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浅谈高中数学解题方法
　　【摘要】任何学问都包括知识和能力这两方面，对于数学，能力比起仅仅具有知识更加重要。 中国论文网 /4/view-10415.htm　　【关键词】高中；数学；解题方法 　　【中图分类号】G632.479【文献标识码】A【文章编号】09)05-0202-01 　　 　　任何学问都包括知识和能力这两方面，对于数学，能力比起仅仅具有知识更加重要。而数学中的能力指的就是解决问题的能力。一个数学教师，如果把他的时间塞满了例行运算来训练他的学生，他就扼杀了学生的学习兴趣。因而中学数学的首要任务是培养学生具备解决问题的才智、独特见解及创造精神，把“解题”作为培养数学才能和教会他们思考的一种手段和途径。对于数学题，其求解过程可总结为以下四个阶段：①必须弄清问题，清楚地看到要求的是什么？②必须了解各个项之间有何联系？未知数与已知条件之间有什么关系？③实现所制定的计划，④回顾能完成的解答，对它进行检验和反思。上述每一个阶段都有其重要性，下面通过实例对每一个阶段进行具体的分析。 　　第一阶段：弄清问题。回答一个你尚未弄清的问题是愚蠢的，首先必须了解问题的文字叙述，教师在某种程度上可检查学生这一点，同时不要错过这样的问题：未知数是什么？已知条件是什么？求什么？满足条件是否可能？ 　　例1、若x、y、z∈R，且x＋y＋z=1，求证：x2＋y2＋z2≥13 　　要证明这一道题目，要求做题者必须掌握证明不等式的方法与技巧，明确要证的结论是什么？已知条件是什么？条件与结论之间有何关系？此题的已知条件是三个实数的和为1，根据此条件要证明它们的平方和不小于13。 　　第二阶段：拟定计划。我们知道，求解一个问题的主要成绩是构想出一个解题计划的思路，看着未知数，试想起一个具有相同或相似未知数的熟悉问题来，你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？你能否利用它？为了解利用它，你是否应该引入某些辅助元素？你是否利用了所有的已知数据？你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念？因而我们需要拟定一个计划。 　　例2、继续考察例1 　　例1中需证的不等式，左边是条件中三个实数的平方和，因此对此不等式的证明，一般地，我们的做法是先对条件等式两边平方。对x＋y＋z=1两边平方得：x2＋y2＋z2＋2xy＋2xz＋2yz=1 　　观察平方后的等式：此式中已经得到待证式左边的式子x2＋y2＋z2，而其余三个式子2xy,2xz，2yz可通重要不等式的变形2ab≤a2＋b2进一步转化为含有x2、y2、z2的式子，于是平方后等式左边的式子全都可转化为x2、y2、z2之间的关系式，从而可使不等式得到证明，此时计划已拟定。 　　第三阶段：实现计划。想出一个计划，产生一个求解念头是不容易的，要成功，需要有许多条件，比如：已有的知识，良好的思维习惯，目标集中，还要有好运气。但实现计划则容易得多，我们需要的主要是耐心地处理好计划中的每一个细节。 　　例3、我们继续考察例2 　　x2＋y2＋z2＋2xy＋2xz＋2yz=1 　　而2xy≤x2＋y2,2xz≤x2＋z2,2yz≤y2＋z2,?∵x2＋y2＋z2＋2xy＋2xz＋2yz≤3（x2＋y2＋z2）?即3（x2＋y2＋z2）≥1∴x2＋y2＋z2≥13 　　这样就实现了我们的求解计划。 　　第四阶段：回顾、反思。这一阶段是我们最缺乏的，即使是相当好的学生，当他得到问题的解答，并且干净利落的写下结论后，通常就会合上书本，找点别的事来干。对于这一阶段，很多做题者都容易忽略，其实通过回顾能完成的解答，可巩固基础知识和发展解题思维。 　　例4、再考察例1 　　仔细观察例1，易知本例所证不等式取等号的条件是x=y=z=13,此时x2=y2=z2=13?2。活用二元均值不等式的关键在于创设条件，进行检查的分拆和配凑，于是有如下证法： 　　证明：∵13＝13?2＋13?2＋13?2 　　∴ x??2 ?＋ y??2 ?＋ z??2 ?＝（x2＋13?2）＋ (y2＋13?2)＋(z2＋13?2)－13≥2×13x＋2 ×13y＋2×13z－13= 23(x＋y＋z)－13?= 23－ 13= 13 　　故x2＋ y2＋ z2≥ 13 　　此外，还可采用增量换元法：∵x＋ y＋z = 1 　　∴可设x =13＋t??1?