&p&对于大多数中国人来说，“摩尼”是个颇为陌生的名字，但在东西方的古代历史上，摩尼以及他所创立的宗教——摩尼教，却曾经有过非常重大的影响。&/p&&p&即便你从没有听说过摩尼，但肯定知道金庸名著《倚天屠龙记》，&b&那个具有无限传奇色彩的明教，就是历史上存在过的中国化的摩尼教&/b&，就连朱元璋建立的帝国也以“明”作为国号（尽管明朝刚刚建立就禁止了明教传播）。&/p&&p&公元216年4月14日，摩尼出生于古代文明中心之一的两河流域，并在曼达教派社团的环境中长大，据说有波斯贵族的血统。摩尼在十二岁时第一次有了“灵视”体验，二十岁时受到了神的启示，离开曼达派教团，两年后自创了摩尼教。&/p&&p&&b&摩尼教的根本教义为“二宗三际论”。二宗是指光明与黑暗，分别代表善与恶。三际是指初际、中际、后际，也就是过去、现在、未来。&/b&初际阶段，光明世界与黑暗世界泾渭分明；中际阶段，黑暗侵入光明，光明与黑暗斗争；后际阶段，光明与黑暗重新分开。&/p&&p&摩尼曾经有过长途旅行，远至印度，因此可能受过佛教的影响，甚至传说他到过西藏。&/p&&p&后来，摩尼成功说服了萨珊波斯皇帝沙普尔一世，使摩尼教在波斯帝国境内广泛传播。沙普尔一世死后，巴赫兰一世继位，波斯传统的拜火教向摩尼反攻。&/p&&p&公元276年，摩尼被捕入狱，遭到剥皮酷刑而惨死，尸体被肢解，悬挂在城头示众。然而，这个比耶稣基督还要惨烈的殉难方式，非但没有使摩尼教消亡，反而激发了摩尼教徒的虔诚信仰，并相信摩尼牺牲之后必定会升入光明的王国。此后的几个世纪，摩尼教迅速发展为一个世界性的宗教。&/p&&p& 虽然，今日已找不到摩尼教徒，但摩尼教曾经影响过古代许多民族。&b&摩尼教认为：大明尊分别派遣佛陀、琐罗亚斯德、耶稣来凡间拯救世人，最后一位先知是摩尼自己&/b&。&/p&&p&“二宗三际论”可以看到波斯拜火教的渊源，基督教的耶稣也在摩尼教中占有崇高地位，摩尼就自称是耶稣的使徒。可见摩尼教是伊斯兰教诞生以前世界几大主要宗教元素之集大成者。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-d931dafe7_b.jpg& data-rawwidth=&1066& data-rawheight=&528& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1066& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-d931dafe7_r.jpg&&&/figure&&p&摩尼教在西方曾广泛传播，基督教历史上的重要人物——出生于北非的圣奥古斯丁就曾是摩尼教徒。&/p&&p&&b&摩尼教在东方的传播影响更为深远，早在唐代便传入中国&/b&。安史之乱时，唐朝向雄踞大漠的回鹘牟羽可汗借兵，回鹘军队占领洛阳之后，带着四名摩尼教僧人回到草原，牟羽可汗与摩尼僧人们讨论了三天三夜，最终决定将摩尼教立为国教。&/p&&p&公元9世纪，回鹘帝国灭亡，摩尼教又随着西迁的回鹘人分布于今天的新疆地区。他们创造了拥有辉煌文明的高昌回鹘王国，至今还留下了不少摩尼教遗迹以及宝贵的出土文书，是研究古代东西方历史的重要的资料。13世纪，高昌回鹘在蒙古帝国的内战中毁灭。&/p&&p&摩尼教绝非一个人在战斗！&/p&&p&摩尼教的起源并非偶然，而是希腊化晚期兴起于地中海世界的诺斯替主义思潮的重要一支，也是宗教化和组织化程度最高、影响最广泛的一支。&/p&&p& “诺斯替(Gnosticism)”来源于希腊语gnostikos（即knower，指拥有诺斯或“秘密知识”的人）。“诺斯”也就是知识的意思，但这并非普通的知识，而是有关于世界本源和神的本来面目的知识，有关于人的终极拯救的知识，必须在一定程度上秘传而不得轻易示人的知识，因此又被翻译为“灵知主义”。&/p&&p&&b&诺斯替主义可以分为塞特派、瓦仑廷派、圣多马派、巴西里德派、赫耳墨斯教，这五派是诺斯替主义的叙利亚—埃及类型；而摩尼教以及唯一现存的诺斯替主义教派曼达派，则属于诺斯替主义的伊朗类型，而基督教的马克安派可以算是个例外。&/b&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-d31ea14ca0f_b.jpg& data-rawwidth=&2181& data-rawheight=&1581& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2181& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-d31ea14ca0f_r.jpg&&&/figure&&p&包括摩尼教在内，广义的诺斯替主义都是彻底的二元论。其他诺斯替主义的思想，大多以基督教的外衣出现。而在基督教的早期历史上，诺斯替主义一度风行一时，很可能诺斯替主义就是基督教初创时期的基础思想之一。&/p&&p&但随着正统教会占据统治地位，便将诺斯替主义斥为异端，以前可见的诺斯替主义文献资料，大多记载于基督教会反对诺斯替主义而编写的文献之中。&b&直到1945年发现于尼罗河谷的收入了大量早期诺斯替文献的《那戈·玛第文集》，才是考古史上的第一手资料。&/b&&/p&&p&希腊化时期，从亚历山大东征至基督教在罗马帝国获得统治地位，这是个政治与思想剧变的时代。众多帝国兴起又灭亡，各种不同的文明与宗教互相交融对抗，个体的存在不再依托于城邦，而作为渺小的个人也投入到动荡不安的世界之中。&/p&&p&其中一小部分蔑视世俗的人，他们拒绝承认当时流行的宗教，尤其拒绝承认犹太教经典《旧约》中的神，认为我们身处的这个世界，是由低级能量的神出于无知而创造的。这个宇宙本身是邪恶的，宇宙中的道德规范和律法也是荒谬的。而在我们的这个宇宙之外，还存在着一个充满光明的至高无上的神。但这位最高之神并不创造我们的世界，也不统治这个宇宙，更超出普通人的认知范围，而是一位伟大的异乡之神。&/p&&p&在诺斯替主义塞特派的《犹大福音》中，耶稣对他唯一真正的使徒犹大说：“来，我要将没有任何人知道的[秘密]教给你。有一个伟大的、无限的疆域，没有任何一代天使知道它的范围，在这个疆域里有一个伟大的无形的神灵]（Spirit），没有一个天使的眼睛看见过它，没有一颗心灵的思想领悟过它，它从来没有被用任何名称所称呼过。”&/p&&p&汉文《摩尼教下部赞·叹明界文》描述的明界就相当于《犹大福音》中耶稣所说的无限的疆域：“&b&一则高广非限量，并是光明无暗所。诸佛明使于中住，即是明尊安置处。”《&/b&下部赞》“叹无上明尊偈文”如此歌颂最高神：“我等常活明尊父，隐密恒安大明处。高于人天自在者，不动国中俨然住。”&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-2b65badb55f6de33ae16d60_b.jpg& data-rawwidth=&392& data-rawheight=&480& class=&content_image& width=&392&&&/figure&&p&在这个由低级神创造的宇宙当中，人是最具有矛盾也是唯一具有希望的种子。诺斯替主义认为人是由肉体、魂（欲望与情感）和“灵”（普纽玛，与真正的神同在，也是神与人的共同的本质）构成的。&b&肉体与灵魂来自低级能量创造的宇宙，而“灵”则来自真正的神，来自这个宇宙之外，也可以认为每个人的身体里都有一位真正的神。&/b&&/p&&p&但这个“灵”被囚禁在我们的身体之中，被囚禁在凡人的七情六欲之中，因此每一个人都是生活在宇宙中的“异乡人”，因为我们心灵的故乡并不在此，而在宇宙之外的神圣国度。&/p&&p& 《犹大福音》里的耶稣说：“沙克勒士对其安琪儿说：‘让我们依样画葫芦来创造人类吧。’他们塑造了亚当及其妻子夏娃，在云端里她被称为左依（Zoe）。”沙克勒士作为造物的低级神和德穆革，负责把索菲亚的神圣光明囚禁在凡人的肉体中。&/p&&p&汉文《摩尼教残经》也提到了沙克勒士造人，但低级神创造的只是泥土之人，而非灵性之人，因为灵性来自真正的至高之神。造人的目的是险恶的，就是为了把至高灵性囚禁在人的肉体和魂中，使光明分子永远被纠缠在这个黑暗世界。而拯救的目的并非要与黑暗争夺什么，而是要把人的灵性从肉体凡胎中解放出来，进而脱离这个低级的宇宙，抵达真正光明的国度。&/p&&p&现实中绝大部分的人，都丧失了对于世界真相的认识，终日浑浑噩噩地生活在无知之中，以为低级的创世神就是最高的神，以为接受这个宇宙的律法就可以得到拯救。而诺斯替主义者的使命，就是发现自己内心的“灵”，发现这个被蒙蔽了的宇宙真相，进而认识到真正的神，进入神的世界，乃至与神合一！因为人的“灵”是这个宇宙中唯一有价值的部分，所以人的拯救也就是宇宙的最大拯救，从而使人的使命上升到了超越宇宙的高度。&/p&&p&&b& 诺斯替神话让我想起电影《黑客帝国》，两者有着相同的主题——拯救人类于黑暗。&/b&古人认为我们生存的世界，是低级能量的无知产生的，而在电影里变成了人工智能的matrix。绝大多数的人都昏睡在这个虚假世界中，只有尼奥等极少数人才知道世界的真相，并与黑暗的势力展开斗争。&b&引导《黑客帝国》的主人公去发现自己的，不正是秘密的“诺斯”吗？&/b&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-c77e4ceaae2fd_b.jpg& data-rawwidth=&1080& data-rawheight=&810& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1080& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-c77e4ceaae2fd_r.jpg&&&/figure&&p&如何拯救人类？科普特文赞美诗这样比喻耶稣：“拴在树上的羔羊，埋藏在地下的珍宝，悬在树木上的耶稣，少年，露水之子，所有树木的汁液，水果的甜蜜。”诺斯替主义认为耶稣是被囚禁在凡人肉体中的神。&/p&&p&摩尼教的观点也大致相同，吐鲁番帕提亚文书M104和M891b中如此悼念耶稣：“高贵的主（耶稣）改变了他的衣服，以其神力出现在撒旦面前。天动地摇，桑迈尔（妖魔）深藏远遁。”在悼念摩尼的文字中写道：“沙雷瓦月的第四天，星期一，十一点钟，当他（摩尼）站着祈祷时，脱去了肉体的凡衣。”摩尼教科普特文赞美诗集第二部第264首如此赞美耶稣：“我把衣服——这曾伴随我的衰老病躯——抛在地上，我给自己穿上不朽的衣服……”&/p&&p&&b&这件“不朽的衣服”，就是秘密的知识，认识真理的知识，而传授知识的使者，便是耶稣。唯有认识真理的秘密知识，才能得到真正的拯救，让自己的“灵”从此世的邪恶统治中解脱出来，抵达我们在另一个世界的故乡——精神故乡&/b&。这是获得“诺斯”的过程，也是获得拯救的过程，但仅有理智上的认识还不够，更需要每个人用自己的心灵去做神秘的体验。&/p&&p& 因此，诺斯替主义把人分为三类——属肉者、属魂者、属灵者。顾名思义，属肉者终日生活在物质当中，只知道满足身体的欲望，包括食欲与性欲。而属魂者，则沉浸在世俗的情绪与烦恼当中，也许他们不太关心物质上的享受，但他们同样贪婪地想要获得心理上的满足，想要得到荣誉与赞扬，获得征服别人的快感，或者说就是沽名钓誉。属灵者则是极少数人，就是认识真理的人。摩尼教中的属灵者，便是信奉禁欲主义的摩尼教的僧侣。&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-a3a900093ddea338bf07a_b.jpg& data-rawwidth=&690& data-rawheight=&439& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&690& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-a3a900093ddea338bf07a_r.jpg&&&/figure&&p&&b&与基督教一样，摩尼教也有末日审判，他们相信当人类都获得真理之后，光明耶稣将以智慧世界之神（汉文译称“具智法王”）的名义再度降临，建立法庭，担任审判者（汉文译称“平等王”）。&/b&天崩地裂之后，爆发一场持续1468年的大火，所有光明分子将上升，彻底脱离黑暗束缚，胜利回归光明王国——这就是“三际”中的未来世界。&/p&&p&如果你看过电影《七宗罪》，就会记得影片最后黑人老警官说的一番话：“海明威说：‘世界如此美好，值得我们为之而奋斗。’但我只同意后半句。”我觉得这是《七宗罪》中最最打动我的一句话——我们的世界确实并不怎么完美，甚至经常可见丑陋之处，这难道仅仅归咎于人性中的罪恶吗？&/p&&p&那么抛开人性去看看大自然，同样也是弱肉强食的丛林法则。达尔文发现的进化论，如果照搬人类的道德来看，处处都充满了罪恶，可惜现代科学认为人类就是如此进化得来。而今人类社会中的种种丑恶面，也不过是复制了大自然的进化法则，或者说是复制了这个世界的丑恶面。&/p&&p&当然，这个世界本来就不存在善恶，大自然的任何行为都无所谓善恶，即便汶川大地震这样的灾难，造成了那么多人类的毁灭与痛苦，我们依然不能指责地球的卑鄙。&/p&&p&但只要有人的存在，便一定会有善恶观，也可以反过来说——&b&人类的肉与魂，便是这个世界的恶的产物，只有“灵”是来自世界之外的彼岸的神圣产物。&/b&这个世界上最复杂的是人，集中了最多丑恶的也是人，但唯一具有神性的也是人，人是充满了矛盾的产物。世界创造了人类，或者说是这个世界的进化法则创造了人类，却也使得人类在繁衍的过程中，充满了罪恶，也经受过肉体与精神的创伤。&/p&&p&&b&诺斯替主义蔑视这个世界的法则，认为这个世界是出于无知而产生的，人类也产生于这个世界的无知法则——灵性除外&/b&，也只有灵性能让人类与这个世界区分开来，到达彻底的超越。&/p&&p&我想从这个意义上来说，虽然摩尼教早已消亡近千年，虽然诺斯替主义产生已经两千年了，但时至今日依然有着不朽的意义——而自19世纪以来，诺斯替主义早已经有意或无意地回到现实之中。&/p&
