2017考研数学之微分方程解的结构
来源：文都考研
　　微分方程是高等数学的重要组成部门，无论对于数一数二，还是数三，每一年都会考察，并且题型不定，会出现选择题，填空题，也会出现解答题。对于微分方程这一部分，总的解题思路是首先判断微分方程的形式和结构，如是否为线性方程，齐次方程等等，是一阶、二阶还是更高阶的方程；然后根据方程的形式和结构来求解方程。因为考试大纲上要求的就那么几种，而且每种类型的方程解法都已经固定下来了，记住套路，这一类的方程就好处理了。当然，以上针对的是纯粹的微分方程的求解，还有的题目会结合幂级数或多元函数来考察。不过我们还是先了解纯粹的微分方程的求解，后一部分在今后的学习中再来处理。下面先来看看今年的一个真题：
　　本题知识结构较简单，只涉及到微分方程，而没有涉及到其它章节和学科的知识。而且，计算量不大。当然了，前提是要能够分析清楚，解的结构这一部分知识，对于有些同学来讲可能比较抽象。在今后复习过程中，可以举一些具体的例子来理解。关于微分方程的知识，先就介绍到这里。
（实习编辑：刘佰万）
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四六级英语拓展微分方程数值解(学生复习题)_中华文本库
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1. Euler 法的一般递推公式为
,整体误差为
,局部截断误差为:
.,改进Euler 的一般递推公式
整体误差为
,局部截断误差为:
2. 线性多步法绝对稳定的充要条件是
,则单步法1(,,)0,1,2,,n n n n T u u h t u h n h
?+=+= ,稳定。 4. 一个相容,稳定的多步法若绝对稳定,则绝对稳定域在
,则多步法是相容的。
6.所有内点,界点的差分方程组成一个封闭的线性代数方程组,其系数矩阵是
7.刚性方程是:
8.Runge-Kutta 法的特征值为
相容的充要条件为:
8.二阶常微分方程边值问题:22,(),
()d u Lu qu f a x b dx u a u b αβ?=-+=&&???==?
的中心差分格式为:
9.若内点P i 的四个相邻点均属于h G ,则称P i 为
10.逼近泊松方程的五点差分格式的截断误差的阶为
。逼近泊松方程的九点差分格式的截断误差的阶为
11.线性多步法A 稳定的充要条件是
12. SOR 收敛当且仅当松弛因子0,2ω∈()
,且Jacobi 迭代收敛。最佳松弛因子是
1.当时间步长τ和空间步长h 无限缩小时,差分格式的解是否逼近到微分方程问题的解,这就是差分格式的收敛性问题。
2.单参数的PR 迭代格式的收敛速度与SOR 最佳超松弛法的收敛速度同阶。
3、对称矩阵的普条件数与条件数相同。
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文件大小：45.95 M
书号：856180
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第1章　绪　论
　1.1　复习笔记
　1.2　课后习题详解
　1.3　名校考研真题详解
第2章　一阶微分方程的初等解法
　2.1　复习笔记
　2.2　课后习题详解
　2.3　名校考研真题详解
第3章　一阶微分方程的解的存在定理
　3.1　复习笔记
　3.2　课后习题详解
　3.3　名校考研真题详解
第4章　高阶微分方程
　4.1　复习笔记
　4.2　课后习题详解
　4.3　名校考研真题详解
第5章　线性微分方程组
　5.1　复习笔记
　5.2　课后习题详解
　5.3　名校考研真题详解
第6章　非线性微分方程
　6.1　复习笔记
　6.2　课后习题详解
　6.3　名校考研真题详解
第7章　一阶线性偏微分方程
　7.1　复习笔记
　7.2　课后习题详解
　7.3　名校考研真题详解
&&本书特别适用于参加研究生入学考试指定考研参考书目为王高雄《常微分方程》（第3版）的考生。也可供各大院校学习王高雄《常微分方程》（第3版）的师生参考。
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&&（1）梳理知识脉络，浓缩学科精华。本书每章的复习笔记均对该章的重难点进行了整理，并参考了国内名校名师讲授该教材的课堂笔记。因此，本书的内容几乎浓缩了该教材的所有知识精华。
&&（2）详解课后习题，巩固重点难点。本书参考大量相关辅导资料，对王高雄编写的《常微分方程》（第3版）的课后思考题进行了详细的分析和解答，并对相关重要知识点进行了延伸和归纳。
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&All rights reserved. 京ICP备号 京公网安备号 新出发（京）批字第直110028号第一章&&& 基本定理
1设有 $$\bex \frac{\rd \bbx}{\rd t}=\bbf(t,\bbx),\quad \bbx(t_0)=\bbx^0,\quad (t_0,\bbx^0)\in \bbR\times \bbR^n. \eex$$ 试证: 若 $\bbf\in C^1(G)$, 则在 $(t_0,\bbx^0)$ 的领域内, 此 Cauchy 问题的解存在惟一.
