43岁，广东深圳，158cm，元
周边征婚：我的交叉分析
自变量 X（一般为样本属性，例如性别，年龄等。限2题）
添加自变量
1.您的性别是（ ）2.您的年龄是（ ）3.您的职业是（ ）4.您的月收入属于以下哪个范畴（ ）5.您最近一次出行的目的是？6.您最近一次自驾出行，在高速路上花费多少时间？7.自驾途中，您一般多长时间进一次服务站？8.您进入服务站的原因是什么？9.您一般在服务区停留多久？<option value='.舒适的短时休息，在您长途驾车的过程中重要么？<option value='.服务区提供低价的轻停短时休息服务，您是否愿意体验？<option value='.轻停站（蜻蜓站）的价格在以下哪个范围内，您会考虑体验？<option value='.如果体验轻停站（蜻蜓站），您能接受的最高价格是？<option value='.在您心目中，轻停站（蜻蜓站）的哪些因素是你需要着重考虑的？<option value='.如在农家乐、采摘园等场所出现轻停站（蜻蜓站），您是否会体验？<option value='.您对轻停站（蜻蜓站）的整体评价：<option value='.您是否喜欢轻停站（蜻蜓站）的形式，<option value='.您会向您的亲友推荐轻停站（轻停站）么？
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因变量 Y（您要分析的目标题目，限10题）
添加因变量 1.您的性别是（ ）2.您的年龄是（ ）3.您的职业是（ ）4.您的月收入属于以下哪个范畴（ ）5.您最近一次出行的目的是？6.您最近一次自驾出行，在高速路上花费多少时间？7.自驾途中，您一般多长时间进一次服务站？8.您进入服务站的原因是什么？9.您一般在服务区停留多久？<option value='.舒适的短时休息，在您长途驾车的过程中重要么？<option value='.服务区提供低价的轻停短时休息服务，您是否愿意体验？<option value='.轻停站（蜻蜓站）的价格在以下哪个范围内，您会考虑体验？<option value='.如果体验轻停站（蜻蜓站），您能接受的最高价格是？<option value='.在您心目中，轻停站（蜻蜓站）的哪些因素是你需要着重考虑的？<option value='.如在农家乐、采摘园等场所出现轻停站（蜻蜓站），您是否会体验？<option value='.您对轻停站（蜻蜓站）的整体评价：<option value='.您是否喜欢轻停站（蜻蜓站）的形式，<option value='.您会向您的亲友推荐轻停站（轻停站）么？
1.您的性别是（ ）2.您的年龄是（ ）3.您的职业是（ ）4.您的月收入属于以下哪个范畴（ ）5.您最近一次出行的目的是？6.您最近一次自驾出行，在高速路上花费多少时间？7.自驾途中，您一般多长时间进一次服务站？8.您进入服务站的原因是什么？9.您一般在服务区停留多久？<option value='.舒适的短时休息，在您长途驾车的过程中重要么？<option value='.服务区提供低价的轻停短时休息服务，您是否愿意体验？<option value='.轻停站（蜻蜓站）的价格在以下哪个范围内，您会考虑体验？<option value='.如果体验轻停站（蜻蜓站），您能接受的最高价格是？<option value='.在您心目中，轻停站（蜻蜓站）的哪些因素是你需要着重考虑的？<option value='.如在农家乐、采摘园等场所出现轻停站（蜻蜓站），您是否会体验？<option value='.您对轻停站（蜻蜓站）的整体评价：<option value='.您是否喜欢轻停站（蜻蜓站）的形式，<option value='.您会向您的亲友推荐轻停站（轻停站）么？
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第1题：您的性别是（ ）[单选题]
选项 小计比例A、男125%B、女375%本题有效填写人次4
第2题：您的年龄是（ ）[单选题]
选项 小计比例A、30岁以下125%B、31~40岁375%C、41~50岁00%D、50~60岁00%E、60岁以上00%本题有效填写人次4
第3题：您的职业是（ ）[单选题]
选项 小计比例A、政府公务人员00%B、事业单位员工125%C、企业职员250%E、个体经营者00%F、自由职业者125%G、其他00%本题有效填写人次4
第4题：您的月收入属于以下哪个范畴（ ）[单选题]
选项 小计比例A、2000以下00%B、元125%C、元250%D、元125%E、15000以上00%本题有效填写人次4
第5题：您最近一次出行的目的是？[单选题]
选项 小计比例A、商务125%B、旅游250%C、探亲00%D、其他&125%本题有效填写人次4
第6题：您最近一次自驾出行，在高速路上花费多少时间？[单选题]
选项 小计比例A、2小时内00%B、2~5小时250%C、5~8小时125%D、9小时以上125%F、其他00%本题有效填写人次4
第7题：自驾途中，您一般多长时间进一次服务站？[单选题]
选项 小计比例A、2小时以内125%B、3~5小时375%C、5~6小时00%D、6小时以上00%本题有效填写人次4
第8题：您进入服务站的原因是什么？[多选题]
选项 小计比例A、如厕375%B、吃饭250%C、加油250%D、购物125%E、短时休息375%E、其他&00%本题有效填写人次4
第9题：您一般在服务区停留多久？[单选题]
选项 小计比例A、15分钟以内00%B、15-30分钟4100%C、30-60分钟00%D、60分钟以上00%本题有效填写人次4
第10题：舒适的短时休息，在您长途驾车的过程中重要么？[单选题]
选项 小计比例A、很重要375%B、一般125%C、不太重要00%D、一点都不重要00%本题有效填写人次4
第11题：服务区提供低价的轻停短时休息服务，您是否愿意体验？[单选题]
选项 小计比例A、是，原因是&375%B、否，原因是&125%本题有效填写人次4
第12题：轻停站（蜻蜓站）的价格在以下哪个范围内，您会考虑体验？[单选题]
选项 小计比例A、40块以内/小时375%B、40-50块/小时125%C、50-60块/小时00%D、70块以上/小时00%本题有效填写人次4
第13题：如果体验轻停站（蜻蜓站），您能接受的最高价格是？[单选题]
选项 小计比例A、30元以下/小时250%B、40元/小时250%C、50元/小时00%D、60元/小时00%E、60元以上/小时00%本题有效填写人次4
第14题：在您心目中，轻停站（蜻蜓站）的哪些因素是你需要着重考虑的？[多选题]
选项 小计比例A、价格375%B、卫生条件375%C、配套设施250%D、房间设计125%E、服务质量250%F、安全隐私250%本题有效填写人次4
第15题：如在农家乐、采摘园等场所出现轻停站（蜻蜓站），您是否会体验？[单选题]
选项 小计比例A、会4100%B、不会00%本题有效填写人次4
第16题：您对轻停站（蜻蜓站）的整体评价：[单选题]
选项 小计比例A、很好250%B、比较好250%C、一般00%D、差00%E、很差00%本题有效填写人次4
第17题：您是否喜欢轻停站（蜻蜓站）的形式，[单选题]
选项 小计比例喜欢，请说出理由&4100%不喜欢，请说出理由&00%本题有效填写人次4
第18题：您会向您的亲友推荐轻停站（轻停站）么？[单选题]
选项 小计比例A、是，原因是&375%B、否，原因是&125%本题有效填写人次4 问卷到此结束
最后再次感谢您对本次问卷调查的支持，祝您生活愉快！荷尖上的蜻蜓
47岁，四川成都，156cm，3000元以下
周边征婚：年龄问题解年龄问题，一般要抓住以下三条规律： （1）不论在哪一年，两个人的年龄差总是 确定不变的； （2）随着时间向前（过去）或向后（将来） 推移，两个人或两个以上人的年龄一定减少或 增加相等的数量； （3）随着时间的变化，两个人年龄之间的 倍数关系一定会改变。 【例 1】妈妈今年 43 岁，女儿今年 11 岁， 几年后妈妈的年龄是女儿的 3 倍？几年前妈妈 的年龄是女儿的 5 倍？ 【分析】无论在哪一年，妈妈和女儿的年 龄总是相差 43-11=32（岁） 当妈妈的年龄是女儿的 3 倍时，女儿的年 龄为 （43-11）÷（3-1）=16（岁） 16-11=5（岁） 说明那时是在 5 年后。 同样道理，由 11-（43-11）÷（5-1）=3（年） 可知，妈妈年龄是女儿的 5 倍是在 3 年前。 【例 2】今年，父亲的年龄是女儿的 4 倍， 3 年前，父亲和女儿年龄的和是 49 岁。父亲、 女儿今年各是多少岁？ 【分析】从 3 年前到今年，父亲、女儿都 长了 3 岁，他们今年的年龄之和为 49+3×2=55（岁）由“55 ÷（4+1）”可算出女儿今年 11 岁， 从而，父亲今年 44 岁。 【例 3】陈辉问王老师今年有多少岁，王老 师说：“当我像你这么大时，你才 3 岁；当你 像我这么大时，我已经 42 岁了。”问王老师今 年多少岁？ 【分析】我们先要明白：如果我比你大 a 岁，那么“当我像你这么大时”就是在 a 年前， “当你像我这么大时”就在 a 年后。这样便可 根据题意画出下图：从图上可看出，a=13，进一步推算得王老 师今年 29 岁。 排列组合问题 I 一、知识点： 1 分类计数原理：做一件事情，完成它可以有 n 类办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，新疆 王新敞奎屯事共有 N = m1 + m2 + L + mn 种不同的方法 2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分 成 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做新疆 王新敞 奎屯在第二类办法中有 m2 种不同的方法，……，在 第 n 类办法中有 m n 种不同的方法 那么完成这件新疆 王新敞 奎屯第二步有 m2 种不同的方法，……，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事有 种不同的方法 n 个不同元素中，任取 m 3．排列的概念：从 （ m ≤ n ）个元素（这里的被取元素各不相同） 按照一定的顺序排成一列， 叫做从 n 个不同元素 中取出 m 个元素的一个排列 4．排列数的定义：从 n 个不同元素中，任取 m （ m ≤ n ）个元素的所有排列的个数叫做从 n 个 m 元素中取出 m 元素的排列数，用符号 An 表示新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯N = m1 × m2 ×L × mnAm = n( n ? 1)( n ? 2) L ( n ? m + 1) 5．排列数公式： n ? （ m, n ∈ N , m ≤ n ）m ( m ≤ n ) 个元素并成一组，叫做从 n 个不同元 素中取出 m 个元素的一个组合 9．组合数的概念：从 n 个不同元素中取出新疆 王新敞 奎屯n 6 阶乘： ! 表示正整数 1 到 n 的连乘积， 叫做 n 的 阶乘 规定 0! = 1． n! m A 7．排列数的另一个计算公式： n = (n ? m)! 8 组合的概念：一般地，从 n 个不同元素中取出新疆 王新敞奎屯新疆 王新敞 奎屯科学分类，以便有条不紊地进行解答，避免重 复或遗漏现象发生 例如：从 6 台原装计算机和 5 台组装计算机中任取 5 台， 其中至少有原装与 组装计算机各两台，则不同的选取法有_______ 种.（答案：350）新疆 王新敞 奎屯新疆 王新敞 奎屯新疆 王新敞 奎屯新疆 王新敞 奎屯m ( m ≤ n ) 个元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数．