用竖式计算．(是循环小数的用循环小数表示)41.7×0.12 0.272÷3.4 10÷11． 题目和参考答案——精英家教网——
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用竖式计算．（是循环小数的用循环小数表示）41.7×0.12&&&&&&&&&&&&&0.272÷3.4&&&&&&&&&&&&&&&10÷11．
分析：（1）运用小数乘法的计算法则进行计算；（2）（3）运用小数除法的计算法则进行计算．解答：解：（1）41.7×0.12=5.004；（2）0.272÷3.4=0.08；（3）10÷11=0.．&点评：分别运用小数乘法和除法的计算法则进行计算，注意小数点的位置，用循环节表示无限循环小数．
练习册系列答案
科目：小学数学
列竖式计算，商是循环小数的用简便形式表示．1÷9=5÷3=3÷11=3÷40=33.8÷1.8=13.2÷11=
科目：小学数学
列竖式计算，商是循环小数的用简便写法表示出来．7.05÷0.94=
1.71÷3.8=
4.83÷O.7=
0.196÷0.56=
科目：小学数学
来源：2008年五年级数学(上)　苏教版 苏教版
用竖式计算，商是循环小数的保留两位小数．
18.5－3.76　　12.4÷15　　1.09×3.5
科目：小学数学
题型：解答题
列竖式计算，商是循环小数的用简便写法表示出来．7.05÷0.94=1.71÷3.8=4.83÷O.7=5.7÷9=13÷2.4=0.196÷0.56=
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自然数：我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3，4，5，...叫做自然数。一个物体也没有，用“0”表示，“0”也是自然数，它是最小的自然数，没有最大的自然数，自然数是无限的。
整数：在小学阶段，整数通常指自然数。
数字：表示数目的符号叫做数字，通常把数字叫做数码。
加法：把两个数合并成一个数的运算，叫做加法。
加数：在加法中相加的两个数，叫做加数。
和：在加法中两个加数相加得到的数叫做和。
减法：已知两个数的和与其中一个数，求另一个加数的运算，叫做减法。
被减数：在减法中，已知的和叫做被减数。
减数：在减法中，减去的已知加数叫做减数。
差：在减法中，求出的未知加数叫做差。
乘法：求几个相同加数的和的简便运算，叫做乘法。
因数：在乘法中，相乘的两个数都叫做积的因数。
积：在乘法中，乘得的结果叫做积。
除法：已知两个因数的积，与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫做除法。
被除数：在除法中已知的积叫做被除数。
除数：在除法中，已知的一个因数叫做除数。
商：在除法中，未知的因数叫做商。
计数单位：一，十，百，千，万，十万，百万，千万，亿......都叫做计数单位。
十进制计数法：每相邻的两个计数单位间的进率是十。这种计数方法叫做十进制计数法。
数位：写数的时候，把计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。一个数字所在的数位不同，表示的数的大小也不同。第一个数位称为个位，依次是十位，百位，千位，万位，十万位......
有余数除法：一个整数除以另一个不为零的整数，得到整数的商以后还有余数，这样的除法叫做有余数的除法。余数比除数小。
整数四则混合运算：我们学过的加减乘除四种运算，统称为四则运算。
第一级运算：在四则运算中，加法和减法叫做第一级运算。
第二级运算：在四则运算中，乘法和除法叫做第二级运算。
整除：两个整数相除，如果用字母表示可以这样说：整数a除以整数b(b不等于0)除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，也可以说b能整除a。
约数和倍数：如果数a能被b（b不等于0）整除，a叫做b的倍数，b叫做a的约数或a的因数。倍数和约数是相互依存的。一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身。一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。例如，15能被3整除，我们就说15是3的倍数，3是15的约数。
偶数：能被2整除的数叫做偶数，因为0也能被2整除，所以0也是偶数。
奇数：不能被2整除的数叫做奇数。例如 1、3、5、7......
质数：一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数或者素数。例如2、3、5、7、11都是质数。
素数：素数就是质数。
合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数。1不是质数，也不是合数。例如4、6、8、9、10、12......都是合数。
质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。
分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例如：12=3*2*2
公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。
最大公约数：在几个数的公约数中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。例如1，2，4是8和12的公约数；4是8和12的最大公约数。
互质数：公约数只有1的两个数，叫做互质数。例如5和7是互质数，8和9也是互质数。
公倍数：几个数公用的倍数，叫做这几个数的公倍数。
最小公倍数：在几个数的公倍数中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。例如12，24，36......都是4和6的公倍数，12是4和6的最小公倍数。
单价数量总价：每件商品的价钱，我们叫它单价，买了多少，叫做数量，一共用了多少钱，叫总价。总价=单价×数量
速度、时间、路程：每小时（或每分钟或者每天）行进的路程，我们叫它速度，行进了几小时（或几分钟或几天）我们叫它时间，一共行进多少路，我们叫它路程。路程=速度×时间
加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，这叫做加法交换律。字母表示：a+b=b+a
加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再同第三个数相加；或先把后两个数相加，再同第一个数相加，它们的和不变。这叫做加法结合律。字母表示：(a+b)+c=a+(b+c）
乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变。这叫做乘法交换律。字母表示：a×b = b×a
乘法结合律：三个数相乘，先把前两者相乘，再同第三个数相乘；或者先把后两个数相乘，再同第一个数相乘，它们的积不变，这叫做乘法结合律。字母表示：(a×b)×c=a×(b×c)
乘法分配律：两个数的和同一个数相乘，可以把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积相加，结果不变。这叫做乘法分配率。字母表示：（a＋b）×c=a×c+b×c
三、四位数的加法法则：(1)相同数位对齐;(2)从个位加起;(3)哪一位上的数相加满十,要向前一位进一。
乘数是一位数的乘法法则：（1）从个位起，用乘数依次乘被乘数的每一位数；（2）哪一位上乘得的积满几十，就向前一位进几。0和任何数相乘都得0。
两个因数和积的变化规律：一个因数不变，另一个因数扩大（或缩小）若干倍，积也扩大（或缩小）若干倍。
除法中商不变的性质：在除法里，被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数（零除外），商不变。
乘法各部分间的关系：因数×因数=积
一个因数=积÷另一个因数
除法各部分间的关系：被除数÷除数=商
除数=被除数÷商 被除数=商×除数
乘法的验算方法：用所得的积除以一个因数，如果得到另一个因数，就是乘法做对了。
除法的验算方法：用除数和商相乘，如果得到被除数，或者用被除数除以商，如果得到除数，就是除法做对了。
乘法的简便算法：三个数相乘，可以先把后面两个数相乘，再和第一个数相乘，结果不变。利用这个规律，有时一个数连续乘以两个一位数，改成乘以两个一位数的积，比较简便；有时一个数乘以两位数，改成连续乘以两个一位数，计算比较简便。
例如:6×12×5=6×(12×5) 25×16=25×(4×4)=25×4×4
除法的简便算法：一个数连续用两个数除,每次都能除尽的时候,可以先把两个除数相乘,用它们的积去除这个数,结果不变。利用这个规律,有时一个数连续除以2个一位数,改成除以这2个一位数的积,比较简便;有时一个数除以两位数,改成连续除以2个一位数,比较简便。
例如：=1000÷(25×4) 420÷35=420÷7÷5
解答应用题的步骤：（1)弄清题意，并找出已知条件和所求问题；(2)分析题里数量间的关系，确定先算什么，再算什么，最后算什么(3)确定每一步该怎样算，列出算式，算出得数；(4)进行检验，写出答案。
检验应用题：(1)按照原来的题意，依次检查每一步列式和计算，看是否正确(2)把得数当作已知条件，按照题意倒看一步一步地计算，看结果是不是符合原来的一个已知条件。
多位数的写法：(1)从高位起，一级一级地往下写；(2)哪个数位上一个数也没有，就在哪个数位上写0。例如：七千零三亿零二十万写作
加法各部分间的关系：和=加数+加数
加数=和-另一个加数
减法各部分间的关系：差=被减数-减数
减数=被减数-差 被减数=减数+差
加减法的简便运算：一个数连续减去两个数，等于这个数减去两个数的和。例如130-46-34=130-80=50
有余数除法各部分间的关系：被除数=商×除数+余数
同级运算的顺序：一个算式里，如果只含有同一级运算，要从左往右依次计算。
不同级运算的运算顺序：一个算式里，如果含有两级运算，要先做第二级运算，后做第一级运算。例如100-7×5=100-35=65
小数：仿照整数的写法，写在整数的右面，用圆点隔开，用来表示十分之几，百分之几，千分之几......的数，叫做小数。例如0.2表示十分之二，0.02表示百分之二。
小数的计数单位：小数的计数单位是十分之一，百分之一，千分之一......分别写作0.1，0.01，0.001......
小数加法：小数加法的意义与整数加法的意义相同，是把两个数合并成一个数的运算。
小数减法：小数减法的意义与整数减法的意义相同，是已知2个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算。
小数乘整数：小数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算。
一个数乘小数：一个数乘小数的意义是求这个数的十分之几，百分之几，千分之几......
