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本章节纯计算，所以大家要坚持每日练，养好计算习惯。分式的化简求值、解分式方程，中考中会有一题单独考察，分值在10分左右，还是非常重要的。本章测试每位学生成绩，应该保证在90+为好。
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初二数学解方程练习题
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初二数学解方程练习题
1.在下列方程中，关于x的分式方程的个数有 122xa1x2?9?6; ?1;⑤①x?x?4?0②.? ③.?4;④.ax23x?2x?3
⑥x?1x?1??2. aa
A.2个 B.3个 C.4个
m?1，下列说法正确的是 x?5
A．方程的解是x?m?B．m??5时，方程的解是正数
C．m??5时，方程的解为负数
D．无法确定
153??3.方程的根是 1?x2x?11?x
B.x=-1C.x=
?0,那么的值是 xxx2. 关于x的分式方程
5.下列分式方程去分母后所得结果正确的是 1x?2??1 去分母得，x?1??1； x?1x?1
x5??1，去分母得，x?5?2x?5； B.2x?55?2x
x?2x?2x2?2?C.，去分母得，?x?2?x； x?2x?4x?2
21?, 去分母得，2?x?3； D.x?3x?1A.
6. .赵强同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完.当他读了一半书时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完.他读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读x页，则下面所列方程中，正确的是 xx?21
140140?C.=1xx?21
m?1?7.若关于x的方程x?1A.80280? =1xx?211010?D. =1 xx?21B.x?0，有增根，则m的值是 x?1
A. B. C.1D.-1
8.若方程AB2x?1??,那么A、B的值为 x?3x?4
A.2，1B.1， C.1，1
aa?b?1,b?0,那么? ba?b
1x?111A.1-
D.x? xx?1xx?1
432?210.使分式2与2的值相等的x等于 x?4x?x?6x?5x?69.如果x?
A.-4B.- C.1 D.10
二、填空题
11. 满足方程：12?的x的值是________. x?1x?2
12. 当x=________时，分式11?x的值等于.5?x
x2?2x?0的增根是 . 13.分式方程x?2
14. 一汽车从甲地开往乙地，每小时行驶v1千米，t小时可到达，如果每小时多行驶v2千米，那么可提前到达________小时.
15. 农机厂职工到距工厂15千米的某地检修农机，一部分人骑自行车先走40分钟后，其余人乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车速度为自行车速度的3倍，若设自行车的速度为x千米/时，则所列方程为
16.已知?,则2?2y5x?y
17.a?x的方程x?12a?3?的解为零. x?2a?5
18.飞机从A到B的速度是v1,，返回的速度是v2，往返一次的平均速度是19.当m?时，关于x的方程m21??有增根. x2?9x?3x?3
20. 某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400m的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务．求原计划每小时修路的长度．若设原计划每小时修路x m，则根据题意可得方程.
三、解答题
21. .解下列方程
14?xx14x?3x?1?2????1?2
x= －1；方程两边同乘，得x-=1，
化简，得2x=-3，x= ?2经检验，x=?是原方程的根．3
22.6天，24.解；x?5
1．分式方程252?的解是________． =3的解是________；分式方程x3x?1x
2．已知公式PP1?2，用P1、P2、V2表示V1=________． V2V1
3．已知y=4mx，则x=________．n?x
4．一项工程，甲单独做需m小时完成，若与乙合作20小时可以完成，则乙单独完成需要的时间是
A．20m20mm?20m?20小时
B．小时 C．小时
D．小时 m?20m?2020m20m
5．我市要筑一水坝，需要规定日期内完成，如果由甲队去做，?恰能如期完成，如果由乙队去做，需超过规定日期三天，现由甲、乙两队合做2天后，?余下的工程由乙队独自做，恰好在规定日期内完成，求规定的日期x，下面所列方程错误的是
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初二数学下册方程的练习题