用符号C nm 表示．插空法 解决一些不相邻问题时，可以先排 一些元素然后插入其余元素，使问题得以解决 例如：7 人站成一行，如果甲乙两人不相邻，则 不同排法种数是______.(答案:3600) 捆绑法 相邻元素的排列，可以采用“整体到局 部”的排法，即将相邻的元素当成“一个”元 素进行排列，然后再局部排列 例如：6 名同学 坐成一排，其中甲、乙必须坐在一起的不同坐 法是________种.（答案：240）新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯10．组合数公式： Am n(n ?1)(n ? 2)L(n ? m +1) m Cn = n = m Am m! n! C m= n m!(n ? m)! (n, m ∈ N ? , 且m ≤ n) 或新疆 王新敞 奎屯新疆 王新敞 奎屯新疆 王新敞 奎屯0 11 组合数的性质 1：C = C ．规定：C n = 1 ； Cm C m C m ?1 2： n +1 ＝ n + n m n新疆 王新敞 奎屯n?m n二、解题思路：解排列组合问题， 首先要弄清一件事是 “分 类”还是“分步”完成，对于元素之间的关系， 还要考虑“是有序”的还是“无序的”，也就 是会正确使用分类计数原理和分步计数原理、 排列定义和组合定义，其次，对一些复杂的带 有附加条件的问题，需掌握以下几种常用的解 题方法：排除法 从总体中排除不符合条件的方法 数，这是一种间接解题的方法. b、排列组合应用题往往和代数、三角、立体几 何、平面解析几何的某些知识联系，从而增加 了问题的综合性，解答这类应用题时，要注意 使用相关知识对答案进行取舍.例如：从集合 {0，1，2，3，5，7，11}中任取 3 个元素分别 作为直线方程 Ax+By+C=0 中的 A、B、C，所得的 经过坐标原点的直线有_________条.（答案： 30）新疆 王新敞 奎屯三、讲解范例：例 1 由数字１、２、３、４、５、６、７组成 无重复数字的七位数 (1）求三个偶数必相邻的七位数的个数；（2） 求三个偶数互不相邻的七位数的个数 解 (1)：因为三个偶数２、４、６必须相邻， 所以要得到一个符合条件的七位数可以分为如 下三步： 4 第一步将１、３、５、７四个数字排好有 P4 种新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯特殊优先法 对于存在特殊元素或者特殊位 置的排列组合问题，我们可以从这些特殊的东 西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解 决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法. 例如：用 0、1、2、3、4 这 5 个数字，组成没 有重复数字的三位数，其中偶数共有________ 个.（答案：30 个）新疆 王新敞 奎屯科学分类法 对于较复杂的排列组合问题， 由于情况繁多，因此要对各种不同情况，进行新疆 王新敞 奎屯不同的排法； 第二步将２、４、６三个数字“捆绑”在一起 P3 有 3 种不同的“捆绑”方法; 第三步将第二步“捆绑”的这个整体“插入” 到第一步所排的四个不同数字的五个“间隙” (包括两端的两个位置)中的其中一个位置上, P1 有 5 种不同的“插入”方法新疆 王新敞 奎屯2P 4 ? P33 ? P51 根据乘法原理共有 4 ＝720 种不同的 排法 所以共有 720 个符合条件的七位数 解（2）：因为三个偶数２、４、６互不相邻， 所以要得到符合条件的七位数可以分为如下两 步： 4 第一步将１、 ３、 ５、 ７四个数字排好， P4 种 有新疆 王新敞奎屯新疆 王新敞 奎屯第三类（２－２－２）分法，这是一类整 体“等分”的问题，首先从六个不同元素中选 2 取出两个不同元素作为一个组有 C 6 种不同的 取法，再从余下的四个元素中取出两个不同的 2 元素作为一个组有 C 4 种不同的取法，最后余下 的两个元素自然作为一个组 由于三组等分存在 P3 先后选取的不同的顺序，所以应除以 3 ，因此 2 2 C6 ? C4 3 共有 P3 ＝15 种不同的分组方法新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯不同的排法； 第二步将２、４、６分别“插入”到第一步排 的四个数字的五个“间隙”（包括两端的两个 3 位置）中的三个位置上，有 P5 种“插入”方法 4 3 根据乘法原理共有 P4 ? P5 ＝1440 种不同的排 法 所以共有 1440 个符合条件的七位数 例２ 将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ分成三组， 共有多少种不同的分法？ 解：要将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ分成三组， 可以分为三类办法： （１－１－４）分法、（１－２－３）分法、 （２－２－２）分法 下面分别计算每一类的方法数： 第一类（１－１－４）分法，这是一类整体不 等分局部等分的问题，可以采用两种解法 解法一：从六个元素中取出四个不同的元素构 成一个组，余下的两个元素各作为一个组，有 C 64 种不同的分法新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯新疆 王新敞 奎屯根据加法原理，将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ 六个元素分成三组共有：15＋60＋15＝90 种不 同的方法新疆 王新敞 奎屯例３ 一排九个坐位有六个人坐，若每个空 位两边都坐有人，共有多少种不同的坐法？ 解：九个坐位六个人坐，空了三个坐位，每个 空位两边都有人，等价于三个空位互不相邻， P6 可以看做将六个人先依次坐好有 6 种不同的坐 法，再将三个空坐位“插入”到坐好的六个人 之间的五个“间隙”（不包括两端）之中的三 3 个不同的位置上有 C5 种不同的“插入”方法 根新疆 王新敞 奎屯据乘法原理共有 P ? C ＝7200 种不同的坐法6 6 3 5新疆 王新敞 奎屯解法二：从六个元素中先取出一个元素作为一 C1 个组有 6 种选法，再从余下的五个元素中取出 1 一个元素作为一个组有 C5 种选法，最后余下的 四个元素自然作为一个组，由于第一步和第二 步各选取出一个元素分别作为一个组有先后之 2 分，产生了重复计算，应除以 P2新疆 王新敞 奎屯C ?C 2 所以共有 P2 ＝15 种不同的分组方法 第二类（１－２－３）分法，这是一类整 体和局部均不等分的问题，首先从六个不同的 1 元素中选取出一个元素作为一个组有 C6 种不同1 6 1 5新疆 王新敞 奎屯排列组合问题 II 相临问题—— ——整体捆绑法 一、相临问题——整体捆绑法 例 1．7 名学生站成一排，甲、乙必须站在一 起有多少不同排法？ 解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法 解决， 先将甲乙二人看作一个元素与其他五人 进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有 种。 捆绑法:要求某几个元素必须排在一起的问题, 可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元 素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列, 同时要注意合并元素内部也可以作排列.一般 地: 个人站成一排,其中某 个人相邻,可用 “捆绑”法解决，共有 种排法。3的选法，再从余下的五个不同元素中选取出两 2 个不同的元素作为一个组有 C 5 种不同的选法， 余下的最后三个元素自然作为一个组，根据乘 C 1 ? C 52 ＝60 种不同的分组方法 法原理共有 6新疆 王新敞 奎屯练习：5 个男生 3 个女生排成一排,3 个女生要 练习 排在一起,有多少种不同的排法? 分析 此题涉及到的是排队问题,对于女生有特 殊的限制,因此,女生是特殊元素,并且要求她 们要相邻,因此可以将她们看成是一个元素来 解决问题. 解 因为女生要排在一起,所以可以将 3 个女 6 生看成是一个人,与 5 个男生作全排列,有 P6P3 种排法,其中女生内部也有 3 种排法,根据乘 P66 P33 法原理,共有 种不同的排法. 不相临问题—— ——选空插入法 二、不相临问题——选空插入法 例 2． 7 名学生站成一排，甲乙互不相邻有多 少不同排法？ 甲、 乙二人不相邻的排法一般应用 “插空” 解： 法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：种，但 解：从 7 个点中取 3 个点的取法有 其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三 点共线不能组成三角形，有 3 条，所以满足条 件的三角形共有 －3＝32 个. 练习： 我们班里有 43 位同学,从中任抽 5 人, 练习 正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽 法有多少种? 分析 此题若是直接去考虑的话,就要将问题分 成好几种情况,这样解题的话,容易造成各种情 况遗漏或者重复的情况.而如果从此问题相反 的方面去考虑的话,不但容易理解,而且在计算 中也是非常的简便.这样就可以简化计算过程. 5 解 43 人中任抽 5 人的方法有 C43 种,正副班 长,团支部书记都不在内的抽法有 C40 种,所 以正副班长,团支部书记至少有 1 人在内的抽法 5 5 C43 ? C40 有 种. 特殊元素—— ——优先考虑法 四、特殊元素——优先考虑法 对于含有限定条件的排列组合应用题， 可 以考虑优先安排特殊位置， 然后再考虑其他位 置的安排。 年上海高考题) 例 4． (1995 年上海高考题) 1 名老师和 4 名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排 在两端，则共有不同的排法 种． 解：先考虑特殊元素（老师）的排法，因老师 不排在两端， 故可在中间三个位置上任选一个 位置，有 种，而其余学生的排法有 种，5种 . 插入法:对于某两个元素或者几个元素要求不 相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制 条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求 插入排好元素的空档之中即可.若 个人站成 一排，其中 个人不相邻，可用“插空”法解 决，共有 种排法。 练习： 学校组织老师学生一起看电影，同一 练习 排电影票 12 张。8 个学生，4 个老师，要求老 师在学生中间，且老师互不相邻，共有多少种 不同的坐法？ 分析 此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老 师有特殊的要求,因此老师是特殊元素,在解决 时就要特殊对待.所涉及问题是排列问题. 8 解 先排学生共有 P8 种排法,然后把老师插入 学生之间的空档，共有 7 个空档可插,选其中的 4 4 个空档,共有 P7 种选法.根据乘法原理,共有 , 8 4 P8 P7 的不同坐法为 种. 三、复杂问题——总体排除法或排异法 复杂问题——总体排除法或排异法 —— 有些问题直接法考虑比较难比较复杂，或分类 不清或多种时，而它的反面往往比较简捷，可 考虑用“排除法”，先求出它的反面,再从整体 中排除.