9月6日数学三角函数卷子7、若将函数f(X)=sin(2x+π/4)的图像向右平移Φ个单位,所得图像关于y轴对称,
问题描述：
9月6日数学三角函数卷子7、若将函数f(X)=sin(2x+π/4)的图像向右平移Φ个单位,所得图像关于y轴对称,7、若将函数f(X)=sin(2x+π/4)的图像向右平移Φ个单位,所得图像关于y轴对称,则φ的最小正值是?我的疑问是解法中的这个怎么来的?不懂.解法附下：
问题解答：
你画个图就知道了.正弦函数要关于Y轴对称,那它就必须平移kπ+π／2 单位才行所以π／4-2Ф=kπ+π／2 再问： 你好！就算正弦函数要关于Y轴对称，但为什么它就必须平移kπ+π／2 单位才行？π／4-2Ф=kπ+π／2，这两个相等不能说明要平移噻 再答： 因为正弦函数只要平移π／2 单位（不论左移或者右移），那它一定关于Y轴对称!你画图就知道了！反过来说也一样。这时再把图像移动kπ，它还是关于y轴对称！综合起来，正弦函数要关于Y轴对称，那它就必须平移kπ+π／2 单位！你必须画图才能理解，不然你永远无法弄明白，只有死记结论
我来回答：
剩余:2000字
因为是偶函数,所以f(x)-f(-x)=0sin(ωx+φ)-sin(-ωx+φ)=2cosφsinwx=0(差化积)因为x是任意的,要恒成立,所以φ=π/2所以f(x)=coswx根据在区间[0,π/2]上是单调函数,判断π/w>=π/2,所以w=
解题思路： 你对直线与射线的交点的讨论不正确， a的条件不是a≥1/4． 当0解题过程： 解析：由 ， 即 ， 只有当时，才能得到 ， 欲使 ，　需且只需 ， 也就是说，直线y＝ax与射线有交点的条件是 ． 　【你说的“”是错误的 】 正解（结合你已经计算的结果）： 直线y＝ax与射线（x≤1）平行时，，为图中的直线O
解题思路： 答案没错！　你的理解也没错，但不深入！ 有了不等式组中的第三个不等式，二者的结果就是等价的.解题过程： 解析：答案没错！　你的理解也没错，但不深入！ 你的理解是： 如果对称轴a/2恰好等于1， 再来判别式△≥0的话，对称轴1所对的函数值就会≤0，与题目要求的“恒大于0”矛盾了。从你这个理解的角度来说，对称轴
解题思路： 利用导数判断单调性，确定极值，确定函数值符号，检验不等式成立与否．解题过程： 　问号处完全没有理由． 解：由（II）当时，函数f(x)在上是增函数， 故　f(x)在上的最大值为， 欲使 存在，使得不等式成立， 需且只需 ， 即 ， 记 ，1＜a＜2， 则 ， ① 若m＝0，则 ， ∴ g(x)是减函数，从而
解题思路： 法向量法，几乎完全正确，　一个“马虎”导致了后面运算结论的错误！解题过程： 我打对号之前的部分漏掉了一个“y”，也算是你全题的“唯一”错误——致命的错误！， 后边部分（方框内），修改前面的错误，重新计算，可得 z＝2， 进而 y＝4， 结论：点M存在，位置是：线段ED的两个三等分点中靠近点D的一个．
一元二次方程的两个根嘛,有公式的.不是有9分那行（第三行）中为例么? 再问： 可是9分那行，x1+x2=[8(2k-3)k]/(3+4k^2)，这个是等于这个呀：=（16k^2-24k)/(3+4k^2)，这里分子中的24k怎么变成12了？ 再答： 后面是同理呀！9分上面那行是一组方程；9分下是同理，是将斜率为-K时的
解题思路： 数形结合。主要用到的是：垂径定理、勾股定理、基本不等式、直角三角形、正切.解题过程： 13、（原创）已知圆C：(x-2)2+y2=2与直线y=kx相交于A，B两点，则△ABC面积最大时，k=？ 解：圆心C(2, 0)，半径r＝， 设AB的中点为D，则OD⊥AB，＝2， 而 △ABC的面积为 ， 由基本不等式
f(x)=sin(wx-兀／6)-2cos^2/w/2+1=f(x)=sin(wx-兀／6)-（2cos^2/w/2-1）=sinwxcos兀／6-coswxsin兀／6-coswx=√3sinwx-(1/2coswx)-coswx=√3/2sinwx-(3/2coswx)=√3sin(wx-兀／6)所以你可以画一下草
已知B=C,则b=c已知a=(√3/2)b所以由余弦定理得到：cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)=[(3/4)b²+b²-b²]/[2*(√3/2)b*b]=√3/4因为a=(√3/2)b,则a＞b=c那么,B为锐角由(1)知cosB=√3/4所以,s
移动后成为偶函数,y=cos(x+4π/3-φ)本身是偶函数,由cos（x）=-cos（x+π）得y=cos(x+π/3-φ)为偶函数由偶函数定义得：cos(x+π/3-φ)=cos(-x+π/3-φ).易得 cos（x）=cos（x+2kπ）=cos（-x）显然无法保证x+π/3-φ=-x+π/3-φ + 2kπ,所
a=2k派+派/4（k是整数） sinx的对称轴为 2k派+派/2,把X=派/8代入原函数,得 派/4+a=2k派+派/2,得 a=a=2k派+派/4（k是整数）
(1)原式=cos(π/4)cosφ –sin(π/4)sinφ=0=cos(π/4+φ)=0π/4+φ=π/2φ=π/4(2)两对称轴之间的距离=π/3该函数的周期为T=2π/3T=2π/ω ω=3∴f(x)=sin(3x+π/4)即为所求.
