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解析：a,b分别是方程x²-mx+2m-2=0的两个根根据韦达定理有 a+b=m，ab=2m-2又由勾股定理有：a²+b²=25这样可求得m=7
（当然，m=-3&0舍去）从而求得a1=3，a2=4即：a=3时，b=4；b=3时，a=4。因此：最小的边长为3，于是求得△ABC较小锐角的正弦值为3/5
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x1-x2怎么用韦达定理解
来源：互联网 &责任编辑：鲁倩 &
x1-x2怎么用韦达定理解二次方程ax?+bx+c=0的两根x1、x2由韦达定理,得:x1+x2=-b/a,x1*x2=c/a∴(x1-x2)?=(x1+x2)?-4x1*x2=b?/a?-4c/a=(b?-4ac)/a?然后再开根号就行了望采纳x1-x2的绝对值方写成韦达定理的形式,谢谢!丨x1-x2丨²=(x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1x2韦达定理|x1-x2||x1-x2|=根号下[(x1-x2)^2]=根号下[(x1+x2)^2-4x1x2]由韦达定理得x1+x2=-5/2x1x2=-3/2所以|x1-x2|=根号下【25/4+6】=根号下【49/4】=7/2韦达定理(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=c/a+b/a+1有什么用...韦达定理:若x1,x2是aX^2+bx+c=0(a≠0w的两个根,则x1+x2=-b/ax1?x2=c/a。当一元二次方程的两根不便求出(含有字母或数字较大或含有根号等)而需要求x1,x2的有关代数...用韦达定理[x1+x2=-2;x1x2=-2012]怎么算x1/x2求解!!!解出关于x1x2的方程组x1+x2=-2;x1x2=-2012代入求值方法二:依题意可知x1x2是方程x^2+2x-2012=0的两根利用求根公式算出两根再代入求值方法三:假设x1/x2=t则x1=tx2...x1-x2怎么用韦达定理解(图2)x1-x2怎么用韦达定理解(图7)x1-x2怎么用韦达定理解(图9)x1-x2怎么用韦达定理解(图11)x1-x2怎么用韦达定理解(图14)x1-x2怎么用韦达定理解(图17)这是用户提出的一个数学问题,具体问题为:x1-x2怎么用韦达定理解我们通过互联网以及本网用户共同努力为此问题提供了相关答案,以便碰到此类问题的同学参考学习,请注意,我们不能保证答案的准确性,仅供参考,具体如下:用韦达定理[x1+x2=-2;x1x2=-2012]怎么算x1/x2求解!!!解出关于x1x2的方程组x1+x2=-2;x1x2=-2012代入求值方法二:依题意可知x1x2是方程x^2+2x防抓取，学路网提供内容。用户都认为优质的答案:X1-X2=?用韦达定理X^2+PX+Q=0X1+X2=-PX1X2=Q(X1-X2)^2=(X1+X2)^2-4X1X2=P^2-4Q|X1-X2|=√(P^2-4Q)防抓取，学路网提供内容。二次方程ax²+bx+c=0的两根x1、x2|x1-x2|用韦达定理分解x1-x2|=√(x1-x2)^2=√[(x1+x2)^2-4x1x2]=√[(-b/a)^2-4c/a]=√(b^2/a^2-4c/a)这就是用韦达定理解决此问的过程防抓取，学路网提供内容。由韦达定理,得：x1+x2=-b/a,x1*x2=c/a根据韦达定理怎么推得:|x1-x2|=根号[(x1+x2)^2-4x1x2]这不是根据韦达定理推的,是乘法公式:(x1+x2)²=x1²+x2²+2x1x2(x1-x2)防抓取，学路网提供内容。∴(x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1*x2高中解析几何韦达定理问题x1+x2与x1x2比如说直线Y=Kx+b,则Y1+y2=kx1+b+kx2+b=k(x1+x2)+2b,然后把求出来的x1+x2代进去,就能求出y1+y2,y1*y2也是一样防抓取，学路网提供内容。=b²/a²-4c/a解圆锥曲线大题列韦达定理的时候怎么用x1x2表示y1y2带入直线,yi等于,y2等于,然后相乘,防抓取，学路网提供内容。