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一元二次方程的解法 一、知识要点： 一元二次方程和一元一次方程都是整式方程,它是初中数学的一个重点内容,也是今后学习数学的基 础,应引起同学们的重视. 一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0, (a≠0),它是只含一个未知数,并且未知数的最高次数是2 的整式方程. 解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程.一元二次方程有四种解 法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法. 二、方法、例题精讲： 1、直接开平方法： 直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法.用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的 方程,其解为x=m± . 例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11 分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做,（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2,右边=11>0,所以 此方程也可用直接开平方法解. （1）(3x+1)2=7× ∴(3x+1)2=5 ∴3x+1=±(注意不要丢解) ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= （2） 9x2-24x+16=11 ∴(3x-4)2=11 ∴3x-4=± ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= 2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c 将二次项系数化为1：x2+x=- 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2 方程左边成为一个完全平方式：(x+ )2= 当b2-4ac≥0时,x+ =± ∴x=(这就是求根公式) 例2．用配方法解方程 3x2-4x-2=0 将常数项移到方程右边 3x2-4x=2 将二次项系数化为1：x2-x= 方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+( )2= +( )2 配方：(x-)2= 直接开平方得：x-=± ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= . 3．公式法：把一元二次方程化成一般形式,然后计算判别式△=b2-4ac的值,当b2-4ac≥0时,把各项 系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根. 例3．用公式法解方程 2x2-8x=-5 将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0 ∴a=2, b=-8, c=5 b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0 ∴x= = = ∴原方程的解为x1=,x2= . 4．因式分解法：把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让 两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个 根.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 例4．用因式分解法解下列方程： (1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0 (3) 6x2+5x-50=0 (选学） (4)x2-2( + )x+4=0 （选学） (1)(x+3)(x-6)=-8 化简整理得 x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式,右边为零) (x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式) ∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程) ∴x1=5,x2=-2是原方程的解. (2)2x2+3x=0 x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式) ∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程) ∴x1=0,x2=-是原方程的解. 注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解,应记住一元二次方程有两个解. (3)6x2+5x-50=0 (2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错) ∴2x-5=0或3x+10=0 ∴x1=, x2=- 是原方程的解. (4)x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 &#8226;2 ,∴此题可用因式分解法） (x-2)(x-2 )=0 ∴x1=2 ,x2=2是原方程的解. 小结： 一般解一元二次方程,最常用的方法还是因式分解法,在应用因式分解法时,一般要先将方程写成一般 形式,同时应使二次项系数化为正数. 直接开平方法是最基本的方法. 公式法和配方法是最重要的方法.公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法）,在使用公式 法时,一定要把原方程化成一般形式,以便确定系数,而且在用公式前应先计算判别式的值,以便判断方程 是否有解. 