对于大多数中国人来说，“摩尼”是个颇为陌生的名字，但在东西方的古代历史上，摩尼以及他所创立的宗教——摩尼教，却曾经有过非常重大的影响。即便你从没有听说过摩尼，但肯定知道金庸名著《倚天屠龙记》，那个具有无限传奇色彩的明教，就是历史上存在过的…
&p&各种毒鸡汤不停地灌输“媳妇儿永远都是对的”，女人如获至宝，用它来给男人洗脑。别有用心的男人对它嗤以鼻，却用它来哄骗女人，软弱的男人则迫不得已将之当做行为准则。&/p&&br&&p&这句话其实跟“顾客就是上帝”一个道理，体现的是买卖双方力量的落差。在买方市场里，卖方会通过压低价格、提升服务等各种手段讨好客户。好多时候，专业的客服会让你感觉到男友都没有的殷勤。&br&&br&比如，我几乎每次回老家就会看到“8折送车位送契税”的大横幅。你一走进售楼部，售楼员就会像看到亲人一样热情。但是，当市场转为卖方市场，那就是另一回事了。在珠海的时候，每当楼市火热，我打电话暗访就会吃售楼员的瘪。对话大体是这样的：&br&&br&“请问还有房子卖吗？”&br&“有。”&br&“多大面积？”&br&“90-120。”&br&“价格多少？”&br&“还没确定”&br&……&br&&br&当然，对方能够这样回答的，已经是对我莫大的宽恕和恩赐了。那些注定日光的楼盘销售都是不耐烦地回复“不知道你有空过来看吧”，仿佛我在不识抬举的阻挠他做生意（事实也是啊）。不是我一个人吃过这种瘪。很多同行都交流过类似的经验。同样的，二手业主旺季坐地起价，淡季诚心卖必然跳楼甩卖，是几乎不会有偏差的规律。&br&&br&所以，出现“媳妇儿永远都是对的”这种事再常不过。&b&在婚恋市场上，女性拥有生育权，且平均性欲远低于男性，因此处于明显的买方市场。&/b&你可以跟媳妇讲原则、讲道理，但只要你媳妇儿足够漂亮足够抢手，她便绝对找得到对她言听计从无原则妥协的男子。此时，你便因为“出价”不够阔绰而出局。&br&&br&但是，女性的强势定价权不是绝对的。&b&把女性物化，当做生育工具的男权社会里，真正的主宰不是有姿色的女性，而是那一小撮站在社会金字塔尖的男性。&/b&那些自我物化的女性，如果得到了比自身价值更高的价码的话，哪还敢跟对方说“媳妇儿永远是对的”。对方是不是只有你一个媳妇儿，都是值得怀疑的事。君不见谢杏芳之“敢于担当、知错会改、风雨同舟”？每一个男明星的家门口，都有一队排队等着给他生猴子的女粉丝。&br&&br&所以，如果你的男人说你永远是对的，那未必是因为爱你，可能只是因为需要你、离不开你。这就像买房子一样。你买了一套房子，二楼、临街、朝北、十环睡城，里面可能还漏水、油漆开裂。但哪怕是为了这种房子，你都背上了30年债务外加跟亲戚好友借了一大笔钱。当房价坐上火箭，有房子本身就已经是一件奢侈的事。你有了资产，从而迈入了中产阶级。此时你还在乎什么房屋质量、每日三四小时的钟摆式通勤以及缠绵数十年的债务？&br&&br&而开发商狮子大开口赚地盆满钵益的同时扔给你一套质量低劣的房子，也让“顾客就是上帝”变成一句笑话。房地产挟政府、银行以令诸侯，还有几亿丈母娘撑腰，已经成为全中国最有定价权的行业。顾客要到了签约室那刻才知道价格，这算哪门子上帝？&br&&b&&br&同样的，大多数男性有一个长相尚可的女朋友都已经是件奢侈的事。&/b&毕竟，没有女朋友的话，你晚上就只能抱枕头摩擦，对着E盘的avi视频撸飞机杯。想到这个，她的作、无理取闹及过度索取又算得了什么？&br&&br&如此，女人找到一个无原则讨好的男人，也未必是一件多么值得骄傲的事。&b&因为那很有可能意味着，他根本就匹配不上你。这样问题就来了：你到底是想要一个匹配不上你，从而对你无原则讨好、言听计从的男人，还是一个有诸多让你欣赏的闪光点，跟你势均力敌的男人？&/b&&br&&br&我其实并不反对宠爱女朋友。爱本身就意味着相互关心相互照顾。只是，我觉得真正的爱应该是帮助，而非讨好。两个人一起成长，才是好的爱情。&b&相反，无原则的讨好就像给哭闹的孩子糖果一样。这一次次延迟了孩子的成长。表面上它是爱，其实是自私。你不过是在用无底线的讨好换取自己想要的东西罢了。说得直白残酷点，那叫各取所需。&/b&&br&&br&事实上，一个人成年了，便会知晓事理，此时他当然明白人不可能永远都是对的。觉得自己永远是对的，便意味着你在心智上并没有成年。“媳妇儿永远是对的”便意味着“媳妇儿永远都是孩子”。这无异于一颗包着糖衣的毒药。因为，男人一直在成长，你却一直没有长大。他的价值在不断增长，你却一直止步不前。随着年老色衰生育价值不断下降，你不知不觉就发现自己不再是拥有定价权的一方，从而也不再是永远都对的一方，便只能跟他“风雨同舟”了。&br&&br&又或者，你一开始就跟了一个价值匹配不上你的男人，他一直没有进步，你的价值也一直在下降。然后有一天，你俩就开始了两个弱者的你死我活。&/p&&br&&p&靠讨好和感动维持的感情，往往都难以持久。&/p&&p&&br&波伏娃对比男人女人的话几乎人尽皆知。她说：男人的极大幸运在于，他不论在成年还是在小时候，必须踏上一条极为艰苦的道路，不过这是一条最可靠的道路；女人的不幸则在于被几乎不可抗拒的诱惑包围着；她不被要求奋发向上，只被鼓励滑下去到达极乐。当她发觉自己被海市蜃楼愚弄时，已经为时太晚，她的力量在失败的冒险中已被耗尽。&br&&br&“媳妇儿永远是对的”，便是一句愚弄女人的海市蜃楼。&/p&
各种毒鸡汤不停地灌输“媳妇儿永远都是对的”，女人如获至宝，用它来给男人洗脑。别有用心的男人对它嗤以鼻，却用它来哄骗女人，软弱的男人则迫不得已将之当做行为准则。 这句话其实跟“顾客就是上帝”一个道理，体现的是买卖双方力量的落差。在买方市场里…
对个屁。&br&&br&男人借这句话宣传自己爱家爱老婆的形象，女人借此撒娇求宠，炫耀幸福。无非就是这样。&br&&br&中国人走出了三从四德贞节牌坊的泥淖，但是精神上又没有走向真正的男女平等，于是就出现了这种全民自虐式的用怕老婆证明爱的奇景。&br&&br&电影电视里，婚礼致辞上，人们的言谈玩笑中，每个所谓的”好男人“都拼命证明自己怕老婆，无条件服从老婆，动不动就是跪搓衣板玻璃渣，仿佛这样就是现代夫妻关系的典范。 其本质无非就是把女性塑造成蛮不讲理，骄横任性，没有是非 ，没长大脑的形象，只知道刷爆人家的信用卡，只知道买买买，碰到问题只知道一哭二闹三上吊。&br&&br&真正的婚姻，是两个成熟的人的结合，意味着茫茫人海中你不再是孤独的个体，你还有要负责的另一个人。可在很多人眼里，女人嫁给男人，那就是女人再次从成年人退化成巨婴，永远沐浴在宠爱的阳光里。
如果真的能这样，那倒也不错，可是那可能吗？
人们愿意千辛万苦抚养婴儿是因为婴儿终有一天会长大，你要塞给他一个永远长不大的巨婴，他要么插自己几百刀要么插对方几百刀。 &br&&br&但凡人和人在一起，都要讲道理，夫妻也一样。这世上不可能有人能无条件包容另一个人为所欲为。 真正持久良性互动的关系，一定是互相妥协互相理解的。他在这里失去的，必然会在别的地方找补回来。他长期隐忍的，必然会有一次总爆发。 可叹一堆极品还真把这句话当真了，把作死和刁钻当成了自己的特权，直到鸡飞蛋打才会哭哭啼啼的说：你当初对人家不是酱紫的...&br&&br&题主说到平权，如果连明是非，讲道理的能力都不具备，如果你自己都认为自己智识低下，人格不健全，那还平个屁的权。不破除这种公主女王式的中华田园女权，真女权就永远遥遥无期。
对个屁。 男人借这句话宣传自己爱家爱老婆的形象，女人借此撒娇求宠，炫耀幸福。无非就是这样。 中国人走出了三从四德贞节牌坊的泥淖，但是精神上又没有走向真正的男女平等，于是就出现了这种全民自虐式的用怕老婆证明爱的奇景。 电影电视里，婚礼致辞上，…
1.当你正在犹豫是起床还是继续眯会的时候&br&
快起床。 &br&&br&2.当你正在犹豫吃一样东西会不会发胖会不会不健康会不会...
不要吃！&br&&br&3.对于那些可有可无的物品&br&不要买！ &br&&br&4.当你正在犹豫一样东西是扔掉还是留下&br& 扔掉。&br&&br&5.对于那些负能量满满的朋友(当你已经这么认为了 )&br& 减少联络次数，干点自己喜欢的事情&br&&br& ...&br&&br&其实很多事情你心中早已有了对与错的判别，&br&就像硬币在抛出时就已经知道了答案一样。&br&&br&而你只需要加点一念之间的行动。&br&&br&相信我，虽然果断和决绝会失去一些短暂的愉悦和快感，但是这种自制不但能带给你品质的生活，还有对自己生活有把控的那种自信和充实 :)
1.当你正在犹豫是起床还是继续眯会的时候 快起床。 2.当你正在犹豫吃一样东西会不会发胖会不会不健康会不会... 不要吃！ 3.对于那些可有可无的物品 不要买！ 4.当你正在犹豫一样东西是扔掉还是留下 扔掉。 5.对于那些负能量满满的朋友(当你已经这么认为了 )…
这么说吧。&br&人有四种境界。&br&混沌从众。&br&趋利避害。&br&知天命。&br&大彻大悟。&br&&br&如果说，第一种叫做讲对错。&br&第二种叫做讲利弊。&br&第三种叫做讲高兴。&br&第四种叫做讲因果。&br&&br&但无论怎样的境界。&br&都是一种思维方式的提升，都是一种认知世界的方式的提升。&br&确确实实，成年人就是讲利弊。&br&不过这个利不是说狭隘的钱。&br&&br&利可以是，钱，名，权，色，理想，情感，家人，忠诚，孝顺，热爱，有趣，美丽等等。&br&总之，只要这个东西是有利于你的，他都叫做利。&br&比如，这个男人，很帅，八块腹肌，25岁，身价千万，性格温柔幽默。&br&同时对你好，愿意和你结婚。&br&&br&这个就叫做利。&br&自然，你觉得这个利益很大，你会摒弃和其他男人的交往，然后专心专意为他付出。&br&但是，如果布拉德皮特、约翰尼德普、或者小李子，无论是谁，反正是你心中的男神。&br&他也出现了，他刚刚那个男人更优秀，更强大，而且也对你好，愿意和你结婚。&br&&br&这个时候的利，就大于了刚刚的利了。&br&你自然会考虑那个更好的。&br&这不是说不道德或者怎样，只是说，人性使然。&br&&br&我小时候，总是会问我爸，曹操是好人还是坏人。&br&但我现在不会问了。&br&因为，好人坏人不重要，在那个乱世。&br&因为人类从生下来的有两个重要的意义就是。&br&生存（生存的更好），繁衍。&br&&br&我们都是会为了这两个目的去前行的。&br&都是会去为了更好的生存，更好的繁衍而行动。&br&只要有利于生存繁衍的东西，我们都会去追求利益最大化。&br&&br&我们追求做个好人。&br&其实本质就是一种利益。&br&这种利益叫做，不坐牢，叫得到社会和他人的认同，叫演绎一个角色获得掌声，叫做安全感。&br&因为做一个好人很安全，不需要去承担风险，以及不必要的麻烦。&br&所以做一个好人，就是符合自己生存条件的利。&br&好就是利。&br&&br&当然墨子讲过。&br&义，利也。—墨子&br&其实所谓的道德，理想，爱，终极关怀，创造，慈善。&br&在墨子看来就是一种利。&br&不过这种利是一种大利。&br&在我看来也是如此。&br&我们不过是为了大利，而抛弃了那些小利。&br&所以看似不追求利益，其实，心中暗含的野心是你不知道的。
这么说吧。 人有四种境界。 混沌从众。 趋利避害。 知天命。 大彻大悟。 如果说，第一种叫做讲对错。 第二种叫做讲利弊。 第三种叫做讲高兴。 第四种叫做讲因果。 但无论怎样的境界。 都是一种思维方式的提升，都是一种认知世界的方式的提升。 确确实实，成…
之前的帐号@金不彷徨被吊销了，馆长的脑子就像现在的美国，是一团迷茫和乱糟糟——重新发一遍，把。&br&欢迎关注馆长的公众号“容安馆札记”&br&&p&&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//weixin.qq.com/r/F0jJ0VnE5gSZrR2y9x0F& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&weixin.qq.com/r/F0jJ0Vn&/span&&span class=&invisible&&E5gSZrR2y9x0F&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a& (二维码自动识别)&/p&原文来自：&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.pingwest.com& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&PingWest品玩 | 有品好玩的科技，一切与你有关&/a&。（公众号后台回复：&kindle”,获得更多玩转kindle的资源经验）。&br&&br&&p&&strong&1. 不是每一本书你都需要掏钱买&br&&/strong&&/p&&br&&p&亚马逊为你提供了超过 8000 本的免费书籍。Project Gutenberg（古登堡计划）也提供了很多免费图书的资源。&/p&&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-04ae02f502aaadd911c6ff_b.jpg& data-rawwidth=&625& data-rawheight=&1114& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&625& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-04ae02f502aaadd911c6ff_r.jpg&&&/figure&&br&当然，Pixel of Ink和Centsless Books他们的很多书都是免费的，即使不是免费，也可以用超低的折扣买入！还可以通过，Open library（公共图书馆）免费借阅超过100万本图书。&br&&br&亚马逊官方也推荐了一些电子书下载网站（&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.amazon.com/b%3Fie%3DUTF8%26node%3D& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Amazon.com: Free Popular Classics: Kindle Store&/a&）：&br&&br&