有图可知函数周期为2*pai/2=pai2pai/w=pai w=2f(x)=sin(2x+φ)f(0)=-1sin(fai)=-1fai=-pai/2+2Kpai (K属于Z)φ的绝对值小于πφ=-pai/2f（x）=sin（2x-pai/2）g（x）=sin（2x-pai/2）sin（2（x-pai/4）-pai/
首先你要明白两个概念“对称中心”和“对称轴”中心对称和中心对称图形是两个不同而又紧密联系的概念．它们的区别是：中心对称是指两个全等图形之间的相互位置关系,这两个图形关于一点对称,这个点是对称中心.如果沿某条直线对折,对折的两部分是完全重合的,那么就称这样的图形为轴对称图形,这条直线叫做这个图形的对称轴.你明白以上两个概
f(x)=sinθcosx+cosθsinx+sinθcosx-cosθsinx-2sinθ=2sinθ(cosx-1)>=0恒成立因为cosx
2X+π/6={2/3pi ,5/3pi] 2asin(2x+pi/6) = [-2a ,根号3 a]-2a+2a+b =-根号3 b= —根号3根号3a+2a =根号3-1a=5根号3-8大概是这样子的 下午 09:34:05
1)f(x)=1-cos^2x+2cosx=2-(cosx-1)^2-1
这个貌似不难啊（1）：由f(x)
1.cosπ/4cosρ-sin3π/4sinρ=0即cosπ/4cosρ-sinπ/4sinρ=0√2／2cosρ-√2／2sinρ=0cosp-sinp=0cosp=sinpp=∏／4+2k∏又|ρ|＜π∕2所以p=∏／42.函数f（x）图像的相邻两条对称轴之间的距离等于π∕3.所以T=2∏／3w=2∏／2∏／3=
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关注微信公众号空间图形与证明考点 4.1 点 线 面 相交线 平行线和视图 直线、射线和线段 1、几何图形 从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。 立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。 平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。 2、点、线、面、体 （1）几何图形的组成 点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。 线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。 面：包围着体的是面，分为平面和曲面。 体：几何体也简称体。 （2）点动成线，线动成面，面动成体。 3、直线的概念 一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的。 4、射线的概念 直线上一点和它一旁的部分叫做射线。这个点叫做射线的端点。 5、线段的概念 直线上两个点和它们之间的部分叫做线段。这两个点叫做线段的端点。 6、点、直线、射线和线段的表示 在几何里，我们常用字母表示图形。 一个点可以用一个大写字母表示。 一条直线可以用一个小写字母表示。 一条射线可以用端点和射线上另一点来表示。 一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示。 注意： （1）表示点、直线、射线、线段时，都要在字母前面注明点、直线、射线、线段。 （2）直线和射线无长度，线段有长度。 （3）直线无端点，射线有一个端点，线段有两个端点。 （4）点和直线的位置关系有线面两种： ①点在直线上，或者说直线经过这个点。 ②点在直线外，或者说直线不经过这个点。 7、直线的性质 （1）直线公理：经过两个点有一条直线，并且只有一条直线。它可以简单地说成：过两点有且只有 一条直线。 （2）过一点的直线有无数条。 （3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。 （4）直线上有无穷多个点。 （5）两条不同的直线至多有一个公共点。 8、线段的性质 （1）线段公理：所有连接两点的线中，线段最短。也可简单说成：两点之间线段最短。 （2）连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离。 （3）线段的中点到两端点的距离相等。 （4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。（几何部分）- 1 -9、线段垂直平分线的性质定理及逆定理 垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 角 10、角的相关概念 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。 当角的两边在一条直线上时，组成的角叫做平角。 平角的一半叫做直角；小于直角的角叫做锐角；大于直角且小于平角的角叫做钝角。 如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角，其中一个角叫做另一个角的余角。 如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角。 11、角的表示 角可以用大写英文字母、阿拉伯数字或小写的希腊字母表示，具体的有一下四种表示方法： ①用数字表示单独的角，如∠1，∠2，∠3 等。 ②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α ，∠β ，∠γ ，∠θ 等。 ③用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如∠B，∠C 等。 ④用三个大写英文字母表示任一个角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE 等。 注意：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧。 12、角的度量 角的度量有如下规定：把一个平角 180 等分，每一份就是 1 度的角，单位是度，用“°”表示，1 度 记作“1°” ，n 度记作“n°” 。 把 1°的角 60 等分，每一份叫做 1 分的角，1 分记作“1’” 。 把 1’ 的角 60 等分，每一份叫做 1 秒的角，1 秒记作“1”” 。 1°=60’=60” 13、角的性质 （1）角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。 （2）角的大小可以度量，可以比较 （3）角可以参与运算。 15、角的平分线及其性质 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。 角的平分线有下面的性质定理： （1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 （2）到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 相交线 16、相交线中的角 两条直线相交，可以得到四个角，我们把两条直线相交所构成的四个 角中，有公共顶点但没有公共边的两个角叫做对顶角。我们把两条直线相 交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做临补角。 临补角互补，对顶角相等。 直线 AB，CD 与 EF 相交（或者说两条直线 AB，CD 被第三条直线 EF 所截） ，构成八个角。其中∠1 与∠5 这两个角分别在 AB，CD 的上方， 并且在 EF 的同侧，像这样位置相同的一对角叫做同位角；∠3 与∠5 这两个角都在 AB，CD 之间，并且 在 EF 的异侧，像这样位置的两个角叫做内错角；∠3 与∠6 在直线 AB，CD 之间，并侧在 EF 的同侧，像 这样位置的两个角叫做同旁内角。 17、垂线 两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另（几何部分）- 2 -一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 直线 AB，CD 互相垂直，记作“AB⊥CD” （或“CD⊥AB”)，读作“AB 垂直于 CD” （或“CD 垂直 于 AB” ） 。 垂线的性质： 性质 1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 性质 2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。 平行线 （3~8 分） 18、平行线的概念 在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“∥”表示，如“AB∥CD” ，读作“AB 平行于 CD” 。 同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。 注意： （1）平行线是无限延伸的，无论怎样延伸也不相交。 （2）当遇到线段、射线平行时，指的是线段、射线所在的直线平行。 19、平行线公理及其推论 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 20、平行线的判定 平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。简称：同位角 相等，两直线平行。 平行线的两条判定定理： （1）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行。简称：内错角相等，两直线 平行。 （2）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行。简称：同旁内角互补，两 直线平行。 补充平行线的判定方法： （1）平行于同一条直线的两直线平行。 （2）垂直于同一条直线的两直线平行。 （3）平行线的定义。 21、平行线的性质 （1）两直线平行，同位角相等。 （2）两直线平行，内错角相等。 （3）两直线平行，同旁内角互补。 命题、定理、证明 22、命题的概念 判断一件事情的语句，叫做命题。 理解：命题的定义包括两层含义： （1）命题必须是个完整的句子； （2）这个句子必须对某件事情做出判断。 命题的分类（按正确、错误与否分） 真命题（正确的命题） 命题 假命题（错误的命题） 所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。 所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。 公理：人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。（几何部分）- 3 -定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。 证明：判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。 证明的一般步骤： （1）根据题意，画出图形。 （2）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。 （3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。 投影与视图 23、投影 投影的定义：用光线照射物体，在地面上或墙壁上得到的影子，叫做物体的投影。 平行投影：由平行光线（如太阳光线）形成的投影称为平行投影。 中心投影：由同一点发出的光线所形成的投影称为中心投影。 24、视图 当我们从某一角度观察一个实物时，所看到的图像叫做物体的一个视图。物体的三视图特指主视图、 俯视图、左视图。 主视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图。 俯视图：在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图。 左视图：在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图，有时也叫做侧视图。 考点 4.2、三角形及全等 三角形知识结构? ? ? ? ? ?内角和定理及推论 ?概念?一般三角形性质? ?三边关系定理及边 ? ? ?角之间的关系 ? ? 三角形 ?全等三角形?全等应用 角平分线 线段中垂线 ? ? 不等边三角形 ? ? ?按边分 ? ? ?等腰三角形 等边三角形 ? ? ? 一般等腰三角形 ? ? ?分类 ? 直角三角形 ? ? ? ? ? ?按角分 ?斜三角形 钝角三角形 ? ? 锐角三角形 ? ? ? ????1、三角形的概念 由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形 的边； 相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点； 相邻两边所组成的角叫做三角形的内角， 简称三角形的角。 2、三角形中的主要线段 （1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角 平分线。 （2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。 （3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形 的高） 。 3、三角形的稳定性 三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应 用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。 4、三角形的特性与表示 三角形有下面三个特性： （1）三角形有三条线段 （2）三条线段不在同一直线上 三角形是封闭图形 （3）首尾顺次相接（几何部分）- 4 -三角形用符号“ ? ”表示，顶点是 A、B、C 的三角形记作“ ? ABC” ，读作“三角形 ABC” 。 5、三角形的分类 三角形按边的关系分类如下： 不等边三角形 三角形 底和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 等边三角形 三角形按角的关系分类如下： 直角三角形（有一个角为直角的三角形） 三角形 锐角三角形（三个角都是锐角的三角形） 斜三角形 钝角三角形（有一个角为钝角的三角形） 把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三 角形。 6、三角形的三边关系定理及推论 （1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。 推论：三角形的两边之差小于第三边。 （2）三角形三边关系定理及推论的作用： ①判断三条已知线段能否组成三角形 ②当已知两边时，可确定第三边的范围。 ③证明线段不等关系。 7、三角形的内角和定理及推论 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于 180°。 推论： ①直角三角形的两个锐角互余。 ②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。 ③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。 8、三角形的面积 三角形的面积=1 ×底×高 2全等三角形 1、全等三角形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形。 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互 相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。夹边就是三角形中相邻两角的公共边，夹角就是三角 形中有公共端点的两边所成的角。 2、全等三角形的表示和性质 全等用符号“≌”表示，读作“全等于” 。如△ABC≌△DEF，读作“三角形 ABC 全等于三角形 DEF” 。 注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 3、三角形全等的判定 三角形全等的判定定理： （1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS” ） （2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA” ） （3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS” ） 。 直角三角形全等的判定： 对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有 HL 定理（斜边、直角边定理） ：有斜边和一条直角（几何部分）- 5 -边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL” ） 4、全等变换 只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。 全等变换包括一下三种： （1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。 （2）对称变换：将图形沿某直线翻折 180°，这种变换叫做对称变换。 （3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。 考点 4.3 等腰三角形 1、等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的性质定理及推论： 定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） 推论 1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中 线、底边上的高重合。 推论 2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于 60°。 （2）等腰三角形的其他性质： ①等腰直角三角形的两个底角相等且等于 45° ②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角） ，但顶角可为钝角（或直角） 。 ③等腰三角形的三边关系：设腰长为 a，底边长为 b，则b &a 2④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°—2∠B， ∠B=∠C=180 ? ? ?A 22、等腰三角形的判定 等腰三角形的判定定理及推论： 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边） 。这个判 定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。 推论 1：三个角都相等的三角形是等边三角形 推论 2：有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形。 推论 3：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 等腰三角形的性质与判定 等腰三角形性质 中 线 等腰三角形判定 1、两边上中线相等的三角形是等腰三角形； 1、 等腰三角形底边上的中线垂直底边， 平分顶角； 2、 如果一个三角形的一边中线垂直这条边 （平 2、等腰三角形两腰上的中线相等，并且它们的交 分这个边的对角） ， 那么这个三角形是等腰 点与底边两端点距离相等。 