解决几何问题必须注意几何图形本身 对其构成元素的限制。 年全国高考题) 例 3.(1996 年全国高考题)正六边形的中心和 顶点共 7 个点， 以其中 3 个点为顶点的三角形 共有 个.所以共有 ＝72 种不同的排法. 年全国高考题） 例 5．（2000 年全国高考题）乒乓球队的 10 名队员中有 3 名主力队员， 5 名队员参加比 派 赛，3 名主力队员要安排在第一、三、五位置， 其余 7 名队员选 2 名安排在第二、四位置，那 么不同的出场安排共有 种. 解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主 力队员，有 种排法，而其余 7 名队员选出 种排法，所2 名安排在第二、四位置，有以不同的出场安排共有 ＝252 种. 多元问题—— ——分类讨论法 五、多元问题——分类讨论法 对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类 讨论，最后总计。 年北京春招） 例 6．（2003 年北京春招）某班新年联欢会原 定的 5 个节目已排成节目单， 开演前又增加了4两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单 中，那么不同插法的种数为（A ） A．42 B．30 C．20 D．12 解：增加的两个新节目，可分为相临与不相临 两种情况：1.不相临：共有 A62 种；2.相临： 2 1 2 共有 A2 A6 种。故不同插法的种数为：A6 2 1 +A2 A6 =42 ，故选 A。 年全国高考试题） 例 7．（2003 年全国高考试题）如图，一个地 区分为 5 个行政区域，现给地图着色，要求相 邻地区不得使用同一颜色， 现有 4 种颜色可供 选择， 则不同的着色方法共有 种. （以数字作答）（ 年北京高考试题） 例 9． 2003 年北京高考试题）从黄瓜、白菜、 油菜、扁豆 4 种蔬菜品种中选出 3 种，分别种 在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种 植，不同的种植方法共有（） A．24 种 B．18 种 C．12 种 D．6 种 解:先选后排,分步实施. 由题意，不同 2 1 2 的选法有: C3 种,不同的排法有: A3 ·A2 ,故不 1 2 2 同的种植方法共有 A3 ·C3 ·A2 =12，故应选 C. 相同元素分配—— ——档板分隔法 七．相同元素分配——档板分隔法 10．把 10 本相同的书发给编号为 1、2、3 例 10 的三个学生阅览室， 每个阅览室分得的书的本 数不小于其编号数，试求不同分法的种数。请 用尽可能多的方法求解， 并思考这些方法是否 适合更一般的情况？本题考查组合问题。 解：先让 2、3 号阅览室依次分得 1 本书、2 本书；再对余下的 7 本书进行分配，保证每个 阅览室至少得一本书， 这相当于在 7 本相同书 之间的 6 个“空档”内插入两个相同“I” （一般可视为“隔板”）共有 种插法，即有 15 种分法。 转化法: 八．转化法: 对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题， 可以利用转化思想,将其化归为简单的、具体的 问题来求解. 例 11 高二年级 8 个班,组织一个 12 个人的年级 学生分会,每班要求至少 1 人,名额分配方案有 多少种? 分析 此题若直接去考虑的话,就会比较复杂. 但如果我们将其转换为等价的其他问题,就会 显得比较清楚,方法简单,结果容易理解. 解： 此题可以转化为:将 12 个相同的白球分成 8 份,有多少种不同的分法问题,因此须把这 12 个白球排成一排,在 11 个空档中放上 7 个相同 的黑球,每个空档最多放一个,即可将白球分成 7 8 份,显然有 C11 种不同的放法,所以名额分配 方案有 C11 种. 剩余法: 九．剩余法: 在组合问题中,有多少取法,就有多少种剩法, 他们是一一对应的,因此,当求取法困难时,可 转化为求剩法. 例 12 袋中有 5 分硬币 23 个,1 角硬币 10 个, 如果从袋中取出 2 元钱,有多少种取法?57解：区域１与其他四个区域相邻，而其他每个 区域都与三个区域相邻，因此，可以涂三种或 四种颜色． 用三种颜色着色有 =24 种方法, 用四种颜色着色有 =48 种 方法,从而共有 24+48=72 种方法,应填 72. 混合问题—— ——先选后排法 六、混合问题——先选后排法 对于排列组合的混合应用题， 可采取先选 取元素，后进行排列的策略． 年北京高考） 例 8．（2002 年北京高考）12 名同学分别 到三个不同的路口进行车流量的调查， 若每个 路口 4 人，则不同的分配方案共有（ ） A． 种 B． 种C． 种 D． 种 解：本试题属于均分组问题。则 12 名同学均 分成 3 组共有 种方法,分配到三个不同 种，的路口的不同的分配方案共有： 故选 A。分析 此题是一个组合问题,若是直接考虑取钱 的问题的话,情况比较多,也显得比较凌乱,难 以理出头绪来.但是如果根据组合数性质考虑 剩余问题的话,就会很容易解决问题. 解 把所有的硬币全部取出来,将得到 0.05× 23+0.10×10=2.15 元,所以比 2 元多 0.15 元, 所以剩下 0.15 元即剩下 3 个 5 分或 1 个 5 分与 3 1 1 1 个 1 角,所以共有 C23 + C23 ? C10 种取法. 对等法: 十．对等法: 在有些题目中,它的限制条件的肯定与否定是 对等的,各占全体的二分之一.在求解中只要求 出全体,就可以得到所求. 例 13 期中安排考试科目 9 门,语文要在数学 之前考,有多少种不同的安排顺序? 分析 对于任何一个排列问题,就其中的两个元 素来讲的话,他们的排列顺序只有两种情况,并 且在整个排列中,他们出现的机会是均等的,因 此要求其中的某一种情况,能够得到全体,那么 问题就可以解决了.并且也避免了问题的复杂 性. 解 不加任何限制条件,整个排法有 种, P99 “语文安排在数学之前考”,与“数学安排在语 文之前考”的排法是相等的, 所以语文安排在 1 9 P9 数学之前考的排法共有 2 种. 十．平均分组问题: 平均分组问题: 例 14．6 本不同的书，按下列要求各有多少种不 同的选法： （1）分给甲、乙、丙三人，每人 2 本； （2）分为三份，每份 2 本； （3）分为三份，一份 1 本，一份 2 本，一份 3 本； （4）分给甲、乙、丙三人，一人 1 本，一人 2 本，一人 3 本； （5）分给甲、乙、丙三人，每人至少 1 本。 2 2 2 解： （1） 根据分步计数原理得到：C 6 C 4 C 2 = 90 种；2 2 2 （2）分给甲、乙、丙三人，每人两本有 C 6 C 4 C 22 2 2 3 法．根据分步计数原理可得： C 6 C 4 C 2 = xC 3 ， C 2C 2C 2 x = 6 4 2 = 15 3 A3 ． 所以因此，分为三份，每份两本一共有 15 种方法。 （3）这是“不均匀分组”问题，一共有 1 3 C 6 C 52 C 3 = 60 种方法． （4）在（3）的基础上再进行全排列，所以一 1 2 3 3 共有 C 6 C 5 C 3 A3 = 360 种方法． （5）可以分为三类情况：①“2、2、2 型”即 2 2 2 （1）中的分配情况，有 C 6 C 4 C 2 = 90 种方法； ②“1、2、3 型”即（4） 中的分配情况，有 1 3 3 C 6 C 52 C 3 A3 = 360 种方 法；③“1、1、4 型”， 4 3 有 C 6 A3 = 90 种方法， 所以，一共有 90+360+90＝540 种方法． 总之，排列、组合应用题的解题思路可总结为： 排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合； 分类为加，分步为乘。 具体说，解排列组合的应用题，通常有以下途 径： （1） 以元素为主体， 即先满足特殊元素的要求， 再考虑其他元素。 （2） 以位置为主体， 即先满足特殊位置的要求， 再考虑其他位置。 （3） 先不考虑附加条件， 计算出排列或组合数， 再减去不合要求的排列组合数。鸡兔同笼 一、基本问题 “鸡兔同笼”是一类有名的中国古算题.最早 出现在《孙子算经》中.许多小学算术应用题都 可以转化成这类问题，或者用解它的典型解法-“假设法”来求解.因此很有必要学会它的解法 和思路.6种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分 为三份，每份两本，设有 x 种方法；第二步再 3 将这三份分给甲、乙、丙三名同学有 A3 种方例 1 有若干只鸡和兔子，它们共有 88 个 头，244 只脚，鸡和兔各有多少只？ 解：我们设想，每只鸡都是“金鸡独立”， 一只脚站着；而每只兔子都用两条后腿，像人 一样用两只脚站着.现在，地面上出现脚的总数 的一半，?也就是 244÷2=122（只）. 在 122 这个数里，鸡的头数算了一次，兔 子的头数相当于算了两次.因此从 122 减去总 头数 88，剩下的就是兔子头数 122-88=34， 有 34 只兔子.当然鸡就有 54 只. 答：有兔子 34 只，鸡 54 只.如果设想 88 只都是兔子，那么就有 4×8 8 只脚，比 244 只脚多了 88×4-244=108（只）. 每只鸡比兔子少（4-2）只脚，所以共有鸡 （88×4-244）÷（4-2）= 54（只）. 说明我们设想的 88 只“兔子”中，有 54 只 不是兔子.而是鸡.因此可以列出公式 鸡数=（兔脚数 总头数 总脚数） （兔脚数总头数-总脚数 鸡数 （兔脚数×总头数 总脚数）÷（兔脚数 鸡脚数） 鸡脚数）. 当然，我们也可以设想 88 只都是“鸡”，那 么共有脚 2×88=176（只），比 244 只脚少 了 244-176=68（只）.上面的计算，可以归结为下面算式： 每只鸡比每只兔子少（4-2）只脚， 总脚数÷2-总头数=兔子数. 68÷2=34（只）. 上面的解法是《孙子算经》中记载的.做一 次除法和一次减法，马上能求出兔子数，多简 单！能够这样算，主要利用了兔和鸡的脚数分 别是 4 和 2，4 又是 2 的 2 倍.可是，当其他问 题转化成这类问题时，“脚数”就不一定是 4 和 2，上面的计算方法就行不通.因此，我们对这 类问题给出一种一般解法. 还说例 1. 上面两个公式不必都用，用其中一个算出 兔数或鸡数，再用总头数去减，就知道另一个 数. 说明设想中的“鸡”，有 34 只是兔子，也可 以列出公式 兔数=（总脚数 鸡脚数 总头数） （兔脚数鸡脚数×总头数 兔数 （总脚数-鸡脚数 总头数）÷（兔脚数 鸡脚数） 鸡脚数）.7假设全是鸡，或者全是兔，通常用这样的 思路求解，有人称为“假设法”. 现在，拿一个具体问题来试试上面的公式. 例 2 红铅笔每支 0.19 元，蓝铅笔每支 0. 11 元，两种铅笔共买了 16 支，花了 2.80 元. 问红、蓝铅笔各买几支？ 解：以“分”作为钱的单位.我们设想，一种 “鸡”有 11 只脚，一种“兔子”有 19 只脚，它们 共有 16 个头，280 只脚. 现在已经把买铅笔问题，转化成“鸡兔同 笼”问题了.利用上面算兔数公式，就有 蓝笔数=（19×16-280）÷（19-11） =24÷8 =3（支）.就知道设想中的 8 只“鸡”应少 5 只，也就 是“鸡”（蓝铅笔）数是 3. 30×8 比 19×16 或 11×16 要容易计算些. 利用已知数的特殊性，靠心算来完成计算. 实际上，可以任意设想一个方便的兔数或 鸡数.例如，设想 16 只中，“兔数”为 10，“鸡 数”为 6，就有脚数 19×10+11×6=256. 比 280 少 24. 