* Internet Archive （&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.archive.org/& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://www.&/span&&span class=&visible&&archive.org/&/span&&span class=&invisible&&&/span&&/a&） Over 2.5 million free titles. Internet Archive is anon-profit dedicated to offering permanent access to historical collectionsthat exist in digital format. Provides over 2.5 million free ebooks to read,download, and enjoy. （墙外）&br&&br&
* Open Library （&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//openlibrary.org/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Welcome to Open Library&/a&） Over 1 million free titles. Open Library's goal is toprovide a page on the web for every book ever published.&br&&br&&br&
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（&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//ikindle.mobi/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&ikindle.mobi - 这个网站可出售。 - 最佳的ikindle 来源和相关信息。&/a&）每天投递新鲜的报纸和杂志到你的kindle。&br&&br&kindle4rss
（&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//kindle4rss.com/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&RSS Feed Reader for Kindle&/a&）Kindle4RSS是一个让你订阅RSS Feed并定时递送到Kindle的服务。&br&&br&&strong&2. 用你的旧书封面做一个 Kindle 壳&/strong&&br&&br&&br&See kate sew（看 Kate 做针线活儿）这个网站给旧书封面加上拉链，DIY了一款超赞的Kindle外壳！你只需要一条拉链，一本硬壳旧书，就可以完成！&br&&br&&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-d3ac6fb64bee2c11d35e4fb78cb127f5_b.jpg& data-rawwidth=&625& data-rawheight=&834& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&625& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-d3ac6fb64bee2c11d35e4fb78cb127f5_r.jpg&&&/figure&&br&&p&完整教程请猛烈地戳这儿：&/p&&p&&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//seekatesew.com/buy-diy-zipper-book-clutch-tutorial-gift-kits/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&buy + diy: zipper book clutch tutorial! - see kate sew&/a&&/p&&br&&br&&p&&b&3. 使用Kindle，这里有交流组织等着你！&/b&&/p&&br&&p&豆瓣小组：KINDLE 3 （&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.douban.com/group/ereading/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&KINDLE小组&/a&）&br&&br&豆瓣小组：AmazonKindle （&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.douban.com/group/Kindle/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&AMAZON KINDLE | 豆瓣最老字号&/a&）&br&&br&HiPDA E-INK论坛（&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.hi-pda.com/forum/forumdisplay.php%3Ffid%3D59& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&E-INK - Geek Talks · 奇客怪谈 - Hi!PDA Hi!PDA&/a&） HiPDA论坛的e-ink讨论区，置顶帖里都是精华。&br&&br&多看电子书交流（&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.duokan.com/forum/forum-16-1.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&多看阅读(duokan.com) - 海量畅销电子书免费试读，数百万读者阅读首选&/a&） Kindle中文系统多看网的电子书交流频道。&/p&&br&&p&&strong&4. 长按“ + ” 就可以将亮度最大化&/strong&&/p&&br&&p&相反，长按 “ - ” 最小亮度，要调亮度根本不用一格一格地按很多次！但是，此功能仅适用于 Paperwhite 和 Voyage 两款。化石级的 Kindle 。。。只能瞅着了。&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/cec6e07c13d6e9f3538bdd_b.jpg& data-rawwidth=&607& data-rawheight=&303& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&607& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/cec6e07c13d6e9f3538bdd_r.jpg&&&/figure&&p&&strong&5. 看《哈利·波特》也是免费的&/strong&&/p&&br&&p&Kindle 用户借阅图书馆（ Kindle Owners’ Lending Library ）提供了超过 800,0000 本的电子书资源。&br&&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-be353bfbb1b6f7bf29317_b.jpg& data-rawwidth=&499& data-rawheight=&205& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&499& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-be353bfbb1b6f7bf29317_r.jpg&&&/figure&（艾玛当年还是这样的。。。）&/p&&br&&p&操作方法： Kindle 商店&所有类别& Kindle 借阅图书馆&找到想要的书名&免费借阅&br&&/p&&br&&p&feedbooks （&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.feedbooks.com/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Free eBooks and Best Sellers&/a&）除了付费书籍外，也提供public domain的书籍和一些新作家免费开放的orginalbooks，如果想下载免费图书。可点击“Free Public Domain Books”浏览或直接搜索。&br&&br&library.nu （&a 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target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://www.&/span&&span class=&visible&&ebookshare.net/&/span&&span class=&invisible&&&/span&&/a&&br&&/p&&br&&p&&strong&6. 用 Kindle 截屏&/strong&&/p&&br&&p&使用Kindle Paperwhite和Voyage的用户，同时按下两个相对的屏幕角落可捕获截屏。使用Kindle Touch，按住主页按钮，然后点击屏幕。使用初款 Kindle，按住 Alt + Shift + G 。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-cd6ce7ed1ab6df_b.jpg& data-rawwidth=&250& data-rawheight=&392& class=&content_image& width=&250&&&/figure&&br&&p&可通过 USB 连接 Kindle 和个人电脑，将截图导为 PNG 文件。&/p&&br&&p&&strong&7. 死机了不用怕&/strong&&/p&&br&&p&首先按住关机键 40 秒； 然后计时；40 秒到了，如果是 Fire 的用户，那么再按一次；成功重启了！&/p&&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-e94a3857ceee858ee0881cdb8f3d635e_b.jpg& data-rawwidth=&725& data-rawheight=&300& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&725& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-e94a3857ceee858ee0881cdb8f3d635e_r.jpg&&&/figure&&br&&br&&p&&strong&8. 给 Kindle 做一个高大上的防水系统&/strong&&/p&&br&&p&喜欢边泡澡边看书？那么，把你的 Kindle 放进可密封保鲜袋，就好了，不服来辩。。。&/p&&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-4d427e11ae078f5e7e739e2b1ffe9992_b.jpg& data-rawwidth=&625& data-rawheight=&469& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&625& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-4d427e11ae078f5e7e739e2b1ffe9992_r.jpg&&&/figure&&br&&p&&strong&9. 喜欢科幻和奇幻？用一下 Fictionaries&/strong&&/p&&br&&p&&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//Thefictionary.net& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&Thefictionary.net&/span&&span class=&invisible&&&/span&&/a& 为科幻、奇幻迷提供免费词典，涵盖冰与火之歌、托尔金的书和各经典文学著作。