求二重积分ey2分

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新程高等数学1-5模拟卷 附答案
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计算二重积分,∫∫(x+y)dxdy,其中D为x^2+y^2≤x+y
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这题的积分区域---圆域的圆心为(1/2,1/2),半径为(√2)/2因为圆心非原点,所以无论用直角坐标还是极坐标,上下限都不好确定.所以应想到把圆域平移到原点处,即用坐标变换.但二重积分的坐标变换涉及到雅克比公式,一般来说比较麻烦,而此题只是平移,不涉及旋转,变形之类得,所以可省去雅克比的过程.令x=(1/2)+u,y=(1/2)+v,则积分圆域变为以(0,0)为圆心,以(√2)/2为半径.而原积分=∫∫(1+u+z)dudv因为,变换后的积分区域关于u轴和v轴都对称,且被积函数1+u+z关于u和v分别为奇函数所以,∫∫ududv=∫∫vdudv=0 故∫∫(1+u+z)dudv=∫∫dudv=变换后圆域面积=π/2(但注意,平移的时候能像这样代入,因为雅克比行列式等于1,其他变换还要乘以雅克比行列式.)
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问答题计算二重积分,其中D由摆线的一拱(0≤t≤2π)与x轴围成.
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上式右端交换积分次序得
故原式=0.
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计算下列二重积分
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第二节& 二重积分的计算法
教学目的:熟练掌握二重积分的计算方法
教学重点:利用直角坐标和极坐标计算二重积分
教学难点:化二重积分为二次积分的定限问题
教学内容:
利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的.
一、利用直角坐标计算二重积分
我们用几何观点来讨论二重积分&&&X—型
&&&&&&&&&&&&&
极坐标系下&&
作业 教材161 习题2(I)(2)(3)3(1)(3)4(2)(4)

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