小数除法：小数除法的意义和整数除法的意义相同，是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
循环小数：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断地重复出现，这样的小数叫做循环小数。
循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断地重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。
纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。
混循环小数：循环节不从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。
有限小数：小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数。
无限小数：小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数。循环小数是无限小数。
小数的性质：小数的末尾添上0或者去掉0，小数的大小不变，这叫做小数的性质。
小数加减法的计算法则：计算小数加减法，先把各数的小数点对起，再按照整数加减法的法则进行计算，最后在得数里对齐横线上的小数点点上小数点。得数的小数部分末尾有0，一般要把0去掉。
小数乘法的计算法则：计算小数乘法，先按照整数乘法的法则算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边数出几位，点上小数点。
除数是整数的小数除法法则：除数是整数的小数除法，按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0再继续除。
除数是小数的小数除法法则：除数是小数的除法，先移动除数的小数点，使它变整数；除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用“0”补足）；然后按照除数是整数的小数除法进行计算。
小数的读法：读小数的时候，整数部分按照整数的读法来读，（整数部分是“0”的读作“零”），小数点读作“点”，小数部分通常顺次读出每一个数位上的数字。
小数的写法：写小数的时候，整数部分按照整数的写法来写(整数部分是零的写做数字“0”），小数点写在个位右下角，小数部分顺次写出每一个数位上的数字。
小数性质的应用：（1）根据小数的性质，遇到小数末尾有“0”的时候，一般地可以去掉末尾“0”，把小数化简。（2）有时根据需要，可以在小数的末尾添上“0”，还可以在整数的个位和右下角点上小数点，再添上0，把整数写成小数形式。
分数线：在分数里，中间的横线叫做分数线。
分母：在分数里，分数线下面的数叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份。
分子：在分数里，分数线上面的数叫做分子，表示有这样的多少份。
分数单位：按照分母数字把单位“1”分成相等份数，表示其中一份的数，叫做分数单位。例如六分之五的分数单位是六分之一。
真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。
假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。
繁分数：一个分数，如果它的分子含有分数或者分母里含有分数，或者分子和分母里都含有分数，这个分数就叫做繁分数。
带分数：由整数和真分数合成的数，通常叫做带分数。例如二又五分之一。
约分：把一个分数化成同他相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。
最简分数：分子和分母是互质数的分数叫做最简分数。
通分：把两个异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。例如比较两个分数的大小，就需要通分。
分数加法：分数加法的意义与整数加法的意义相同，是把两个分数合并成一个分数的运算。
分数减法：分数减法的意义与整数减法的意义相同，是已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算。
分数乘整数：分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算。
一个数乘分数：一个数乘分数的意义，就是求这个数的几分之几是多少。
倒数：乘积是1的两个数叫做互为倒数。例如八分之三和三分之八互为倒数，就是八分之三的倒数是三分之八。
分数除法：分数除法的意义与整数除法的意义相同，就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或者除以相同的数（零除外），分数的大小不变，这叫做分数的基本性质。
同分母分数加减法的法则：同分母分数相加减，分母不变，只把分子相加减。计算结果能约分的要约成最简分数，是假分数的，一般要化成带分数或整数。
百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。百分数也叫做百分率和百分比。
利息：取款时银行多付的钱叫做利息。
本金：存入银行的钱叫做本金。
利率：利息与本金的百分比叫做利率。利率由银行规定，有按年计算的，也有按月计算的。
利息的计算公式：利息=本金×利率×时间
成数：几成就是十分之几，或者百分之几十。例如三成就是十分之三，改写成百分数就是30%
折扣：“几折”就表示十分之几，也就是百分之几十。
比：两个数相除又叫做两个数的比。
比号：比号用“：”表示，读作比。
比的前项：比号前面的数叫做比的前项。
比的后项：比号后面的数叫做比的后项。
比值：比的前项除以后项所得的商，叫做比值。
比例：表示两个比相等的式子叫做比例。
比例的项：组成比例的四个数，叫做比例的项。
比例的外项：组成比例的四个项中，两端的两项叫做比例的外项。
比例的内项：组成比例的四个项中，中间的两项叫做比例的内项。例如
80:2=200:5，其中2和200是内项，80和5是外项。
解比例：根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另一个未知项。求比例的未知项，叫做解比例。例如：解比例 3:8=15:x 解：3x=15×8 x=40 小学数学练习机49.0版最好的小学数学辅导和练习软件,自动出题,自动批改。
比例尺：图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。为了计算简便，通常把比例尺写成前项为1的比。
图上距离:实际距离=比例尺
成正比例的量：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。例如路程随着时间的变化而变化，它们的比的比值（速度）保持一定，所以路程和时间是成正比例的量。
成反比例的量：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或者同时除以相同的数（0除外），比值不变。这叫做比的基本性质。
比例的基本性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积。这叫做比例的基本性质。
百分数写法：百分数通常不写成分数的形式，而在原来分子后面加上百分号“%”来表示。例如百分之九十写成90%
百分数与小数互化：把小数化成百分数，只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号；把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。例如 0.25=25%，27%=0.27
百分数与分数互化：把分数化成百分数，通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再把小数化成百分数；把百分数化成分数，先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。
整数比化简的方法：整数比的化简根据比的基本性质，把比的前项和后项同时除以比的前项和后项的最大公约数，得到最简比。
小数比化简的方法：小数比的化简根据比的基本性质，把比的前项和后项同时扩大相同的倍数，化成整数比，再把整数化简。
分数比化简的方法：含有分数的比的化简，用分母的最小公倍数去乘比的前项和后项，把分数比化成整数比，再把整数比化简。
线段：用直尺把两点连接起来就得到一条线段，这两点叫做线段的端点。线段AB表示端点是A点和B点的一条线段。
线段的基本性质：连接两点的所有线中，线段最短，线段的长度可以度量。
射线：把线段的一端无限延长，就得到一条射线。射线只有一个端点，不可以度量长度。
直线：把线段的两端无限延长，就得到一条直线。直线没有端点，不可以度量。经过一点可以画无数条直线，经过两点只能画一条直线。
两点间的距离：连接两点的线段的长度叫做这两点的距离（线段AB的长度是点A和点B间的距离）。
角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。
角的顶点：组成角的两条射线的公共端点叫做角的顶点。
角的边：组成角的两条射线叫做角的边。小学数学练习机49.0版最好的小学数学辅导和练习软件,自动出题,自动批改。
角的内部：角可以看作是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。射线旋转时经过的平面部分是角的内部。
平角：射线OA绕着点O旋转，当终止位置OC和起始位置OA成一直线时，所成的角叫做平角。平角为180度。
周角：射线OA绕着点O旋转，回到起始位置OA时，所成的角叫做周角。周角为360度。
直角：平角的一半叫做直角。直角为90度。
锐角：小于直角的角叫做锐角。锐角小于90度。
钝角：大于直角而小于平角的角叫做钝角。钝角小于180度，大于90度。
角的平分线：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做角的平分线。
两条直线互相垂直：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
三角形的边：组成三角形的线段叫做三角形的边。
三角形的角：三角形中，相邻两边所组成的角叫做三角形的角。
三角形的高：从三角形的一个顶点，向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。
不等边三角形：三条边都不相等的三角形叫做不等边三角形。
等腰三角形：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
等边三角形：三边都相等的三角形叫做等边三角形。
等腰三角形的腰：在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰。
等腰三角形的底边：在等腰三角形中，除相等的两边外的第三条边叫做底边。
等腰三角形的顶角：在等腰三角形中，两腰的夹角叫做顶角。
等腰三角形的底角：在等腰三角形中，腰和底边的夹角叫做底角。
锐角三角形：三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形。