三角形 1、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边； 2、等腰三角形两底角平分线相等，并且它们的交 点到底边两端点的距离相等。 1、如果三角形的顶角平分线垂直于这个角的 对边 （平分对边） ， 那么这个三角形是等腰 三角形； 2、三角形中两个角的平分线相等，那么这个 三角形是等腰三角形。 1、 如果一个三角形一边上的高平分这条边 （平 分这条边的对角） ， 那么这个三角形是等腰 三角形； 2、有两条高相等的三角形是等腰三角形。 等角对等边 两边相等的三角形是等腰三角形（几何部分）- 6 -角 平 分 线高 线 角 边1、等腰三角形底边上的高平分顶角、平分底边； 2、等腰三角形两腰上的高相等，并且它们的交点 和底边两端点距离相等。 等边对等角 底的一半&腰长&周长的一半4、三角形中的中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 （1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。 （2）要会区别三角形中线与中位线。 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 三角形中位线定理的作用： 位置关系：可以证明两条直线平行。 数量关系：可以证明线段的倍分关系。 常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有： 结论 1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。 结论 2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。 结论 3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。 结论 4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。 结论 5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。 注意：重要辅助线 ⑴中点配中点构成中位线;⑵加倍中线;⑶添加辅助平行线 证明方法 ⑴直接证法：综合法、分析法 ⑵间接证法—反证法：①反设②归谬③结论 ⑶证线段相等、角相等常通过证三角形全等 ⑷证线段倍分关系：加倍法、折半法 ⑸证线段和差关系：延结法、截余法 ⑹证面积关系：将面积表示出来 考点 4.4 直角三角形 1 、有一个角为 90°的三角形，叫做直角三角形。 直角三角形可用 Rt△表示，如直角三角形 ABC 写作 Rt△ABC。 直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 2 、性质 性质 1: 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 性质 2: 在直角三角形中，两个锐角互余 性质 3 ：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。（即直角三角形的外心位于斜边的 中点，外接圆半径 R ＝ C/2 ）。 性质 4: 直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。 性质 5: 射影定理 在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比 例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项 ∠ACB=90° CD 2 ? AD ? BD?CD⊥ABAC2 ? AD ? ABBC2 ? BD ? AB（４） AB ? CD=AC ? BC( 可用面积来证明） (5) 直角三角形的外接圆的半径 R=1/2BC, (6) 直角三角形的内切圆的半径 r=1/2(AB+AC-BC)( 公式一 ) ； r=AB*AC/(AB+BC+CA)( 公式二 )（几何部分）- 7 -性质 6: 在直角三角形中，如果有一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于 30°。 3 、判定方法： 判定 1 ：有一个角为 90°的三角形是直角三角形。 判定 2 ：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜 边的直角三角形。 判定 3 ： 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a，b，c 有关系 a ? b ? c ，那么这个三角形是直角三角形。2 2 2判定 4 ：若一个三角形 30°内角所对的边是某一边的一半，那么这个三角形是以这条长 边为 斜边的直角三角形。 判定 5 ：两个锐角互余的三角形是直角三角形。 判定 6 ：在直角三角形中， 60 度内角所对的直角边等于斜边的 根号 3/2 判定 7 ：在证明直角三角形全等的时候 可以利用 HL 两个三角形的斜边长对应相等 以及一个 直角边对应相等 可判断两直角三角形全等。 注意： ⑴、等腰直角三角形中，两腰为 1 的话，斜边为根号 2 。 ⑵、有一个角为 30°角的直角三角形中，短直角边为 1 的话，长直角边为根号 3 ，斜边为 2 。 ⑶、面积 ①.底高法 S=ah/2 ②.海伦公式（三边法） S=√(d(d-a)(d-b)(d-c)) 其中 d=(a+b+c)/2 ③.两边夹一角 S=a*b*sinC 再除以 2 ④.一边与三角 S=(a*a*sinB*sinC)/(2*sinA) ⑤.内切圆半径 S=(1/2)*r*C ⑥.外接圆半径则请用正弦定理 4 、角平分线 角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做 这个角的角平分线。 三角形的角平分线定义：三角形顶点到其内角的角平分线交对边的点连的一条线段，叫三角 形的角平分线。 【注意】三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。角的平分线是射线。 拓展：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等！ ( 即内心 ) 。 定理 1 ：在角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。 逆定理：在一个角的内部（包括顶点），且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线 上。 定理 2 ：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例， 5、 垂直平分线经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）（几何部分）- 8 -垂直平分线的性质 1. 垂直平分线垂直且平分其所在线段。 2. 垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。 3. 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等。 垂直平分线的逆定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个 点都在要求证的直线上才可以证明 通常来说，垂直平分线会与全等三角形来使用。 垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。 巧计方法：点到线段两端距离相等。 可以通过全等三角形证明。 考点 4.5 尺规作图 1．基本作图 定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图 (1)作一条线段等于已知线段． (2)作一个角等于已知角． (3)平分已知角． (4)经过一点作已知直线的垂线． (5)作线段的垂直平分线． 2. 作图公法 以下是尺规作图中可用的基本方法，也称为作图公法，任何尺规作图的步骤均可分解为以下五 种方法： ·通过两个已知点可作一直线。 ·已知圆心和半径可作一个圆。 ·若两已知直线相交，可求其交点。 ·若已知直线和一已知圆相交，可求其交点。 ·若两已知圆相交，可求其交点。 考点 4.6 四边形与平行四边形 四边形的相关概念 1、四边形 在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接的图形叫做四边形。 2、凸四边形 把四边形的任一边向两方延长，如果其他个边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边 形。 3、对角线 在四边形中，连接不相邻两个顶点的线段叫做四边形的对角线。 4、四边形的不稳定性 三角形的三边如果确定后，它的形状、大小就确定了，这是三角形的稳定性。但是四边形的四边确定 后，它的形状不能确定，这就是四边形所具有的不稳定性，它在生产、生活方面有着广泛的应用。 5、四边形的内角和定理及外角和定理 四边形的内角和定理：四边形的内角和等于 360°。（几何部分）- 9 -四边形的外角和定理：四边形的外角和等于 360°。 推论：多边形的内角和定理：n 边形的内角和等于 (n ? 2) ? 180°； 多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于 360°。 6、多边形的对角线条数的计算公式 设多边形的边数为 n，则多边形的对角线条数为n( n ? 3) 。 2平行四边形 1、平行四边形的概念 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 平行四边形用符号 “□ABCD” 表示， 如平行四边形 ABCD 记作 “□ABCD” ， 读作 “平行四边形 ABCD” 。 2、平行四边形的性质 （1）平行四边形的邻角互补，对角相等。 （2）平行四边形的对边平行且相等。 推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。 （3）平行四边形的对角线互相平分。 （4）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为 中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。 3、平行四边形的判定 （1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （2）定理 1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 （3）定理 2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 （4）定理 3：对角线互相平分的四边形是平行四边形 （5）定理 4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 4、两条平行线的距离 两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。 平行线间的距离处处相等。 5、平行四边形的面积 S 平行四边形=底边长×高=ah 注意： 性质 ① ② ③ ④ ① ② ③ ④ ⑤ 对边平行 对边相等 对角相等，邻角互补 对角线互相平分 两组对边分别平行的四边形 两组对边分别相等的四边形 一组对边分别平行且相等的四边形 两组对角分别相等的四边形 对角线互相平分的四边形判定考点 4.7、矩形 菱形 正方形 1、矩形的概念 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 2、矩形的性质 （1）具有平行四边形的一切性质 （2）矩形的四个角都是直角 （3）矩形的对角线相等 （4）矩形是轴对称图形（几何部分）- 10 -3、矩形的判定 （1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形 （2）定理 1：有三个角是直角的四边形是矩形 （3）定理 2：对角线相等的平行四边形是矩形 4、矩形的面积 S 矩形=长×宽=ab 菱形 1、菱形的概念 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 2、菱形的性质 （1）具有平行四边形的一切性质 （2）菱形的四条边相等 （3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 （4）菱形是轴对称图形 3、菱形的判定 （1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形 （2）定理 1：四边都相等的四边形是菱形 （3）定理 2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 4、菱形的面积 S 菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半 正方形 1、正方形的概念 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 2、正方形的性质 （1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质 （2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等 （3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角 （4）正方形是轴对称图形，有 4 条对称轴 （5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个 全等的小等腰直角三角形 （6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。 3、正方形的判定 （1）判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种： 先证它是矩形，再证有一组邻边相等。 先证它是菱形，再证有一个角是直角。 （2）判定一个四边形为正方形的一般顺序如下： 先证明它是平行四边形； 再证明它是菱形（或矩形） ； 最后证明它是矩形（或菱形） 4、正方形的面积： 设正方形边长为 a，对角线长为 b 2 注意：⑴特殊平行四边形的性质和判定 名称 矩形 菱形 正方形b2 S 正方形= a ? 22（几何部分）- 11 -① ② 性质 ③ ④对边平行且相等 ① 四个角都是直角 ② 对角线互相平分且相等 ③ 直角三角线斜边上的中线 ④ 等于斜边一半对边平行 ① 四条边都相等 ② 对角相等 ③ 对角线互相垂直平分，且平分 一组对角对边平行且四条边都相等 四个角都是直角 对角线互相垂直平分且相 等①有三个角为直角的四边形 ①四条边都相等的四边形 ①有一个角为直角的菱形 ②有一个角为直角的平行四 ②一组邻边相等的平行四边形 ②有一组邻边相等的矩形 判定 边形 ③对角线互相垂直的平行四边形 ③对角线相等的平行四边形 ⑵中点四边形 顺次连接四边形四边中点构成的四边形叫中点四边形。 任意四边形的中点四边形是平行四边形， 矩形的中点四边形是菱形 菱形的中点四边形是矩形 正方形的中点四边形是正方形 等腰梯形的中点四边形是菱形 分类表： 1．一般性质（角） ⑴ 内角和：360° ⑵ 顺次连结各边中点得平行四边形。 推论 1：顺次连结对角线相等的四边形各边中点得菱形。 推论 2：顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点得矩形。 ⑶外角和：360° 2．特殊四边形 定义→性质→判定 ⑴研究它们的一般方法: 边 角 对 角 线面 积对 称 性 轴 中 对 心 称 对 称⑵平行四边形、矩形、菱形、正方形;梯形、等腰梯形的定义、性质和判定 ⑶判定步骤：四边形→平行四边形→矩形→正方形 ┗→菱形──↑ ⑷对角线的纽带作用： 相等且互相平分 相等 互相平分 矩形 垂直四边形平行四边形相等且互相垂直 相等 菱形正方形垂直 互相垂直平分互相垂直平分且相等（几何部分）- 12 -3．对称图形 ⑴轴对称（定义及性质）;⑵中心对称（定义及性质） 4．有关定理：①平行线等分线段定理及其推论 1、2 ②三角形、梯形的中位线定理 ③平行线间的距离处处相等。 （如，找下图中面积相等的三角形） 5．重要辅助线：①常连结四边形的对角线;②梯形中常“平移一腰” 、 “平移 对角线” 、 “作高” 、 “连结顶点和对腰中点并延长与底边相交”转化为三角形。 6．作图：任意等分线段。 考点 4.8、梯形 1、梯形的相关概念 一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底。 梯形中不平行的两边叫做梯形的腰。 梯形的两底的距离叫做梯形的高。 两腰相等的梯形叫做等腰梯形。 一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。 一般地，梯形的分类如下： 一般梯形 梯形 直角梯形 特殊梯形 等腰梯形 2、梯形的判定 （1）定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。 （2）一组对边平行且不相等的四边形是梯形。 3、等腰梯形的性质 （1）等腰梯形的两腰相等，两底平行。 （3）等腰梯形的对角线相等。 （4）等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平分线。 4、等腰梯形的判定 （1）定义：两腰相等的梯形是等腰梯形 （2）定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 （3）对角线相等的梯形是等腰梯形。 5、梯形的面积 （1）如图， S 梯形ABCD ?1 (CD ? AB ) ? DE 2（2）梯形中有关图形的面积： ① S ?ABD ? S ?BAC ； ② S ?AOD ? S ?BOC ； ③ S ?ADC ? S ?BCD 6、梯形中位线定理 梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。考点 4.9、圆的相关概念和计算 知识结构（几何部分）- 13 -? 圆的定义 ?圆的概念 确定圆的条件：不在同一直线上的三点共圆 ? ?圆的性质 旋转不变性：四关系定理 圆内接四边形的性质?圆周角定理 ? 圆? 切线的判定?圆的切线和作法 ?直线和圆的位置关系 切线的性质 ?圆与圆的位置关系：圆与圆的五种位置关系及判定方法 ? ?园与正多边形的关系：圆的有关计算?扇形、弓形的弧长和面积 圆柱、圆锥的侧面展开图 ?? ??考点一圆的相关概念 1、圆的定义 在一个个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 随 之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径。 2、圆的几何表示 以点 O 为圆心的圆记作“⊙O” ，读作“圆 O” 考点二、弦、弧等与圆有关的定义 （1）弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦。 （如图中的 AB） （2）直径 经过圆心的弦叫做直径。 （如途中的 CD） 直径等于半径的 2 倍。 （3）半圆 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 （4）弧、优弧、劣弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 弧用符号“⌒”表示，以 A，B 为端点的弧记作“ ” ，读作“圆弧 AB”或“弧 AB” 。