=(b²-4ac)/a²x1-x2怎么用韦达定理解答：二次方程ax²+bx+c=0的两根x1、x2由韦达定理，得：x1+x2=-b/a，x1*x2=c/a∴(x1-x2)²=(x1+x2)²-4防抓取，学路网提供内容。然后再开根号就行了一元二次方程中x1X2等于什么x1＋x2等于什么答：x1+x2=-b/a拓展资料：数学，是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种。数学家和哲学家对数学的确切防抓取，学路网提供内容。======以下答案可供参考======X1+X2=?X1?X2=?答：楼上答案挺好的防抓取，学路网提供内容。供参考答案1:一元二次方程里面的x1x2=多少还有是x1+x2还是x...问：x1x2是不是等于c分之a答：一元二次方程ax²+bx+c=0的两个根是x1,x2则x1+x2=-b/ax1x2=c/a（a分防抓取，学路网提供内容。（x1-x2）²【数学】韦达定理里的X1+X2等于什么？X1×X2等于什么？答：方程ax²＋bx＋c=0(a≠0)的两根是x1、x2，则：x1＋x2=－b/ax1x2=c/a防抓取，学路网提供内容。=（x1+x2）²-4x1x2-X1分之一+X2分之一怎么求要有原理答：你问的是二元一次方程的两个解这两个解关系为x1+x2=（-b/a），x1x2=（c/a）根据这个的（1/x1）+(1/x2)=[(x2+x1)/x1x2]=[防抓取，学路网提供内容。所以：x1-x2=±√[（x1+x2）²-4x1x2]一元二次方程中，X1+X2=?X1+X2=?答：ax^2+bx+c=0,a≠0，b^2-4ac≥0,X1+X2=-b/a;X1*X2=c/a.防抓取，学路网提供内容。希望对你有帮助，满意请及时采纳，为什么λx1+(1-λ)x2可以表示x1与x2之间的所有值答：在数轴上设x位于x1和x2之间，且满足x=λx1+(1-λ)x2等号左右同减去x2，得x-x2=λx1-λx2=λ(x1-x2)λ=(x-防抓取，学路网提供内容。你的采纳是我回答的动力！X1和X2电容的区别?答：安规电容是指用于这样的场合，即电容器失效后，不会导致电击，不危及人身安全.它包括X电容各Y电容两种类型，x电容是跨接在电力线两线（L-N）之间的电容，一般选用金属薄膜电容,因防抓取，学路网提供内容。供参考答案2:焦点弦长=X1+X2+P问：焦点弦长=X1+X2+P的推导过程答：抛物线定义：与焦点距离等于与准线的距离抛物线过焦点的弦，焦点弦长拆分成两断，焦点弦＝两点到焦点的距离之和。两点到准线的距离分别为x1+防抓取，学路网提供内容。学路网 www.xue63.com 学路网 www.xue63.com 防抓取，学路网提供内容。供参考答案3:每个女生都想拥有一张超上镜的小脸型，当对自己脸型不满意时，通常会各种P照片，或者找合适的姿势，或是通过化妆来改变，更有甚者，也会通过打瘦脸针来达到理想的脸型。在这些方法里，其实通过化妆是最省时省力的方防抓取，学路网提供内容。x1-x2两边平方=根号[x1平方 x2平方-2x1x2)时间最长的一次自驾游，是2002年从北京出发，前往西藏，历时两个月，行走了川藏南线、新藏线的西藏部分、黑阿线（当时还是一条自然路）、青藏线。公里数大概是1.3万公里。里程最长的一次自驾游，是2014年防抓取，学路网提供内容。=根号[(x1 x2)平方-4x1x2]冲凉房的地面在选择材质的时候不仅要考虑美观，还应考虑其抗污性、防滑性、防水性等各个方面，那么铺瓷砖好还是大理石更好呢？下面小编就为您简单介绍一下。大理石优点：　　1、美观大方即使在冲凉房，不少人也是在防抓取，学路网提供内容。X1-X2=?用韦达定理X^2+PX+Q=0X1+X2=-PX1X2=Q(X1-X2)^2=(X1+X2)^2-4X1X2=P^2-4Q|X1-X2|=√(P^2-4Q)|x1-x2|用韦达定理分解x1-x2|=√(x1-x2)^2=√[(x1+x2)^2-4x1x2]=√[(-b/a)^2-4c/a]=√(b^2/a^2-4c/a)这就是用韦达定理解决此问的过程根据韦达定理怎么推得:|x1-x2|=根号[(x1+x2)^2-4x1x2]这不是根据韦达定理推的,是乘法公式:(x1+x2)²=x1²+x2²+2x1x2(x1-x2)²=x1²+x2²-2x1x2两式相减得:(x1+x2)²-(x1-x2)²=4...高中解析几何韦达定理问题x1+x2与x1x2比如说直线Y=Kx+b,则Y1+y2=kx1+b+kx2+b=k(x1+x2)+2b,然后把求出来的x1+x2代进去,就能求出y1+y2,y1*y2也是一样!
