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关于级数敛散性的判别
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数项级数敛散性判别方法
华北水利水电 大学课题 : 数项级数敛散性判别方法（总结）专业班级:水利港航 39 班 成员组成:丁哲祥
联系方式:1数项级数敛散性判别法（总结）摘要：数项级数是逼近理论中的重要内容之一，也是高等数学的重要组成部分。 本章我们先介绍数项级数的一些基本性质和收敛判别方 法然后讨论函数的幂级数展开和三角级数展开。 我们这学期学习过的 数项级数敛散性判别法有许多， 本文对数项级数敛散性的判别方法进 行了分析归纳总结，得到的解题方法。以便我们更好的掌握它。关键词：数项级数敛散性判别方法总结Several series gathered of the criterion scattered method (summary)AbstractThe sequence series is one of the main contents in the mathematical analysis. We learn this semester the several series gathered of the criterio n has many scattered method, this paper folding a series of logarithm scat tered discriminant method is analyzed sum-up, get the problem solving m ethod.：Key words: S Ga I analysis summary2一. 数项级数的定义 ：? 数项级数的定义 设{an}是一个数列，则称表达式 a1+a2+a3+…an+…?为（常数项）无穷级数，简称数项级数或级数，记为 ? an 或 ? an 称 an 为级数的通项或一般项。n ?1下面举几个例子： （1）1+2+3+4+5+6+…+n+…= ? n ；1 1 1 (?1) n ?1 （2）1- ? ? ? ? ? +…= 2 3 4 n (?1) n ?1 ? n? 常见的数项级数 正项级数：级数中所有项均大于等于零。 交错级数：级数中的项正负相间的级数。 调和级数：形如 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? ? 1 的级数。2 3 n n等比级数：形如 a+aq+aq2+aq3+…+aqn+…=1 2 3 n n? aqn（a≠0）的级数。1 1 1 1 P 级数：形如 1 。 ? p ? p ? ? p ? ? ? p （p 是实数） p二．数项级数是否收敛的判别定理及性质：定理一.考察级数 ? an 前 n 项的和 Sn=a1+a2+a3+…+an= ? ai ， 则称 sn 为级数的前 n 项部分和， ｛sn｝为级数的部分和数列。s n 存在，则称 所以，若级数 ? an 的部分和数列｛sn｝收敛，即极限 lim n?? s n 为级数 ? an 的和，记为 级数 ? an 收敛，此时称极限 lim n??a1+a2+a3+…+an+…=s 或 ? an =s3反之，若级数的部分和数列发散，则级数发散。 定理二.（级数收敛的必要条件）如果级数 ? a n 收敛，则他的一般项n ?1 ?收敛于零。 推理：如果级数 ? a n 不收敛于零，则级数发散。n ?1 ?性质 1.设级数 ? an ， ? bn 分别收敛于 s 和 t，k 是一常数，则 （1）级数 ? kan 也收敛，且其和为 ks。 （2）级数 ? an ? ? bn 也收敛，且其和为 s ? t。 性质 2.在级数中添加，删除或修改有限项，不改变函数的敛散性。 定理三.一切调和级数都是发散的 定理四.等比级数收敛的条件 等比级数（几何级数）? aqn（a≠0）的敛散性：当 q &1 时，级数收敛，当 q R 1 时级数发散。 定理五.正向数列 ? an 收敛的充要条件是他的部分和数列｛sn｝有界。n ?1 ?1 1 1 1 定理六.对于 p 级数 1 ? p ? p ? ? p ? ? ? p （p 是实数） p 1 2 3 n n（1）当 p&1 时，级数收敛 （2）当 pQ 1 时，级数发散 定理七.