大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示） ；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示） 考点三、垂径定理及其推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 推论 1： （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 A 垂径定理及其推论可概括为： 过圆心 垂直于弦 O 直径 平分弦 知二推三 平分弦所对的优弧 E D C 平分弦所对的劣弧 考点四、圆的对称性 B 1、圆的轴对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。 2、圆的中心对称性 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 考点五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理（几何部分）- 14 -1、圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角。 2、弦心距 从圆心到弦的距离叫做弦心距。 3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 O 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦 心距相等。 A C 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦 心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 考点六、圆周角定理及其推论 1、圆周角 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 2、圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 推论 3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。CDE F DBCCBO ABB O AOA考点七、点和圆的位置关系 A 设⊙O 的半径是 r，点 P 到圆心 O 的距离为 d，则有： d r O d&r ? 点 P 在⊙O 内； B d d=r ? 点 P 在⊙O 上； C d&r ? 点 P 在⊙O 外。 考点八、过三点的圆 1、过三点的圆 不在同一直线上的三个点确定一个圆。 2、三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 3、三角形的外心 三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。 4、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件） 圆内接四边形对角互补。 考点九、反证法 先假设命题中的结论不成立，然后由此经过推理，引出矛盾，判定所做的假设不正确，从而得到原命 题成立，这种证明方法叫做反证法。 考点十、直线与圆的位置关系 直线和圆有三种位置关系，具体如下： （1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交 点； （2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，（几何部分）- 15 -（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。 如果⊙O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d,那么： 直线 l 与⊙O 相交 ? d&r； 直线 l 与⊙O 相切 ? d=r； 直线 l 与⊙O 相离 ? d&r；rdrd=rd考点十一、切线的判定和性质 1、切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 2、切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径。 考点十二、切线长定理 1、切线长 在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。 2、切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 考点十三、三角形的内切圆 1、三角形的内切圆 与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 2、三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。 考点十四、圆和圆的位置关系 1、圆和圆的位置关系 如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。 如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。 如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。 2、圆心距 d 两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。 3、圆和圆位置关系的性质与判定 r R 设两圆的半径分别为 R 和 r，圆心距为 d，那么 图1 两圆外离 ? d&R+r 两圆外切 ? d=R+r d 两圆相交 ? R-r&d&R+r（R≥r） 两圆内切 ? d=R-r（R&r） r R 两圆内含 ? d&R-r（R&r） 图2d R 图3 r图4 图5 d R d r r R（几何部分）- 16 -4、两圆相切、相交的重要性质 如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个 圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。 考点十五、正多边形和圆 1、正多边形的定义 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 2、正多边形和圆的关系 只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外 接圆。 考点十六、与正多边形有关的概念 1、正多边形的中心 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 2、正多边形的半径 正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。 3、正多边形的边心距 正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。 4、中心角 正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。 考点十七、正多边形的对称性 1、正多边形的轴对称性 正多边形都是轴对称图形。一个正 n 边形共有 n 条对称轴，每条对称轴都通过正 n 边形的中心。 2、正多边形的中心对称性 边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。 3、正多边形的画法 先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。 考点十八、弧长和扇形面积 (1)定理：正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分成 2 n 个全等的直角三角形。 *（2）公式：中心角 ? n ?3600 n1800 边长 an ? 2 R sin n边心距 Pn ? R cos1800 nO n A B3．圆周长、弧长： c ? 2? R 扇形弧长： l ?n? r 180C4．圆、扇形、弓形的面积： 扇形的面积公式： S扇形 ?n2On? r 1 ? lr 360 2AB弓形面积公式： S弓形 ? S扇形 ? S? 5、圆柱（几何部分）- 17 -1、圆柱的母线长等于圆柱的高，h r l 2πr2、圆柱的侧面展开图是一个矩形 长等于底面圆周长，宽等于母线长。 3、 S圆柱侧 ? 2? rl 4、 S圆柱表 ? 2S底 ? S侧 ? 2? r 2 ? 2? rl ? 2? r(r ? l )6．圆锥1、圆锥的侧面展开图是一个扇形，n 2πr h l圆锥的母线长等于扇形的半径， 底面圆的周长等于扇形的弧长。 2、 r ? h ? l2 2 2r3、n? l ? 2? r 1804、 S圆锥侧 ? ? rl 5、 S圆锥表 ? S底 ? S侧 ? ? r 2 ? ? rl ? ? r (r ? l )补充： （此处为大纲要求外的知识，但对开发学生智力，改善学生数学思维模式有很大帮助） 1、相交弦定理 ⊙O 中， 弦 AB 与弦 CD 相交与点 E， 则 AE ? BE=CE ? DE 2、弦切角定理 弦切角： 圆的切线与经过切点的弦所夹的角， 叫做弦切角。 弦切角定理：弦切角等于弦与切线夹的弧所对的圆周角。 即：∠BAC=∠ADC3、切割线定理 PA 为⊙O 切线，PBC 为⊙O 割线， 则 PA ? PB ? PC2考点 4.10 与圆有关的位置关系 直线和圆的位置关系 1. 直线和圆的位置关系 三种位置及判定与性质： d&R d=R d&R 直线与圆相离 直线与圆相切 直线与圆相交（几何部分）- 18 -2. 圆换圆的位置关系 五种位置关系及判定与性质：(重点：相切) d&R+r d=R+r R-r&d&R+r d=R-r d&R-r 外离 外切 相交 内切 内含3.