24÷（19-11）=3， 就知道设想 6 只“鸡”，要少 3 只. 要使设想的数，能给计算带来方便，常常 取决于你的心算本领. 下面再举四个稍有难度的例子.红笔数=16-3=13（支）. 甲单独打字需 6 小时完成. 例 3 一份稿件， 答：买了 13 支红铅笔和 3 支蓝铅笔. 对于这类问题的计算，常常可以利用已知 脚数的特殊性.例 2 中的“脚数”19 与 11 之和是 30.我们也可以设想 16 只中， 只是“兔子”， 8 8 只是“鸡”，根据这一设想，脚数是 8×（11+19）=240. 现在把甲打字的时间看成“兔”头数，乙打 比 280 少 40. 40÷（19-11）=5.8乙单独打字需 10 小时完成， 现在甲单独打若干 小时后，因有事由乙接着打完，共用了 7 小时. 甲打字用了多少小时？ 解：我们把这份稿件平均分成 30 份（30 是 6 和 10 的最小公倍数），甲每小时打 30÷ 6=5（份），乙每小时打 30÷10=3（份）.字的时间看成“鸡”头数，总头数是 7.“兔”的脚数是 5，“鸡”的脚数是 3，总脚数是 30，就把 问题转化成“鸡兔同笼”问题了.父年龄是 （25-14）×4-4=40（岁）.根据前面的公式 因此，当父的年龄是兄的年龄的 3 倍时， “兔”数=（30-3×7）÷（5-3） =4.5， “鸡”数=7-4.5 =2.5， 倍. 也就是甲打字用了 4.5 小时，乙打字用了 2.5 小时. 答：甲打字用了 4 小时 30 分. 例 4 今年是 1998 年，父母年龄（整数） 和是 78 岁，兄弟的年龄和是 17 岁.四年后（2 002 年）父的年龄是弟的年龄的 4 倍，母的年 龄是兄的年龄的 3 倍.那么当父的年龄是兄的年 龄的 3 倍时，是公元哪一年？ 蜘蛛数=（118-6×18）÷（8-6） 解：4 年后，两人年龄和都要加 8.此时兄 弟年龄之和是 17+8=25， 父母年龄之和是 78 +8=86.我们可以把兄的年龄看作“鸡”头数， 弟 的年龄看作“兔”头数.25 是“总头数”.86 是“总 脚数”.根据公式，兄的年龄是 （25×4-86）÷（4-3）=14（岁）. 1998 年，兄年龄是 14-4=10（岁）. 因此就知道 6 条腿的小虫共 18-5=13（只）. 也就是蜻蜓和蝉共有 13 只，它们共有 20 对翅膀.再利用一次公式 蝉数=（13×2-20）÷（2-1）=6（只）.9兄的年龄是 （40-10）÷（3-1）=15（岁）. 这是 2003 年. 答： 公元 2003 年时， 父年龄是兄年龄的 3例 5 蜘蛛有 8 条腿，蜻蜓有 6 条腿和 2 对翅膀， 蝉有 6 条腿和 1 对翅膀.现在这三种小 虫共 18 只，有 118 条腿和 20 对翅膀.每种小 虫各几只？ 解：因为蜻蜓和蝉都有 6 条腿，所以从腿 的数目来考虑，可以把小虫分成“8 条腿”与“6 条腿”两种.利用公式就可以算出 8 条腿的=5（只）.因此蜻蜓数是 13-6=7（只）. 答：有 5 只蜘蛛，7 只蜻蜓，6 只蝉. 例 6 某次数学考试考五道题，全班 52 人 参加，共做对 181 道题，已知每人至少做对 1 道题， 做对 1 道的有 7 人， 道全对的有 6 人， 5 做对 2 道和 3 道的人数一样多，那么做对 4 道 的人数有多少人？例 7 买一些 4 分和 8 分的邮票，共花 6 元 8 角.已知 8 分的邮票比 4 分的邮票多 40 张， 那么两种邮票各买了多少张？ 解一： 解一：如果拿出 40 张 8 分的邮票，余下 的邮票中 8 分与 4 分的张数就一样多. （680-8×40）÷（8+4）=30（张）， 这就知道，余下的邮票中，8 分和 4 分的解：对 2 道、3 道、4 道题的人共有 52-7-6=39（人）. 他们共做对 181-1×7-5×6=144（道）. 由于对 2 道和 3 道题的人数一样多，我们 就可以把他们看作是对 2.5 道题的人（（2+3） ÷2=2.5）.这样各有 30 张. 因此 8 分邮票有 40+30=70（张）. 答：买了 8 分的邮票 70 张，4 分的邮票 3 0 张. 也可以用任意假设一个数的办法. 解二： 解二：譬如，假设有 20 张 4 分，根据条兔脚数=4，鸡脚数=2.5， 总脚数=144，总头数=39.件“8 分比 4 分多 40 张”， 那么应有 60 张 8 分. 以“分”作为计算单位，此时邮票总值是 4×20+8×60=560.对 4 道题的有 比 680 少，因此还要增加邮票.为了保持 （144-2.5×39）÷（4-1.5）=31（人）. 答：做对 4 道题的有 31 人. 两数之差”的问题 二、“两数之差 的问题 两数之差 鸡兔同笼中的总头数是“两数之和”，如果 把条件换成“两数之差”，又应该怎样去解呢？ “差”是 40，每增加 1 张 4 分，就要增加 1 张 8 分，每种要增加的张数是 （680-4×20-8×60） （4+8） （张） ÷ =10 . 因此 4 分有 20+10=30（张），8 分有 6 0+10=70（张）.10例 8 一项工程，如果全是晴天，15 天可 以完成.倘若下雨，雨天一天（100+28÷2）÷（2+1）=38（只）. 鸡是 100-38=62（只）.工程要多少天才能完成？ 答：鸡 62 只，兔 38 只. 解：类似于例 3，我们设工程的全部工作 量是 150 份，晴天每天完成 10 份，雨天每天 完成 8 份.用上一例题解一的方法，晴天有 （150-8×3）÷（10+8）= 7（天）. 雨天是 7+3=10 天，总共 7+10=17（天）. 答：这项工程 17 天完成. 4×50-2×50=100， 请注意，如果把“雨天比晴天多 3 天”去掉， 而换成已知工程是 17 天完成， 由此又回到上一 节的问题.差是 3，与和是 17，知道其一，就能 推算出另一个.这说明了例 7、例 8 与上一节基 本问题之间的关系. 总脚数是“两数之和”，如果把条件换成“两 数之差”，又应该怎样去解呢？ 例 9 鸡与兔共 100 只，鸡的脚数比兔的 脚数少 28.问鸡与兔各几只？ 解一： 也就是再有 解一：假如再补上 28 只鸡脚， 鸡 28÷2=14（只），鸡与兔脚数就相等，兔 的脚是鸡的脚 4÷2=2（倍），于是鸡的只数是 兔的只数的 2 倍.兔的只数是11当然也可以去掉兔 28÷4=7 （只） .兔的只 数是 （100-28÷4）÷（2+1）+7=38（只）. 也可以用任意假设一个数的办法. 解二： 解二：假设有 50 只鸡，就有兔 100-50= 50（只）.此时脚数之差是比 28 多了 72.就说明假设的兔数多了 （鸡 数少了）.为了保持总数是 100，一只兔换成一 只鸡，少了 4 只兔脚，多了 2 只鸡脚，相差为 6 只（千万注意，不是 2）.因此要减少的兔数 是 （100-28）÷（4+2）=12（只）. 兔只数是 50-12=38（只）. 另外，还存在下面这样的问题：总头数换 成“两数之差”，总脚数也换成“两数之差”.例 10 古诗中，五言绝句是四句诗，每句 都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七 个字.有一诗选集，其中五言绝句比七言绝句多 13 首， 总字数却反而少了 20 个字.问两种诗各 多少首.说明假设诗的首数少了.为了保持相差 13 首，增加一首五言绝句，也要增一首七言绝句， 而字数相差增加 8.因此五言绝句的首数要比假 设增加 200÷8=25（首）.解一： 两种诗首 解一：如果去掉 13 首五言绝句， 数就相等，此时字数相差 13×5×4+20=280（字）. 每首字数相差 7×4-5×4=8（字）. 因此，七言绝句有 28÷（28-20）=35（首）. 五言绝句有 35+13=48（首）. 答：五言绝句 48 首，七言绝句 35 首. 解二： 那么根据相 解二：假设五言绝句是 23 首， 差 13 首，七言绝句是 10 首.字数分别是 20× 23=460（字），28×10=280（字），五言 绝句的字数，反而多了 460-280=180（字）. 是 与题目中“少 20 字”相差 （20×13+20）÷（28-20）=35（首）. 180+20=200（字）.12五言绝句有 23+25=48（首）. 七言绝句有 10+25=35（首）. 在写出“鸡兔同笼”公式的时候，我们假设 都是兔，或者都是鸡，对于例 7、例 9 和例 10 三个问题，当然也可以这样假设.现在来具体做 一下，把列出的计算式子与“鸡兔同笼”公式对 照一下，就会发现非常有趣的事. 例 7，假设都是 8 分邮票，4 分邮票张数 是 （680-8×40）÷（8+4）=30（张）. 例 9，假设都是兔，鸡的只数是 （100×4-28）÷（4+2）=62（只）. 10，假设都是五言绝句，七言绝句的首数首先，请读者先弄明白上面三个算式的由 来，然后与“鸡兔同笼”公式比较，这三个算式 只是有一处“-”成了“+”.其奥妙何在呢？ 当你进入初中，有了负数的概念，并会列 二元一次方程组，就会明白，从数学上说，这 一讲前两节列举的所有例子都是同一件事. 例 11 有一辆货车运输 2000 只玻璃瓶， 运费按到达时完好的瓶子数目计算， 每只 2 角， 如有破损， 破损瓶子不给运费， 还要每只赔偿 1 元.结果得到运费 379.6 元， 问这次搬运中玻璃 瓶破损了几只？ 运费应是 400 元.但破 解：如果没有破损， 损一只要减少 1+0.2=1.2（元）.因此破损只 数是解一： 得 解一：如果小明第一次测验 24 题全对， 5×24=120（分）.那么第二次只做对 30-24 =6（题）得分是 8×6-2×（15-6）=30（分）. 两次相差 120-30=90（分）. 比题目中条件相差 10 分，多了 80 分.说 明假设的第一次答对题数多了，要减少.第一次 答对减少一题，少得 5+1=6（分），而第二次 答对增加一题不但不倒扣 2 分，还可得 8 分， 因此增加 8+2=10 分.两者两差数就可减少 6+10=16（分）. （90-10）÷（6+10）=5（题）.（400-379.6）÷（1+0.2）=17（只）. 因此，第一次答对题数要比假设（全对） 答：这次搬运中破损了 17 只玻璃瓶. 请你想一想，这是“鸡兔同笼”同一类型的 问题吗？ 例 12 有两次自然测验，第一次 24 道题， 答对 1 题得 5 分，答错（包含不答）1 题倒扣 1 分；第二次 15 道题，答对 1 题 8 分，答错 或不答 1 题倒扣 2 分，小明两次测验共答对 3 0 道题，但第一次测验得分比第二次测验得分 多 10 分，问小明两次测验各得多少分？ 答：第一次得 90 分，第二次得 80 分. 解二： 解二：答对 30 题，也就是两次共答错13减少 5 题，也就是第一次答对 19 题，第二次 答对 30-19=11（题）. 第一次得分 5×19-1×（24- 9）=90. 第二次得分 8×11-2×（15-11）=80.24+15-30=9（题）. 第一次答错一题，要从满分中扣去 5+1= 6（分），第二次答错一题，要从满分中扣去 8 +2=10（分）.答错题互换一下，两次得分要 相差 6+10=16（分）.解：从条件“铅笔数量是圆珠笔的 4 倍”， 这两种笔可并成一种笔，四支铅笔和一支圆珠 笔成一组，这一组的笔，每支价格算作 （0.60×4+2.7）÷5=1.02（元）. 现在转化成价格为 1.02 和 6.3 两种笔.用如果答错 9 题都是第一次，要从满分中扣 去 6×9.但两次满分都是 120 分.比题目中条件 “第一次得分多 10 分”， 要少了 6×9+10.因此， 第二次答错题数是 （6×9+10）÷（6+10）=4（题）? 第一次答错 9-4=5（题）. 第一次得分 5× （24-5） -1×5=90 （分） . 