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浅谈利用韦达定理的解题技巧
　　摘要：韦达定理知识点的考察是初中数学的难点和重点，本文就韦达定理在运算中的几种技巧进行实例解析，对初中数学解题策略进行探索，以为广大初中数学教师、学生提供有益的参考。 中国论文网 /1/view-5966864.htm　　 关键词：韦达定理;根与系数;解题技巧 　　中图分类号：G633.6 文献标识码：B文章编号：（5-01 　　初中阶段是培养学生数学运算能力、解题技巧、数学思维的黄金时期，初中代数的主要内容都和运算有关，如有理数的运算、整式的运算、因式分解、分式的运算、根式的运算和解方程。而要学好运算，学会是基本、熟练是要求、理解是关键，这就要求学生不仅要加强必要的训练，更重要是要掌握一定的解题规律与技巧，这也是学生学习中的难点，老师授课中的重点。为此，本文以韦达定理为例，谈谈其在运算中的运用技巧。 　　 韦达定理[1]是设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,b2-4ac≥0)的两根为x1,x2，利用求根公式可以得到x1=-b+-b2-4ac2a，此时 。它反映了一元二次方程根与系数的关系，其应用十分广泛，是初中数学知识点中的重点和难点。 　　 1.巧用变形 　　 变形1：设x1、x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实根，由韦达定理变形，得出|x1-x2|=b2-4ac|a|的结论。 　　 例题1：已知x1、x2为方程4x2＋2x－1＝0的二根，则|x1－x2|的值为多少？此题，我们就可以根据韦达定理变形直接得出： 　　 |x1－x2|=22-4×4×(-1)2=5。 　　 变形2：设x1、x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(ac≠0)的两个实根，令k=x1x2,则(1+k)2k=b2ac。 　　 例题2：已知关于x的方程x2－(k＋1)x＋k＋2＝0的两实根的平方和等于13，求k的值。我们可以假设方程x2－(k＋1)x＋k＋2＝0的两根为x1、x2，所以x12+x22=(k+1)2-2(k+2)=k-3，又有k2－3＝13，所以k2＝16，k＝±4。由于当k＝3时，原方程无实根，所以k＝4应舍去，故k的值为－4。 　　 2.巧妙求根 　　 有时候我们知道方程两根的和与积，让我们求解这两根。按照一般的代入化简法，计算量会很大。而如果我们利用这两根的和与积构造出一个一元二次方程出来，再运用"十字相乘法"来求解，则会变得容易很多。 　　 例题4：已知在公差为正数的等差数列{an}中，a3&#，a2+a5=26，求{an}的通项公式。由已知a2+a5=a3+a4=26，a3&#，从而可设a3、a4分别为方程x2-26x+133=0的两个根，且数列{an}的公差为正数，解得a3=7，a4=19，所以d=a4-a3=19-7=12，an=7+(n-3)×12=12n-29。 　　 3.巧用结论 　　 结合韦达定理，我们可以依据根的判别式，判断一元二次方程根的情况。在实际做题中，我们也就可以巧用根的判别，求值的取值范围。 　　 例题5:如果函数y=x2-(2m+3)x+m(m+3)图像与x轴正半轴有两个交点，求m的取值范围。由题意知，x2-(2m+3)+m(m+3)=0有两个不等的正实数根，设其分别为x1、x2，则有： 　　 x1+x2＞0 　　x1&# 　　Δ＞0即 2m+3＞0 　　m(m+3)＞0 　　[-(2m+3)]2-4m(m+3)＞0 解得m＞0，所以m的取值范围是（0，+∞）。 　　 从以上例题解析，不难看出，韦达定理的应用具有很强的灵活性。学生要学会认真分析问题，找准考察知识点的切入点，平时多从习题中培养自己的解题思想，注意在发现问题中总结，在总结中提高自己的能力。教师要注意对学生解题技巧的引导，并鼓励学生发散思维，寻找解题技巧，提高解题效率，增强学习自主学习的能力。 　　参考文献： 　　[1] 新时代数学编写组.义务教育教科书数学（沪科版）八下[M].上海：上海科学技术出版社，2014,37.