证明: 由 $f\in C^1(G)$ 蕴含 $f\in C(G)$ 且在 $G$ 内适合 Lipschitz 条件知有结论.
2试讨论下列方程解的存在区间:
(1)&&& $\dps{\frac{\rd y}{\rd x}=\frac{1}{x^2+y^2}}$;
(2)&&& $\dps{\frac{\rd y}{\rd x}=y(y-1)}$.
(1)&&& 由 $\dps{\frac{\rd x}{\rd y}=x^2+y^2}$ 的解的存在区间有限知 $y$ 有界, 而由解的延
拓定理, 原方程解的存在区间为 $\bbR$.
(2)&&& 直接求解有 $\dps{y=\frac{1}{1-\frac{y_0-1}{y_0}e^x}}$, 而
a.当 $0\leq y_0\leq 1$ 时, 原方程解的存在区间为 $\bbR$;
b.当 $y_0&0$ 时, 原方程解的存在区间为 $\dps{\sex{\ln\frac{y_0}{y_0-1},\infty}}$;
c.当 $y_0&1$ 时, 原方程解的存在区间为 $\dps{\sex{-\infty,\ln\frac{y_0}{y_0-1}}}$.
3 设有一阶微分方程式 $$\bex \frac{\rd x}{\rd t}=(t-x)e^{tx^2}. \eex$$ 试证: 过任一点 $(t_0,x_0)\in\bbR^2$ 的右行解的存在区间均为 $[t_0,+\infty)$.
证明: 由 $$\bex \frac{\rd x}{\rd t}=(t-x)e^{tx^2}=\left\{\ba{ll} &0,&x&t,\\ &0,&x&t \ea\right. \eex$$ 知解在 $\sed{x&t}$ 内递减, 在 $\sed{x&t}$ 内递增. 当 $x_0&t_0$ 时, 在 $$\bex \sed{(t,x);t\in\bbR, t_0&x&x_0} \eex$$ 内应用解的延伸定理知解定与 $\sed{x=t}$ 相交, 之后解递增, 在 $$\bex \sed{(t,x);t\in\bbR,x&t} \eex$$ 内应用延伸定理及比较定理即知结论.
4设有一阶方程 $\dps{\frac{\rd x}{\rd t}=f(x)}$, 若 $f\in C(-\infty,+\infty)$, 且当 $x\neq 0$ 时有 $xf(x)&0$. 求证过 $\forall\ (t_0,x_0)\in\bbR^2$, Cauchy 问题的右行解均在 $[t_0,+\infty)$ 上存在, 且 $\dps{\lim_{t\to+\infty}x(t)=0}$.
证明: 由题意, $$\bex f(x)\left\{\ba{ll} &0,&x&0,\\ &0,&x&0. \ea\right. \eex$$ 而由 $f$ 的连续性, $f(0)=0$. 于是当 $x_0=0$ 时, 由解的唯一性知 $x=0$. 当 $x_0&0$ 时, 在 $$\bex \sed{(t,x);t\in\bbR,0&x&x_0} \eex$$ 内应用延伸定理及惟一性定理知 $x(t)$ 递减趋于 $0$. 当 $x_0&0$ 时, 在 $$\bex \sed{(t,x);t\in\bbR,x_0&x&0} \eex$$ 内应用延伸定理及惟一性定理知 $x(t)$ 递增趋于 $0$.
5若 $\bbf(t,\bbx)$ 在全空间 $\bbR\times\bbR^n$ 上连续且对 $\bbx$ 满足局部 Lipschitz 条件且 $$\bex \sen{\bbf(t,\bbx)}\leq L(r),\quad r=\sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2},\quad \bbx=(x_1,\cdots,x_n)^T, \eex$$ 其中 $L(r)&0, r&0$, 且 $$\bee\label{1.5:1} \int_a^{+\infty}\frac{\rd r}{L(r)}=+\infty,\quad a&0. \eee$$ 试证: 对 $\forall\ (t_0,\bbx^0)\in\bbR\times\bbR^n$, Cauchy 问题的解均可对 $t$ 无限延拓.