设 ? an 与 ? bn 是两个正项级数，若 若级数 ? bn 收敛时，且 anQ bn （n=1 ， 2， 3 ， … ） ，级数 ? an 也收 敛； 当级数 ? bn 发散时，且 anR bn （n=1，2，3，…） ，级数 ? an 也发 散。4定理八、 （极限形式） ? 若 lim n ?? ? lim n ?? ? lim n ???an和 ? bn 为两个正项级数，an =c，且 c≠0，则两个级数具有相同的敛散性。 bnan = ? ，则有级数 ? bn 发散可推出级数 ? an 发散。 bn an =0，则有级数 ? bn 收敛可推出级数 bn?an收敛 。定理九. 交错积数的收敛判别法（莱布尼兹定理） ： 设交错级数 ? (?1) n?1an （an&0） ，如果 an 满足条件n ?1 ?（1）数列｛an｝为单调减少数列， （2）数列｛an｝的极限值趋于 0. 定理十.绝对收敛与条件收敛 1.对于数项级数 ? an ， 如果由 ? an 的各项加绝对值所构成的正项级数?an ?1?n收敛， 则称级数 ? an 绝对收敛； 如果级数 ? an 收敛， 而级数 ? ann ?1?发散，则称级数 ? an 条件收敛。对于正项级数而言，收敛就是绝对收 敛，但应注意，对于非正项级数，收敛，绝对收敛，条件收敛就是不 同的概念。例如，级数 ? (?1)nn ?1是条件收敛，而级数 ? (?1)2nn ?1是绝对收敛。 所以，如果级数 ? an 绝对收敛，则级数 ? an 收敛。 2.（比值判别法） (1).若 lim 已知级数 ? an ,an?1 ? l &1，则级数绝对收敛，从而收敛； n?? a n5(2)若 lim (3)若 liman?1 a ? l &1 或 lim n?1 ? l = ? ，则级数发散； n?? a n?? a n n an?1 ? l =1，则级数可能收敛也可能发散，需用其他方法判别 n?? a nn ?1其敛散性。例如，级数 ? (?1)n是条件收敛，而级数 ? (?1)2nn ?1是绝对收敛。 注： 对于定理四和定理五当判断一个级数的敛散性时， 需要构造一个 级数， 这个构造的过程就要求我们对一些常用的有特殊性质的级数有 所了解。例如：调和级数，等比级数，p 级数。比较法虽然简单，但 是需要构造新级数， 所以比较麻烦。 以下介绍一种方法用于自身比较。 3.（根值判别法） 已知级数 ? an ,n a ? l &1，则级数绝对收敛，从而收敛； （1）若 lim n n ?? n a ? l &1 或 lim n a ? l = ? ，则级数发散； （2）若 lim n n n ?? n ?? n a ? l =1 ，则级数可能收敛也可能发散，需用其他方法 （3） lim n n ??判别其敛散性。例如，级数 ? (?1)nn ?1是条件收敛，而级数 ? (?1)2nn ?1是绝对收敛。 三．研究及其成果（以例题分析）6例题二. 判断调和级数的敛散性例题三.讨论 p 级数的敛散性7例题四.交错级数的推广8例题五.比较判别法的应用例题六.关于正项级数敛散性判定的一类方法的推广9例.10四、总结：在以上的例题中，可以看出，每一个题，可能有多 种方法处理。但是总有一种比较适合且简便的方法。而且不同的方法 有不同的适用范围。在某些领域可能有着特别方便的应用，但是在另 一些领域内可能毫无用处。所以我们需要选择合适的方法。对于有些 题目，可能需要多种方法共同处理。对于正项级数首先观察其通项是 否趣于零，如果通项不趣于零，则级数发散。如果通项趣于零，可根 据级数通项的特点，考虑用比较审敛法、比值审敛法或根值审敛法。 如果不是正项级数，可以通过加绝对值使其变为正项级数定理。五.参考文献： 《高等数学》 （下册）第三版 上海交大，集美大学编 万方数据 第22卷第一期2006年2月 《关于正项级数敛散性判定的一类方法》 （周玉霞） 万方数据 第28卷第3期2012年6月 （苏化明， 禹春福） 六.分工情况 全过程由丁哲祥单独完成 《一道数学竞赛题的相关问题》11
数项级数敛散性的判别法毕业论文 - 关于数项级数敛散性的判别法 摘要:级数是数学分析中的主要内容之一.我们学习过的数项级数敛散性判别法有许多种,如柯西(...华北水利水电 大学课题 : 数项级数敛散性判别方法(总结) 专业班级:水利港航 39 班 成员组成:丁哲祥