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x^2-9x+8=0我用韦达定理求出了x1+x2=-9,x1*x2=8.然后我应该怎么求呢？联立方程后我发现我又得出了一个2元一次方式。这个应该怎么求。请各位高手把步骤写一下。谢谢...
x^2-9x+8=0我用韦达定理求出了x1+x2=-9, x1*x2=8. 然后我应该怎么求呢？联立方程后我发现我又得出了一个2元一次方式。 这个应该怎么求。请各位高手把步骤写一下。谢谢
H5277H知道合伙人
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韦达定理不是用来求两个方程的解的……如果题目是a、b分别为方程的两根，求a²+b²的值那么你就可以写a²+b²=(a+b)²-2ab然后利用韦达定理快速解如果是求两根的话用十字相乘法比较好X
-8所以有(X-1)(X-8)=0，X=1或者8而且你的韦达定理用错了，应该是X1+X2=-b/a，X1·X2=c/a你的X1+X2=b/c是错的。若有疑问可以百度Hi、
pfly03知道合伙人
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韦达定理是告诉我们二次方程的根与系数的关系的，不是用来解方程的
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色情、暴力
我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-42e017a1edc5f_b.jpg& data-rawwidth=&510& data-rawheight=&340& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&510& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-42e017a1edc5f_r.jpg&&&/figure&&h2&本篇重点总结圆锥曲线中离心率的求法&/h2&&ul&&li&&b&利用顶角建立不等式求离心率的范围&/b&&/li&&/ul&&p&问你哦：若椭圆上一动点P， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cangle+F_%7B1%7DPF_%7B2%7D& alt=&\angle F_{1}PF_{2}& eeimg=&1&& 何时取最大值？&/p&&p&直觉你会猜P在上、下顶点的时候取最大值，恭喜你猜对了，那为啥捏？&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-f2caa16cc076_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&4032& data-rawheight=&2024& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&4032& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-f2caa16cc076_r.jpg&&&/figure&&p&&b&所以有&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cangle+F_%7B1%7DPF_%7B2%7D%5Cin+%5B0%2C%E9%A1%B6%E8%A7%92%5D& alt=&\angle F_{1}PF_{2}\in [0,顶角]& eeimg=&1&& ，&/b& &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=sin%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D%5Cleq+e%3C1& alt=&sin\frac{\theta}{2}\leq e&1& eeimg=&1&& .&/p&&p&比如，椭圆上存在点P，使得 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cangle+F_%7B1%7DPF_%7B2%7D%3D120%5E%7B%E3%80%82%7D& alt=&\angle F_{1}PF_{2}=120^{。}& eeimg=&1&&，求离心率范围。&/p&&p&看一眼就知道 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=sin%5Cfrac%7B120%5E%7B%E3%80%82%7D%7D%7B2%7D%5Cleq+e%3C1& alt=&sin\frac{120^{。}}{2}\leq e&1& eeimg=&1&& ，直接秒杀.&/p&&blockquote&例1：椭圆，满足向量 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=MF_%7B1%7D%5Ccdot+MF_%7B2%7D%3D0& alt=&MF_{1}\cdot MF_{2}=0& eeimg=&1&& 的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的范围是？&br&分析：翻译过来就是，在椭圆上不存在使得 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cangle+F_%7B1%7DPF_%7B2%7D%3D90%5E%7B%E3%80%82%7D& alt=&\angle F_{1}PF_{2}=90^{。}& eeimg=&1&& 的点M。如果存在，那么满足 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=sin%5Cfrac%7B90%5E%7B%E3%80%82%7D%7D%7B2%7D%5Cleq+e%3C1& alt=&sin\frac{90^{。}}{2}\leq e&1& eeimg=&1&& .所以不存在的话，得到 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=0%3Ce%3C%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D& alt=&0&e&\frac{\sqrt{2}}{2}& eeimg=&1&& .&/blockquote&&ul&&li&&b&利用焦半径求离心率的范围&/b&&/li&&/ul&&p&焦半径：圆锥曲线上的点到焦点的距离。