直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。
钝角三角形：有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。
直角三角形的直角边和斜边：在直角三角形中，直角的两边叫做直角边，直角所对的边叫做斜边
等腰直角三角形：两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形。
三角形的稳定性：例如用三根木棍钉成一个三角形，用力拉这个三角形，这个三角形的形状没有改变。可见三角形具有稳定性。
三角形的面积：三角形的面积=底×高÷2
四边形：在平面内，由不在同一条直线的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形。
平行线：在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线。
平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形的面积公式：平行四边形的面积=底×高
长方形：有一个角是直角的平行四边形叫做长方形。
菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
正方形：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
编辑：一林
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0.72（72循环）怎样化为分数?
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一、纯循环小数化分数从小数点后面第一位就循环的小数叫做纯循环小数.怎样把它化为分数呢?看下面例题.把纯循环小数化分数：纯循环小数的小数部分可以化成分数,这个分数的分子是一个循环节表示的数,分母各位上的数都是9.9的个数与循环节的位数相同.能约分的要约分.二、混循环小数化分数不是从小数点后第一位就循环的小数叫混循环小数.怎样把混循环小数化为分数呢?把混循环小数化分数.（2）先看小数部分0.353一个混循环小数的小数部分可以化成分数,这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差.分母的头几位数是9,末几位是0.9的个数与循环节中的位数相同,0的个数与不循环部分的位数相同.三、循环小数的四则运算循环小数化成分数后,循环小数的四则运算就可以按分数四则运算法则进行.从这种意义上来讲,循环小数的四则运算和有限小数四则运算一样,也是分数的四则运算.有限小数化成分数直接将小数点去掉,分母对应化成十百千万等.再约分.例如：0.333.＝3/9=1/3 0.214.=214/999 简单说每一个循环节为分子,循环节有几位数分母就写几个9 0.3333.循环节为3 0.214.循环节为214 0..循环节为52,所以0.525252...＝52/99 0.35.=35/99
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小学数学难题解法大全
小学数学难题解法大全 第一部分 常用解题依据 （一）四则运算定律与性质 1．加法运算定律 2．乘法运算定律 3．四则运算性质 （二）公理、定理或性质 1．数的公理、定理或性质 2．整除性质或定理 3．比和比例的定理或性质 4．几何公理、定理或性质 5．其他定理或性质 （三）数学原理 （四）法则、方法 1．有关数的法则或方法 2．运算法则或方法 3．比和比例的法则或方法 4．简单方程的解法 （五）数学公式 1．速算公式 2．解应用题的公式 3．几何公式 （六）数学规律 1．数的整除性规律 2.和差积商的变化规律 3.最值规律 4、等积规律 （七）图形旋转与几何体侧面展开 1.几何图形旋转 2.几何体侧面展开 第二部分 常用解题思路 （一）直接思路 （二）间接思路 （三）逻辑思路 （四）特殊思路 第三部分 常用解题方法 （一）一般解题方法 （二）特殊解题方法 第四部分 常用解题技巧 （一）速算技巧 1.变换运算顺序 2.改变运算种类 3.用补充数速算 4.应用公式速算5.连续数求和的速算 6.根据和、差、积、商变化规律速算 7.常用的巧算方法 （二）解概念题技巧 1.数的大小概念 2.判断题的解答 3.其他 （三）解几何题技巧 1.等分图形 2.平移变换 3.旋转变换 4.对称变换 5.割补、拼接、截割 6．扩缩图形 7．附录：等积变换 8．运用图形间的等量关系 9．利用间接条件 （四）解应用题技巧 1．解一般题用得较多的技巧 2．解典型题用得较多的技巧 第五部分 典型难题讲析 （一） 数的计算 1．四则计算 2?分数与繁分数化简 3．数的大小比较 4.估值计算 5．循环小数 （二）数字谜与数字问题 1．数字串问题 2．算式谜 3．附录：数阵图 4．数的组成 5．小数和分数 6.数字和与最大最小问题 （三）应用题 1.一般应用题 2.典型应用题 3.复杂分数应用题 4.比和比例应用题 5.杂 题 （四）整除的有关问题 1.整除及数字整除特征 2.余数问题 3.约数与倍数4.附录：奇数偶数与奇偶性分析 5.附录：乘方的性质 6.整数的拆分 （五）简单几何问题 1.几何图形的计数 2.平面图形的计算 3.立体图形的计算 4.实践与实际操作 （六）附录：逻辑与组合初步 1.排列与组合 2.抽屉原理问题 3.容斥原理问题 4.最值问题 5.分析推理问题 （七）运筹与染色 1.运筹规划 2.最优方案与最佳策略 3.染色与覆盖 第六部分 模拟试卷 （一）三年级试卷 第一套（难度较小） 第二套（难度适中） 第三套（难度稍大） （二）四年级试卷 第一套（难度较小） 第二套（难度适中） 第三套（难度稍大） （三）五年级试卷 第一套（难度较小） 第二套（难度适中） 第三套（难度稍大） （四）六年级试卷 第一套（难度较小） 第二套（难度适中） 第三套（难度稍大） 答案与提示 三年级第一套 三年级第二套 三年级第三套 四年级第一套 四年级第二套 四年级第三套 五年级第一套 五年级第二套五年级第三套 六年级第一套 六年级第二套 六年级第三套 第七部分 名词术语解释 （一）整数（非负整数） 【自然数】 【自然数集合】 【自然数列】 【扩大自然数列】 【自然数的单位】 【自然数的基数理论】 【自然数的序数理论】 【零】 【数数原则】 【整数】 【十进位制】 【计数和记数】 【数位和位数】 【位置记数法】 【二进位制】 （二）小数 【小数】 【小数部分的计数单位】 【小数的数位】 【小数的分类】 【准确数和近似数】 【近似数的绝对误差】 【近似数的相对误差】 【精确度】 （三）分数、百分数 【分数】 【分数单位】 【真分数、假分数和带分数】 【最简分数】 【未约分数】 【倒数】 【繁分数】 【连分数】 【约分和通分】 【百分数】 【百分比、百分率和百分法】 【百分比浓度】 【千分率】【成数与折数】 （四）数的整除 【整除】 【约数、倍数】 【奇数、偶数】 【质数、合数】 【爱氏筛法】 【质因数、分解质因数】 【公约数、最大公约数】 【公倍数、最小公倍数】 【互质数、两两互质数】 （五）量的计量 【量】 【计量】 【计量单位】 【名数】 【不名数】 【同名数、异名数】 【高级单位、低级单位】 【进率】 【化法、聚法】 【法定计量单位】 【国际单位制】 【中华人民共和国法定计量单位】 【米制、市制】 【长度、长度单位】 【海里】 【光年】 【质量、重量、质量（重量）单位】 【时间、时刻】 【时区、北京时间】 【时间单位】 【公元】 【闰年、平年】 【24 时记时法】 【容积、容量、容量单位】 【面积、面积单位】 【地积】 【体积、体积单位】 【速度】 【角度单位】 【人次、吨公里】 【人民币】 【外国货币名称】（六）比和比例 【比】 【比值】 【比的前项、后项】 【比的基本性质】 【比的化简】 【比例尺】 【线段比例尺、分数比例尺】 【正比、反比】 【连比、复比】 【比例】 【比例基本性质】 【正比例】 【反比例】 【比例分配】第一部分 常用解题依据 （一）四则运算定律与性质 1．加法运算定律 【加法交换律】两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。这叫做“加法的交换定 律” ，简称“加法交换律” 。 加法交换律用字母表达，可以是 a+b=b+a。 例如：864+1，236=1，236+864=2，100 【加法结合律】三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数 相加，再和第一个数相加，它们的和不变。这叫做“加法的结合定律” ，简称“加法结合律” 。 加法结合律用字母表达，可以是 （a+b）+c=a+（b+c） 。 例如： （）++（） = = 58928 2．乘法运算定律 【乘法交换律】 两个数相乘， 交换因数的位置， 它们的积不变。 这叫做 “乘法的交换律” 。 用字母来表达乘法交换律，可以是 a?b＝b?a 例如，807×13，865=13，865×807=11，189，055 【乘法结合律】三个数相乘，先把前面两个数相乘，再与第三个数相乘；或者先把后面 两个数相乘，再与第一个数相乘，它们的积不变。这叫做“乘法的结合律” 。 用字母表达乘法结合律，可以是 （a?b） ?c=a? （b?c） 例如， （427×125）×8=427×（125×8） =427×1，000 =427，000 【乘法分配律】两个数的和乘以一个数（或者一个数乘以两个数的和） ，等于每一个加 数分别乘以这个数（或者这个数分别乘以每一个加数）所得的两个积之和。这叫做“乘法对 于加法的分配律” ，简称“乘法分配律” 。 用字母表达乘法分配律，可以是 （a+b）c=ac+bc； 或者是 a（b+c）=ab+ac。 例如， （125+25）×8=125×8+25×8 =1，000+200 =1，200=8+15 =23 【乘法运算律的推论】 推论 1 若干个数的和乘以若干个数的和，可以先把第一个和里的每一个加数与第二个 和里的每一个加数相乘，再把所得的积相加。用字母来表达，可以是： （a1+a2+a3+…+an） （b1+b2+b3+…+bn） ＝a1b1+a2b1+a3b1+…+anb1+a1b2+a2b2+a3b2+…+ anb2+a1b3+a2b3+a3b3+…+anb3+…+a1bn+a2bn+ a3bn+…+anbn 例如， （+5）×（600+70+8） =0×600+40×600+5×600+0×70+40×70+5×70+×8+40 ×8+5×8 =000++00+ 00+ =1589910 推论 2 两个数的差乘以一个数（或者一个数乘以两个数的差） ，等于被减数和减数分别 乘以这个数所得积的差（或者是这个数分别乘以被减数和减数所得积的差） 。 用字母来表达，可以是： （a－b）c＝ac－bc；或 a（b-c）=ab-ac。 例如， （250-25）×4=250×4-25×4 =0=15-8 =7 3．四则运算性质 【加法运算性质】加法的运算性质主要有以下三条： （1）一个数加上几个数的和，可以把这个数加和里的第一个加数，再加第二、三…… 个加数。 用字母来表达，可以是： a+（b+c+d）=a+b+c+d。 