配方法是推导公式的工具,掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法 解一元二次方程.但是,配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用,是初中要求掌握的三种重要的数学方 法之一,一定要掌握好.（三种重要的数学方法：换元法,配方法,待定系数法）. 例5．用适当的方法解下列方程.(选学） （1）4(x+2)2-9(x-3)2=0 （2）x2+(2-)x+ -3=0 （3） x2-2 x=- （4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0 分析：（1）首先应观察题目有无特点,不要盲目地先做乘法运算.观察后发现,方程左边可用平方差 公式分解因式,化成两个一次因式的乘积. （2）可用十字相乘法将方程左边因式分解. （3）化成一般形式后利用公式法解. （4）把方程变形为 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0,然后可利用十字相乘法因式分解. （1）4(x+2)2-9(x-3)2=0 [2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0 (5x-5)(-x+13)=0 5x-5=0或-x+13=0 ∴x1=1,x2=13 （2） x2+(2- )x+ -3=0 [x-(-3)](x-1)=0 x-(-3)=0或x-1=0 ∴x1=-3,x2=1 （3）x2-2 x=- x2-2 x+ =0 (先化成一般形式) △=(-2 )2-4 ×=12-8=4>0 ∴x= ∴x1=,x2= （4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0 [2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0 2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0 ∴x1= ,x2= 例6．求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根. (选学） 分析：此方程如果先做乘方,乘法,合并同类项化成一般形式后再做将会比较繁琐,仔细观察题目,我 们发现如果把x+1和x-4分别看作一个整体,则方程左边可用十字相乘法分解因式（实际上是运用换元的方 法） [3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0 即 (5x-5)(2x-3)=0 ∴5(x-1)(2x-3)=0 (x-1)(2x-3)=0 ∴x-1=0或2x-3=0 ∴x1=1,x2=是原方程的解. 例7．用配方法解关于x的一元二次方程x2+px+q=0 x2+px+q=0可变形为 x2+px=-q (常数项移到方程右边) x2+px+( )2=-q+()2 (方程两边都加上一次项系数一半的平方) (x+)2= (配方) 当p2-4q≥0时,≥0（必须对p2-4q进行分类讨论） ∴x=- ±= ∴x1= ,x2= 当p2-4q<0时,<0此时原方程无实根. 说明：本题是含有字母系数的方程,题目中对p, q没有附加条件,因此在解题过程中应随时注意对字母 取值的要求,必要时进行分类讨论. 练习： （一）用适当的方法解下列方程： 1. 6x2-x-2=0 2. (x+5)(x-5)=3 3. x2-x=0 4. x2-4x+4=0 5. 3x2+1=2x 6. (2x+3)2+5(2x+3)-6=0 （二）解下列关于x的方程 1.x2-ax+-b2=0 2. x2-( + )ax+ a2=0 练习参考答案： （一）1.x1=- ,x2= 2.x1=2,x2=-2 3.x1=0,x2= 4.x1=x2=2 5.x1=x2= 6.（把2x+3看作一个整体,将方程左边分解因式） [(2x+3)+6][(2x+3)-1]=0 即 (2x+9)(2x+2)=0 ∴2x+9=0或2x+2=0 ∴x1=-,x2=-1是原方程的解. （二）1．x2-ax+( +b)( -b)=0 2、x2-(+ )ax+ a&#8226; a=0 [x-( +b)] [x-( -b)]=0 (x- a)(x-a)=0 ∴x-( +b)=0或x-( -b) =0 x- a=0或x-a=0 ∴x1= +b,x2= -b是 ∴x1= a,x2=a是 原方程的解. 原方程的解. 测试 选择题 1．方程x(x-5)=5(x-5)的根是（ ） A、x=5 B、x=-5 C、x1=x2=5 D、x1=x2=-5 2．多项式a2+4a-10的值等于11,则a的值为（ ）. A、3或7 B、-3或7 C、3或-7 D、-3或-7 3．若一元二次方程ax2+bx+c=0中的二次项系数,一次项系数和常数项之和等于零,那么方程必有一个 根是（ ）. A、0 B、1 C、-1 D、±1 4． 一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根是零的条件为（ ）. A、b≠0且c=0 B、b=0且c≠0 C、b=0且c=0 D、c=0 5． 方程x2-3x=10的两个根是（ ）. A、-2,5 B、2,-5 C、2,5 D、-2,-5 6． 方程x2-3x+3=0的解是（ ）. A、 B、 C、 D、无实根 7． 方程2x2-0.15=0的解是（ ）. A、x= B、x=- C、x1=0.27, x2=-0.27 D、x1=, x2=- 8． 