，y =13＋t??2?，z = 13＋t??3? 　　则有t??1 ?＋t??2?＋t??3?= 0∴x2＋y2＋z2 　　=（13＋t??1?）2＋（13＋t??2?）2＋（13＋t??3?）2 　　= 13＋23（t??1?＋t??2?＋t??3?）＋（t??12?＋t??22?＋t??32?） 　　= 13＋（t?1?2＋t?2?2＋t?3?2） 　　而t?1?2＋t?2?2＋t?3?2≥0∴x2＋y2＋z 2= 13＋（t??12?＋t??22?＋t??32?）≥ 13即x2＋y2＋z??2 ?≥13 　　通过对例1的回顾，我们得出了几种不同的证明方法，并且还可进一步对例1从多个角度去探索、研究，对题目进行引申和发展。 　　例如：1、从指数方向推广，题目可作如下变形： （1）若x＞0，y＞0，z＞0，且x＋y＋z=1，求证：?x3＋y3＋z3≥19?（2）若x,y,z∈R且x＋y＋z=1，求证：x??4?＋y??4?＋z??4?≥12?2、从项数方向推广：（1）若a，b，c，d∈R，且a＋b＋c＋d=1，求证：a2＋b2＋c2＋d??2 ?≥ 14?（2）若a??i?∈R（i=1，2，…，n），且a??1?＋a??2?＋…＋a??n ?= 1， 　　求证：a?1?2＋a?2?2＋…＋a?n?2≥ 1n，?3、从指数和项数两方面进行推广：?若a，b，c，d＞0，且a＋b＋c＋d=1，?求证：a3＋b3＋c3＋d3≥ 116
　　由此可见，第四阶段的作用是很大的，通过对题目的回顾反思，让我们养成探究性学习的好习惯，注意发散思维和聚敛思维的训练，学以致用，脱离题海。 　　下面我们再举例说明一下，上述四个阶段在解题中的应用。 　　例5，中央电视台创办“城市之间”栏目以增进各国交流，本期有伦敦、上海等10个不同国家的城市报名参赛，需将10个城市分成两组，每组5个城市，且每组前两名晋级总决赛，求伦敦、上海分在同一组的概率. 　　分析： 　　第一阶段：弄清问题。1、已知条件：10个队平均分成2组进行比赛；2、待求结论：伦敦、上海分在同一组的概率； 　　第二阶段：拟定计划。先用排列组合知识求出10支队伍平均分成两组的分法及伦敦、上海分在同一组的分法，再利用等可能性事件概率公式求解。 　　第三阶段：实现计划。解:将10支队伍平均分成两组的分法有：C??10??5•C?5?52!=126种，伦敦、上海分在同一组的分法有C?8?3= 56种，故伦敦、上海分在同一组的概率为P = 56126= 49 　　第四阶段：回顾、反思。对于分组问题，不同理解，就有不同的分法，因而也就有不同解法。上面的解法是平均分组，因而这两个组是没有顺序的，下面我们来看有序分法所求出的结果。 　　法二：若将两组看作有顺序，不妨设为A、B两组，则10个队分成A、B两组共有C??10??5•C?5?5=252种分法，而伦敦、上海分在A组的方法有C?8?3=56种,分在B组的分法有C?8?3= 56种于是伦敦、上海分在同一组的概率： 　　P=2C?8?3C??10??5•C?5?5=49 　　可见，用有序分组和无序分组求出的结果完全相同，说明只要抓住实质，不论任何方法都能解决问题。下面我们还有其它方法。 　　法三：设有编号为1, 2, 3, … ,10十根鉴，十支队各抽一根，抽到1―5号签的为A组，抽到6～10号签的为B组，显然抽签是等可能的，伦敦、上海两队在十支鉴中任意抽得两签有C??10??2种方法，伦敦、上海两从1至5号签中抽得两签有C??5??2种抽法，从6至10号签中抽得两签有C??5??2种抽法，于是它们分在同一组的抽法共有2C??5??2=20种， 　　∴所求概率P =2C?5?2C??10??2=49 　　法四：10支队伍分成两组，每组5支，可视为5个空位，上海队先任选一组的一个位置，这组还剩4个空位，此时伦敦队可在余下9个位置中任选一个，但要与上海队同组就只能在上海队这一组剩余4个位置选一个，于是伦敦、上海队分在同一组的概率P =49 　　上述几种解法各有千秋，由于对试验的具体解法不同，可取不同的等可能性事件集，解法四把分组问题巧妙转化为排座位问题，在观形象、简洁明快，抓住了问题的本质。 　　解题主要有以上四个阶段，当然并不是解每一道题都必须恪守这四个阶段，但若能在解题中作好每一阶段的分析、探索，就必定能在解题方面有所作为，有所感悟！
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