例如，85+（15+57+43）=85+15+57+43 =100+57+43 =157+43 =200 （2）几个数的和加上一个数，可以把这个加数加到和里的任意一个加数上去，再加和 里的其他加数。 用字母来表达，可以是： （a+b+c）+d=（a+d）+b+c =a+（b+d）+c =a+b+（c+d） 。（3）几个数的和加上几个数的和，可以把两个和里的所有加数依次相加。 用字母来表达，可以是: （a1+a2+a3+……+an）+（b1+b2+b3+……+bn） =a1+a2+a3+……+an+b1+b2+b3+……+bn 例如， （800+70+6）+（+7） =800+70+6++7 =2643 【加减混合运算性质】 “加减混合运算性质”也可称为“和与差的性质” 。这些性质有以 下几条： （1）第一个数加上（或减去）第二个数，再减去第三个数，可以把第一个数先减去第 三个数，再加上（或减去）第二个数。这就是说，在加减混合运算中，改变运算的顺序，得 数不变。这常被称之为加减混合运算的“交换性质” 。 用字母来表达这一性质，可以是： a+b-c=a-c+b； 或 a-b-c=a-c-b。 例如 58=89 = =98-87-- （2）一个数加上两个数的差，等于这个数加上差里的被减数，再减去差里的减数。这 可以称之为加减混合运算的“结合性质” 。 用字母表示这一性质，可以是： a+（b-c）＝a+b-c 例如，1364+ （）= -- （3）一个数减去几个数的和，等于这个数依次减去和里的每一个加数。这也可称之为 “结合性质” 。 用字母表示这一性质，可以是： a-（b+c+d+e）=a-b-c-d-e。 例如，8675-（605+） =0-287 =7=13 （4）一个数减去两个数的差，等于这个数先加上差里的减数，再减去差里的被减数。 这也是加减混合运算的“结合性质” 。 用字母表示这一性质，可以是： a－（b－c）＝a+c－b。 例如，754-（600-246）=754+246-600 =0 （5）几个数的和减去一个数，可以用和里的等于或大于这个数的一个加数，先减去这 个数，然后再加和里的其他加数。这也是“结合性质” 。 用字母表示这一性质，可以是： （a+b+c+d）-e=（a-e）+b+c+d（a、b、d 、d≥e） =a+（b-e）+c+d =a+b+（c-e）+d =a+b+c+（d-e） 。 例如， （421+368+468）-368=421+（368-368）+468 =421+468 =889 （6）几个数的和减去几个数的和，可以用第一个和里的各个加数，分别减去第二个和 里不比它大的各个加数，然后相加。这也可称为“结合性质” 。 用字母表示这一性质，可以是： （a+b+c+d）-（e+f+g+h） =（a-e）+（b-f）+（c-g）+（d-h） （a≥e，b≥f，c≥g，d≥h） 例如， （865+721+543+697）-（765+621+343+697） =（865-765）+（721-621）+（543-343）+（697-697） =100+100+200+0 =400 【乘除混合运算性质】 “乘除混合运算性质”也可称之为“积与商的性质” 。它们的性质 可分为三类： 第一类是“交换性质” ： 在乘除混合运算或连除的算式中，变更它们的运算顺序，得数的大小不变。 用字母表示这一性质，可以是： a?b÷c=a÷c?b（c≠0） a÷b?c=a?c÷b（b≠0） a÷b÷c=a÷c÷b（b≠0，c≠0） 例如 ÷246=×376 =10×376 =÷25÷69= ＝100÷25 =4 第二类是“结合性质” 。结合性质有以下几条：（1）一个数乘以两个数的商，等于这个数先乘以商里的被除数，再用积除以商里的除 数。 用字母表达这一性质，可以是： a? （b÷c）＝a?b÷c（c≠0） 例如 7×（400÷28）=7×400÷28 =0 （2）一个数除以两个（或若干个）因数的积，等于这个数除以积里的一个因数，再依 次除以其他的因数。 用字母表达这一性质，可以是： a÷（b?c）=a÷b÷c（b、c≠0） a÷（b?c……?m）=a÷b÷c÷……÷m（b，c……m≠0） 例如，1050÷（2×3×5×7）=÷5÷7 ＝525÷3÷5÷7 =175÷5÷7 ＝35÷7 =5 （3）一个数除以两个数的商，等于这个数除以商里的被除数，再乘以商里的除数。 用字母表示这一性质，可以是： a÷（b÷c）＝a÷b×c（b≠0，c≠0） 例如，3600÷（360÷40）=×40 =10×40 ＝400 第三类是“分配性质” 。分配性质有以下几条： （1）两个数的差与一个数相乘，可以用被减数与减数分别与这个数相乘，然后再相减。 用字母表达这一性质，可以是： （a-b）c＝ac－bc a（b-c）=ab-ac 例如， （100-3）×21=100×21-3×21 =37 78×（100-1）=78×100-78×1 =22 （2）几个数的和除以一个数，可以用和里的每个加数分别除以这个数，再把所得的商 相加。 用字母表达这一性质，可以是: （a+b+c）÷d=a÷d+b÷d+c÷d。 （d≠0） 例如， （）÷37 =0÷37+37÷37 =100+30+1 =131 注意：此性质不适用于“一个数除以几个数的和” ，即 a÷（b+c+d）≠a÷b+a÷c+a÷d。 比方，6850÷（100+37）≠50÷37。 （3）两个数的差除以一个数，可以把被减数和减数分别除以这个数，再把所得的商相 减。 用字母表达这一性质，可以是： （a-b）÷m=a÷m-b÷m（m≠0） 例如， （3400-68）÷34=÷34 =100-2 =98 注意：此性质也不适用于“一个数除以两个数的差” 。即 m÷（a-b）≠m÷a-m÷b。 比方 3400÷（68-34）≠0÷34。 （4）几个数的积除以一个数，可以把积里的任何一个因数除以这个数，然后再与其他 因数相乘。 用字母表达这一性质，可以是： （a?b?c）÷m=（a÷m） ?b?c＝a? （b÷m） ?c=a?b? （c÷m） （m≠0） 例如， （20×48×5）÷8=20×（48÷8）×5 =20×6×5 =600 （5）几个数的积除以几个数的积，可以把第一个积里的各个因数，分别除以第二个积 里的各个因数，然后把所得的商相乘。 用字母表达这一性质，可以是： （a?b?c?d）÷（e?f?g）＝（a÷e）（b÷f）（c÷g） ? ? ?d。 （e?f?g≠0） 例如， （21×15×48）÷（7×3×16）=（21÷7）×（15÷3）×（48÷16）=3×5×3=45（二）公理、定理或性质 1．数的公理、定理或性质 【小数性质】小数的性质有以下两条： （1）在小数的末尾添上或者去掉几个零，小数的大小不变。 （2）把小数点向右移动 n 位，小数就扩大 10n 倍；把小数点向左移动 n 位，小数就缩 小 10n 倍。 【分数基本性质】一个分数的分子和分母都乘以或者都除以同一不为零的数，分数的大 小不变。即【去九数的性质】用 9 去除一个数，求出商后余下的数，叫做这个数的“去九数” ，或 者叫做“9 余数” 。求一个数的“去九数” ，一般不必去除，只要把该数的各位数字加起来， 再减去 9 的倍数， 就得到该数的 “去九数” 。 （求法见本书第一部分 （四） “ 法则、 方法” “2． 运 算法则或方法”中的“弃九验算法”词条。 ）去九数有两条重要的性质： （1）几个加数的和的去九数，等于各个加数的去九数的和的去九数。 （2）几个因数的积的去九数，等于各个因数的去九数的积的去九数。 这两条重要性质，是用“弃九验算法”验算加、减、乘、除法的依据。 【自然数平方的性质】（1）奇数平方的性质。任何一个奇数的平方被 8 除余 1。 为什么有这一性质呢？这是因为奇数都可以表示为 2k+1 的形式，k 为整数。而 （2k+1）2=4k2+4k+1 =4k（k+1）+1 k 与 k+1 又是连续整数，其中必有一个是偶数，故 4k（k+1）是 8 的倍数，能被 8 整除， 所以“4k（k+1）+1” ，即（2k+1）2 能被 8 除余 1，也就是任何一个奇数的平方被 8 除余 1。 例如，272=729 729÷8=91……1 （2）偶数平方的性质。任何一个偶数的平方，都是 4 的倍数。 这是因为偶数可以用 2k（k 为整数）表示，而（2k）2＝4k2 显然，4k2 是 4 的倍数，即偶数的平方为 4 的倍数。 例如， 464 即 4|46656 【整数运算奇偶性】整数运算的奇偶性有以下四条： （1）两个偶数的和或差是偶数；两个奇数的和或差也是偶数。 （2）一个奇数与一个偶数的和或差是奇数。 （3）两个奇数之积为奇数；两个偶数之积为偶数。 （4）一个奇数与一个偶数之积为偶数。 由第（4）条性质，还可以推广到: 若干个整数相乘，只要其中有一个整数是偶数，那么它们的积就是个偶数。 【偶数运算性质】偶数运算性质有： （1）若干个偶数的和或者差是偶数。 （2）若干个偶数的积是偶数。 例如，四个偶数 38、126、672 和 1174 的和，是偶数 2010；用偶数相减的算式 -1350 的差，也是偶数 1984。 【奇数运算性质】奇数运算性质有： （1）奇数个奇数的和（差）是奇数；偶数个奇数的和（差）是偶数。 （2）若干个奇数的积是奇数。 2．整除性质或定理 【最大公约数定理】 定理一 如果第一个数能被第二个数整除，那么第二个数就是这两个数的最大公约数。 证明：由于 b|a，b|b，∴b 是 a、b 的公约数。 又由于比 b 大的数不可能是 b 的约数，也不可能是 a、b 的公约数，所以， （a，b）=b。 定理二 如果第一个数除以第二个数，余数不等于零，那么这两个数的最大公约数，就 是第二个数与这个余数的最大公约数。即 如果 a÷b=q（余 r） （r≠0） ， 那么（a，b）=（b，r） 。 证明 设 p 是 a、b 两数的一个公约数，∴ a÷b=q（余 r） ， 又∵ p|a，p|b， ∴p|r（根据“有余除法”的整除性定理--定理五） 。 因此，a、b 两数的公约数，一定是 b、r 两数的公约数。 又因为 a、b 的公约数与 b、r 的公约数是完全一致的，所以，它们的最大公约数也完全是一致的。即 （a，b）＝（b，r） 。 （注：定理二是用“辗转相除法”求最大公约数的理论依据。 ） 【最大公约数的性质】最大公约数具有以下一些性质： （1）两个数分别除以它们的最大公约数，所得的两个商是互质数。 例如， （45，27）=9（此式表示“45 和 27 的最大公约数是 9” ） 45÷9=5，27÷9=3， （5，3）=1， 所以，所得的两个商 5 和 3 是互质数。 （2）两个数的最大公约数的约数，都是这两个数的公约数。 例如， （48，60）=12， 12 的约数有 1，2，3，4，6，12。 1，2，3，4，6，12 也都是 48 和 60 的公约数。 （3）两个数的公约数，都是这两个数的最大公约数的约数。 例如， （32，48）=16； 32 和 48 的公约数有 1，2，4，8，16； 1，2，4，8，16 也都是 16 的约数。 （4）两个数都乘以一个自然数 m，所得的两个积的最大公约数，等于这两个数的最大 公约数乘以 m 的积。这就是 如果（a，b）=c，m≠0 那么（am，bm）=cm。 例如， （24，32）=8， 则（24×2，32×2）=8×2， 即（48，64）=16 （5）若两个数都除以它们的一个公约数 m，则所得的两个商的最大公约数，等于这两 个数的最大公约数除以 m 的商。