第二次得分 8× （15-4） -2×4=80 （分） . 三、从“三”到“二” 三 到 二 “鸡”和“兔”是两种东西， 实际上还有三种或 者更多种东西的类似问题.在第一节例 5 和例 6 就都有三种东西.从这两个例子的解法，也可以 看出，要把“三种”转化成“二种”来考虑.这一节 要通过一些例题，告诉大家两类转化的方法. 例 13 学校组织新年游艺晚会，用于奖品 的铅笔、圆珠笔和钢笔共 232 支，共花了 300 元.其中铅笔数量是圆珠笔的 4 倍.已知铅笔每 支 0.60 元，圆珠笔每支 2.7 元，钢笔每支 6. 3 元.问三种笔各有多少支？“鸡兔同笼”公式可算出，钢笔支数是 （300-1.02×232）÷（6.3-1.02）=12 （支）. 铅笔和圆珠笔共 232－12＝220（支）. 其中圆珠笔 220÷（4+1）=44（支）. 铅笔 220-44=176（支）. 答：其中钢笔 12 支，圆珠笔 44 支，铅笔 176 支. 例 14 商店出售大、中、小气球，大球每 个 3 元，中球每个 1.5 元，小球每个 1 元.张老 师用 120 元共买了 55 个球，其中买中球的钱 与买小球的钱恰好一样多.问每种球各买几个？ 解：因为总钱数是整数，大、小球的价钱 也都是整数，所以买中球的钱数是整数，而且 还是 3 的整数倍.我们设想买中球、小球钱中各14出 3 元.就可买 2 个中球，3 个小球.因此，可 以把这两种球看作一种，每个价钱是 （1.5×2+1×3）÷（2+3）=1.2（元）. 从公式可算出，大球个数是 （120-1.2×55）÷（3-1.2）=30（个）. 买中、小球钱数各是 （120-30×3）÷2=15（元）. 可买 10 个中球，15 个小球. 答：买大球 30 个、中球 10 个、小球 15 个.去时走 1 千米， 要用 20 分钟； 回来时走 1 千米，要用 10 分钟.来回共走 2 千米，用了 3 0 分钟，即半小时，平均速度是每小时走 4 千 米. 千万注意，平均速度不是 不是两个速度的平均 不是 值：每小时走（6+3）÷2=4.5 千米. 例 16 从甲地至乙地全长 45 千米，有上 坡路、平路、下坡路.李强上坡速度是每小时 3 千米，平路上速度是每小时 5 千米，下坡速度 是每小时 6 千米.从甲地到乙地，李强行走了 1 0 小时；从乙地到甲地，李强行走了 11 小时. 问从甲地到乙地，各种路段分别是多少千米？ 解：把来回路程 45×2=90（千米）算作例 13 是从两种东西的个数之间倍数关系， 例 14 是从两种东西的总钱数之间相等关系 （倍 数关系也可用类似方法），把两种东西合井成 一种考虑，实质上都是求两种东西的平均价， 就把“三”转化成“二”了. 例 15 是为例 16 作准备.全程.去时上坡，回来是下坡；去时下坡回来时 上坡.把上坡和下坡合并成“一种”路程，根据例 15， 平均速度是每小时 4 千米.现在形成一个非 常简单的“鸡兔同笼”问题.头数 10+11=21， 总脚数 90，鸡、兔脚数分别是 4 和 5.因此平 路所用时间是 （90-4×21）÷（5-4）=6（小时）.例 15 某人去时上坡速度为每小时走 3 千 米，回来时下坡速度为每小时走 6 千米，求他 的平均速度是多少？ 从甲地至乙地，上坡和下坡用了 10-3=7 解：去和回来走的距离一样多.这是我们考 虑问题的前提. 45-5×3=30（千米）. 平均速度=所行距离÷所用时间 （小时）行走路程是 单程平路行走时间是 6÷2=3（小时）.15又是一个“鸡兔同笼”问题.从甲地至乙地， 上坡行走的时间是 （6×7-30）÷（6-3）=4（小时）.只能是 0，2，4 这三个数.由于 42 不能被 4 整 除， 和 4 都不合适.只能是考 25 题有 2 次 0 （考 20 题有 6 次）. 答：其中考 25 题有 2 次.行走路程是 3×4=12（千米）. 例 18 有 50 位同学前往参观，乘电车前 下坡行走的时间是 7-4=3 （小时） .行走路 程是 6×3=18（千米）. 答：从甲地至乙地，上坡 12 千米，平路 1 5 千米，下坡 18 千米. 做两次“鸡兔同笼”的解法，也可以叫“两重 鸡兔同笼问题”.例 16 是非常典型的例题. 共出了 4 例 17 某种考试已举行了 24 次， 26 题.每次出的题数，有 25 题，或者 16 题， 或者 20 题.那么，其中考 25 题的有多少次？ 还余下 50-30=20（人）都乘小巴钱也不 解：如果每次都考 16 题，16×24=384， 比 426 少 42 道题. 如果有 40 人乘电车 每次考 25 道题，就要多 25-16=9（道）. 110-1.2×40=62（元）. 每次考 20 道题，就要多 20-16=4（道）. 还余下 50-40=10（人）都乘地下铁路前 就有 9×考 25 题的次数+4×考 20 题的次数=4 2. 请注意，4 和 42 都是偶数，9×考 25 题 次数也必须是偶数，因此，考 25 题的次数是偶 数，由 9×6=54 比 42 大，考 25 题的次数， 往，钱还有多（62＞6×10）.说明假设的乘电 车人数又多了.30 至 40 之间，只有 35 是 5 的 整数倍. 现在又可以转化成“鸡兔同笼”了： 总头数 50-35=15，16往每人 1.2 元，乘小巴前往每人 4 元，乘地下 铁路前往每人 6 元.这些同学共用了车费 110 元，问其中乘小巴的同学有多少位？ 解：由于总钱数 110 元是整数，小巴和地 铁票也都是整数，因此乘电车前往的人数一定 是 5 的整数倍. 如果有 30 人乘电车， 110-1.2×30=74（元）.够.说明假设的乘电车人数少了.总脚数 110-1.2×35=68. 因此，乘小巴前往的人数是 （6×15-68）÷（6-4）=11. 答：乘小巴前往的同学有 11 位. 在“三”转化为“二”时，例 13、例 14、例 1 6 是一种类型.利用题目中数量比例关系，把两 种东西合并组成一种.例 17、 18 是另一种类 例 型.充分利用所求个数是整数， 以及总量的限制， 其中某一个数只能是几个数值.对几个数值逐一 考虑是否符合题目的条件.确定了一个个数，也 就变成“二”的问题了.在小学算术的范围内，学 习这两种类型已足够了.更复杂的问题，只能借 助中学的三元一次方程组等代数方法去求解.3、交集：A、B 两个集合公共的元素，也就是那 些既属于 A，又属于 B 的元素，它们组成的集合 叫做 A 和 B 的交集，记作“A∩B”，读作“A 交 B”，如图阴影表示：容斥问题 一、知识点 1、集合与元素：把一类事物的全体放在一起就 形成一个集合。每个集合总是由一些成员组成 的，集合的这些成员，叫做这个集合的元素。 如：集合 A={0，1，2，3，……，9}，其中 0， 1，2，…9 为 A 的元素。 2、并集：由所有属于集合 A 或集合 B 的元素所 组成的集合，叫做 A，B 的并集，记作 A∪B，记 号“∪”读作“并”。A∪B 读作“A 并 B”，用 图表示为图中阴影部分表示集合 A，B 的并集 A ∪B。例：已知 6 的约数集合 A={1，2，3，6}，10 的 约数集合 B={1，2，5，10}，则 A∩B={1，2}。 4、容斥原理（包含与排除原理）： （用|A|表示集合 A 中元素的个数，如 A={1，2， 3}，则|A|=3） 原理一：给定两个集合 A 和 B，要计算 A∪B 中 元素的个数，可以分成两步进行： 第一步：先求出∣A∣+∣B∣（或者说把 A，B 的一切元素都“包含”进来，加在一起）； 第二步：减去∣A∩B∣（即“排除”加了两次 的元素） 总结为公式：|A∪B|=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣ 原理二：给定三个集合 A，B，C。要计算 A∪B ∪C 中元素的个数，可以分三步进行： 第一步：先求∣A∣+∣B∣+∣C∣； 第二步：减去∣A∩B∣，∣B∩C∣，∣C∩A∣； 第三步：再加上∣A∩B∩C∣。 即有以下公式： ∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣-∣A∩B∣∣B∩C∣- |C∩A|+|A∩B∩C∣二、例题分析： 例 1 求不超过 20 的正整数中是 2 的倍数或 3 的倍数的数共有多少个。 分析：设 A={20 以内 2 的倍数}，B={20 以内 3 的倍数}，显然，要求计算 2 或 3 的倍数个数， 即求∣A∪B∣。 解 1：A={2，4，6，…20}，共有 10 个元素， 即|A|=10 B={3，6，9，…18}，共有 6 个元素，即|B|=6 A∩B={既是 2 的倍数又是 3 的倍数}={6，12， 18}，共有 3 个元素，即|A∩B|=3 所以∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣ =10+6-3=13，即 A∪B 中共有 13 个元素。 解 2：本题可直观地用图示法解答17例：已知 6 的约数集合为 A={1，2，3，6}，10 的约数集合为 B={1，2，5，10}，则 A∪B={1， 2，3，5，6，10}如图,其中,圆 A 中放的是不超过 20 的正整数中 2 的倍数的全体;圆 B 中放的是不超过 20 的正整 数中 3 的倍数的全体,其中阴影部分的数 6,12,18 是既是 2 的倍数又是 3 的倍数的数(即 A∩B 中的数)只要数一数集合 A∪B 中的数的个 数即可。 例 2 某班统计考试成绩， 数学得 90 分上的有 25 人；语文得 90 分以上的有 21 人；两科中至 少有一科在 90 分以上的有 38 人。问两科都在 90 分以上的有多少人？ 解：设 A={数学成绩 90 分以上的学生} B={语文成绩 90 分以上的学生} 那么，集合 A∪B 表示两科中至少有一科在 90 分以上的学生，由题意知， ∣A∣=25，∣B∣=21，∣A∪B∣=38 现要求两科均在 90 分以上的学生人数，即求∣ A∩B∣，由容斥原理得 ∣A∩B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∪B∣=25+21-38=8 点评：解决本题首先要根据题意，设出集合 A， B，并且会表示 A∪B，A∩B，再利用容斥原理求 解。 例 3 某班同学中有 39 人打篮球，37 人跑步， 25 人既打篮球又跑步，问全班参加篮球、跑步 这两项体育活动的总人数是多少？ 解：设 A={打篮球的同学}；B={跑步的同学} 则 A∩B={既打篮球又跑步的同学} A∪B={参加打篮球或跑步的同学} 应用容斥原理∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∩B ∣=39+37-25=51（人） 例 4 求在不超过 100 的自然数中，不是 5 的 倍数，也不是 7 的倍数有多少个？ 分析：这个问题与前几个例题看似不相同，不 能直接运用容斥原理，要计算的是“既不是 5 的倍数，也不是 7 的倍数的数的个数。”但是， 只要同学们仔细分析题意，这只需先算出“100以内的 5 的倍数或 7 的倍数的数的个数。”再 从 100 中减去就行了。 解：设 A={100 以内的 5 的倍数} B={100 以内的 7 的倍数} A∩B={100 以内的 35 的倍数} A∪B={100 以内的 5 的倍数或 7 的倍数} 则有∣A∣=20，∣B∣=14，∣A∩B∣=2 由容斥原理一有：∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣-∣A ∩B∣=20+14-2=32 因此，不是 5 的倍数，也不是 7 的倍数的数的 个数是：100-32=68（个） 点评：从以上的解答可体会出一种重要的解题 思想：有些问题表面上看好象很不一样，但经 过细心的推敲就会发现它们之间有着紧密的联 系，应当善于将一个问题转化为另一个问题。 