精灵语、兽人语什么的，完全不担心看不懂了！&/p&&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-d7eaff67f7d8f8bb5428ee1_b.jpg& data-rawwidth=&498& data-rawheight=&285& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&498& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-d7eaff67f7d8f8bb5428ee1_r.jpg&&&/figure&&br&&br&&p&&strong&10. 推荐书籍不喜欢，那就全部清除吧！&/strong&&br&&/p&&br&&p&把那些不想要的书都删掉，删掉！释放屏幕空间，眼不见为净。&/p&&br&&p&设置方法：菜单栏右上&设置&家长控制&限制&关闭 Kindle 商店并点击“确定”。&br&&/p&&br&&p&&strong&11. 用 Kindle 传文件&/strong&&/p&&br&&p&通过向Kindle email发送附件的方法，用户能发送超过10种格式的文件，支持格式：pdf、doc、html、rtf、jpeg、mobi、gif、png、bmp。&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-27c11ae9ca1af30c7b61e1_b.jpg& data-rawwidth=&629& data-rawheight=&454& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&629& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-27c11ae9ca1af30c7b61e1_r.jpg&&&/figure&&br&&/p&&p&两种方式：&/p&&br&&ul&&li&&p&MAC或PC电脑：下载到 Send to Kindle。&/p&&/li&&li&&p&找到你的Kindle地址：管理内容和设备&设置&个人文档设置。&/p&&/li&&/ul&&p&它看起来会像：。然后在批准文件邮件列表添加你的个人邮件。&/p&&br&&p&&strong&11. 看 PDF 可以不卡不闪退！&/strong&&/p&&br&&p&创建PDF的时候，请把你的Kindle尺寸记在心中！做一个5x7.7英寸的文件，然后将边缘最小化。&/p&&br&&p&给你一个网站：&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.willus.com/k2pdfopt/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Willus.com's K2pdfopt&/a&它可以让你的PDF更适应墨水屏！&/p&&br&&p&&strong&12. 用活页夹做一个支架&/strong&&/p&&br&&p&给你的不要的活页夹以新生命！&/p&&br&&p&完整的教程在这里：&/p&&p&&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.chicaandjo.com//make-a-custom-kindle-cover-case/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Make a custom Kindle cover&/a&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-d7ef5ff27a95b_b.jpg& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&662& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-d7ef5ff27a95b_r.jpg&&&/figure&&br&&p&&strong&13. 书立也可以做支架&/strong&&/p&&br&&p&任何标准大小的书立都是可以用来做Kindle的支架的！&/p&&br&&p&&strong&14. 用网页读文章&/strong&&/p&&br&&p&有很多办法可以把网页上的文章转到Kindle中，但是最有效的就是通过Instapaper，一个适用于ios和android的APP（也有网页版）。创建账号之后，在设置里面，选择同步到 Kindle，之后，只要你把文章保存到Instapaper，它都会自动推送到Kindle。&/p&&br&&p&&strong&15. 把你的书借给朋友&/strong&&/p&&br&&p&你可以将你的亚马逊的Eligible books借给朋友14天，但是只能借1次。&/p&&br&&p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-ae0aed881ba84fb4345f_b.jpg& data-rawwidth=&477& data-rawheight=&354& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&477& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-ae0aed881ba84fb4345f_r.jpg&&&/figure&登录亚马逊&选择你要出借的书&点击“Lend this book”按钮&br&&/p&&br&&p&&b&16.繁体电子书下载网站：&/b&&/p&&p&&br&古登堡计划（中文书籍）（&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.gutenberg.org/browse/languages/zh& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Browse By Language: Chinese&/a&）英文书籍为主，也有部分中文书籍，繁体。&br&&br&好读网站（&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//haodoo.net/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&首頁 - 好讀&/a&）免费的线上繁体中文图书馆，可在线阅读及下载，可下载的格式有：updb，pdb，prc，epub。&br&&br&百年千书（&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//1000ebooks.tw/& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&1000ebooks.tw/&/span&&span class=&invisible&&&/span&&/a&）百年千书计划，详细介绍请看该网站的“关于我们”或“Q&A”页面。&br&&/p&&br&&p&&b&17. kindle使用经验及技巧&/b&&/p&&br&【推荐】HiPDA论坛-Amazon Kindle论坛资源汇总检索帖（&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.hi-pda.com/forum/viewthread.php%3Ftid%3Dextra%3Dpage%253D1%26sid%3DbTuoBx& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Amazon Kindle论坛资源汇总检索帖 - E-INK - Geek Talks · 奇客怪谈 - Hi!PDA Hi!PDA&/a&） HiPDA论坛中与AmazonKindle有关的知识和资源汇总。&br&&br&【推荐】Kindle 博文概览（&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//irising.me/89/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&站内 Kindle 博文概览 | Page to Page&/a&）一个多人博客，写了很多Kindle方面的博文，文章分为：入手前准备，到手初使用，阅读，上网，折腾，其它等栏目。&br&&br&【推荐】kindle 3经验技巧收集汇总（&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.douban.com/group/topic//& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&【酸奶资源】kindle 3 经验技巧收集汇总【新+minz...&/a&） kindle 3 经验技巧收集汇总。&br&&br&&br&&p&&strong&18. 高阶技能：越狱&/strong&&/p&&br&&p&越狱的第一个理由是，你可以选择自己喜欢的屏保，在 Kindle 休眠的时候，你就不用去看那些烦人的广告。&br&&/p&&br&&p&要告诉你的是，越狱并没有违反你和亚马逊的协议！&/p&&br&&p&Kindle Touch 和 Paperwhite 的用户可以下载越狱教程（ Voyage 的用户暂时还不能越狱！）：&/p&&br&&p&&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.mobileread.com/forums/showthread.php%3Ft%3D186645& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&K5 Kindle Touch/PW1/PW2 5.0.x&/a&&/p&&br&&p&&strong&19. 然后，你就可以使用喜欢的屏保了！&/strong&&/p&&br&&p&前提是，你的 Kindle 已经越狱成功了。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-691e9aecf83b0fffb6eb29ce56a331e2_b.jpg& data-rawwidth=&309& data-rawheight=&463& class=&content_image& width=&309&&&/figure&&br&&p&推荐几个不同风格的屏保网站：&/p&&br&&p&Quotes 控：&/p&&p&&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//secretelectriclibrary.blogspot.co.uk/2014/04/kindle-screensavers-quotations-and-ideas.html& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&secretelectriclibrary.blogspot.co.uk&/span&&span class=&invisible&&/2014/04/kindle-screensavers-quotations-and-ideas.html&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a&&br&&/p&&br&&p&Geek 风：&/p&&p&&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//imgur.com/gallery/5uxx3& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&12 Kindle Backgrounds I found&/a&&br&&/p&&br&&p&摄影美术：&/p&&p&&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.reddit.com/r/kindlescreensavers/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Screensavers for Kindle o /r/kindlescreensavers&/a&&/p&&br&&p&以上，把。&/p&
之前的帐号@金不彷徨被吊销了，馆长的脑子就像现在的美国，是一团迷茫和乱糟糟——重新发一遍，把。 欢迎关注馆长的公众号“容安馆札记” 原文来自：。（公众号后台回复："kindle”,获得更多玩转kindle的资源经…
