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高等数学 行列式
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线 性 代 数
由于实际生活中我们所研究的问题经常是关联着多个因素所引起的问题，所以需要考察多元函数。如果所研究的关联性是线性的，那么称这个问题为线性问题。历史上线性代数的第一个问题是关于解线性方程组的问题，而线性方程组理论的发展又促成了作为工具的矩阵论和行列式理论的创立与发展，这些内容已成为我们线性代数课程的主要部分。最初的线性方程组问题大都是来源于生活实践，正是实际问题刺激了线性代数这一学科的诞生与发展。
行列式出现于线性方程组的求解中，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工具。行列式是由莱布尼茨和日本数学家关孝和发明的。1693年4月，莱布尼茨在写给洛比达的一封信中使用并给出了行列式，并给出方程组的系数行列式为零的条件。同时代的日本数学家关孝和在其著作《解伏题元法》中也提出了行列式的概念与算法。
1750 年，瑞士数学家克莱姆(G.Cramer) 在其著作《线性代数分析导引》中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，这就是我们将会学到的解线性方程组的克莱姆法则。
在行列式的发展史上，第一个对行列式理论做出连贯的逻辑阐述的人，是法国数学家范德蒙得 (A-T.Vandermonde) 。范德蒙得自幼在父亲的知道下学习音乐，但对数学有浓厚的兴趣，后来终于成为法兰西科学院院士。
特别地，他给出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的法则。就对行列式本身这一点来说，他是这门理论的奠基人。在这一章中我们也将会学到他所提出的范德蒙得行列式。
继范德蒙的之后，在行列式的理论方面，又出现了柯西 、詹姆士·西尔维斯特 、雅可比等著名数学家，他们逐步建成了行列式的系统理论。而且也将行列式的理论应用到工程学、计算机科学、物理学、经济学等等多个领域。
我们用下面这个实例开始行列式这一章的学习。
1812年，法国大数学家柯西发表论文，用行列式给出了计算一些实心多面体体积的公式，并且将这些公式与先前行列式的研究结合起来。柯西所讨论的“晶体”标扩四面体和平行六面体。如：平行六面体的四个顶点坐标分别设为 一、二阶行列式 二、三阶行列式 定义：将n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列。 例如:用1,2,3三个数字，可以组成多少个全排列？
共有3×2×1＝6种取法，分别为
123，132，213，231，312，321 性质：n个元素的全排列共有n!种取法。 解：排列32514中：
3排在首位，所以逆序数为0，
2前有一个3比2大，逆序数为1，
5的逆序数为0，
1的逆序数为3，
4的逆序数为1，
所以此排列的逆序数为0+1+0+3+1＝5，为奇排列。 解：排列13…(2n-1)24…(2n)中：
13…(2n-1), 2n的逆序数都为0，
2n-2的逆序数为1，
2n-4的逆序数为2， ……4的逆序数为n-2，
2的逆序数为n-1
所以此排列的逆序数为
1+2+…+(n-1)=n(n-1)/2
在排列中，任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换。将相邻两个元素对换，叫做相邻对换。
一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。
再证更一般的情形：
把它作m次相邻对换变成
，再作m+1次相邻对换变成
，相当于任意两个元素a与b对换，由于总共经过了2m+1次相邻对换，所以奇偶性相反。 §1.3
行列式的展开与Cramer法则 爪形行列式 例7 设 的线性方程组 的系数行列式
Cramer法则 则方程组有唯 一解,且解为: 解 方程组的系数行列式 由Cramer法则，它有唯一解。 解线性方程组 例1 同理可得 故方程组的解为: 对于齐次方程组 系数行列式
方程组只有零解 或者说： 注
由Cramer法则只能推出一半，提前用此结论。 方程组有非零解 推论 (P25例16) 问 取何值时，齐次方程组有非零解？ 解 系数行列式 按第3行展开 结论… 例2 (插值多项式的存在唯一性. P23例15的一般化)
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第一行乘-1加到各行上，就化成了上三角行列式，答案是1×(-x)(1-x)....(n-2-x)。