1 数项级数敛...华北水利水电学院 数项级数敛散性判别法。 (总结) 课程名称: 专业班级: 成员组成联系方式: 高等数学(下) 2012 年 5 月 18 日 -1- 摘要:在学习数项级数的...高数辅导之专题十九:正项级数的敛散性判别法_理学_高等教育_教育专区。高等数学...? ? 数 (常数项级数 ? u n 是否收敛取决于 ? u n 的部分和数列 {sn ...关键词: 判别方法 思路 归纳总结 数项级数 敛散性 解题 引言: 在讲解数项级数敛散性判别方法时,每讲一种判别方法,学 生按照指定的判别方法进行解题,一般都能...数项级数的敛散性判别法 - 第六讲 数项级数的敛散性判别法 §1 柯西判别法及其推广 比较原理适用于正项级数,高等数学中讲过正项级数的比较原理: 比较原理 I...函数项级数敛散性的判别方法及其应用毕业论文 - 函数项级数敛散性的判别方法及其 应用 Discrimination Methods of Convergence and Divergence ...常数项级数敛散性判别法总结 摘要:本文简要阐述了常数项级数敛散性判别法。由于常数项级数敛散性 判别法较多, 学生判定级数选择判别法时比较困难,作者结合级数判别...2016 考研数学数项级数敛散性判定解题思路总结数项级数敛散性判定是考研数学一数三考试的重点题型,而且是考试的难点,为了 便于同学们解题,文都考研高端数学老师帮...正项级数敛散性判别 - 正项级数敛散性的判别 刘兵军 无穷级数是高等数学的重要内容, 是表示函数、 研究函数的性质以及进行数值计算的一 种工具。正项级数在无穷...
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数学 判断函数的敛散性 怎么做。。
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极限审敛法:∵lim(n→∞)n*un=(3/2)^n=+∞∴un发散.比值审敛法:un+1=3^(n+1)/[(n+1)*2^(n+1)]=3^n*3/[(n+1)*2^n*2]un+1/un=3n/(2n+2)lim(n→∞)un+1/un=3/2&1,∴发散根值审敛法:n^√un=3/2*n^√(1/n)=3/2*(1/n)^(1/n)令t=1/n,则当n→∞时t→0,t^t→1∴lim(n→∞)n^√un=3/2&1,发散.
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=Σ[(1/2)^(n-1)+(-1/2)^n]=Σ(1/2)^(n-1)+Σ(-1/2)^n两个公比为绝对值小于1大于0的等比数列无穷项之和，都是已知收敛的，因此两者之和也是收敛的。=1/（1-1/2）+（-1/2）/（1+1/2）=2-1/3=5/3
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分成1/2^(n-1)+(-1/2)^n这两个部分，这两个部分就是两个等比数列，分别求前n项和，然后加起来取极限
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数项级数敛散性的判定有一系列的判别法,级数的形式复杂多变,级数敛散性判定的解决方法比较灵活,可以说每个级数都有其特点.数项级数可分为两大类:正项级数和任意项级数,在任意项级数中,交错级数是主要研究的类型.判定交错级数的绝对收敛以派为间隔拆分成交错级数，由绝对值单调推收敛。归结为正项级数的判定。Σ[(1/2)^(n-1)+(-1/2)^n]=Σ(1/2)^(n-1)+Σ(-1/2)^n两个公比为绝对值小于1大于0的等比数列无穷项之和，都是已知收敛的，因此两者之和也是收敛的。=1/（1-1/2）+（-1/2）/（1+1/2）=2-1/3=5/3
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方法很多的 一般采用m判别法 也就是魏尔斯拉斯判别法
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不是有那些法则么，你先看能不能化简
OMGggggg的
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收敛，上下同除以2，发现加上去的值越来越小
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