例 5 某年级的课外学科小组分为数学、 语文、 外语三个小组，参加数学小组的有 23 人，参加 语文小组的有 27 人，参加外语小组的有 18 人； 同时参加数学、语文两个小组的有 4 人，同时 参加数学、外语小组的有 7 人，同时参加语文、 外语小组的有 5 人；三个小组都参加的有 2 人。 问：这个年级参加课外学科小组共有多少人？ 解 1：设 A={数学小组的同学}，B={语文小组 的同学}，C={外语小组的同学}，A∩B={数学、 语文小组的同学}，A∩C={参加数学、外语小组 的同学}，B∩C={参加语文、外语小组的同学}， A∩B∩C={三个小组都参加的同学} 由题意知：∣A∣=23，∣B∣=27，∣C∣=18 ∣A∩B∣=4，∣A∩C∣=7，∣B∩C∣=5，∣A∩ B∩C∣=2 根据容斥原理二得： ∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣-∣A∩B∣∣A∩C|-∣B∩C|+|A∩B∩C∣ =23+27+18-（4+5+7）+2 =54（人） 解 2： 利用图示法逐个填写各区域所表示的 集合的元素的个数，然后求出最后结果。18人，把 12 填在三个圆圈的公共部分内（图中阴 影部分），其它 6 部分填上题目中所给出的不 同爱好的同学的人数（注意，有的部分的人数 要经过简单的计算）其中设既喜欢看电影又喜 欢看球赛的人数为χ，这样，全班同学人数就 是这 7 部分人数的和，即 16+4+6+（40-χ）+（36-χ）+12=100 解得 χ=14 只喜欢看电影的人数为 36-14=22设 A、B、C 分别表示参加数学、语文、外语 小组的同学的集合，其图分割成七个互不相交 的区域，区域Ⅶ（即 A∩B∩C）表示三个小组都 参加的同学的集合，由题意，应填 2。区域Ⅳ表 示仅参加数学与语文小组的同学的集合，其人 数为 4-2=2（人）。区域Ⅵ表示仅参加数学与外 语小组的同学的集合，其人数为 7-2=5（人）。 区域Ⅴ表示仅参加语文、外语小组的同学的集 合，其人数为 5-2=3（人）。区域Ⅰ表示只参加 数学小组的同学的集合， 其人数为 23-2-2-5=14 （人）。同理可把区域Ⅱ、Ⅲ所表示的集合的 人数逐个算出，分别填入相应的区域内，则参 加课外小组的人数为； 14+20+8+2+5+3+2=54（人） 点评：解法 2 简单直观，不易出错。由于各个 区域所表示的集合的元素个数都计算出来了， 因此提供了较多的信息，易于回答各种方式的 提问。 例 6 学校教导处对 100 名同学进行调查，结 果有 58 人喜欢看球赛，有 38 人喜欢看戏剧， 有 52 人喜欢看电影。另外还知道，既喜欢看球 赛又喜欢看戏剧（但不喜欢看电影）的有 6 人， 既喜欢看电影又喜欢看戏剧（但不喜欢看球赛） 的有 4 人，三种都喜欢的有 12 人。问有多少同 学只喜欢看电影？有多少同学既喜欢看球赛又 喜欢看电影（但不喜欢看戏剧）？（假定每人 至少喜欢一项） 解法 1：画三个圆圈使它们两两相交，彼此分 成 7 部分（如图）这三个圆圈分别表示三种不 同爱好的同学的集合，由于三种都喜欢的有 12解法 2：设 A={喜欢看球赛的人}，B={喜欢看 戏剧的人}，C={喜欢看电影的人}，依题目的条 件有|A∪B∪C|=100，|A∩B|=6+12=18（这里加 12 是因为三种都喜欢的人当然喜欢其中的两 种），|B∩C|=4+12=16，|A∩B∩C|=12，再设 |A∩C|=12+χ由容斥原理二：|A∪B∪C |=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B ∩C| 得：100=58+38+52-（18+16+х+12）+12 解得：х=14 ∴36-14=22 所以既喜欢看电影又喜欢看球赛的人数为 14， 只喜欢看电影的人数为 22。 点评：解法 1 没有用容斥原理公式，而是先分 别计算出（未知部分设为х）各个部分（本题 是 7 部分）的数目，然后把它们加起来等于总 数，这种计算方法也叫“分块计数法”，它是 利用图示的方法来解决有关问题，希望同学们 能逐步掌握此类方法，它比直接用容斥原理公 式更直观，更具体。 例 7、某车间有工人 100 人，其中有 5 个人只 能干电工工作，有 77 人能干车工工作，86 人能 干焊工工作，既能干车工工作又能干焊工工作 的有多少人？ 解：工人总数 100，只能干电工工作的人数是 5 人，除去只能干电工工作的人，这个车间还有 95 人。 利用容斥原理，先多加既能干车工工作19又能干焊工工作的这一部分，其总数为 163，然 后找出这一公共部分，即 163-95=68 例 8，某次语文竞赛共有五道题（满分不是 100 分），丁一只做对了（1）、（2）、（3） 三题得了 16 分；于山只做对了（2）、（3）、 （4）三题，得了 25 分；王水只做对了（3）、 （4）、（5）三题，得了 28 分，张灿只做对了 （1）、（2）、（5）三题，得了 21 分，李明 五个题都对了他得了多少分？ 解：由题意得：前五名同学合在一起，将五 个试题每个题目做对了三遍，他们的总分恰好 是试题总分的三倍。五人得分总和是 16+25+30+28+21=120。因此，五道题满分总和 是 120÷3=40。所以李明得 40 分。 例 9，某大学有外语教师 120 名，其中教英语 的有 50 名，教日语的有 45 名，教法语的有 40 名，有 15 名既教英语又教日语，有 10 名既教 英语又教法语，有 8 名既教日语又教法语，有 4 名教英语、日语和法语三门课，则不教三门课 的外语教师有多少名？ 解：本题只有求出至少教英、日、法三门课 中一种的教师人数，才能求出不教这三门课的 外语教师的人数。至少教英、日、法三门课中 一种教师人数可根据容斥原理求出。根据容斥 原理,至少教英、日、法三门课中一种的教师人 数为 50+45+40-15-10-8+4=106（人）不教这三 门课的外语教师的人数为 120-106=14（人）还要弄清此时此刻另外的人或车处于什么位 置，他（它）与前两者有什么关系。 分析复杂的行程问题时，最好画线段图帮 助思考 理解并熟记下面的结论，对分析、解答复 杂的行程问题是有好处的。（3）甲的速度是 a，乙的速度是 b，在相同 时间内，甲、乙一共行的【例 1】甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发， 相向而行。如果两人都按原定速度行进，那么 4 小时相遇；现在两人都比原计划每小时少走 1 千米，那么 5 小时相遇。A、B 两地相距多少千 米？ 【分析】可以想象，如果甲、乙两人以现 分析】 在的速度（比原计划每小时少走 1 千米）仍然 走 4 小时，那么他们不能相遇，而是相隔一段 路。这段路的长度是多少呢？就是两人 4 小时 一共比原来少行的路。由于以现在的速度行走， 他们 5 小时相遇，换句话说，再行 1 小时，他 们恰好共同行完这段相隔的路。这样，就能求 出他们现在的速度和了。 【解】1×4×2÷（5-4）×5=40（千米） 这道题属于相遇问题，它的基本关系式是： 速度和×时间= （相隔的） 路程。 但只有符合 “同 时出发，相向而行，经过相同时间相遇”这样 的特点才能运用上面的关系式。不过，当出现 “不同时出发”或“没有相遇（而是还相隔一20行程问题 两个速度不同的人或车，慢的先行（领先）一 段，然后快的去追，经过一段时间快的追上慢 的。这样的问题一般称为追及问题。有时，快 的与慢的从同一地点同时出发，同向而行，经 过一段时间快的领先一段路程，我们也把它看 作追及问题，因为这两种情况都满足 速度差×时间=追及（或领先的）路程 对于有三个以上人或车同时参与运动的行 程问题，在分析其中某两个的运动情况的同时，段路）”的情况时，应该通过转化条件，然后 应用上面的关系式。 【例 2】小王、小张步行的速度分别是每小 时 4.8 千米和 5.4 千米。小李骑车的速度为每 小时 10.8 千米。小王、小张从甲地到乙地，小 李从乙地到甲地，他们三人同时出发，在小张 与小李相遇 5 分钟后，小王又与小李相遇。小 李骑车从乙地到甲地需多长时间？ 【分析】为便于分析，画出线段图 36-1： 分析】【分析】 先画出示意图图 37-1 如下 （图 37-1 中 A 点表示爸爸第一次追上小明的地方， 点表 B 示他第二次追上小明的地方）。从图 37-1 上看 出，在相同时间（从第一次追上到第二次追上） 内，小明从 A 点到 B 点，行完（8-4=）4 千米； 爸爸先从 A 点到家， 再从家到 B 点， （8+4=） 行完 12 千米。可见，爸爸的速度是小明的（12÷4=） 3 倍。从而，行完同样多的路程（比如从家到 A 点），小明所用的时间就是爸爸的 3 倍。图中 C 点表示小张与小李相遇地点， 点表 D 示他们相遇时小王所在地点。 根据题意，小王从 D 点、小李从 C 点同时 出发，相向而行，经过 5 分钟相遇。因此，DC 的长为由于小明从家出发 8 分钟后爸爸去追他， 并且在 A 点追上，所以，小明从家到 A 点比爸 爸多用 8 分钟。这样可以算出，小明从家到 A 所用的时间为 8÷（3-1）×3=12（分） 【解】8÷（3-1）×3×X2=24（分）这段长度也是相同时间内，小张比小王多 行的路程。这里的“相同时间”指从三人同时 出发到小张与小李相遇所经过的时间。这段时 间为 1.3÷（5.4-4.8）×60=130（分） 这就是说，小张行完 AC 这段路（也就是小 李行完 CB 这段路）用了 130 分钟，而小李的速 度是小张速度的 2（=10.8÷5.4）倍，所以小李 行完 AC 这段路只需小张的一半时间（65 分）。 （留给读者完成， 答案是 195 分钟。 ） 【解】 【例 3】上午 8 点 8 分，小明骑自行车从家里 出发， 8 分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离 家 4 千米的地方追上小明。然后爸爸立即回家， 到家后又立即回头去追小明，再追上小明的时 候，离家恰好是 8 千米。问这时是几点几分？【例 4】甲、乙两车分别从 A、B 两地同时 出发，相向而行。甲车每小时行 45 千米，乙车 每小时行 36 干米。相遇以后继续以原来的速度 前进，各自到达目的地后又立即返回，这样不 断地往返行驶。已知途中第二次相遇地点与第 三次相遇地点相距 40 千米。A、B 两地相距多 远？ 【分析】 我们同样还是画出示意图 37-2 （图 37-2 中 P、M、N 分别为第一次、第二次、第三 次相遇地点）：21设 AB 两地的距离为“1”。由甲、乙两车 的速度可以推知：在相同时十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发 点？ 【分析】要知道甲还需跑多少米才能回到 出发点，实质上只要知道甲最后一次离开出发 点又跑出了多少米。我们先来看看甲从一开始 到与乙第十次相遇时共跑了多远。不难知道， 这段时间内甲、乙两人共跑的路程是操场周长 的 10 倍（300×10=3000 米）。因为甲的速度为 每秒钟跑 3.5 米，乙的速度为每秒钟跑 4 米， 由上一讲我们可以知道，这段时间内甲共行 1400通过演示我们还可以知道，第二次相遇时， 甲、 乙两车一共行完了 3 个全程 （AB+BM+BA+AM） ； 第三次相遇时，它们一共行完了 5 个全程 （AB+BA+AN+BA+AB+BN）。 下面，我们只要找出与“40 千米”相对应 的分率（也就是 MN 占全程的几分之几）。 【解】知道甲还需行 100（=300-200）米。