&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-8786bad7c66c2da720747_b.jpg& data-rawwidth=&638& data-rawheight=&557& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&638& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-8786bad7c66c2da720747_r.jpg&&&/figure&本科学的电子信息工程，用的最多的就是傅里叶变换。但大多数 EE 的学生只是会套用傅里叶变换的公式而已，对其数学本质却了解得比较少。我不敢说掌握了数学本质，只能说从某个角度有了一些理解。&p&之前知友&a href=&https://www.zhihu.com/people/50e52c29a63fad9c6519& data-hash=&50e52c29a63fad9c6519& class=&member_mention& data-editable=&true& data-title=&@Heinrich& data-hovercard=&p$b$50e52c29a63fad9c6519&&@Heinrich&/a& 写过一篇&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&傅里叶分析之掐死教程&/a&，这是一篇非常浅显易懂的傅里叶变换科普文，写得很好。而本文则侧重从数学的角度（准确地说是从线性空间的角度）介绍傅里叶变换，要求读者具备基本的高等数学和线性代数知识，目的是使读者对傅里叶变换有一个更好的理解。&/p&&p&本文分为五部分。第一部分介绍一些基本的数学概念，第二部分介绍傅里叶基和傅里叶级数，第三部分介绍傅里叶变换，第四部分回归 EE 的内容，第五部分总结。&/p&&h2&一、基本概念&/h2&&p&&b&1.域&/b&&/p&&p&域是代数中一个非常重要的概念，是一种特殊的环（交换除环）。介绍域是为介绍线性空间做准备，而域的准确概念在本文中并不重要。因此为了方便，大家可以把域理解为一个&b&可以做加减乘除的集合&/b&。也就是说，域由一个集合和四则运算构成，这个集合内的元素两两间可以做这四种运算（除了除以 0），结果依然在这个集合里。&/p&&p&常见的域有有理数域&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D& alt=&\mathbb{Q}& eeimg=&1&&、实数域&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D& alt=&\mathbb{R}& eeimg=&1&&和复数域&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BC%7D& alt=&\mathbb{C}& eeimg=&1&& ，它们分别是全体有理数、实数、复数关于数的加减乘除构成的。&/p&&p&&b&2.线性空间&/b&&/p&&p&线性空间的概念是建立在域的基础上的。假设&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=F& alt=&F& eeimg=&1&&是一个域，而&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=V& alt=&V& eeimg=&1&&是一个集合。如果&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=V& alt=&V& eeimg=&1&&内的元素之间可以做&b&加法&/b&（也就是说两个元素做加法的结果仍然在集合内），&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=V& alt=&V& eeimg=&1&&和&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=F& alt=&F& eeimg=&1&&可以做&b&数乘&/b&（和域内的乘法不同，数乘是说&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=V& alt=&V& eeimg=&1&&中的一个元素和&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=F& alt=&F& eeimg=&1&&中的一个元素做数乘结果仍在&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=V& alt=&V& eeimg=&1&&内。数乘可以理解为一个二元函数，它把&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=F& alt=&F& eeimg=&1&&内的一个元素和&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=V& alt=&V& eeimg=&1&&内的一个元素映射到&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=V& alt=&V& eeimg=&1&&内的一个元素），这个&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=V& alt=&V& eeimg=&1&&就叫做&b&域&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=F& alt=&F& eeimg=&1&&上&/b&的&b&一个线性空间&/b&。（&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=V& alt=&V& eeimg=&1&&中的元素可以称为&b&向量&/b&）&/p&&p&当然了，上边所说的加法和乘法还要满足几个性质，比如加法要构成阿贝尔群等等。但为了方便，这里不详细说明，只是举几个线性空间的例子。&/p&&p&比如对&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cforall+n+%5Cin+%5Cmathbb%7BZ%7D%2C%5Cmathbb%7BR%7D%5En& alt=&\forall n \in \mathbb{Z},\mathbb{R}^n& eeimg=&1&&（n 维欧式空间）是实数域&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D& alt=&\mathbb{R}& eeimg=&1&&上的线性空间。因为空间中任意两个向量做加法（按照一般向量加法）或用一个实数乘一个向量，结果仍然是一个 n 维欧式空间里的向量。&/p&&p&而定义在闭区间&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ba%2Cb%5D& alt=&[a,b]& eeimg=&1&&上的连续函数也构成一个&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D& alt=&\mathbb{R}& eeimg=&1&&上的线性空间。因为任意两个连续函数的和仍然是原来区间上的连续函数，一个连续函数乘一个实数也是连续函数。&/p&&p&下面将介绍线性空间有关的一些概念，先介绍线性组合。&/p&&p&&b&3.线性组合&/b&&/p&&p&我们知道线性空间内的元素可以做加法，线性空间中的元素可以和域上的元素做数乘。因此我们取&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=V& alt=&V& eeimg=&1&&中的一些向量&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Calpha_1%2C%5Chdots%2C%5Calpha_r& alt=&\alpha_1,\hdots,\alpha_r& eeimg=&1&&和&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=F& alt=&F& eeimg=&1&&中的一些数&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Clambda_1%2C%5Chdots%2C%5Clambda_r& alt=&\lambda_1,\hdots,\lambda_r& eeimg=&1&&，然后做运算&/p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Calpha%3D%5Clambda_1%5Calpha_1%2B%5Ccdots%2B%5Clambda_r%5Calpha_r& alt=&\alpha=\lambda_1\alpha_1+\cdots+\lambda_r\alpha_r& eeimg=&1&&&br&&p&上式的&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Calpha& alt=&\alpha& eeimg=&1&&就叫做&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Calpha_1%2C%5Chdots%2C%5Calpha_r& alt=&\alpha_1,\hdots,\alpha_r& eeimg=&1&&的一个&b&线性组合&/b&。&/p&&p&这样，给定一些&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=V& alt=&V& eeimg=&1&&中的向量，就可以通过它们的线性组合得到更多向量。而我们比较关心能不能得到 0 向量（0 向量是每个线性空间中唯一满足下列条件的一个元素：对任意元素&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Calpha+%5Cin+V%2C0%2B%5Calpha%3D%5Calpha& alt=&\alpha \in V,0+\alpha=\alpha& eeimg=&1&&）。显然当所有的&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Clambda_i& alt=&\lambda_i& eeimg=&1&&都取域中的 0 元素（和 0 向量的定义类似，因为域中的元素和线性空间中的元素均构成阿贝尔群）时结果为 0 。那么当至少有一个&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Clambda_i& alt=&\lambda_i& eeimg=&1&&不为 0 时，它们的线性组合能不能为 0 呢？&/p&&p&如果可以为 0 ，我们就称这些向量&b&线性相关&/b&，反之称为&b&线性无关&/b&。我们更关心线性无关的情况，它是我们介绍基和维数必不可少的。&/p&&p&&b&4.基与维数&/b&&/p&&p&我们在&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=V& alt=&V& eeimg=&1&&中找到了一些线性无关的向量，这些向量可以通过线性组合构成无数其他向量。细心的你可能已经发现了：这些向量的所有线性组合构成的向量就构成了一个线性空间。这个空间中的元素一定属于&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=V& alt=&V& eeimg=&1&&，因此它叫做&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=V& alt=&V& eeimg=&1&&的一个子空间。&/p&&p&如果构成的线性空间恰好是&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=V& alt=&V& eeimg=&1&&，我们称这些向量是&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=V& alt=&V& eeimg=&1&&的&b&一组基&/b&，而向量的个数叫做&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=V& alt=&V& eeimg=&1&&的&b&维数&/b&。如果&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=V& alt=&V& eeimg=&1&&中有无限多个线性无关的向量，它就是无限维的。&/p&&p&在这里我们不加证明地给出：任何非零线性空间均有基。&/p&&p&&b&5.内积&/b&&/p&&p&之前我们介绍线性空间包括了两种运算：第一种是空间内向量的加法，第二种是空间内向量与域中元素的数乘。而内积则是空间内两向量的运算，或者我们可以理解为把空间中两个元素映射为域中一个元素的一个二元函数。我们规定这个函数应该满足一些性质。&/p&&p&首先我们规定，内积是双线性的。在介绍双线性之前，我们先讲讲线性。线性就是说一个一元函数把线性组合映射为线性组合，即&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f%28%5Clambda_1%5Calpha_1%2B%5Ccdots%2B%5Clambda_r%5Calpha_r%29%3D%5Clambda_1f%28%5Calpha_1%29%2B%5Ccdots%2B%5Clambda_rf%28%5Calpha_r%29& alt=&f(\lambda_1\alpha_1+\cdots+\lambda_r\alpha_r)=\lambda_1f(\alpha_1)+\cdots+\lambda_rf(\alpha_r)& eeimg=&1&&恒成立.