证明: 由解的延伸定理, 仅须证明在任何有限区间 $-\infty&\alpha&t&\beta&+\infty$ 上, $\bbx(t)$ 有界. 为此, 令 $y(t)=\sen{\bbx(t)}$, 则 $$\beex \bea \frac{\rd y(t)}{\rd t}&=2\bbx(t)\cdot\frac{\rd \bbx(t)}{\rd t} =2\bbx(t)\cdot \bbf(t,\bbx(t)),\\ \sev{\frac{\rd y(t)}{\rd t}} &\leq 2\sqrt{y(t)}\cdot L\sex{\sqrt{y(t)}},\\ \frac{\rd \sqrt{y(t)}}{L\sex{\sqrt{y(t)}}}&\leq \rd t,\\ \int_\alpha^\beta \frac{\rd \sqrt{y(t)}}{L\sex{\sqrt{y(t)}}} &\leq \int_\alpha^\beta \rd t=\beta-\alpha. \eea \eeex$$ 这与 \eqref{1.5:1} 矛盾 (事实上, 当 $\alpha,\beta\gg 1$, $|\alpha-\beta|\ll 1$ 时, 不等式右端可任意小, 而不等式左端有积分发散知可大于某一正常数).
6设有微分方程 $$\bex \frac{\rd \bbx}{\rd t}=\bbf(t,\bbx), \eex$$ $\bbf\in C(G\subset \bbR\times\bbR^n)$, 试证: 若对 $\forall\ (t_0,\bbx^0)\in G$, Cauchy 问题的解都存在唯一, 则解必对初值连续依赖.
证明: 参考[家里蹲大学数学杂志第134期, 常微分方程习题集, 第1600页].
7 试在定理 1.1 的假设下, 利用 Gronwall 引理直接证明解对初始时刻 $t_0$ 的连续依赖性.
证明: 参考定理 1.7 的证明.
8 设有一阶 Cauchy 问题 $$\bex \frac{\rd y}{\rd x}=x^2+(y+1)^2,\quad y(0)=0. \eex$$ 试利用比较定理证明, 若设解的右行饱和区间为 $[0,\beta)$, 则 $\dps{\frac{\pi}{4}\leq \beta\leq 1}$.
证明: 仅须注意到当 $0\leq x\leq 1$ 时, $$\bex (y+1)^2\leq x^2+(y+1)^2\leq 1+(y+1)^2. \eex$$ 再利用比较定理即知结论.
第二章 动力系统的基本知识
1试证明: $\Omega_P=\vno$ 的充要条件是 $L_P^+$ 趋于无穷.
证明: $\ra$ 用反证法. 若 $L_P^+$ 不趋于无穷, 则 $$\bex \exists\ M&0, t_n\nearrow +\infty,\st \sen{\mbox{ $\varphi$}(P,t_n)}\leq M. \eex$$ 由 Weierstrass 定理, $$\bex \exists\ \sed{t_n'}\subset \sed{t_n},\st \mbox{ $\varphi$}(P,t_n)\to Q, \eex$$ 而 $Q\in \Omega_P$, 这是一个矛盾. $\la$ 亦用反证法. 若 $\Omega_P\neq \vno$, 而设 $Q\in \Omega_P$, 则 $$\bex \exists\ t_n\nearrow+\infty,\st \mbox{ $\varphi$}(P,t_n)\to Q. \eex$$ 这与 $L_P^+$ 趋于无穷矛盾.
2试证明: 若 $\Omega_P$ 仅含惟一奇点 $P^*$, 则当 $t\to+\infty$ 时必有 $L_P^+$ 趋向于 $P^*$.
证明: 用反证法. 设 $$\bee\label{2.2:1} \exists\ \ve_0&0,\ t_n\nearrow+\infty, \st \sen{\mbox{ $\varphi$}(P,t_n)-P^*}\geq \ve_0. \eee$$ 则
(1)若 $\sed{t_n}$ 有有界的子列, 则适当抽取子列 $\sed{t_n'}$ 后有 $$\bex \mbox{ $\varphi$}(P,t_n')\to Q. \eex$$ 于是 $Q\in \Omega_P=\sed{P^*}$. 这与 \eqref{2.2:1} 矛盾.
(2)若 $\sed{t_n}$ 无有界的子列, 则 $\dps{\lim_{n\to\infty}\mbox{ $\varphi$}(P,t_n)=\infty}$, 而 $\infty\in \Omega_P=\sed{P^*}$, 又是一个矛盾.
3试证明: 若 $\Omega_P$ 有界且 $\Omega_P$ 非闭轨, 则 $\forall\ R\in \Omega_P$, $\Omega_R$ 与 $A_R$ 必均为奇点.