（圈）……200（米） 300-200=100（米） 【例 6】如图 38-1，A、B 是圆的一条直径 的两端，小张在 A 点，小王在 B 点，同时出发 逆时针而行，第一周内，他们在 C 点第一次相 遇， D 点第二次相遇。 在 已知 C 点离 A 点 80 米， D 点离 B 点 60 米。求这个圆的周长。注意：为了保证计算正确，应当在示意图 中标上三次相遇时甲、乙两车行的方向。 我们来讨论封闭线路的行程问题。 解决封闭路线中的行程问题， 仍要抓住 “路 程=速度×时间”这个基本关系式，搞清路程、 速度、时间三者之间的关系。 封闭路线中的行程问题，可以转化为非封 闭路线中的行程问题来解决。在求两个沿封闭 路线相向运动的人或物体相遇次数时，还可以 借助图示直观地解决。 直线上的来回运动、钟表上的时针分针夹 角问题，实质上也是封闭路线中的行程问题。 【例 5】甲、乙两名同学在周长为 300 米圆 形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每 秒钟跑 3.5 米，乙每秒钟跑 4 米，问：他们第【分析】这是一个圆周上的追及问题。从 一开始运动到第一次相遇，小张行了 80 米，小 王行了“半个圆周长+80”米，也就是在相同的 时间内，小王比小张多行了半个圆周长，然后， 小张、小王又从 C 点同时开始前进，因为小王 的速度比小张快，要第二次再相遇，只能是小 王沿圆周比小张多跑一圈。从第一次相遇到第 二次相遇小王比小张多走的路程（一个圆周长） 是从开始到第一次相遇小王比小张多走的路程22（半个圆周长）的 2 倍。也就是，前者所花的 时间是后者的 2 倍。对于小张来说，从一开始 到第一次相遇行了 80 米，从第一次相遇到第二 次相遇就应该行 160 米，一共行了 240 米。这 样就可以知道半个圆周长是 180（=240-60）米。 【解】（80+80×2-60）×2=360（米） 【例 3】2 点整以后，经过多长时间时针与 分钟第一次垂直、第三次垂直？ 【分析】分针的速度比时针快，2 点整时， 分针在时针后面 2 格，要使分针与时针第一次 垂直，分针应在时针前面 3（=12÷4）格。也就 是说，这段时间内分针应比时针多走 5 格。而 分针每小时走 12 格，时针每小时走 1 格。275，362，612。那么，第二层楼代表哪 个三位数？【分析】仔细观察图 25-1 和组成四 分析】 个三位数的 12 个数字，“2”出现 3 次， 两次在个位，一次在百位。容易看出图 2 （a）代表“2”，再从“6”、“7”都 出现两次，并根据它们所在的数位以及 与 “2” 的关系， 可推知： 25-2 中 图 （b） 、 （c）分别代表“6”和“7”。后，时针才能与分针第一次垂直。 每个小时内时针与分针重合一次垂直两 次。 时针与分针第三次垂直，分针应比时针多 跑（5+12=）17 格。所以要经【解】第二层楼代表 612。 【例 2】有 8 个球编号是①至⑧，其 中有 6 个球一样重，另外两个球都轻 1 克。为了找出这两个轻球，用天平称了 3 次。结果如下：推理原理 解数学题，从已知条件到未知的结论， 除了计算外，更重要的一个方面就是推 理。通常，我们把主要依靠推理来解的 数学题称为推理问题。 【例 1】有一座四层楼（图 25-1）， 每层楼有 3 个窗户，每个窗户有 4 块玻 璃，分别是白色和蓝色，每个窗户代表 一个数字，从左到右表示一个三位数， 四个楼层所表示的三位数分别是 791，第一次 ①+②比③+④重 第二次 ⑤+⑥比⑦+⑧轻 第三次 ①+③+⑤与②+④+⑧一样 重，那么，两个轻球的编号是__和__。 【分析】从第一次称的结果看，③、 分析】 ④两球中有一个轻；从第二次称的结果 看，⑤、⑥两球中有一个轻；从第三次 称的结果看，①、③、⑤三球中有一个 轻，②、④、⑧三个球中也有一个轻。 综合上面推出的结果，可找出两个轻球。23【解】两个轻球的编号是④和⑤。 说明：在上面的推理中，我们省去 了一步，也就是：排除了①、③、⑤与 ②、④、⑧中都没有轻球的那种可能。 因为容易用反证法导出“⑥、⑦”都是 轻球”这一结论与第二次称的结果相矛 盾。 【例 3】如图 25-3，每个正方体的 六个面上分别写着 1～6 这六个数字，并 且任意两个相对的面上所写的两个数字 之和都等于 7。 把这样的五个正方体一个 挨着一个连接起来后，紧挨着的两个面 上两个数字之和都等于 8。 3 中打 图 “？” 的这个面上所写的数字是__。知：以 2∶0 赢荷兰队的不可能是意大利 队（因为意大利队没有进球），只可能 是德国队（记 2 分）。既然荷兰队输给 德国队，那么它胜的一场一定是对意大 利队，而且比分为 1∶0。德、意两队以 0∶0 踢平（各记 1 分）。 【解】德国队得了 3 分。 【 例 5】 某楼住着 4 个女孩和两个男孩， 他们的年龄各不相同，最大的 10 岁，最 小的 4 岁。 最大的男孩比最小的女孩大 4 岁，最大的女孩比最小的男孩也大 4 岁。 最大的男孩多少岁？ 【分析】最大的孩子（10 岁的）不 分析】 是男孩，就是女孩。如果 10 岁的孩子是 男孩，那么，根据题意，最小的女孩是 6 岁（6=10-4），从而，最小的男孩是 4 岁， 再根据题意， 最大的女孩是 8 岁 （8=4 ＋4）。这就是说，4 个女孩最小的 6 岁， 最大的 8 岁，其中必有两个女孩同岁， 但这与已知条件“他们的年龄各不相同” 矛盾。所以 10 岁的孩子不是男孩，而是 女孩。最小（4 岁）的孩子也是女孩。 【解】最大的男孩是 4＋4=8（岁）。 在上面的分析中，我们用了这样的 性质：如果 4 个自然数只能取三种不同 的值，那么其中必定有两个数相等。 【例 6】一次象棋比赛共有 10 名选 手参加，他们分别来自甲、乙、丙三个 队，每个选手都与其余 9 名选手各赛 1 盘，每盘棋的胜者得 1 分，负者得 0 分， 平局双方各得 0.5 分。结果，甲队选手 平均得 4.5 分，乙队选手平均得 3.6 分， 丙队选手平均得 9 分。那么，甲、乙、 丙三队参加比赛的选手人数各多少？ 【分析】这次比赛共需比 9＋8＋7 分析】 ＋……＋2＋1=45（盘）。因为每盘比赛 双方得分的和都是 1 分（1＋0=1 或 0.5 ×2=1），所以 10 名选手的总得分为 1 ×45=45 （分） 每个队的得分不是整数， 。24分析】 【分析】根据题意，容易推知拐弯 处的那个正方体的右侧面上写的数字可 能是“2”，也可能是“5”。但用反证 法可把第 1 种情况排除。 怎样排除？ （留 给读者完成） 【解】打“？”的这面上写着“3”。 【例 4】德国队、意大利队、荷兰队 进行一次足球比赛，每队与另两支队各 赛一场。已知：（1）意大利队总进球数 是 0，并且有一场打了平局；（2）荷兰 队总进球数是 1，总失球数是 2，并且该 队恰好胜了一场。按规则：胜一场得 2 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分。问 德国队得了__分。 分析】 【分析】由条件（2）知，荷兰队胜 了一场，而不进球是不可能胜的，但它 的总进球数只有 1，说明这场比赛它以 1∶0 取胜。又因为它总失球数 2，所以 另一场比赛以 0∶2 输了。再由条件（1）就是“a.5”这样的小数。由于乙队选手 平均得 3.6 分，3.6 的整数倍不可能是 “a.5”这样的小数。所以，乙队的总得 分是 18 或 36。但 36÷3.6=10，而三个 队一共才 10 名选手（矛盾）。所以，乙 队的总分是 18 分，有选手 18÷3.6=5 （名）。甲、丙两队共有 5 名选手。 由于丙队的平均分是 9 分，这个队 总分只可能是 9 分、18 分（不可能是 27 分。因为 27＋18=45，甲队选手总得分为 0 分） 丙队选手人数相应为 1 名、 名， ， 2 甲队选手人数相应为 4 名、 名， 3 经试验， 甲队 4 名选手，丙队 1 名选手。 【例 7】将 1～8 这 8 个自然数分成 两组，每组四个数，并使两组数之和相 等。从 A 组拿一个数到 B 组后，B 组的数 之和将是 A 组剩下三个数之和的 2 倍； 从 B 组拿一个数到 A 组后， 组剩下的三 B 个数之和是 A 组五个数之的整数倍不是整数， 就是小数部分为 0.5 的带小数”，“3.6 的整数倍不可能是 a.5 这种形式”等。另外，像例 2、例 3 中“总分 45 分”、“共 10 名选手”、 “A 组剩下三数之和为 12”等，都是推 理的重要根据。 逻辑推理问题。 解这类题通常要借助于 表格。 【例 8】五封信，信封完全相同，里 面分别夹着红、蓝、黄、白、紫五种颜 色的卡片。现在把它们按顺序排成一行， 让 A、B、C、D、E 五人猜每只信封内所 装卡片的颜色。 A 猜：第 2 封内是紫色，第 3 封是黄 色； B 猜：第 2 封内是蓝色，第 4 封是红 色； C 猜：第 1 封内是红色，第 5 封是白 色；【分析】1～8 这 8 个数之和为 36， 分析】 分成的两组每组 4 个数之和为 36÷ 2=18。第一次拿数后，A 组剩下三数的和 为 36÷（1＋2）=12，拿出D 猜：第 3 封内是蓝色，第 4 封是白 色； E 猜：第 2 封内是黄色，第 5 封是紫 色。 然后，拆开信封一看，每人都猜对 一种颜色，而且每封都有一人猜中。请 你根据这些条件，再猜猜，每封信中夹 什么颜色的卡片？ 【分析】把已知条件简明地记录在 分析】 表格中（如图 27-1）。选择其中一只信 封作为“突破口”。比如第 3 封，A 猜的 是黄色，D 猜的却是蓝色。由已知条件， 这只信封内的卡片不是蓝色，就是黄色。 假如第 3 封是蓝色，那么逐步推理可导 出矛盾：白色卡片没人猜对，见图 27-1， “白”这栏下面 5（×）、4（×）。这 说明假设不正确，第 3 封内应是黄色。25接下去推就容易了，只要把剩下的 1、2、 4、5、7、8 分成两组，其中 A 组另三个 数之和为 18-6=12。 【解】A 组：1，4，6，7；B 组：2， 3，5，8。 教练员提示语 在运用试验法（排除法）时，应想 办法使试验的次数尽可能少些，这就需 要用足题目所给的已知条件，并有意识 地寻找别的限制条件。如例 2 中“0.5由此推出其它各封内的颜色（见图 27-2 中的“√”）。 【例 9】赵、钱、孙、李四人，一个 是教师，一个是售货员，一个是工人， 一个是机关干部。试根据以下条件，判 断这四人的职业。教练员提示语 解逻辑推理问题，需要借助表格， 使已知条件及推出的有用结论一目了 然。在表格中，对正确的（或不正确的） 结果要及时注上“√”（或“×”）， 以免影响推理的速度，或被错误信息干 扰思路。 除了常用的反证法、排除法外，还 需要掌握一些简单的逻辑知识。 “两 比如 件互相矛盾对立（不能都存在）的事， 如果一件不正确，另一件必定正确”。（1）赵和钱是邻居，每天一起骑车 上班； （2）钱比孙年龄大； （3）赵在教李打太极拳； （4）教师每天步行去上班； （5）售货员的邻居不是机关干部； （6）机关干部和工人互不相识； （7）机关干部比售货员和工人年龄 都大。 分析】 【分析】由条件（4）和条件（1） 可知赵、钱都不是教师。由条件（2）和 条件（7），可推知孙不是干部。如果是 的话，钱不是工人或售货员，钱又不是 教师。于是，钱也是干部，矛盾。这样 我们得到下表。下面几步推理也用表格 说明。数字推理题型及讲解 I 数字推理的题目就是给你一个数列,但其中缺少 一项,要求你仔细观察这个数列各数字之间的关 系,找出其中的规律,然后在四个选项中选择一 个最合理的一个作为答案. 按照数字排列的规律, 数字推理题一般可分为 以下几种类型: 一、奇、偶：题目中各个数都是奇数或偶数， 或间隔全是奇数或偶数： 1、全是奇数： 例题：1 5 3 7 （ ） A .2 B.8 C.9 D.12 解析：答案是 C ，整个数列中全都是奇数，而 答案中只有答案 C 是奇数 2、全是偶数： 例题：2 6 4 8 （ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 1026解析：答案是 D ，整个数列中全都是偶数，只 有答案 D 是偶数。 