切线的判定和性质 1、切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 2、切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径。 注意; 一、一组计算公式 1.圆周长公式 2.圆面积公式 3.扇形面积公式 4.弧长公式 5.弓形面积的计算方法 A 6.圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算 二、点的轨迹 C O 六条基本轨迹 三、有关作图 1.作三角形的外接圆、内切圆 B 2.平分已知弧 3.作已知两线段的比例中项 4.等分圆周：4、8;6、3 等分 四、重要辅助线 1.作半径 2.见弦往往作弦心距 3.见直径往往作直径上的圆周角 4.切点圆心莫忘连 5.两圆相切公切线（连心线） 6.两圆相交公共弦DP专题五图形变换考点 5.1 轴对称与中心对称 轴对称 1、定义 把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成 轴对称，该直线叫做对称轴。 2、性质 （1）关于某条直线对称的两个图形是全等形。 （2）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。 （3）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。 3、判定（几何部分）- 19 -如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。 4、轴对称图形 把一个图形沿着某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形， 这条直线就是它的对称轴。 中心对称 1、定义 把一个图形绕着某一个点旋转 180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形 叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。 2、性质 （1）关于中心对称的两个图形是全等形。 （2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 3、判定 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。 4、中心对称图形 把一个图形绕某一个点旋转 180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫 做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。 考点五、坐标系中对称点的特征 1、关于原点对称的点的特征 两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点 P（x，y）关于原点的对称点为 P’（-x，-y） 2、关于 x 轴对称的点的特征 两个点关于 x 轴对称时，它们的坐标中，x 相等，y 的符号相反，即点 P（x，y）关于 x 轴的对称点为 P’（x，-y） 3、关于 y 轴对称的点的特征 两个点关于 y 轴对称时，它们的坐标中，y 相等，x 的符号相反，即点 P（x，y）关于 y 轴的对称点为 P’（-x，y） 定 义 轴对称 中心对称把一个图形沿着某一条直线折叠，如果 把一个图形绕着某一个点旋转180°， 如果它能够与 性 它能够与另一个图形重合，那么就说这 另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点 质 两个图形关于这条直线对称，这条直线 对称，这个点叫做对称中心 叫做对称轴 ①关于某条直线对称的两个图形全等② 判 对应点连线被对称轴垂直平分 ①关于中心对称的两个图形全等 定 ③如果它们的对应线段或其延长线相 ②对称点连线都经过对称中心且被对称中心平分 交，那么交点在对称轴上如果两个图形的对应点连线被同一条直 判 如果两个图形的对应点连线都经过某一点且被这一 线垂直平分，那么这两个图形关于这条 定 点平分，那么这两个图形关于这一点对称 直线对称 轴对称图形 中心对称图形（几何部分）- 20 -考点 5.2 平移与旋转 平移 1、定义 把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图 形的这种移动叫做平移变换，简称平移。 2、性质 （1）平移不改变图形的大小和形状，但图形上的每个点都沿同一方向进行了移动 （2）连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等。 旋转 1、定义 把一个图形绕某一点 O 转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中 O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋 转角。 2、性质 （1）对应点到旋转中心的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 考点 5.3 投影与相似 投影 投影的定义：用光线照射物体，在地面上或墙壁上得到的影子，叫做物体的投影。 平行投影：由平行光线（如太阳光线）形成的投影称为平行投影。 中心投影：由同一点发出的光线所形成的投影称为中心投影。 .正投影：在平行投影中，如果投射线垂直与投射面称为正投影 正投影性质：线 段：平行长不变，倾斜长缩短，垂直成一点 平面图形：平行形不变，倾斜形改变，垂直成线段 几何体：正投影是平面图形叫视图 视图 当我们从某一角度观察一个实物时，所看到的图像叫做物体的一个视图。物体的三视图特指主视图、 俯视图、左视图。 主视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图。 俯视图：在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图。 左视图：在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图，有时也叫做侧视图。 画法规律：长对正，高平齐，宽相等 比例线段 1、比例线段的相关概念 如果选用同一长度单位量得两条线段 a， b 的长度分别为 m， n， 那么就说这两条线段的比是， a m ? b n 或写成 a：b=m：n 在两条线段的比 a：b 中，a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简 称比例线段 若四条 a，b，c，d 满足或 a：b=c：d，那么 a，b，c，d 叫做组成比例的项，线段 a，d 叫做 a c ? 比例外项，线段 b，c 叫做比例内项，线段的 d 叫做 a，b，c 的第四比例项。 b d 如果作为比例内项的是两条相同的线段，即 的比例中项。 2、比例的性质 （1）基本性质 ①a：b=c：d ? ad=bc（几何部分）- 21 -a b ? 或 a：b=b：c，那么线段 b 叫做线段 a，c b c②a：b=b：c ? b ? ac2（2）更比性质（交换比例的内项或外项）a c ? ? b da b ? （交换内项） c d d c ? （交换外项） b a d b ? （同时交换内项和外项） c a（3）反比性质（交换比的前项、后项） ：a c b d ? ? ? b d a c（4）合比性质：a c a?b c?d ? ? ? b d b d（5）等比性质：a c e m a ? c ? e ??? m a ? ? ? ? ? (b ? d ? f ? ? ? n ? 0) ? ? b d f n b ? d ? f ??? n b3、黄金分割 把线段 AB 分成两条线段 AC，BC（AC&BC） ，并且使 AC 是 AB 和 BC 的比例中项，叫做把线段 AB 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，其中 AC=5 ?1 AB ? 0.618AB 2平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 推论： （1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线） ，所得的对应线段成比例。 逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平 行于三角形的第三边。 （2）平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。 相似三角形 1、相似三角形的概念 对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符号“∽”来表示，读作“相似于” 。 相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数） 。 2、相似三角形的基本定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。（几何部分）- 22 -用数学语言表述如下： ∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC 相似三角形的等价关系： （1）反身性：对于任一△ABC，都有△ABC∽△ABC； （2）对称性：若△ABC∽△A’B’C’，则△A’B’C’∽△ABC （3）传递性：若△ABC∽△A’B’C’，并且△A’B’C’∽△A’’B’’C’’，则△ABC∽△A’’B’’C’’。 3、三角形相似的判定 （1）三角形相似的判定方法 ①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似 ②平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角 形相似 ③判定定理 1： 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等， 那么这两个三角形相似， 可简述为两角对应相等，两三角形相似。 ④判定定理 2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这 两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 ⑤判定定理 3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相 似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似 （2）直角三角形相似的判定方法 ①以上各种判定方法均适用 ②定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比 例，那么这两个直角三角形相似 ③垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。 4、相似三角形的性质 （1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例 （2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 （3）相似三角形周长的比等于相似比 （4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。 5、相似多边形 （1）如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。 相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数） （2）相似多边形的性质 ①相似多边形的对应角相等，对应边成比例 ②相似多边形周长的比、对应对角线的比都等于相似比 ③相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比 ④相似多边形面积的比等于相似比的平方 6、位似图形 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做 位似图形，这个点叫做位似中心，此时的相似比叫做位似比。 性质：每一组对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比都等于位似比。 由一个图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换。利用位似变换可以把一个图形放大或缩小。 注意： 一、 （比例的有关性质） ： b d 反比性质： ?a c ? ? ad ? bc ? b d（比例基本定理）（几何部分）- 23 -a c d c a b 更比性质： ? 或 ? b a c d a?b c?d ? 合比性质： b da c m a ? c ??? m a ? ? ? ? (b ? d ? ? ? n ? 0) ? 等比性质 : ? b d n b ? d ??? n b涉及概念：①第四比例项 ②比例中项 ③比的前项、后项，比的内项、外项 ④黄金分割等。平行线分线段 应用于△中 成比例定理 (基本定理) （ 推论推 论 (骨干定理) 判 定 定 推论的 理 逆定理相似基本 定理 相 似 Rt△ 三 角 定理 3 形 定理 2 定理 1推论注意：①定理中“对应”二字的含义; ②平行→相似（比例线段）→平行。 二、相似三角形性质 1．对应线段?;2．对应周长?;3．对应面积?。 三、相关作图 ①作第四比例项;②作比例中项。 四、证（解）题规律、辅助线 1． “等积”变“比例” ， “比例”找“相似” 。 2．找相似找不到，找中间比。方法：将等式左右两边的比表示出来。⑴a m c m m ? , ? ( 为中间比 ) b n d n n a m c m ' ⑵ ? , ? ' ,n ? n b n d na m c m' m m' ' ' ⑶ ? , ? ' (m ? m , n ? n 或 ? ' ) b n d n n n3．添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。 4．对比例问题，常用处理方法是将“一份”看着对于等比问题，常用处理办法是设“公比” 为 k。 5．对于复杂的几何图形，采用将部分需要的图形（或基本图形） “抽”出来的办法处理。 考点 5.3 解直角三角形 直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 可表示如下：∠C=90° ? ∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 °（几何部分）- 24 -∠A=30° 可表示如下：1 ? BC= AB 2∠C=90° 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90° 可表示如下： D 为 AB 的中点 4、勾股定理 直角三角形两直角边 a，b 的平方和等于斜边 c 的平方，即 a ? b ? c2 2 21 ? CD= AB=BD=AD 25、射影定理 在直角三角形中， 斜边上的高线是两直角 例中项， 每条直角边是它们在斜边上的射影和 ∠ACB=90° CD 2 ? AD ? BD边在斜边上的射影的比 斜边的比例中项?AC2 ? AD ? ABCD⊥AB BC2 ? BD ? AB 6、常用关系式 由三角形面积公式可得： AB ? CD=AC ? BC 直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a，b，c 有关系 a ? b ? c ，那么这个三角形是直角三角形。2 2 2锐角三角函数的概念 1、如图，在△ABC 中，∠C=90° ①锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为 sinA，即sin A ??A的对边 a ? 斜边 c②锐角 A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为 cosA，即cos A ??A的邻边 b ? 斜边 c ?A的对边 a ? ?A的邻边 b ?A的邻边 b ? ?A的对边 a③锐角 A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为 tanA，即 tan A ?④锐角 A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记为 cotA，即 cotA ? 2、锐角三角函数的概念 锐角 A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 锐角三角函数的取值范围（几何部分）- 25 -0≤sinα ≤1，0≤cosα ≤1，tanα ≥0，cotα ≥0. 3、一些特殊角的三角函数值 α 0° ☆15° 30° 45° 60° ☆75° 90° sinα 06? 2 4cosα 16? 2 4tanα 02? 3cotα 不存在2? 31 22 2 3 23 22 23 331313 31 26? 2 46? 2 42? 32? 310不存在04、各锐角三角函数之间的关系 （1）互余关系 sinA=cos(90° —A)，cosA=sin(90° —A) tanA=cot(90° —A)，cotA=tan(90° —A) （2）平方关系sin 2 A ? cos2 A ? 1（3）倒数关系 tanA ? tan(90° —A)=1 （4）弦切关系 tanA=sin A cos A5、锐角三角函数的增减性 当角度在 0° ~90° 之间变化时， （1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 解直角三角形 1、解直角三角形的概念 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已 知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 2、解直角三角形的理论依据 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 a，b，c （1）三边之间的关系： a ? b ? c （勾股定理）2 2 2（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°（几何部分）- 26 -（3）边角之间的关系：sin A ?a b a b b a b a , cos A ? , tan A ? , cot A ? ; sin B ? , cos B ? , tan B ? , cot B ? c c b a c c a b2．方位角、象限角： 3．坡度： 北 i 东 南 α l i=h/l=tgα h对实际问题的处理 1． 俯、仰角： 仰角 俯角西注：在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。 有关公式1 1 1 ab sin C = bc sin A = ac sin B 2 2 2 1 1 （2）Rt△面积公式： S ? ab ? ch 2 2（1） S ? ? （3）直角三角形外接圆的半径 R ? c ，内切圆半径 r ? a?b?c22结论：直角三角形斜边上的高 h ?ab c4．应用解直角三角形的知识，可以解决： (1)测量物体高度． (2)有关航行问题． (3)计算坝体或边路的坡度等问题． ☆5．测底部不可到达物体的高度．如右图，在 Rt△ABP 中， BP=xcotα 在 Rt△AQB 中， BQ=xcotβ 8Q—BP=a， 即 xcotβ -xcotα =a．A x β Q P α B（几何部分）- 27 -
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