&/p&&p&而双线性是针对二元函数的，它是说固定其中任何一个变量后，这个一元函数都是线性的。&/p&&p&除了双线性，内积还必须是&b&正定的&/b&。即一个向量和它自己的内积必须是非负的，而非零向量和它自己的内积必须是正的。&/p&&p&容易验证，对于欧式空间中的向量点乘是满足这个性质的。而我们前边提到的闭区间上的连续函数，可以定义其内积为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cleft%3Cf%2Cg%5Cright%3E%3D%5Cint_a%5Eb+f%28x%29g%28x%29%5Cmathrm%7Bd%7Dx& alt=&\left&f,g\right&=\int_a^b f(x)g(x)\mathrm{d}x& eeimg=&1&&.&/p&&p&最后，我们定义两个向量&b&正交&/b&是指它们的内积为零。&/p&&p&&b&6.赋范线性空间&/b&&/p&&p&我估计很多人能看到这已经准备选择狗带了，但是我还是要讲。&/p&&p&我保证这是最后一个概念了……而且我尽量简单粗暴。&/p&&p&首先我们介绍一个概念：范数。对于&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D& alt=&\mathbb{R}& eeimg=&1&&上的线性空间，我们定义它的范数为&/p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7C%7C%5Calpha%7C%7C%3D%5Csqrt%7B%5Cleft%3C%5Calpha%2C%5Calpha%5Cright%3E%7D& alt=&||\alpha||=\sqrt{\left&\alpha,\alpha\right&}& eeimg=&1&&&p&这样的范数也叫作由&b&内积诱导的范数&/b&。内积诱导的范数除了要满足正定性之外，还要满足三角不等式（&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7C%7C%5Calpha%2B%5Cbeta%7C%7C+%5Cleq+%7C%7C%5Calpha%7C%7C%2B%7C%7C%5Cbeta%7C%7C& alt=&||\alpha+\beta|| \leq ||\alpha||+||\beta||& eeimg=&1&&）、CS不等式（&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7C%5Calpha+%5Ccdot+%5Cbeta%7C%5Cleq+%7C%7C%5Calpha%7C%7C%5Ccdot+%7C%7C%5Cbeta%7C%7C& alt=&|\alpha \cdot \beta|\leq ||\alpha||\cdot ||\beta||& eeimg=&1&&）。&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D& alt=&\mathbb{R}& eeimg=&1&&上的线性空间如果构造了这样的范数，就称它为&b&赋范线性空间。&/b&&/p&&br&&p&我不知道有多少人有耐心读到这，如果上边的内容有疑问可以去看任何一本高等代数教材，各种概念并不需要理解得很具体，建议理解得不透彻的读者&b&利用欧式空间进行类比&/b&。下边将开始介绍傅里叶基和傅里叶级数。&/p&&h2&二、傅里叶基和傅里叶级数&/h2&&p&&b&1.傅里叶基&/b&&/p&&p&我们回忆一下刚才讲的正交的概念：两个向量的内积为 0 。如果一个空间有一组基两两正交，那么它就叫做一组&b&正交基&/b&。&/p&&p&我们可以证明，定义在&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5B-%5Cpi%2C%5Cpi%5D& alt=&[-\pi,\pi]& eeimg=&1&&上的所有平方可积的函数构成线性空间，规定其内积为&/p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cleft%3Cf%2Cg%5Cright%3E%3D%5Cint_%7B-%5Cpi%7D%5E%7B%5Cpi%7Df%28x%29g%28x%29%5Cmathrm%7Bd%7Dx& alt=&\left&f,g\right&=\int_{-\pi}^{\pi}f(x)g(x)\mathrm{d}x& eeimg=&1&&&p&（为了简单起见，只考虑实值函数，复函数则其中一个取共轭即可）&/p&&p&我们不加证明地给出：这个空间内的每个向量都可以表示为其一组基的&b&无限线性组合&/b&。这就是 &b&Fourier 展开&/b&。常取的基是&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cleft%5C%7B+1%2C%5Csin+nx%2C%5Ccos+nx+%5Cright%5C%7D+%28n+%5Cin+%5Cmathbb%7BN%7D%29& alt=&\left\{ 1,\sin nx,\cos nx \right\} (n \in \mathbb{N})& eeimg=&1&& 或 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cleft%5C%7B+%5Cexp%28inx%29+%5Cright%5C%7D+%28n+%5Cin+%5Cmathbb%7BZ%7D%29& alt=&\left\{ \exp(inx) \right\} (n \in \mathbb{Z})& eeimg=&1&&&br&&/p&&p&容易证明这些基都是正交的，而且不能找到另外一个向量和它们全正交（这样的一组向量叫做&b&极大正交向量族&/b&）。这样，我们就可以把任何一个&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5B-%5Cpi%2C%5Cpi%5D& alt=&[-\pi,\pi]& eeimg=&1&&上的平方可积的函数通过这些基的线性组合表示出来，这组基就叫做&b&傅里叶基&/b&。&/p&&p&&b&2.傅里叶级数&/b&&/p&&p&傅里叶级数实际上就是把这个空间中的一个向量通过基的线性组合的方式写出来。我们已经知道了，两个正交的向量内积为 0 ，因此如果一个函数是由正交基的线性组合表示，我们可以很容易地求得它的系数。&/p&&p&设&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3Da_0%2B%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cleft%28+a_n+%5Ccos+nx+%2B+b_n+%5Csin+nx+%5Cright%29+& alt=&f(x)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}\left( a_n \cos nx + b_n \sin nx \right) & eeimg=&1&&（这就是傅里叶级数，实际上就是一个基的线性组合，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a_0& alt=&a_0& eeimg=&1&&是 1 的系数，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a_n& alt=&a_n& eeimg=&1&&和&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=b_n& alt=&b_n& eeimg=&1&&分别是&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ccos+nx+& alt=&\cos nx & eeimg=&1&&和&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csin+nx& alt=&\sin nx& eeimg=&1&&的系数）。现在我们想计算每一个基的系数。为此，我们试着计算一下它和其中一项的内积，比如&/p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cint_%7B-%5Cpi%7D%5E%7B%5Cpi%7Df%28x%29%5Ccos+nx%5Cmathrm%7Bd%7Dx+%3D+a_0%5Cint_%7B-%5Cpi%7D%5E%7B%5Cpi%7D%5Ccos+nx%5Cmathrm%7Bd%7Dx%2B%5Csum_%7Bm%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7Da_m%5Cint_%7B-%5Cpi%7D%5E%7B%5Cpi%7D%5Ccos+mx+%5Ccos+nx%5Cmathrm%7Bd%7Dx%2B%5Csum_%7Bm%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7Db_m%5Cint_%7B-%5Cpi%7D%5E%7B%5Cpi%7D%5Csin+mx+%5Ccos+nx%5Cmathrm%7Bd%7Dx& alt=&\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\mathrm{d}x = a_0\int_{-\pi}^{\pi}\cos nx\mathrm{d}x+\sum_{m=1}^{\infty}a_m\int_{-\pi}^{\pi}\cos mx \cos nx\mathrm{d}x+\sum_{m=1}^{\infty}b_m\int_{-\pi}^{\pi}\sin mx \cos nx\mathrm{d}x& eeimg=&1&&&br&&p&不过注意到不同的向量都是正交的，所以非零项只有&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a_n%5Cint_%7B-%5Cpi%7D%5E%7B%5Cpi%7D%5Ccos+%5E2+nx%5Cmathrm%7Bd%7Dx%3D%5Cpi+a_n& alt=&a_n\int_{-\pi}^{\pi}\cos ^2 nx\mathrm{d}x=\pi a_n& eeimg=&1&&.&br&&/p&&p&好简单啊！也就是说，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a_n%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cpi%7D%5Cint_%7B-%5Cpi%7D%5E%7B%5Cpi%7Df%28x%29%5Ccos+nx%5Cmathrm%7Bd%7Dx& alt=&a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\mathrm{d}x& eeimg=&1&&.&br&&/p&&p&这么说似乎还是不明显，我这么写：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a_n%3D%5Cfrac%7B%5Cleft%3Cf%28x%29%2C%5Ccos+nx%5Cright%3E%7D%7B%5Cleft%3C+%5Ccos+nx%2C%5Ccos+nx%5Cright%3E%7D& alt=&a_n=\frac{\left&f(x),\cos nx\right&}{\left& \cos nx,\cos nx\right&}& eeimg=&1&&.&br&&/p&&p&类比一下欧几里得空间。比如说二维欧式空间&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D%5E2& alt=&\mathbb{R}^2& eeimg=&1&&中，我取一组正交基&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%281%2C0%29%2C%280%2C2%29& alt=&(1,0),(0,2)& eeimg=&1&&，那么向量&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%283%2C4%29& alt=&(3,4)& eeimg=&1&&写成这组基的线性组合时系数分别是多少呢？答案就是&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cleft%3C%283%2C4%29%2C%281%2C0%29%5Cright%3E%7D%7B%5Cleft%3C%281%2C0%29%2C%281%2C0%29%5Cright%3E%7D%3D3& alt=&\frac{\left&(3,4),(1,0)\right&}{\left&(1,0),(1,0)\right&}=3& eeimg=&1&&和&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cleft%3C%283%2C4%29%2C%280%2C2%29%5Cright%3E%7D%7B%5Cleft%3C%280%2C2%29%2C%280%2C2%29%5Cright%3E%7D%3D%5Cfrac%7B8%7D%7B4%7D%3D2& alt=&\frac{\left&(3,4),(0,2)\right&}{\left&(0,2),(0,2)\right&}=\frac{8}{4}=2& eeimg=&1&&.