这就是 如果（a，b）=c，且 m|a，m|b（即 m 能整除 a，m 能整除 b， 也就是 m 是 a 和 b 的 公约数） ；例如， （24，32）=8，【最小公倍数的性质】最小公倍数的性质如下： （1）两个数的任意一个公倍数，都是它们的最小公倍数的倍数。 例如，[4，6]=12（它表示“4 和 6 的最小公倍数是 12） ，则 4 与 6 的其他任何一个公倍 数 24、36、48……，就都是最小公倍数 12 的的倍数。 （2） 两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积， 等于这两个数的乘积。 这就是 （a， ? b） [a， b]=a?b。 例如， （24，32）×[24，32] = 8×96 =768 而 24×32=768， ∴（24，32）×[24，32]=24×32 【和差整除性定理及推论】定理一 如果两个数都能被同一个自然数整除，那么它们的和（或差）也能被这个自然 数整除。 用字母表达，就是 如果 b a，c a，且 b＞c，那么， （b+c） a，或者（b-c） a。 ，或“a 能整除 b”） 。 （符号“ ”是整除符号，如“b a”读做“b 能被 a 整除” 它也可以表达为 如果 a|b，a|c，且 b＞c，那么 a|（b+c） ，或者 a|（b-c） 。 （符号“|”也是整除符号，但写的前后顺序与“”符号恰好相反。 “a|b”读做“a 能 整除 b” ，或者读作“b 能被 a 整除”） 。 例如，12 3，15 3，则（12+15） 3，或者（15-12） 3。 改用另一种整除符号“|”表达，就是 如果 3|12，3|15， 那么 3|（12+15） ，3|（15-12） 。 推论一 如果若干个数都能被同一个自然数整除， 那么它们的和也能被这个自然数整除。 也就是： 如果 a m，b m，c m，……，d m， 那么（a+b+c+……+d） m。 或者是： 如果 m|a，m|b，m|c，……，m|d， 那么，m|（a+b+c+……+d） 例如，11|22，11|33，11|99，11|121， 那么，11|（22+33+99+121） 。 定理二 如果两个数中的一个数能被一个自然数整除，那么这两个数的和（或差）能被 这个自然数整除的充分必要条件是：另一个数也能被这个自然数整除。也就是： 如果 a m，那么（a+b） m 的充分必要条件是 b m； 如果 a m，那么（a-b） m 的充分必要条件是 b a。 推论二 如果两个数中， 一个数能被某一自然数整除， 另一个数不能被这个自然数整除， 那么，它们的和（或差）也不能被这个自然数整除。也就是： 如果 a m，b 不 m， 那么（a+b）不 m， （a-b）不 m。 （ “不 ”是不能整除的符号）或者是：如果 m|a，m b， 那么 m （a+b） ，m （a-b） （ ”也是不能整除的符号） “ 例如，7|35，7 20， 那么，7 （35+20） ，7 （35-20） 。 推论三 如果两个数的和及其中的一个加数能被同一个自然数整除，那么另一个加数也 能被这个自然数整除。也就是 如果（a+b） m，a m，则 b m。 例如，两数的和 408，其中的一个加数 248，那么另一个加数 168。 【整除的传递性】 “整除的传递性”见下面的“定理三” 。 定理三 如果第一个数能被第二个数整除，第二个数能被第三个数整除，那么第一个数 也能被第三个数整除。这也就是 如果 a b，b c，那么 a c。 例如，48 24，24 6，则 486。【积的整除性定理及推论】积的整除性定理见“定理四” 。 定理四 一个数如果能被某一自然数整除，则这个数的整数倍数，也能被这个自然数整 除。这也就是 如果 a b，m 为整数，那么 am b。 例如，21 7，则（21×11） 7，即 23 17。 推论 在若干个数的积中，如果有一个因数能被某一个自然数整除，那么，它们的积也 能被这个自然数整除。用字母来表达，可以是 在 abc 中，若 a m，则 abc m。 例如，在算式“11×19×21”中，因 21 7，所以（11×19×21） 7。 【有余除法整除性定理】 定理五 在有余数的除法里，如果被除数和除数都能被同一个自然数整除，那么余数也 能被这个自然数整除。用字母来表达，就是 如果 a÷b＝q……r， 且 a m，b m， 那么 rm。 例如，在 84÷49=1……35 中， 84 7，49 7，则 35 7。 定理六 在有余数的除法里，如果除数和余数都能被同一个自然数整除，则被除数也能 被这个自然数整除。用字母表达，就是 如果 a÷b=q……r， 且 b m，r m， 那么 a m。 例如，在 ………26 中， 由 91 13，26 13， 可知 3029 13。 3．比和比例的定理或性质 【比的性质】比的前项和后项都乘以（或除以）不等于零的同一个数，比值不变。这叫 做“比的性质” （或“比的基本性质”。用字母表示，就是 ） a∶b=（a×m）∶（b×m） （m≠0，n≠0） =（a÷n）∶（b÷n） 例如，1∶0.75=（1×100）∶（0.75×100） =100∶75 =（100÷25）∶（75÷25） =4∶3 【比例基本性质】在比例中，两个外项的积等于两个内项的积。这叫做“比例的基本性 质” 。 反过来， 如果两个数的积等于另外两个数的积， 则这四个数成比例。 这一性质， “比 又称 例的性质定理” 。用字母表达，就是： 比例的基本性质： 如果 a∶b=c∶d， 那么 ad=bc。 比例的性质定理： 如果 ad=bc，那么 a∶b=c∶d。 例如，若有 3∶4=6∶8，则有 3×8＝4×6。 反之，若有 3×6=2×9，则有 3∶2=9∶6。 特殊的，如果比例的两个内项相同，即 a∶b=b∶c，则有 b2=ac。反过来也是成立的。 此处的“b” ，叫做 a 和 c 的“比例中项” 。 例如，2∶4=4∶8，则 42=2×8。4 是 2 和 8 的比例中项。反过来，如果 62=4×9，则 4∶ 6=6∶9。这里的 6 是 4 和 9 的比例中项。 【反比定理】在一个比例中，两个比的前、后项同时交换位置，比例式仍然成立。用字 母表达，就是如果，2∶6=3∶9，则 6∶2=9∶3。 【更比定理】一个比例的两个内项（或两个外项）交换位置，比例式仍然成立。用字母 表达就是例如，若 3∶4=6∶8， 则 3∶6=4∶8（交换内项） ； 或 8∶4=6∶3（交换外项） 。 【合比定理】比例式中，一个比的前、后项之和与其后项的比，等于另一个比的前、后 项之和与其后项的比。用字母表达，就是例如，3∶4=6∶8， 则（3+4）∶4=（6+8）∶8， 即 7∶4=14∶8。 【分比定理】比例式中，每一个比的前项减后项的差与它的后项的比相等。用字母表达 就是例如，8∶6=4∶3， 则（8-6）∶6=（4-3）∶3， 即 2∶6=1∶3。 【合分比定理】比例式中，每一个比的前、后项之和与它的前项减后项的差的比相等。 用字母表达就是例如，5∶2=25∶10， 则（5+2）∶（5-2）=（25+10）∶（25-10） ， 即 7∶3=35∶15。 【等比定理】如果若干个比相等，那么这些比的前项之和与它们的后项之和的比，仍等 于原来的每一个比。用字母表达就是例如，1∶2=3∶6=4∶8， 则（1+3+4）∶（2+6+8）=1∶2=3∶6=1∶8， 即 8∶16=1∶2=3∶6=4∶8。 4．几何公理、定理或性质 【直线公理】经过两点有一条直线，并且只有一条直线。 【直线性质】根据直线的公理，可以推出下面的性质： 两条直线相交，只有一个交点。 【线段公理】在所有连结两点的线中，线段最短。 （或者说：两点之间线段最短。 ） 【垂线性质】 （1）经过一点，有一条而且只有一条直线垂直于已知直线。 （2）直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。 （也可以简单地说成： 垂线段最短。 ） 【平行公理】经过直线外一点，有一条而且只有一条直线和这条直线平行。 【平行公理推论】如果两条直线都和第三条直线平行，那么，这两条直线也相互平行。 【有关平行线的定理】 （1）如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行。 （2）如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么，这条直线也和另一条垂直。 【三角形的特性】三角形有不变形的特性，一般称其为三角形的稳定性。由于三角形有 这一特性，所以在实践中它有广泛的应用。 【三角形的性质】三角形的性质（或定理及定理的推论） ，一般有： （1）三角形任意两边的和大于第三边；三角形任意两边的差小于第三边。 （2）三角形三内角之和等于 180°。 由三角形上述第（2）条性质，还可以推出下面的两条性质： ①三角形的一个外角，等于它不相邻的两个内角之和。如图 1.1，∠4=∠1+∠2。 ②三角形的一个外角，大于任何一个同它不相邻的内角。如图 1.1， ∠4＞∠1，∠4＞∠2。【勾股定理】在直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方。 用字母表达就是 a2+b2=c2。 （a、b 表直角边长，c 表斜边长。 ） 我国古代把直角三角形叫做“勾股形” ，直立的一条直角边叫做“股” ，另一条直角边叫 做“勾” ，斜边叫做“弦” 。所以我国将这一定理称为“勾股定理” 。 勾股定理是我国最先发现的一条数学定理。而古希腊数学家毕达哥拉斯（Pythagoras） 较早地证明了这个定理。因此，国外常称它为“毕达哥拉斯定理” 。 【平行四边形的性质】 （1）平行四边形的对边相等。 （2）平行四边形的对角相等。（3）平行四边形邻角的和是 180°。如图 1.2，∠A+∠B=∠B+∠C=∠C+∠D=∠D+∠ A=180°。 （4）平行四边形的对角线互相平分。如图 1.2，AO=CO，BO=DO。 平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心。【长方形的性质】 长方形除具有平行四边形的性质以外，还具有下列性质： （1）长方形四个角都是直角。 （2）长方形对角线相等。 长方形是中心对称图形， 也是轴对称图形。 它每一组对边中点的连线， 都是它的对称轴。 【菱形的性质】菱形除具有平行四边形的性质以外，还具有下列性质： （1）菱形的四条边都相等。 （2）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。例如图 1.3，AC ⊥BD，AO=CO，BO=DO，AC 平分∠A 和∠C，BD 平分∠B 和∠D。菱形是中心对称图 形，也是轴对称图形，它每一条对角线都是它的对称轴。 【正方形的性质】正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。 【多边形内角和定理】n 边形的内角的和，等于（n-2） ?180°。 （又称“求多边形内角 和”的公式。 ） 例如三角形（三边形）的内角和是 （3-2）×180°=180°； 四边形的内角和是 （4-2）×180°=360°。 【多边形内角和定理的推论】 （1）任意多边形的外角和等于 360°。 这是因为多边形每一个内角与它的一个邻补角（多边形外角）的和为 180°，所以，n 边形 n 个外角的和等于 n?180°-（n-2） ?180°=360°。 （2）如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补。 