方程x2-x-4=0左边配成一个完全平方式后,所得的方程是（ ）. A、(x-)2= B、(x- )2=- C、(x- )2= D、以上答案都不对 9． 已知一元二次方程x2-2x-m=0,用配方法解该方程配方后的方程是（ ）. A、(x-1)2=m2+1 B、(x-1)2=m-1 C、(x-1)2=1-m D、(x-1)2=m+1 答案与解析 答案：1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D 7.D 8.C 9.D 解析： 1．分析：移项得：(x-5)2=0,则x1=x2=5, 注意：方程两边不要轻易除以一个整式,另外一元二次方程有实数根,一定是两个. 2．分析：依题意得：a2+4a-10=11, 解得 a=3或a=-7. 3．分析：依题意：有a+b+c=0, 方程左侧为a+b+c, 且具仅有x=1时, ax2+bx+c=a+b+c,意味着当x=1 时,方程成立,则必有根为x=1. 4．分析：一元二次方程 ax2+bx+c=0若有一个根为零, 则ax2+bx+c必存在因式x,则有且仅有c=0时,存在公因式x,所以 c=0. 另外,还可以将x=0代入,得c=0,更简单! 5．分析：原方程变为 x2-3x-10=0, 则(x-5)(x+2)=0 x-5=0 或x+2=0 x1=5, x2=-2. 6．分析：Δ=9-4×3=-3<0,则原方程无实根. 7．分析：2x2=0.15 x2= x=± 注意根式的化简,并注意直接开平方时,不要丢根. 8．分析：两边乘以3得：x2-3x-12=0,然后按照一次项系数配方,x2-3x+(-)2=12+(- )2, 整理为：(x-)2= 方程可以利用等式性质变形,并且 x2-bx配方时,配方项为一次项系数-b的一半的平方. 9．分析：x2-2x=m, 则 x2-2x+1=m+1 则(x-1)2=m+1. 中考解析 考题评析 1．（甘肃省）方程的根是（ ） （A） （B） （C） 或 （D） 或 评析：因一元二次方程有两个根,所以用排除法,排除A、B选项,再用验证法在C、D选项中选出正确 选项.也可以用因式分解的方法解此方程求出结果对照选项也可以.选项A、B是只考虑了一方面忘记了一元 二次方程是两个根,所以是错误的,而选项D中x=－1,不能使方程左右相等,所以也是错误的.正确选项为 C. 另外常有同学在方程的两边同时除以一个整式,使得方程丢根,这种错误要避免. 2．（吉林省）一元二次方程的根是__________. 评析：思路,根据方程的特点运用因式分解法,或公式法求解即可. 3．（辽宁省）方程的根为（ ） （A）0 （B）–1 （C）0,–1 （D）0,1 评析：思路：因方程为一元二次方程,所以有两个实根,用排除法和验证法可选出正确选项为C,而A、 B两选项只有一个根.D选项一个数不是方程的根.另外可以用直接求方程根的方法. 4．（河南省）已知x的二次方程的一个根是–2,那么k=__________. 评析：k=4.将x=-2代入到原方程中去,构造成关于k的一元二次方程,然后求解. 5．（西安市）用直接开平方法解方程(x-3)2=8得方程的根为（ ） （A）x=3+2 （B）x=3-2 （C）x1=3+2 ,x2=3-2 （D）x1=3+2,x2=3-2 评析：用解方程的方法直接求解即可,也可不计算,利用一元二次方程有解,则必有两解及8的平方 根,即可选出答案. 课外拓展 一元二次方程 一元二次方程（quadratic equation of one variable）是指含有一个未知数且未知数的最高次项是二 次的整式方程. 一般形式为 ax2+bx+c=0, (a≠0) 在公元前两千年左右,一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中：求出一个数使它与它 的倒数之和等于 一个已给数,即求出这样的x与,使 x=1, x+ =b, x2-bx+1=0, 他们做出( )2；再做出 ,然后得出+ 及 - .可见巴比伦人已知道一元二次 方程的求根公式.但他们当时并不接受 负数,所以负根是略而不提的. 埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程,例如：ax2=b. 在公元前4、5世纪时,我国已掌握了一元二次方程的求根公式. 希腊的丢番图（246-330）却只取二次方程的一个正根,即使遇到两个都是正根的情况,他亦只取其中 之一. 公元628年,从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中,得到二次方程x2+px+q=0的一个求根公 式. 在阿拉伯阿尔．花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法,解出了一次、二次方程,其中涉及到六种 不同的形式,令 a、b、c为正数,如ax2=bx、ax2=c、 ax2+c=bx、ax2+bx=c、ax2=bx+c 等.把二次方程分成 不同形式作讨论,是依照丢番图的做法.阿尔．花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外,还第一 次 给出二次方程的一般解法,承认方程有两个根,并有无理根存在,但却未有虚根的认识.十六世纪意大利的 数学家们为了解三次方程而开始应用复数根. 韦达（）除已知一元方程在复数范围内恒有解外,还给出根与系数的关系. 我国《九章算术．勾股》章中的第二十题是通过求相当于 x2+34x-71000=0的正根而解决的.我国数学 家还在方程的研究中应用了内插法
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