&br&&/p&&p&完全一样耶！&/p&&p&实际上从空间的角度，二者确实没有什么本质区别。&/p&&p&那么现在我们已经理解了，傅里叶基其实就是这个函数构成的空间中的一组正交基，而傅里叶级数就是把空间里的元素写成基的线性组合。但我们注意到这里的函数是&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5B-%5Cpi%2C%5Cpi%5D& alt=&[-\pi,\pi]& eeimg=&1&&的，如果换一个区间，结果会如何呢？&/p&&h2&三、傅里叶变换&/h2&&p&我们把区间换成&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5B-a%2Ca%5D& alt=&[-a,a]& eeimg=&1&&，这样相当于把每个函数“拉伸”了&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a%2F%5Cpi& alt=&a/\pi& eeimg=&1&&，这样每个基也拉伸了&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a%2F%5Cpi& alt=&a/\pi& eeimg=&1&&倍，变成了&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cleft%5C%7B+1%2C%5Csin+n%5Comega+x%2C%5Ccos+n%5Comega+x+%5Cright%5C%7D+%28n+%5Cin+%5Cmathbb%7BN%7D%29& alt=&\left\{ 1,\sin n\omega x,\cos n\omega x \right\} (n \in \mathbb{N})& eeimg=&1&& 或 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cleft%5C%7B+%5Cexp%28in%5Comega+x%29+%5Cright%5C%7D+%28n+%5Cin+%5Cmathbb%7BZ%7D%29& alt=&\left\{ \exp(in\omega x) \right\} (n \in \mathbb{Z})& eeimg=&1&&,&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega+%3D+%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7Ba%7D& alt=&\omega = \frac{\pi}{a}& eeimg=&1&&.&br&&/p&&p&而傅里叶级数就变成了&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3Da_0%2B%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7Da_n+%5Ccos+n%5Comega+x+%2B+b_n+%5Csin+n%5Comega+x& alt=&f(x)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}a_n \cos n\omega x + b_n \sin n\omega x& eeimg=&1&&或&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3D%5Csum_%7Bn%3D-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7Da_n%5Cexp%28in%5Comega+x%29& alt=&f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n\exp(in\omega x)& eeimg=&1&&.&br&&/p&&p&下面我们考虑指数函数形式的傅里叶级数在&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a+%5Crightarrow%5Cinfty& alt=&a \rightarrow\infty& eeimg=&1&&时的情形。&/p&&p&1.在区间变为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5B-a%2Ca%5D& alt=&[-a,a]& eeimg=&1&&后，傅里叶系数变为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a_n%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2a%7D%5Cint_%7B-a%7D%5E%7Ba%7Df%28t%29%5Cexp%28-in%5Cpi+t%2Fa%29%5Cmathrm%7Bd%7Dt& alt=&a_n=\frac{1}{2a}\int_{-a}^{a}f(t)\exp(-in\pi t/a)\mathrm{d}t& eeimg=&1&&。&/p&&p&2.在&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&的傅里叶展开中，把傅里叶系数带入，得到&/p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3D%5Clim_%7Ba+%5Crightarrow+%5Cinfty%7D%5Cleft%5B+%5Csum_%7Bn%3D-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cleft%28+%5Cfrac%7B1%7D%7B2a%7D%5Cint_%7B-a%7D%5E%7Ba%7Df%28t%29%5Cexp%28-in%5Cpi+t%2Fa%29%5Cmathrm%7Bd%7Dt+%5Cright%29%5Cexp%28in%5Cpi+x%2Fa%29++%5Cright%5D+& alt=&f(x)=\lim_{a \rightarrow \infty}\left[ \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left( \frac{1}{2a}\int_{-a}^{a}f(t)\exp(-in\pi t/a)\mathrm{d}t \right)\exp(in\pi x/a)
\right] & eeimg=&1&&&br&&p&3.上式的积分式是关于变量&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=t& alt=&t& eeimg=&1&&的，而外边的项&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cexp%28in%5Cpi+x%2Fa%29& alt=&\exp(in\pi x/a)& eeimg=&1&&与&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=t& alt=&t& eeimg=&1&&无关。因此可以写成&/p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3D%5Clim_%7Ba+%5Crightarrow+%5Cinfty%7D%5Cleft%5B+%5Csum_%7Bn%3D-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cleft%28+%5Cfrac%7B1%7D%7B2a%7D%5Cint_%7B-a%7D%5E%7Ba%7Df%28t%29%5Cexp%28in%5Cpi+%28x-t%29%2Fa%29%5Cmathrm%7Bd%7Dt+%5Cright%29++%5Cright%5D+& alt=&f(x)=\lim_{a \rightarrow \infty}\left[ \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left( \frac{1}{2a}\int_{-a}^{a}f(t)\exp(in\pi (x-t)/a)\mathrm{d}t \right)
\right] & eeimg=&1&&&br&&p&4.我们现在希望上式是黎曼和的形式，这样就可以写成定积分。为此取&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Clambda_n%3D%5Cfrac%7Bn%5Cpi%7D%7Ba%7D%2C%E3%80%81%5Clambda%3D%5Clambda_%7Bn%2B1%7D-%5Clambda_n%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7Ba%7D& alt=&\lambda_n=\frac{n\pi}{a},、\lambda=\lambda_{n+1}-\lambda_n=\frac{\pi}{a}& eeimg=&1&&，这样上式变成&/p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3D%5Clim_%7Ba+%5Crightarrow+%5Cinfty%7D%5Cleft%5B+%5Csum_%7Bn%3D-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi%7D%5Cint_%7B-a%7D%5E%7Ba%7Df%28t%29%5Cexp%28i%5Clambda_n%5Cpi+%28x-t%29%2Fa%29%5Cmathrm%7Bd%7Dt++%5Cright%5D+%E3%80%81%5Clambda& alt=&f(x)=\lim_{a \rightarrow \infty}\left[ \sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{2\pi}\int_{-a}^{a}f(t)\exp(i\lambda_n\pi (x-t)/a)\mathrm{d}t
\right] 、\lambda& eeimg=&1&&&br&&p&5.当&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a%5Crightarrow+%5Cinfty& alt=&a\rightarrow \infty& eeimg=&1&&时，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta+%5Clambda%5Crightarrow+0& alt=&\Delta \lambda\rightarrow 0& eeimg=&1&&，上式作为黎曼和的形式可以写成定积分:&/p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi%7D%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cleft%5B%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7Df%28t%29%5Cexp%28i%5Clambda%5Cpi+%28x-t%29%2Fa%29%5Cmathrm%7Bd%7Dt++%5Cright%5D+%5Cmathrm%7Bd%7D%5Clambda& alt=&f(x)= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\left[\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\exp(i\lambda\pi (x-t)/a)\mathrm{d}t
\right] \mathrm{d}\lambda& eeimg=&1&&&br&&p&6.上式略作变形，得到&/p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%5Cpi%7D%7D%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cleft%28%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%5Cpi%7D%7D%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7Df%28t%29%5Cexp%28-i%5Clambda+t%29%5Cmathrm%7Bd%7Dt++%5Cright%29+%5Cexp%28i%5Clambda+x%29%5Cmathrm%7Bd%7D%5Clambda& alt=&f(x)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\exp(-i\lambda t)\mathrm{d}t