3、奇、偶相间 例题：2 13 4 17 6 （ ） A.8 B. 10 C. 19 D. 12 解析：整个数列奇偶相间，偶数后面应该是奇 数 ，答案是 C 练习：2，1，4，3，（ ），5 99 年考题 二、排序：题目中的间隔的数字之间有排序规 律 1、例题：34，21，35，20，36（ ） A.19 B.18 C.17 D.16 解析：数列中 34，35，36 为顺序，21，20 为 逆序，因此，答案为 A。 三、加法：题目中的数字通过相加寻找规律 1、前两个数相加等于第三个数 例题：4，5，（ ），14，23，37 A.6 B.7 C.8 D.9 注意：空缺项在中间，从两边找规律，这个方 法可以用到任何题型； 解析：4+5=9 5+9=14 9+14=23 14+23=37， 因此，答案为 D； 练习：6，9，（ ），24，39 // 1，0，1，1， 2，3，5，（ ） 2、前两数相加再加或者减一个常数等于第三数 例题：22，35，56，90，（ ） 99 年考题 A．162 B.156 C.148 D.145 解析: 22+35-1=56 35+56-1=90 56+90-1=145，答案为 D 四、减法：题目中的数字通过相减，寻找减得 的差值之间的规律 1、前两个数的差等于第三个数： 例题：6，3，3，（ ），3，-3 A.0 B.1 C.2 D.3 答案是 A 解析：6-3=3 3-3=0 3-0=3 0-3=-3 提醒您别忘了：“空缺项在中间，从两边找规 律” 2、等差数列： 例题：5，10，15，( ) A. 16 B.20 C.25 D.30 答案是 B.解析： 通过相减发现： 相邻的数之间的差都是 5， 典型等差数列； 3、二级等差：相减的差值之间是等差数列 例题：115，110，106，103，（ ） A.102 B.101 C.100 D.99 答案是 B 解析：邻数之间的差值为 5、4、3、（2）， 等 差数列，差值为 1 103-2=101 练习：8，8，6，2，（ ） // 1，3，7，13， 21，31，（ ） 4、二级等比：相减的差是等比数列 例题：0,3,9,21,45, ( ) 相邻的数的差为 3,6,12,24,48,答案为 93 例题：-2,-1,1,5,( ),29 ---99 年考题 解析： （-2） ， （-1） 5-1=4， -1=1 1=2， 13-5=8， 29-13=16 后一个数减前一个数的差值为:1,2,4, 8,16,所 以答案是 13 5、相减的差为完全平方或开方或其他规律 例题：1，5，14，30，55， （ ） 相邻的数的差为 4，9，16，25，则答案为 55+36=91 6、相隔数相减呈上述规律： 例题：53，48，50，45，47 A.38 B.42 C.46 D.51 解析：53-50=3 50-47=3 48-45=3 45-3=42 答 案为 B 注意：“相隔”可以在任何题型中出现 五、乘法： 1、前两个数的乘积等于第三个数 例题：1,2,2,4,8,32,( ) 前两个数的乘积等于第三个数，答案是 256 2、前一个数乘以一个数加一个常数等于第二个 数，n1×m+a=n2 例题:6,14,30,62,( ) A.85 B.92 C.126 D.250 解析:6×2+2=14 14×2+2=30 30×2+2=62 62×2+2=126，答案为 C 练习：28，54，106，210，（ ） 3、两数相乘的积呈现规律:等差,等比,平方,... 例题：3/2， 2/3， 3/4，1/3，3/8 （ ） （99 年海关考题） A. 1/6 B.2/9 C.4/3 D.4/927解析:3/2×2/3=1 2/3×3/4=1/2 3/4× 1/3=1/4 1/3×3/8=1/8 3/8×?=1/16 答案是 A 六、除法: 1、两数相除等于第三数 2、两数相除的商呈现规律：顺序，等差，等比， 平方，... 七、平方： 1、完全平方数列： 正序：4，9，16，25 逆序：100，81，64，49，36 间序：1，1，2，4，3，9，4，（16） 2、前一个数的平方是第二个数。 1） 直接得出：2，4，16，（ ） 解析：前一个数的平方等于第三个数，答案为 256。 2）前一个数的平方加减一个数等于第二个数： 1，2，5，26，（677） 前一个数的平方减 1 等于第三个数，答案为 677 3、隐含完全平方数列： 1）通过加减化归成完全平方数列：0，3，8， 15，24，（ ） 前一个数加 1 分别得到 1，4，9，16，25，分 别为 1，2，3，4，5 的平方，答案为 6 的平方 36。 2）通过乘除化归成完全平方数列： 3，12，27，48，（ ） 3, 12，27，48 同除以 3，得 1，4，9，16，显 然，答案为 75 3）间隔加减，得到一个平方数列： 例：65，35，17，（ ），1 A.15 B.13 C.9 D.3 解析:不难感觉到隐含一个平方数列。进一步思 考发现规律是：65 等于 8 的平方加 1，35 等于 6 的平方减 1，17 等于 4 的平方加 1，所以下一 个数应该是 2 的平方减 1 等于 3，答案是 D. 练习 1：65，35，17，（3 ），1 A.15 B.13 C.9 D.3 练习 2： 0， 2， 8， （24 ） A.24 B.32 C.36 18， D.52（ 99 考题） 八、开方： 技巧:把不包括根号的数(有理数),根号外的数, 都变成根号内的数,寻找根号内的数之间的规律: 是存在序列规律,还是存在前后生成的规律。九、立方: 1、立方数列： 例题：1，8，27，64，（ ） 解析：数列中前四项为 1，2，3，4 的立方，显 然答案为 5 的立方，为 125。 2、立方加减乘除得到的数列： 例题：0，7，26，63 ，（ ） 解析：前四项分别为 1，2，3，4 的立方减 1， 答案为 5 的立方减 1，为 124。 十、特殊规律的数列： 1、前一个数的组成部分生成第二个数的组成部 分: 例题：1，1/2，2/3，3/5，5/8，8/13，（ ） 答案是：13/21，分母等于前一个数的分子与分 母的和，分子等于前一个数的分母。 2、数字升高（或其它排序），幂数降低（或其 它规律）。 例题：1，8，9，4，（ ），1/6 A．3 B.2 C.1 D.1/3 解析:1，8，9，4，（ ），1/6 依次为 1 的 4 次方，2 的三次方，3 的 2 次方（平方），4 的 一次方，（ ），6 的负一次方。存在 1，2， 3，4，（ ），6 和 4，3，2，1，（ ），-1 两个序列。答案应该是 5 的 0 次方，1。数字推理题型及讲解 II 以上我们介绍了数字推理的基本题型和规律， 下面我们归纳总结： 数字推理的主要是通过加、减、乘、除、平方、 开方等方法来寻找数列中各个数字之间的规 律，从而得出最后的答案。 在实际解题过程中，我们根据相邻数之间的关 系分为两大类： 一、相邻数之间通过加、减、乘、除、平方、 开方等方式发生联系，产生规律，主要有以下 几种规律： 1、 相邻两个数加、减、乘、除等于第三数 2、 相邻两个数加、减、乘、除后再加或者减 一个常数等于第三数 3、 等差数列：数列中各个数字成等差数列284、 二级等差：数列中相邻两个数相减后的差 值成等差数列 5、 等比数列 ：数列中相邻两个数的比值相等 6、 二级等比：数列中相邻两个数相减后的差 值成等比数列 7、 前一个数的平方等于第二个数 8、 前一个数的平方再加或者减一个常数等于 第二个数； 9、 前一个数乘一个倍数加减一个常数等于第 二个数； 10、 隔项数列：数列相隔两项呈现一定规律， 11、 全奇 、全偶数列 12、 排序数列 二、数列中每一个数字本身构成特点形成各个 数字之间的规律。 1、 数列中每一个数字都是 n 的平方构成或者 是 n 的平方加减一个常数构成，或者是 n 的平 方加减 n 构成 2、 每一个数字都是 n 的立方构成或者是 n 的 立方加减一个常数构成， 或者是 n 的立方加减 n 3、 数列中每一个数字都是 n 的倍数加减一个 常数 以上是数字推理的一些基本规律，考生必须掌 握。但掌握这些规律后，怎样运用这些规律以 最快的方式来解决问题呢？ 这就需要学员在对各种题型认真练习的基础 上，应逐步形成自己的一套解题思路和技巧。 这里我们提供为刚刚接触数字推理题型的学员 提供一种最基本的解题思路，学员按照这种思 路来训练自己，能够逐步熟悉各种题型，掌握 和运用数字推理的基本规律。当学员对题型和 规律已经很熟悉后，就可以按照自己的总结的 简单方法来解答问题。 第一步，观察数列特点，看是否存是隔项数列， 如果是，那么相隔各项按照数列的各种规律来 解答 第二步，如果不是隔项数列，那么从数字的相 邻关系入手，看数列中相邻数字在加减乘除后 符合上述的哪种规律，然后得出答案。 第三步，如果上述办法行不通，那么寻找数列 中每一个数字在构成上的特点，寻找规律。 当然，也可以先寻找数字构成的规律，在从数 字相邻关系上规律。我们这里所介绍的是数字 推理的一般规律，学员在对各种基本题型和规律掌握后，很多题是可以直接通过观察和心算 得出答案的。 例题： 1、4，5，7，11，19 （ ）（2002 年试题） A、27 B、31 C 35 D 41 解题思路：1、首先此题不是隔项数列。两个数 相加不等于第三数。两个数相减的差为 1，2， 4，8，分别是 2 的 0 次方，1 次方，2 次方，3 次方，因此，答案应为 19 加上 2 的 4 次方，即 35，答案为 C。 例题 2：34 36 35 35 （ ）34 37 （ ）（2002 年试题） A36，33 B33，36 C37，34 D34，37 解题思路：首先观察数列，看是否为隔项数列。 此数列， 隔项分别为 34 35 （） 37 和 36 35 34 （ ）两个数列，答案为 A。数的运算问题 1、 考生首先要明确出题者的本意不是让考生 来花费大量时间计算，题目多数情况是一种判 断和验证过程，而不是用普通方法的计算和讨 论过程，因此，往往都有简便的解题方法。 2、 认真审题，快速准确地理解题意，并充分 注意题中的一些关键信息；通过练习，总结各 种信息的准确含义，并能够迅速反应，不用进 行二次思维。 3、 努力寻找解题捷径。大多数计算题都有捷 径可走，盲目计算可以得出答案，但时间浪费 过多。直接计算不是出题者的本意。平时训练 一定要找到最佳办法。考试时，根据时间情况， 个别题可以考虑使用一般方法进行计算。但平 时一定要找到最佳方法。294、 通过训练和细心总结，尽量掌握一些数学 运算的技巧、方法和规则，熟悉常用的基本数 学知识； 5、 通过练习，针对常见题型总结其解题方法； 6、 学会用排除法来提高解析：这是一道计算题，题中每个数字都可以 分解为 2000 减一个数字的形式 2000×6-（5 +4+3+2+1）尾数为 100-15=85 得 A 注意：1、2000×6-（5+4+3+2+1）尽量不 要写出来，要心算； 2、1+2+。。+5=15 是常识，应该及时反应数学运算主要包括以下几类题型： 基本解题方法： 1、尾数排除法：先计算出尾数，然后用尾数与 答案中的尾数一一对照，利用排除法得出答案； 2、简便计算：利用加减乘除的各种简便算法得 出答案。 通过下面的例题讲解，来帮助您加深对上述方 法理解，学会灵活运用上述方法解题。 1、加法： 例 1、425+683+544+828 484 C.2486 D.2488 解题思路：先将各个数字尾数相加，然后将得 到的数值与答案的尾数一一对照得出答案。尾 数相加确定答案的尾数为 0，BCD 都不符合， 用排除法得答案 A； A.2480 B.2出来； 3、各