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老师课上写“爱情行列式”
福州新闻网3月17日讯 昨日，福建农林大学金山学院团委官方微博“彼小星”发布消息：一名线性代数老师在黑板上写出了“爱情行列式”。此举被网友戏称是“撩妹新技巧”。
有网友对此提出疑问：“这名老师是金山学院的吗？”记者联系福建农林大学金山学院团委，未了解到此事的具体情况。
记者注意到，微博中“我有幸一生有你”的爱情行列式早就有了，图片中老师手中所指内容是三阶行列式，通过对角线相减，把减号看成汉字“一”时就成了“我有幸一生有你”。
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作者，【陌生，爱），哆嗒数学网群友，就读于湖北理工学院。
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新浪微博：
今天小编想给大家讲一下行列式，诸位看到行列式是不是觉得特别亲切，大一的时候学习行列式有没有很痛苦啊？&&反正当年小编学习这个是及其痛苦的&&也许我比较笨吧，:)。
是否还记得《线性代数》或者《高等代数》里面的行列式定义？一般的教材对行列式的定义大概两种吧，逆序定义和展开式定义，无论哪种定义方法，都让我当你感觉莫名其妙，一直要到很后面学习了线性方程组，建立了方程与行列式的联系，才知道这些定义的意义。在没有任何直观意义的帮助下，学习行列式的各类性质简直和死记硬背没有区别。
今天小编抛开这些通常线性代数或者高等代数教材上的定义，从几何上让读者们更直观的理解什么是行列式，并用几何方法来介绍行列式的基本性质。
那我们现在开始来说说行列式吧！首先来看简单的二阶行列式：
如上图，平行四边形OACB的面积为：
毫不意外的（取m = l = 1），我们用这种方式来记忆和角公式：
因此二阶行列式的值，可以表示两个向量所构成的平行四边形的面积。那么三阶行列式表示什么含义呢？n阶行列式又代表什么含义呢？类推一下相信大家就能想出来。没错三阶行列式的几何意义为三维欧式空间里平行六面体的体积。当然n阶行列式就由n个n维向量组成，其结果为n维平行多面体的体积。
下面的文字我们将来解释行列式基本性质的几何意义了。下面我们一起来看行列式性质的几何解释，这里我们取二阶或者三阶行列式进行说明。
性质1：行列互换行列式不变（转置）。
数学语言表述为：
几何解释：很显然平行四边形两条邻边互换，它的面积依然不变。
这说明行列式的行和列等价，也就是说凡是对行成立的性质，对列也成立。
性质2：以一常数乘行列式的一行就相当于用这个数乘以此行列式。
数学表述为：
对于二阶行列式，我们看上图就很直观，我们将其中一个向量变成原来的k倍，面积也跟着变成了原来的k倍。
类似的三阶行列式有，平行六面体体积的k倍相当于其中一个向量变成原来的k倍。平行六面体体积的增大可以看成其中某个棱长增大相应的倍数。
性质3：如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来的行列式对应的行一样。
数学表述为：
如图所示，图中的紫色平行六面体的体积可以看成两个小平行六面体的体积之和，也就是说一个行列式可以通过拆分其中的一个列向量得到两个行列式的和。
性质4：如果行列式两行成比例那么行列式为零。
数学表述为：
先考了特殊情形，当k取1时，也就是说行列式有两列或者两行元素相等时，它所对应的空间平行六面体的两条邻边重合，相应的就是将平行六面体压成高度为零的二维平行四边形，其体积为零，即行列式为零。当k不等于1时，相对应这组向量里面有共线的向量，即由n维降低到n-1维，对应的度量体积为零。
性质5：把一行的倍数加到另一行，行列式不变。
数学表述为：
这条性质表述为，以向量a和b为底的平行六面体在向量a方向上做切向变换。我们知道将平行六面体平推它的体积依然不变。故对应行列式的值不变。
性质6：对换行列式两行的位置行列式取反号。数学表述为：
因为向量具有方向性，如果我们把符合右手定则的向量积定义为正值的话，则它的反向定义为负值。当det（A）为负值时它就确定了原像的一个反射。
其实一个行列式的几何意义是有向线段（一阶行列式）或有向面积（二阶行列式）或有向体积（高阶行列式）。行列式是由各自坐标轴上的有向线段所围起来的有向体积的和。这就累加要注意方向，同向相加，反向相减。
相信读者应该理解了行列式的几何意义了吧，是不是对行列式有了更新的认识啊？其实小编一直的觉得很多数学量或者数学概念，都可以找出它所对应的直观意义，这样我们的数学学习就不会那么抽象那么难理解了，反而会很有意思。
最后希望大家能喜欢数学，反正小编就很喜欢数学&&数学虐我千百遍，我却待它如初恋&&不管你信不信，反正我自己都不信，啊哈哈哈哈~~~。
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