证明: 用反证法证明 $\Omega_R$ 为奇点集, $A_R$ 为奇点集类似可证. 设 $\Omega_R$ 含有常点. 由 $R\in \Omega_P$ 及 $\Omega_P$ 为不变集知 $L_R\subset \Omega_Q$. 于是按引理 2.3, $L_R$ 为闭轨线, $L_R=\Omega_R\subset \Omega_P$. 这与 $\Omega_P$ 非闭轨矛盾.
4试证明: 一系统的圈闭奇点的集合是一闭集.
证明: 全体奇点的集合为 $$\bex \sed{\bbx^*\in G; \bbf(\bbx^*)=\mbox{ $0$}}. \eex$$ 由 $\bbf$ 的连续性即知结论.
5 若 $L_P^+$ 有界且 $\Omega_P$ 仅由奇点构成, 能否断定 $\Omega_P$ 仅含一个奇点?
解答: 不能断定. 仅能说 $\Omega_P$ 为由奇点构成的连通闭集或闭轨线.
6 设 $O(0,0)$ 是一平面自治系统的惟一奇点, 且是稳定的, 全平面没有闭轨线. 试证: (1) 此系统的任一轨线必负向无界; (2) 任一有界的正半轨闭进入奇点 $O$.
(1) 用反证法. 若有一轨线负向有界, 则在定理 2.8 中, 由全平面没有闭轨线知 (3),(4) 不成立; 由 $O$ 为惟一奇点知 (1),(2),(5) 不成立. 这是一个矛盾.
(2) 对有界正半轨而言, 定理 2.8 中仅有 (1),(2),(5) 可能成立. 若 (1),(2) 成立, 则结论已证; 而由全平面没有闭轨线知 (5) 不成立.
第三章 稳定性理论
1 讨论方程 $$\bee\label{3.1:1} \sedd{\ba{ll}\frac{\rd x_1}{\rd t}=x_2,\\ \frac{\rd x_2}{\rd t}=-a^2\sin x_1\ea} \eee$$ 零解的稳定性.
解答: 选取 $$\bex V(\bbx)=\frac{x_2^2}{2}+a^2(1-\cos x_1), \eex$$ 则 $V$ 在原点的一邻域内是正定的, 且沿 \eqref{3.1:1} 的轨线有 $$\bex \dot V(\bbx)=V_{x_1}x_1'+V_{x_2}x_2'=0. \eex$$ 由此, 零解是稳定的, 但不是渐近稳定的.
2 证明方程 $\dps{\frac{\rd x}{\rd t}=-x+x^2}$ 的零解是指数渐近稳定的, 但不是全局渐近稳定的.
证明: 解该微分方程有: $$\bex \ba{ccc} -\frac{1}{x^2}\frac{\rd x}{\rd t}=\frac{1}{x}-1,&\frac{\rd y}{\rd t}=y-1\ \sex{y=\frac{1}{x}},&\frac{\rd z}{\rd t}=-e^{-t}\ \sex{z=e^{-t}y},\\ z=e^{-t}+C,&y=Ce^t+1,&x=\frac{1}{1+Ce^t}. \ea \eex$$ 由此, 原微分方程的解为 $$\bex x=0,\mbox{ 或 }x(t)=\frac{1}{1+Ce^t}. \eex$$ 取初值 $(t_0,x_0),\ x_0\neq 0$, 有 $$\bex x(t,t_0,x_0)=\frac{x_0}{1+e^{t-t_0}(1-x_0)}. \eex$$ 故当 $|x_0|&1$ 时, $$\bex |x(t,t_0,x_0)|\leq \sev{\frac{1}{x_0}-1}e^{-(t-t_0)}. \eex$$ 这说明零解是指数渐近稳定的. 但由于从 $(t_0,1)$ 出发的解 $x(t,t_0,1)=1$ 不趋于零解, 而零解不是全局渐近稳定的.
3 在相空间 $\bbR^n$ 中给出 $\dps{\frac{\rd \bbx}{\rd t}=\bbf(t,\bbx),\ \bbf(t,0)=0}$ 的零解稳定、渐近稳定、不稳定的几何解释.
解答: 零解是稳定的 $\lra\ \forall\ \ve&0,\ \exists\ \delta&0,\ \forall\ P\in B_\delta,\ L_P^+\subset B_\ve$; 零解是渐进稳定的 $\lra\ \exists\ U\ni O,\ \forall\ P\in U,\ L_P^+\to 0$; 零解是不稳定的 $\lra\ \exists\ \ve_0&0,\ \exists\ P_n\to0, \st L_{P_n}^+\bs B_\ve\neq \vno$.