例如图 1.4，∠1 的两边分别垂直于∠A 的两边，则∠1+∠A=180°，即∠1 与∠A 互补。又∠2、∠3、∠4 的两边也分别垂直于∠A 的两边，则∠3 和∠A 也互补，而∠2=∠A， ∠4=∠A。 【圆的一些性质或定理】 （1）半径相等的两个圆是等圆；同圆或等圆的半径相等。 （2）不在同一直线上的三个点确定一个圆。 （3）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 （4）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心 距相等。 （5）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 【轴对称图形的性质】轴对称图形具有下面的性质： （1）如果两个图形关于某直线对称，那么对应点的连结线段被对称轴垂直平分。 例如图 1.5， 图中的 AA′对称点连结线段， 被对称轴 L 垂直且平分， L⊥AA′， 即 AP=PA′。（2）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或其延长线相交，那么，交点在 对称轴上。 例如图 1.5 中，BA 与 B′A′的延长线相交，交点 M 在对称轴 L 上。 （3）两个关于某直线对称的图形，一定是全等形。 例如，图 1.5 中△ABC 与△A′B′C′全等。 【中心对称图形的性质】如果把一个图形绕着一个点旋转 180°后，它和另一个图形重 合，那么，这两个图形就是关于这个点的“中心对称图形” 。 中心对称图形具有以下性质： （1）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 例如， 1.6 中对称点 A 与 A′， 与 B′， 与 C′， 图 B C 它们的连线都经过 O （对称中心） ， 并且 OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′。（2）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。5．其他定理或性质 【算术基本定理】任意一个大于 1 的整数，都能表示成若干个质数的乘积，如果不计质 因数的顺序，则这个分解式是唯一的。即任意一个大于 1 的整数 a=[p1×p2×p3×……×pn（p1≤p2≤p3≤……≤pn）其中 p1、p2、p3、…、np 都质 数；并且若 a=q1×q2×q3×…qm（q1≤q2≤q3≤…≤qm） 其中 q1、q2、q3、…、qm 都是质数。那么，m=n，qi=pi（i=1，2，3，…，n） 当这个整数是质数时是符合定理的特例。 上述定理，叫做“算术基本定理” 。 【方程同解变形定理】方程的同解变形，有下列两个基本定理： 定理一 方程两边同时加上（或同时减去）同一个数或整式，所得的方程与原方程同解。根据这一同解定理，可把方程中某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边。这种变 形叫做移项。 例如，解方程 3x=2x+5。 解 移项，得 3x-2x=5 合并同类项，得 x=5。 定理二 方程两边同时乘以（或除以）同一个不是零的数，所得的方程与原方程同解。是同解的。 【一笔画的性质】为掌握“一笔画”的性质，先介绍“一笔画”的有关概念。 图──用若干条线（不一定是直线段）把一些点连接起来的图形，如图 1.7。这些点叫 图的顶点，如 A、B、C、D；这些线叫图的边，如 AB、AC、AD 等。点的次--每个点上所连接的线的条数，叫做这个点的“次” 。如图 1.7 中，A 点有五条线 与它相连，B 点有三条线与它相连，则 A 点的次为 5；B 点有三条线与它相连，则 B 点的次 为 3。 奇点--点的次数为奇数，则这个点为“奇点” 。如图 1.7 中的 A、B、C、D 点，全部都是 奇点。 偶点--点的次数为偶数，则这个点叫做“偶点” 。 如图 1.8 中的 B 点（4 次） 点（2 次） 、D ，都是偶点。一笔画问题--在图 1.8 中，能否从 A 点（或其他点）出发，不重复任一边（点可随便经过若干次）而一笔画出全图的问题，叫 做“一笔画问题” （也称“七桥问题” ，见本书第九部分“七桥问题”词条） 。能一笔画的图形，具有下面两条性质： （1）若一个图形中，奇点的个数不大于 2，则这个图形必能一笔画成，否则就不能画 成。 例如图 1.7 中，奇点有 A、B、C、D 四个，它无论从哪一点出发，都是不可能一笔画成 的。而图 1.8 中，奇点只有 A、C 两个，它是可以一笔画成的。其画法可如图 1.9 所示：从 A 点出发，经 1 到 C，经 2 到 D，经 3 到 B，经 4 到 A，又经 5 到 B，再经 6 到 A，然后经 7 到 C，完成全图。显然，此图的画法并不止于这一种，这只是多种画法中的一种画法。（2）若一个图中没有奇点，那么始点和终点必须重合；若一个图中有两个奇点，则这 两个奇点必是起点和终点。 例如图 1.10 中，点 A、B、C 均为偶点，没有奇点。若从 A 点出发，按图外箭头所指的 方向，经①、②、③、④、⑤，便又回到了 A 点。这样，A 点便既是始点又是终点。而图 1.8 中有 A、C 两个奇点，按性质（1）中的画法，可从 A 点出发，到 C 点结束，A 是始点， C 是终点。图 1.9（也可以从 C 点出发，到 A 点结束，C 为始点，A 为终点。 ）（三）数学原理 （三）数学原理 【差不变原理】差不变原理是：两人年龄之差是不变的，甲增长几岁，乙也增长同样多 的岁数，若干年后，甲、乙两人年龄之差与现在他俩的差是相同的。这是年龄问题的特点。 例如，今年父亲 43 岁，儿子 11 岁。问几年后父亲年龄是儿子年龄的 3 倍？ 解 今年父子年龄的差是 43-11=32（岁） 根据差不变原理，几年之后，父子年龄仍然相差 32 岁。 另一方面，几年后父亲年龄比儿子年龄大 3-1=2（倍） 那时，儿子年龄是 32÷2=16（岁）现在儿子 11 岁，到他 16 岁时，还差 16-11=5（年） 这就是说，5 年后，父亲年龄为儿子年龄的 3 倍。 【加法原理】做一件事，完成它有几类办法，第一类办法中有 m1 种不同方法，第二类 办法中有 m2 种不同方法，……，第 n 类办法中有 mn 种不同方法，那么，完成这件事便共 有 N=m1+m2+……+mn 种不同方法。这就是“加法原理” 。 例如，某人从甲地到乙地，可以乘飞机、火车、汽车或轮船。飞机每日 2 班，火车每日 5 班，汽车每日 3 班，轮船每日 2 班，则他一天中乘坐不同班次的飞机、火车、汽车或轮船 的方法共有 2+5+3+2=12（种） 。 【乘法原理】做一件事，完成它需要分成 n 个步骤，做第一步有 k1 种不同方法，做第 二步有 k2 种不同方法，……做第 n 步有 kn 种不同方法。在连续完成这 n 个步骤后，这件事 才能完成。那么，完成这件事共有 N=k1k2×……×kn 种不同的方法。这就是“乘法原理” 。 例如，某人从甲地出发，经过乙地到达丙地。从甲地到乙地有 3 种不同的走法，从乙地 到丙地有 2 种不同的走法（如图 1.11 所示） 。根据乘法原理，可求得从甲地到丙地的不同走 法共有 3×2=6（种）【抽屉原理】如果有 m 个元素，要分成 n 个集合，并且 m＞n，那么总有一个集合至少 含有 2 个元素； 如果有 nk+1 个元素分成 n 个集合， 那么总有一个集合至少含有 k+1 个元素。 这个论断，称之为“抽屉原理” 。 运用这一原理，能解答一些非常规的计算问题或几何问题。不过，运用时要弄清楚哪是 集合，哪是元素，然后巧妙构思，将它化归为“抽屉问题” 。 例如，五乙班有 37 个学生，他们都订阅了《少年报》《儿童时代》《小学生月刊》三 、 、 种报刊中的一种，两种或三种。其中总有至少 6 个学生订的报刊相同。为什么？ 解 设《少年报》《儿童时代》《小学生月刊》三种报刊的代号为 a、b、c，那么，学 、 、 生订阅这三种刊物的情况为：①a、o、o；②b、o、o；③c、o、o；④a、b、o；⑤a、o、c； ⑥o、c、b；⑦a、b、c。全班 37 个同学分成 7 组，每组 5 人，即每 5 人订的报刊相同，剩 下二人，任他参加哪一组，都会得到 6 人相同的订刊，这种情况是在平均分配的基础上发生 的。所以总有至少 6 个学生订的报刊相同。 此题实质是将 37 个元素分成 7 个集合，这 7 个集合要自己去构造出来。 又如， 今天参加数学竞赛的 210 个同学中， 能否保证有 18 名或 18 名以上的同学在同一 个月出生？ 解 把每年 12 个月看作 12 个抽屉，210 名同学看作 210 件物品，每个抽屉里放 17 件物 品，12 个抽屉便放了 17×12=204（件）物品，还余下 6 件物品。再将这 6 件物品放到抽屉 里去，无论你怎样去放，总会有一个抽屉里放了 18 件或者多于 18 件物品。 这就是说，在 210 学生中，能够保证有 18 名或者 18 名以上的同学，在同一个月出生。【归纳原理】设 M 是一个非空的自然数的集合，如果 1 是 M 集合中的元素，并且当 n 是 M 集合的元素时，必然有 n+1 也是 M 的元素，那么，M 就是全体自然数的集合。这就是 “归纳原理” 。 “数学归纳法”就是以“归纳原理”为依据的。 例如，用数学归纳法证明 1?2+2?3+3?4+…+n? （n+1）证明（1）当 n=1 时，左边=1?2=2；等式成立。 （2）假设当 n=k 时等式成立，就是 1?2+2?3+3?4+…+k（k+1）那么，当 n=k+1 时， 左边 1?2+2?3+3?4+…+k（k+1）+（k+1） （k+2）=右边。 即 n=k+1 时，等式也成立。 根据（1）（2） 、 ，可知等式对任 n∈N 都成立。即 n 为任意自然数时，等式都是成立的。 （四）法则、方法 1．有关数的法则或方法 【数的读写方法】 （整数中多位数的读写方法，以及小数、分数、百分数的读、写方法， 见小学数学课本，此处略。 ） “成数”“折数”即“十分数” 、 ，它们常用中国数字和文字“七成”“二成五”“八折” 、 、 、 “九五折” 等表示， 并根据其文字去读。 它们也常用分母为十的分数， 或者用百分数去表示， 这时便可按分数、百分数的方法去读。 “千分数”是表示一个数是另一个数的千分之几的分数，它常用“千分号”--“‰”来 写千分数，如某地人口出生率为千分之七，写作“7‰” ，读作“千分之七” 。 【科学记数法】用带一位整数的小数，去乘以 10 的整数次幂来表示一个数的方法，叫 做“科学记数法” 。 利用小数点移动的规律，很容易把一个数用“科学记数法” 表达为“a×10n （1≤a≤10， n 是整数） ”的形式。例如： 25700，把小数点向左移动四位，得 1＜2.57＜10，但 2.57 比 25700 小了 10000 倍，所 以 ×104。 0.00867，把小数点向右移动三位，得 1＜8.67＜10，但 8.67 比 0.00867 大了 1000 倍， 所以【近似数截取方法】截取近似数的方法，一般有四舍五入法、去尾法和进一法三种。 四舍五入法──省略一个数的一部分尾数， 取它的近似数的时候， 如果要舍去的尾数的 最高位上的数是 4，或者是比 4 小的数，就把尾数舍去；如果要舍去的尾数的最高位上的数 是 5，或者是比 5 大的数，把尾数舍去以后，要向它的前一位进一。