函数
若，则函数在上的最小值为，且
若，则函数在上单调递增，从而函数在上的最小值为．
综上，当时，函数的最小值为
　　　当时，函数的最小值为
　　　当时，函数的最小值为．
2.1.4映射
[三维目标]
一、知识与技能
（1）了解映射的概念及表示方法
（2）了解象与原象的概念，会判断一些简单的对应是否是映射，会求象或原象.
（3）理解映射与函数的关系
二、过程与方法
　　通过对现实生活中映射事例的探究过程，感知数学方法研究现实问题的建模技巧
　　三、情感态度与价值观
　　通过数学活动，感受数学知识与现实世界的联系，培养学生辨证唯物主义的观点
[教学重点]：映射的概念
[教学难点]：映射的概念
[授课类型]：新授课
[教学过程：]
一、复习引入：
在初中我们已学过一些对应的例子：（学生思考、讨论、回答）
①看电影时，电影票与座位之间存在者对应的关系
②对任意实数a，数轴上都有唯一的一点A与此相对应
③{某班级的学生}到{某次考试的成绩}
④高一（2）班的每一个学生与学号一一对应
　　问题：上述对应所涉及的两个集合之间有什么共同的对应关系？
答：是单值对应，我们将这样的单值对应称映射。（标题）
二、讲解新课：
　　如何给映射下定义呢？（回忆函数的定义，说出映射的定义）
　　设A，B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射
记作：
说明：一个A到B的映射
①集合A 中的元素具有任意性，集合A中元素对应完，集合B中的元素未必对应完
②集合B中的元素具有对应的惟一性
③有A到B的方向性
三、练习与例题例题
练习：教材P42----1,2,3,4
思考：映射与函数有什么不同？
答：映射是函数的推广，函数是特殊的映射（函数是卡在两个非空数集上的映射）
例1 已知集合={1，2，3，m},B={4,7,n4,n2+3n},m,n∈N,f是A到B的一个映射，x→3x+1,求m,n的值
解：在f作用下，1→4，2→7，3→10，故n4=10或n2+3n=10
n4=10时，nN,舍去；n2+3n=10时，n=2或n=-5,取n=2此时B={4,7,16,10},3m+1=16,m=5
总之，m=5,n=2
例2、A={1,2,3},B={a,b}，从集合A到集合B共可建立多少个映射？
解：A中的元素1可以对应到a,也可以对应到B，有两种对应方法；2,3同样也有两种对应方法。共有2×2×2=8中对应，有8个映射
思考：集合A有n个元素，B有m个元素，从A到B的映射可建立多少个？（答：mn）
练习1：一般的集合A有m个元素，集合B有n个元素，则从A到B可以建立多少个映射？（nm）
练习2：集合A={-2,0,1},B={1,2,3},f为A到B的映射，满足对x∈A,x+f(x)是奇数，这样的映射有多少个？（4个）
四、总结及作业
　　主要内容是映射的定义：设A，B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射
函数是映射的特殊情况，映射是函数的推广
　作业：
　　1，给定集合P={x|0≤x≤2}, Q={y|0≤y≤4}，下列从P到Q的对应关系f中，不是映射的为（
）
A.f:x→y=2x
B.f:x→y=x2
C.f:x→y=x
D.f:x→y=2x
　　2.下列从A到B的对应法则f是映射的为（
）
A.A=R，B=R+，f:取绝对值
B.A=R，B=R+，f:开平方
C.A=R+，B=R，f:取倒数
D.A=Q,B={偶数}，f:乘2
　　3.设f：A→B是A到B的映射，则下列命题中真命题的个数有（
）
　　①A中不同元素可以有惟一的象
②B为A中元素象的集合
③A中每一元素在B中必有象
④B中不同元素在A中若有原象，则原象必不相同
A.1
4.设A=Z，B={x|x=2n+1，n∈Z}，C=R，且A到B的映射是x→2x+1，从B到C的映射是y→，则经过两次映射A中的元素1在C中对应的元素为_________.
5、已知下列对应：①A=N*,B={0,1,2,3,4},f:除以5得出得余数；②A=R,B={y|y≥0}，f:x→y=4-x2;③A={x|x≥0}，B={y|y≥0}，f:x→y=;其中构成映射的序号是_________________
6、计算机常用的十六进制是逢16进1的十六进制采用数字0~9和字母A~F共16个记数符号，这些符号与十进制的对应关系如下表：
十六进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
十进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
例如，用十六进制表示：E+D=1B，求A×B
　7，已知A=N+，B={，...}，f是从集合A到集合B的映射，且f：x→y=(x∈A，y∈B)，求：A中有无元素在f作用下对应于，有求出，无说明理由
　8*（选作）集合M={-2,0,1},N={1,2,3},映射f:M→N,使对M内任意x,有x+f(x)+xf(x)是奇数。这样的映射有多少个？
[答案]
1、C；2、C；3、C；4，；5,①③；6，6E
7，原象为50
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