4判断下列系统零解的稳定性:
(1)&&&&& $\dps{\sedd{\ba{ll} \frac{\rd x_1}{\rd t}=mx_2+\alpha x_1(x_1^2+x_2^2),\\ \frac{\rd x_2}{\rd t}=-mx_1+\alpha x_2(x_1^2+x_2^2); \ea}}$;
(2)&&&&& $\dps{\frac{\rd^2x}{\rd t^2}+\sex{\frac{\rd x}{\rd t}}^3+f(x)=0,}$ 其中 $xf(x)&0\ (x\neq&0), f(0)=0$;
(3)&&&&& $\dps{\frac{\rd^2x}{\rd t^2}-\sex{\frac{\rd x}{\rd t}}^2sgn\sex{\frac{\rd x}{\rd t}}+x=0}$.
(1) 取 $$\bex V=x_1^2+x_2^2, \eex$$ 则 $V$ 正定, 且沿微分方程的轨线有 $$\bex \dot V=2\alpha(x_1^2+x_2^2)\sedd{\ba{lll} \mbox{正定},&\alpha&0,\\ 0,&\alpha=0,\\ \mbox{负定},&\alpha&0. \ea} \eex$$ 于是当 $\alpha&0$ 时, 由定理 3.3, 零解是不稳定的; 当 $\alpha=0$ 时, 由定理 3.1, 定理是稳定的; 当 $\alpha&0$ 时, 由定理 3.1, 零解是渐近稳定的.
(2) 令 $\dps{x_1=x,x_2=\frac{\rd x}{\rd t}}$, 则 $$\bex \frac{\rd x_1}{\rd t}=x_2,\quad \frac{\rd x_2}{\rd t}=-x_2^3-f(x_1). \eex$$ 取 $$\bex V=\frac{x_2^2}{2}+\int_0^{x_1}f(t)\rd t, \eex$$ 则 $V$ 正定, 且沿微分方程的轨线有 $\dot V=-x_2^4\leq 0.$ 再 $$\bex \sed{\\dot V(\bbx)=0}=\sed{0}, \eex$$ 我们据定理 3.2 知零解是渐近稳定的.
(3) 令 $\dps{x_1=x,x_2=\frac{\rd x}{\rd t}}$, 则 $$\bex \frac{\rd x_1}{\rd t}=x_2,\quad \frac{\rd x_2}{\rd t}=x_2^2 sgn(x_2)-x_1. \eex$$ 取 $$\bex V=\frac{x_1^2+x_2^2}{2}, \eex$$ 则 $V$ 正定, 且沿微分方程的轨线有 $\dot V=x_2^2|x_2|$ 是正定的. 我们据定理 3.3 知零解是不稳定的.
5 若存在有无穷小上界的正定函数 $V(t,\bbx)$, 它沿着 $$\bex (3.3.1)\quad \frac{\rd\bbx}{\rd t}=\bbf(t,\bbx),\quad \bbf(t,0)=0 \eex$$ 解曲线的全导数 $\dot V(t,\bbx)$ 负定, 证明 (3.3.1) 的零解是渐近稳定的.
证明: 仅须注意到存在正定函数 $W(x)$, $W_1(x)$ 使得 $$\bex W(\bbx)\leq V(t,\bbx)\leq W_1(\bbx). \eex$$ 而可仿照定理 3.1 的证明.
6 讨论 $\dps{\frac{\rd x}{\rd t}=\frac{g'(t)}{g(t)}x}$ 零解的稳定性, 其中 $\dps{g(t)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{1+n^4(t-n)^2}}$. 能否得到零解渐近稳定的结果? 为什么?
解答: 直接求解有 $$\bex x(t)=\frac{x_0}{g(t_0)}{g(t)}, \eex$$ 而由 $$\bex |x(t)|\leq\frac{|x_0|}{g(t_0)}\sez{2+\sum_{n\neq [t],[t]+1}\frac{1}{1+n^4(t-n)^2}} \leq \frac{|x_0|}{g(t_0)}\sez{2+\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^4}} \eex$$ 知零解是稳定的; 由 $$\bex |x(k)|=\frac{|x_0|}{g(t_0)}\sez{1+\sum_{n\neq k}\frac{1}{n^4(k-n)^2}}\geq \frac{|x_0|}{g(t_0)} \eex$$ 知零解不是渐近稳定的.
7证明 $\dps{\frac{\rd x}{\rd t}=-\frac{x}{t+1}}$ 的零解是渐近稳定的, 但不存在有无穷小上界的正定函数 $V(t,x)$, 使得 $\dot V(t,x)$ 负定 (该习题表明习题 5 中渐近稳定性定理中的条件不是必要的).
证明: 直接求解有 $$\bex x(t)=\frac{x_0}{1+t}. \eex$$ 而零解是渐近稳定的.&
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