这种求近似数的方法叫 做“四舍五入法” 。 例如，把 8，654，000 四舍五入到万位，约等于 865 万；把 7.6239 四舍五入保留两位 小数约等于 7.62；把 2，873，000，000 四舍五入到亿位，约等于 29 亿；把 32.99506 四舍 五入精确到百分位约等于 33.00。 去尾法──要省略的尾数不论是多少，一律舍去不要，这种求近似数的方法叫做“去尾 法” 。进一法──省略某一个数某一位后面的尾数时， 不管这些尾数的大小， 都向它的前一位 进一。这种求近似数的方法，叫做“进一法” 。显然，用“进一法”和“五入”方法截取的近似值，叫做“过剩近似值” ，而用“去尾 法”和“四舍”方法截取的近似值，叫做“不足近似值” 。 值得注意的是：在近似数的取舍结果中，小数点后最右一位上的零必须写上。例如，把 1.5972 四舍五入，保留两位小数得 1.60，即 1.，最后的“0”不可去掉，否则， 它只精确到十分位了。 【质数判定方法】判定一个较大的数是不是质数，一般有两种方法。 （1）查表法。用查质数表的方法，可以较快地判断一个数是否为质数：质数表上有的 是质数，同一范围内的质数表上没有这个数，那它便是个合数。 （2）试除法。如果没有质数表，也来不及制作一个质数表，可以用试除来判断。 例如，要判定 161 和 197 是不是质数，可以把这两个数依次用 2、3、5、7、11、13、 17、19……等质数去试除。这是因为一个合数总能表示成几个质因数的乘积，若 161 或 197 不能被这个合数的质因数整除，那么也一定不能被这个合数整除。所以，我们只要用质数去 试除就可以了。 由 161÷7=23，可知 161 的约数除了 1 和它本身外，至少还有 7 和 23。所以，161 是合 数，而不是质数。 由 197 依次不能被 2、3、5、7、11、13 整除，而 197÷17=11……10，这时的除数 17 已大于不完全商 11，于是可以肯定：197 是质数，而不是合数。因为 197 除了它本身以外， 不可能有比 17 大的约数。假定有，商也一定比 11 小。这就是说，197 同时还要有比 11 小 的约数。但经过试除，比 11 小的质数都不能整除 197，这说明比 11 小的约数是不存在的， 所以 197 是质数，不是合数。【最大公约数求法】最大公约数的求法，一般可用下面四种方法。 （1）分解质因数法。先把各数分解质因数，再把各数公有的一切质因数连乘起来，就 是所求的最大公约数。例如，求
和 168 的最大公约数： ∵ ×5×72， 756=22×33×7， 168=23×3×7； ∴（，168）=22×3×7=84。 注：（，168）=84”的意思，就是“ 和 168 的最大公约数是 84” “ 。 （2）检验公约数法。 “检验公约数法”即“试除法” ，也是小学数学课本介绍的那一种 一般的求法，此处略。 （3）辗转相减法。较大的两个数求最大公约数，可以用“辗转相减法” ：用大数减小数， 如果减得的差与较小的数不相等，便再以大减小求差，直到出现两数相等为止。这时，相等 的数就是这两个数的最大公约数。 例如，求 792 和 594 的最大公约数。 ∵（792，594）=（792-594，594） =（198，594）=（594-198，198） =（198，396）=（198，396-198） =（198，198）=198， ∴（792，594）=198。 用辗转相减法求两个数的最大公约数， 可以推广到求 n 个数的最大公约数， 具体做法是： 可以不拘次序地挑选最方便的，从较大的数里减去较小的数。这样逐次做下去，直到所得的 差全部相等为止。这个相等的差，就是这些数的最大公约数。 例如，求 、882 和 1008 的最大公约数。 ∵（，882，1008） =（，882，34-882） =（126，126，882，252） =（126，126，882-126×6，252-126） =（126，126，126，126）=126， ∴（，882，1008）=126。 （4）辗转相除法（欧几里得算法） 。 用辗转相除法求两个数的最大公约数，步骤如下： 光用较小数去除较大的数，得到第一个余数； 再用第一个余数去除较小的数，得到第二个余数； 又用第二个余数去除第一个余数，得到第三个余数； 这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是 0 为止。这时，余数“0”前面的 那个余数，便是这两个数的最大公约数。 求两个较大的数的最大公约数，用上面的第一、二种方法计算，是相当麻烦的，而采用 “辗转相除法”去求，就简便、快速得多了。 例如，求 437 和 551 的最大公约数。具体做法是：先将 437 和 551 并排写好，再用三条 竖线把它们分开。然后依下述步骤去做： （1）用较小数去除较大数把商数“1”写在较大数的线外， 并求得余数为 114。（2）用余数 114 去除 437，把商数“3”写在比 114 大的数（437）的线外，并求得余 数为 95。（3）用余数 95 去除 114，把商数“1”写在 114 右边的直线外，并求得余数为 19。（4）用余数 19 去除 95，把商数“5”写在 95 左边的直线外面，并求得余数为 0。（5）当余数为 0 时，就可断定余数 0 前面的那一个余数 19，就是 437 和 551 的最大公 约数。 又如，求 67 和 54 的最大公约数，求法可以是由余数可知，67 和 54 的最大公约数是 1。也就是说，67 和 54 是互质数。 辗转相除法，虽又称作“欧几里得算法” ，实际上它是我国最先创造出来的。早在我国 古代的《九章算术》上，就有“以少减多，更相减损”的方法求最大公约数的记载。一般认 为， “辗转相除法”即源于此。这比西方人欧几里得等人的发现要早 600 年以上。 辗转相除法是求两个数的最大公约数的方法。如果要求三个或三个以上数的最大公约 数， 可以用它先求出其中两个数的最大公约数， 再求这个最大公约数与第三个数的最大公约 数。这样依次下去，直到最后一个数为止。最后的一个最大公约数，就是这几个数所要求的 最大公约数。 【分数最大公约数求法】自然数的最大公约数的定义，可以扩展到分数。一组分数的最 大公约数一定是分数，而这组分数分别除以它们的最大公约数，应得整数。 求一组分数的最大公约数的方法是： （1）先将各个分数中的带分数化成假分数； （2）再求出各个分数分母的最小公倍数 a； （3）然后求出各个分数分子的最大公约数 b；再求出三个分母的最小公倍数，得 72； 然后求出三个分子 35、21 和 56 的最大公约数，得 7；【最小公倍数求法】求最小公倍数可采用下面三种方法。 （1）分解质因数法。先把各数分解质因数，在所有相同的质因数中，每一个取出指数 最大的，跟所有不同的质因数连乘起来，就是所求的最小公倍数。 例如，求 120、330 和 525 的最小公倍数。 ∵120=23×3×5， 330=2×3×5×11， 525=3×52×7； ∴[120，330，525]=23×3×52×7×11=46200 注： “[120，330，525]=46200”表示“120、330 和 525 三个数的最小公倍数是 46200” 。 （2）检验公约数法。 “检验公约数法”即“试除法”或“用短除法的求法” ，也就是小 学数学课本上介绍的一般方法，此处略。 （3）先求最大公约数法。由于“两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍 数的乘积” ，即 a?b=（a，b） ?[a，b] 所以，两个数的最小公倍数，可由这两个数的乘积除以这两个数的最大公约数来求得。 即例如，求[42，105]。若要求三个或三个以上的数的最小公倍数， 可以先求其中两个数的最小公倍数， 再求这 个最小公倍数与第三个数的最小公倍数，再求这个最小公倍数与第四个数的最小公倍 数，……，如此依次做下去，直到最后一个数为止。最后求得的那个最小公倍数，就是所要 求的这几个数的最小公倍数。 例如，求[300，540，160，720]∴[300，540，160，720]=21600 【分数最小公倍数求法】自然数的最小公倍数的定义，可以推广到分数。一组分数的最 小公倍数，可能是分数，也可能是整数，但它一定是这组分数中各个分数的整数倍数。 求一组分数的最小公倍数，方法是： （1）先将各个分数中的带分数化成假分数； （2）再求出各个分数分子的最小公倍数 a； （3）然后求出各个分数分母的最大公约数 b；再求各分数分子的最小公倍数，得 [35，21，56]=840； 然后求各分数分母的最大公约数，得 （6，8，9）=1【数的互化方法】整数、小数和分数，整数、假分数和带分数，整数、小数、分数和百 分数，成数（或折数） 、分数和百分数，它们之间可以互化，互化的方法见小学数学课本， 此处略。 化循环小数为分数，还可以用移动循环节的方法。例如由这些实例，可以得循环小数化分数的法则如下： （1）纯循环小数化分数的法则。纯循环小数可以化成这样的分数：分子是一个循环节的数 字所组成的数；分母的各位数字都是 9， “9”的个数同循环节的位数相同。 （2）混循环小数化分数的法则。混循环小数可以化成这样的分数：分子是小数点后面第一 个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数， 减去不循环数字所组成的数所得的差； 分母 的头几个数字是 9，末几位数字是 0， “9”字的个数同循环节的位数相同， “0”字的个数和 不循环部分的位数相同。 【分数化有限小数判断法】若进一步研究，它又有以下的三种情况：5（即与 10 互质） ，或者除 2 和 5 以外，还包含其他的质因数，那么，这样的分数就不能化 成有限小数，而只能化成无限循环小数。 这里，又有以下的两种情况：和 5 时，这样的分数就可以化成纯循环小数。循环节内数字的个数，跟数列 9，99，999，9999，…… 各项中，能被分母 b 整除的最小的数所含“9”字的个数相同。分母 37 去除 9，99，999，9999，……，能整除的 最小的数是 999，即 99937（即“999 能被 37 整除”“”是整除符号；亦可逆读为“37 能整除 999” ， ） 也可以表示为 37｜999（即“37 能整除 999”“｜”也是整除符号；亦可逆读为“999 ， 能被 37 整除”） 。 这里“999” ，含有 3 个“9” ，所以它化成的纯循环小数循环节内数字的个数也是 3 个：=0.513以外的质因数，那么这样的分数就可以化成混循环小数。它的不循环部分数字的个数，跟 2 和 5 在分母内最高乘方的指数相同；循环节内数字的个数，跟数列 9，99，999，9999，…… 各项中，能被分母内 2 和 5 以外的质因数的积所整除的最小的数，所含“9”字的个数 相同。质因数 11，所以这分数可以化成混循环小数。不循环部分数字的个数是 3 个（最高乘方 23 的指数为 3） ，循环部分的循环节数字是两个（11｜99， “9”的个数为 2 个） ：概括起来，把分数化成小数，判断其得数的情况，不外乎以下三种： （1）若分母只含质因数 2，5，则化得的小数是有限小数； （2）若分母不含质因数 2，5，则化得的小数是纯循环小数； （3）若分母既含质因数 2，5，又含 2 和 5 以外的质因数，则化得的小数是混循环小数。 注意：判断的前提是分数必须是既约（最简）分数，否则很容易出错。 【百分比浓度求法】用溶质质量占全部溶液质量的百分比来表示溶液浓度，叫做溶液的 百分比浓度。