\right) \exp(i\lambda x)\mathrm{d}\lambda& eeimg=&1&&&br&&br&&p&这样，我们从傅里叶级数出发，在&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a%5Crightarrow+%5Cinfty+& alt=&a\rightarrow \infty & eeimg=&1&&的情形下得到了一个式子。这个式子的本质仍然是一个求和式，只是因为极限所以写成了积分式。它把&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&写成了&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cexp%28i%5Clambda+x%29%5Cmathrm%7Bd%7D%5Clambda& alt=&\exp(i\lambda x)\mathrm{d}\lambda& eeimg=&1&&的线性组合。&/p&&p&&b&等等！&/b&&/p&&p&&b&线性组合？！&/b&&/p&&p&确实如此啊。只是这里的变量&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Clambda& alt=&\lambda& eeimg=&1&&是取遍整个数轴的。相当于对实数轴上的每个点都对应了这个函数的一个“基”，而这个积分式就是这些基的“线性组合”。&/p&&p&括号里的那堆东西，也就是&/p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cwidehat%7Bf%7D%28%5Clambda%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%5Cpi%7D%7D%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7Df%28t%29%5Cexp%28-i%5Clambda+t%29%5Cmathrm%7Bd%7Dt++& alt=&\widehat{f}(\lambda)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\exp(-i\lambda t)\mathrm{d}t
& eeimg=&1&&&br&&p&就叫做这个函数的&b&傅里叶变换&/b&。&/p&&p&傅里叶变换是这样一个函数，它在&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Clambda& alt=&\lambda& eeimg=&1&&处的函数值&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cwidehat%7Bf%7D%28%5Clambda%29& alt=&\widehat{f}(\lambda)& eeimg=&1&&表示函数&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&在&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Clambda& alt=&\lambda& eeimg=&1&&对应的基上的系数。至此我们就完成了傅里叶变换从空间角度的介绍。&/p&&p&补充：&/p&&p&前边我们已经定义了范数，而两个向量之间的距离可以用它们差的范数刻画。空间中有一向量序列&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=v_1%2Cv_2%2C%5Cldots& alt=&v_1,v_2,\ldots& eeimg=&1&&是&b&柯西列&/b&，如果它满足对任意的&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cepsilon+%3E+0& alt=&\epsilon & 0& eeimg=&1&&,存在正整数&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=N& alt=&N& eeimg=&1&&，使得对任意的&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=m%2Cn%3EN& alt=&m,n&N& eeimg=&1&&,有&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7C%7Cv_m-v_n%7C%7C%3C%5Cepsilon& alt=&||v_m-v_n||&\epsilon& eeimg=&1&&。也就是说，在柯西列中，我们总可以去掉有限个元素，使得剩余的项两两之间的最大距离小于一个给定的正数。&/p&&p&柯西列都是收敛的。如果空间中任何一个柯西列都收敛到空间内部，我们就称这个空间是&b&完备的&/b&。&/p&&p&完备的内积空间叫做&b&希尔伯特空间&/b&。希尔伯特空间中的极大正交向量组称为&b&希尔伯特基&/b&。傅里叶基是 Lebesgue 函数空间&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=L%5E2%28%5B-a%2Ca%5D%29& alt=&L^2([-a,a])& eeimg=&1&&（&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=L%5E2& alt=&L^2& eeimg=&1&&指平方可积函数构成的函数空间，它和平方可和序列构成的空间均为希尔伯特空间）上常取的一组基。&/p&&p&另外，从基的角度，先引出傅里叶级数，再通过极限去说明傅里叶变换更好一些。但其实傅里叶变换更加自然，而傅里叶级数只是紧致阿贝尔群上的傅里叶变换。&/p&&h2&四、回归信号&/h2&&p&我们再从信号分析的角度考虑上述结果。我们求傅里叶变换说的是把信号从“&b&时间域&/b&”变换到“&b&频率域&/b&”，而频率域对应值就代表“信号”在该点的“&b&频率分量&/b&”。为什么我们可以说“频率分量”呢？就是因为每一个频率都代表了一个基，原信号可以写成这些基的线性组合，而每个基上的系数就代表了信号在这个基（频率）上的分量大小。&/p&&p&回忆我们高中时候学物理，做平抛、斜抛运动的题时，总是二话不说地水平竖直分解运动，为什么呢？因为对于平面内的运动，水平和竖直就是两组“基”（并不十分准确，理解即可）。那么为什么非得水平和竖直而不是斜 30° 角呢？这我们就要考虑重力了。重力只在竖直方向有作用，它在水平这组基下的分量为 0 。所以说，基的选取也很重要。&/p&&p&而信号的分解为什么要在三角函数或指数函数里进行分解呢？首先我们要说明，这两个分解的本质是一样的，因为三角函数的定义就是通过指数函数的（与欧拉公式无关，见&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&余翔关于欧拉公式的一个回答&/a&）。一方面，三角函数具有非常好的性质，简单的三角函数非常容易分析，产生也很自然。另一方面，三角函数非常好地刻画了信号的频率，而这也是我们非常关心的。&/p&&p&从基的线性组合的角度，傅里叶变换的很多性质都是显然的，请读者自己试着证明。&/p&&h2&五、总结&/h2&&p&傅里叶变换是 EE 专业学生的“命根子”，几乎所有的信号处理都需要依靠傅里叶变换。毫无疑问，对傅里叶变换更深层的理解，有助于我们更好地学习和研究。本文的理解角度也是我认为最适合 EE 专业学生的理解方式。&/p&&p&然而本文只是一个概念性的介绍，如果要真正地理解，可以仔细阅读参考文献中列举的资料。如果文章有不妥之处，也请大家批评指正。（因为本文不是介绍知识，里边掺杂了自己的理解）&/p&&h2&参考文献&/h2&&p&[1] 张贤科. 高等代数学, (第二版)[M]. 清华大学出版社, 2004.&/p&&p&[2] Albert, Boggess, 赵树森. 小波与傅里叶分析基础[M]. 电子工业出版社, 2010.&/p&
本科学的电子信息工程，用的最多的就是傅里叶变换。但大多数 EE 的学生只是会套用傅里叶变换的公式而已，对其数学本质却了解得比较少。我不敢说掌握了数学本质，只能说从某个角度有了一些理解。之前知友 写过一篇，这是一篇非…
大多数人都只看刘慈欣的《三体》，并以为《三体》是中国科幻的全部。我来给你们看看韩松的《地铁惊变》。&br&&br&另外评论区还有提到《地铁惊变》模仿宝树《时间之墟》的人……哎，一看就是科幻小白……《时间之墟》2013才出版，韩松的《地铁惊变》2003年就写出来了（原载于《科幻世界》2003年第9期）。此外，《时间之墟》那个隔一段时间世界就重新洗一次牌的类似点子，七月在2003也早就写过了（《震荡》——原载于《科幻世界》2003年第11期）。&br&&br&个人非常不喜欢宝树这种靠吃别人的想象力的边角料发家的人，科幻本来就是点子文学，刘慈欣发现日本人先写了在月球上贴满太阳能电池板的点子所以放下了提起的笔，而宝树同志写个《三体X》还厚着脸皮找刘慈欣作序。大刘低调不愿意说他，我却要说他：“实在是厚颜无耻沽名钓誉之徒！！！”&br&&br&老一辈科幻作家里面，写出《生存实验》的王晋康，写出《伤心者》的何夕；新生代科幻作家里面，写出《若马凯还活着》的长铗，写出《荒潮》的陈揪帆，哪一个不甩宝树八条街？&br&&br&韩松之所以优秀，是因为他以暗黑、诡异、荒诞的科幻风格在科幻圈中独树一帜。&br&……………………………………………………………………………&br&&br&以下是韩松《地铁惊变》的正文（非商用，侵删）：&br&&br&&br&【一、微妙的狼狈 】&br&&br&那个少妇模样的女人，身子紧紧挤贴着周行，气球一样的乳房传递过来一股蜂糖般的粘性，然而，女人却毫不顾忌。 &br&&br&如果在别的地方，周行会觉得占了便宜，但在这拥挤不堪的地铁上，却只是盼望着快些到站，何况，那女人身上还散发出了浓烈的劣质化妆品气息。
&br&&br&因此，周行此时的感觉，或可称作微妙的狼狈。
&br&&br&星期一的早晨，上班时间的地铁就是这种样子。周行好不容易才挤了进去，就如同割据了人生中的一种巨大成功。在车厢里，人连身子都转不过来，却都牢牢地控制着自己的领地。
&br&&br&周行要坐七八站才下车。好在因为有确定而可预知的目的地，所以也能以忍耐的心情对待这眼前的态势。
&br&&br&在列车经停下一个站台时，又有更多的乘客涌了上来。周行想往里边挪移，却一步也动弹不得。已占领了较好位置的乘客用敌视的眼光狠狠瞪他。周行心想，等攒够了钱一定要买辆车。
&br&&br&然而，跟着便不对头了。明明该到站了，地铁却仍疾驶不停。车厢里的拥挤，似乎正在肿瘤一般长大，向结束不了的局面发展。一开始，由于坐车的惯性，人们并没有马上意识过来，但很快便觉出了异样。
&br&&br&的确，外面连一个站台也不再出现，飞掠过去的，都是深海般的黑暗。
&br&&br&乘客们不再读报，关掉了随身听，一个个面色惊惶，熟识的人窃窃私语。周行以为是在做梦，急忙掐了掐自己的胳膊，才晓得哪里是梦！他看见，旁边一个男人的额头上淌出了冷汗。
&br&&br&在车厢尽头，有个女人尖叫起来。 &br&&br&周行心想，微妙的狼狈，才真正开始了。 &br&&br&&br&&br&　【二、没有了解脱的希望 】&br&&br&不觉间，列车已开出了半个钟头，也没有停下来的意思，外面根本看不到会有站台出现的征兆。
&br&&br&周行面前的女人蛇一样怪异地扭动着身子。周行畏惧地凹胸收腹。原来，她不过是要在人缝中努力地从挎包中拿取东西。她掏出的是一只手机，但她失望地发现没有信号。这时候，别的人也有打手机的，却都打不通。
&br&&br&“遇到鬼了！”女人吐着紫白的舌头，低低地咆哮，那样子使周行想到了《聊斋志异》中的妖狐。他不禁在困惑中滋生了一丝浅浅的幸灾乐祸，同时，也对那些有座位坐着或者有车体倚靠的乘客，爆发了些许复仇的惬意。
&br&&br&他听见有人带着哭腔道：“怎么回事？我们怎么办？”
&br&&br&“别担心，会好的。也许是出了点意外，是制动失灵了吧，不巧，外面还停电了，所以我们什么也看不见。”有人自我安慰说。
&br&&br&车厢里倒是仍旧灯火通明，排气扇在卖劲地哗哗转动，通风和供氧状况良好，还不至于憋死人。只是，人们的紧张，却如同上吊一般愈发没有了解脱的希望。
&br&&br&一个男人在叫：“我是警察！大家要保持镇静，看管好自己的钱物！” &br&&br&&br&【三、有吃的吗】&br&&br&　　一个半小时就这样过去了，车外的黑暗仍然无际，周行的腿都站软了。他还没有吃早饭，肚子咕咕叫，竟是一种从未体验过的极度饥饿。加上恐惧、震惊和愤怒，他忽然产生了要把面前的女人掐死的冲动，好像这异端都是因她而起的。&br&&br&　　女人脸色像厉鬼，咬住厚厚的两大片猩红嘴唇，硬梆梆地几乎是向周行的怀中倾倒了过来。周行无法接受这种非现实的现实，绝望地预感到今天的目的地正在远离他而去。最难受的，还是人与人这么长时间地挤靠着，完全没有私人空间，给生理和心理带来巨大压迫，把人都要逼疯了。这一点，在以前又是怎么日复一日地承受过来的呢？真不可思议。&br&&br&　　但全车人此刻的忍耐性依旧使人暗暗赞叹。谁都不说话，男人不发表意见，只有几个女的在低声抽泣。&br&&br&　　又过了一个小时，才有人歇斯底里叫起来：“我有心脏病，我受不了啦！”&br&&br&　　又有尖锐的声音：“有人昏过去了！”&br&&br&　　昏过去的乘客，不知是什么病，嘴角直冒白沫。人太多了，根本没有容他倒下的空隙。车厢一角出现了骚动。&br&&br&　　“谁有急救药？”&br&&br&　　“赶快掐人中！”&br&&br&　　周行在这慌乱中感到了滑稽，那正是一种徒劳的可笑。他于是下意识站直身子，把扶手拉得更紧了。面前的女人，脸上浮出了紫绀的气色，胸脯蒲扇般起伏