求法是例如，用白糖（溶质）1 千克，开水（溶剂）4 千克混合以后，所得的糖水（溶液）的 百分比浓度是2．运算法则或方法 【四则运算法则】整数、小数、分数的加、减、乘、除四则运算法则，见小学数学课本， 此处略。 【四则运算顺序】见小学数学课本，略。 【繁分数化简方法】繁分数化简的方法，一般有以下两种方法。 （1）利用分数基本性质，把繁分数的分子、分母同乘以所有分母的最小公倍数，从而 化简繁分数。（2）利用分数与除法的关系，将繁分数化简。这是因为繁分数实际上是分数除法的另 一种表示形式的缘故。例如【求连分数的值的方法】由数列 a0，a1，……及 b1，b2，……所组成的表达式称为“连分数” 。它可简记为为连分数的值。 连分数有两种，一是有限连分数，二是无限连分数。例如，求有限连分数的值，也称化简连分数，它的化简方法与繁分数的化简方法基本相同。一 般是从最下面的分母运算开始，逐步向上计算。例如上面的这个有限连分数：求无限连分数的值，就是求它的有限层的值作为它的近似值。当层次愈多时，就愈接近 它的值。 注意：繁分数和连分数，都不是“分数”定义里所定义的一种分数。分解为两个单位分数的和，可按以下步骤去完成：的任意两个约数 a1，a2； （2）扩分：将单位分数的分子、分母同乘以两约数的和（a1+a2） ，（3）拆分：将扩分后所得的分数，按照同分母分数相加的法则反过来（4）约分：将拆开后的两个分数约分，便得到两个单位分数。注意： （1）因大于 1 的自然数的约数有时不止 2 个，有多个，从中任取两个约数的取法 也有多种， 只要每次取出的两个约数之间不成比例， 则将一个单位分数拆成两个单位分数的 和的结果也各不相同。 例如，15 的约数有 1，3，5，15 四个，从中任取两个的取法有（1，3）（1，5）（1， 、 、 15）（3，5）（3，15）（5，15）六种，而取（1，3）和（5，15）（1，5）和（3，15） 、 、 、 、 是成比例（2）若要将单位分数拆成两个相等的单位分数之和，那只要在扩分时，分子、分母同 乘以分母的任何一个约数的 2 倍或乘以 2 即可。拆成 n 个单位分数的和的方法和步骤与拆成两个单位分数的方法和步骤相同， 不同点只在扩 分时，分子、分母同乘以分母 A 的 n 个约数的和（a1+a2+…+an） 。解∵15=3×5 ∴15 的约数有 1，3，5，15。有限个分数的和的形式。 【近似数的加减法】在一般情况下，近似数相加减，和或差精确到哪一位，与已知数中 精确度最低的一个相同。计算法则有以下三条： （1）确定结果精确到哪一个数位（已知数中精确度最低的精确到了哪一个数位，则计 算的结果就精确到这个数位） ； （2）把已知数中超过这一最低精确度这个数位的数字，四舍五入到这个数位的下一位； （3）进行计算，并且把算得的数的末位数字四舍五入。 例如，求近似数 25.4、0.456、8.738 和 56 的和。25.4+0.456+8.738+56≈91 又如，求近似数 0.095 减 0.002153 的差。 解：0.095-0..093 【近似数的乘除法】在一般情况下，近似数相乘除，积或者商取几个有效数字，与已知 数中有效数字最少的相同。具体法则有以下三条： （1）确定结果有多少个有效数字（已知数中有效数字最少的有多少个，结果就取同样 多个有效数字） ； （2）把已知数中有效数字的个数多的，四舍五入到只比结果中有效数字的个数多一个； （3）进行计算（除法要比结果多算出一位） ，并把算得的数四舍五入到应该有的有效数 字的个数。 例如， （1）求近似数 26.79 与 0.26 的积。 （2）求近似数 9.7 除以近似数 25.78 的商。因 24 只有两个有效数字，故可把各数分别四舍五入到三个有效数字以后去计算；得出 中间结果仍保留三个有效数字，即比法则规定的多保留一个；得出最后的结果，再四舍五入 到两个有效数字。再如，量得一个圆的周长约是 3.73 厘米，求这个圆的直径。 题目要求直径长度，需用“3.73÷π”去计算。其中 3.73 是近似数，有三个有效数字； π是个准确数，它有任意多个有效数字，计算时，π取四个有效数字： 解 3.73÷π≈3.73÷3.142≈1.19（厘米） 答：这个圆的直径约是 1.19 厘米。 【近似数混合运算方法】 近似数的混合运算， 要分步来做。 运算的中间步骤的计算结果， 所保留的数字要比加、减、乘、除计算法则规定的多取一个。例如，作近似数的混合计算： 57.71÷5.14+3.18×1.16-4.。 解原式=11.23+3.689-7.41 ≈7.5 说明： （1）57.71÷5.14，3.18×1.16，4.，所得的中间结果 11.23，3.689，7.41， 都比法则规定应当取的有效数字多取了一个。 （2）11.23+3.689-7.41 是加减法，各数中精确度最低的是 7.41，这个数实际上只有两个 有效数字，就是只精确到十分位。因此，最后求得的结果应当四舍五入到十分位，得 7.5。 又如， “有一块梯形土地，量得上底约为 68.73 米，下底约为 104.20 米， 高约为 9.57 米。 求这块土地的面积。≈86.47×9.57 ≈828（平方米） （答略） 说明： （1）68.73+104.20，所得的中间结果 172.93，精确到 0.01，没有多取的数位。果四舍五入到三个有效数字，得 828。 【预定精确度的计算法则】已给出计算结果所要求达到的精确度，要求确定原始数据的 精确度，通常称其为“预定精确度的计算” 。 预定精确度的计算法则，一般有： （1）预定结果的精确度用有效数字给出的问题。 如果预定结果有 n 个有效数字，那么原始数据一般取到 n+1 个有效数字。 例如，圆形面积大约是 140 平方米，要使算出的结果具有两个有效数字，那么测量半径 r 应达到怎样的精确度？π应取几个有效数字的近似值？ 解：为了使面积 S 具有两个有效数字，π和 r 就都要有三个有效数字。因为r 应该有一位整数，所以测量半径时，应该精确到 0.01 米。 π应该取三个有效数字的近似值--3.14。 （2）对于加法和减法，由于计算结果的精确度是按小数的位数来确定的，所以当预定 结果的精确度用有效数字个数给出，那么就要先估计出和或差里最高一位数在哪一位上。 例如，梯形上底 a 约 50 米，下底 b 约 60 米，高 h 约 40 米。测量时，应达到怎样的精 确度，才能使算出的面积 S 有两个有效数字？要使 S 有两个有效数字，则（a+b）与 h 都应该有三个有效数字。所以，测量 h 应精确 到 0.1 米，而测量上底和下底，只需要精确到 1 米（因 a+b 有三个整数数位。 ） 在实际测量时，a、b、h 都有两个整数数位，测量工具一样，因此常采用相同的精确度。 【一般验算方法】 （1）加减法的验算方法。 加法的验算方法有二：一是利用加法交换律，把加数位置交换后再相加，所得的结果必 须与原计算的结果相同，说明计算才是正确的。二是利用加法和减法的逆运算关系，把所得 的和减去一个加数，所得的差必须等于另一个加数，计算才是正确的。 减法的验算也有两种方法： 一是利用加减互逆的关系进行验算， 把所得的差与减数相加， 所得的和必须等于被减数，计算才是正确的。二是利用被减数、减数、差三者之间的关系进 行验算，用被减数减去差，所得的结果必须等于减数，计算才是正确的。 （2）乘除法的验算方法。 乘法有两种验算方法：①利用乘法交换律进行验算，把因数位置交换后再相乘，所得的结果必须和原来的计算结果相同，计算才是正确的。②利用乘除互逆关系，把所得的积除以 一个因数，结果必须等于另一个因数，计算才是正确的。 除法也有两种验算方法：①利用乘除互逆关系，把除数和商相乘（如有余数，还要加上 余数） ，所得的结果必须等于被除数，计算才是正确的。②利用被除数、除数、商、余数之 间的关系，把被除数减去余数所得的差（没有余数的不必去减） ，除以商，所得的结果必须 等于除数，计算才是正确的。 （3）四则混合运算式题的验算。 四则混合运算式题的验算，虽然可采用上述加、减、乘、除法的验算方法去验算，但非 常麻烦，不如采用重算的办法。由于计算中最易错的是运算顺序、分小数互化等，所以重算 可分三步走：①检查运算顺序；②检查分小数互化情况；③检查每步计算结果是否正确。 （4）解方程、解比例的验算方法。 解方程、解比例的验算，可将求得的解代入原方程或原比例，看等号两边的数值是否相 等。 （5）应用题的验算方法。 应用题的验算可以采用下面三种方法： ①用“一题多解”验算。有多种解法的应用题，可用不同的解法去再解一遍。若解得的 结果一致，说明解法是正确的。 ②用“还原法”验算。将计算结果作为题目中的已知条件，根据其数量关系，若算得其 他已知条件和数据都是成立的（即能“还原”，则表明题目的解法是正确的。 ） ③用分析、估算方法验算。根据生活经验等，可知：求总数，结果不应小于部分数；求 人数、植树棵树等，得数通常为整数；计算出油率、合格率等，得数不会大于 100％；计算 各种速度、农作物单位面积产量，得数应基本符合实际情况；……否则，题目的解答便可能 是错误的。 不过，分析、估算办法只能检验出大致的情况，大致情况检验出来后，还得用其他方法 验算。 【弃九验算法】 利用被 9 除所得余数的性质， 对四则运算进行检验的一种方法， “弃 称为 九验算法” ，简称“弃九法” 。 用“弃九法”验算，首先要找出一个数的“去九数” （或称“弃九数”。把一个数各位 ） 数字相加，如果和大于 9，又再将和的各位数字相加，直到和是一个一位数（和是 9 的要减 去 9 得 0） ，这个数我们便称它为原数的“去九数” 。例如 +9+3=26-→2+6=8（去九数是 8） ； 721：7+2+1=10-→1+0=1（去九数是 1） 。 去九数也可以这样得到：把一个数中的数字 9，或者相加得 9 的几个数字都划去，将剩 下来的数字相加，得到一个小于 9 的数，这个数就是原数的去九数。 例如：“弃九验算法”也可以说，是利用“去（弃）九数”去进行验算的一种验算方法。例如， 验算下面的加减法，可先求出等号左右每个数的去九数，然后将等号左边的去九数相加减， 若去九数的和（或差） ，与等号右边和（或差）的去九数不相等，则可以肯定，原来的计算 是错误的。例如（如果两个加数的去九数之和大于 9，则应减去 9） 所以，可以肯定，原式的计算是错误的。的确，正确的答案是 70168。 假如最后的两个去九数之和或差，与等号右边和（或差）的去九数相等，那么在一般情 况下，可以认为原来的计算大致没有错误。例如所以，可以认为原来的计算大致没有错误。 减法的验算如所以，可以肯定，原计算是错误的。事实上，原式的差应该是 146410。 用弃九法验算乘法如下面的两个例子： （1）可以肯定，原来的计算是错误的。确实，正确的答案应该是 716478。 （2）可以认为，这道题大致没有错误。 用弃九法验算除法，可利用下面的关系式来进行： 除数×商=被除数； 除数×商+余数=被除数。 例如： （1）可以认为，这道题的计算大致没有错误。 （2）可以认为，这道题的计算，大致没有错误。 不难发现， 弃九验算法是既方便， 又有趣的。 但当弃九数的等式相等时， 为什么要说 “在 一般情况下”“可以认为”原式的计算”大致没有错误”呢？请看下面几个数的去九数： ，这就是说，当几个数的数字相同，仅仅是 0 的个数不同；或者是数字顺序颠倒；或者小 数点的位置不同时，它的去九数却是相同的。这样就会导致用弃九法验算，不能查出去九数 虽相同，而数的实际大小却并不相同的情况。这一点，在使用弃九法验算时，我们必须特别 注意。 尽管有以上这种情