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-4dd5eeaa62b_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&4032& data-rawheight=&1011& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&4032& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-4dd5eeaa62b_r.jpg&&&/figure&&p&一起看看怎么用吧&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-8aee22aaba7738_b.jpg& data-caption=&& data-size=&small& data-rawwidth=&4032& data-rawheight=&1785& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&4032& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-8aee22aaba7738_r.jpg&&&/figure&&p&步骤：先根据条件写出焦半径的表达式，再利用不等关系求出离心率范围。&/p&&blockquote&再看一个&/blockquote&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-a1d46e4b2db11aa889acd5_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1549& data-rawheight=&252& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1549& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-a1d46e4b2db11aa889acd5_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-a1fabc93bd30bc46aaa8_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&4032& data-rawheight=&1475& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&4032& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-a1fabc93bd30bc46aaa8_r.jpg&&&/figure&&ul&&li&&b&利用渐近线求离心率范围&/b&&/li&&/ul&&p&大佬，渐近线方程自己回去看书啊。&/p&&p&这边的说明咱们通过例子直接感受一下。&/p&&blockquote&若直线l过焦点F，倾斜角为60度。&/blockquote&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-c4ccdefec53_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&933& data-rawheight=&366& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&933& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-c4ccdefec53_r.jpg&&&/figure&&p&&b&基于直线与双曲线的交点个数，得到直线与渐近线斜率的关系，最终求出离心率的值或范围。&/b&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-6c0fbb7d1d9b58f71551ba_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&83& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-6c0fbb7d1d9b58f71551ba_r.jpg&&&/figure&&p&我一边想着保持Inner peace，一边又想大家给我点赞，get了吗~(???)&/p&&p&依旧，看更多例题去第二基地哈！哦哈哈哈哈哈哈哈哈咳咳咳…&/p&
本篇重点总结圆锥曲线中离心率的求法利用顶角建立不等式求离心率的范围问你哦：若椭圆上一动点P， \angle F_{1}PF_{2} 何时取最大值？直觉你会猜P在上、下顶点的时候取最大值，恭喜你猜对了，那为啥捏？所以有\angle F_{1}PF_{2}\in [0,顶角] ， sin\frac{\…
&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-6d7d3bc251be665b4e22ec55df861bb9_b.jpg& data-rawwidth=&960& data-rawheight=&640& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&960& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-6d7d3bc251be665b4e22ec55df861bb9_r.jpg&&&/figure&&p&今天要讲的是椭圆和双曲线中的&b&焦点三角形&/b&的一些结论。&/p&&p&常考的焦点三角形是下面三种。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-d01c8ff2b8bfb20d21931e9_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&3947& data-rawheight=&1564& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&3947& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-d01c8ff2b8bfb20d21931e9_r.jpg&&&/figure&&ul&&li&&b&焦点三角形的周长&/b&&/li&&/ul&&p&考查频率较高的是第三种，周长为4a.&/p&&ul&&li&&b&焦点三角形的面积&/b&&/li&&/ul&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-f1e686ba0b75bc67d0dad_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&3657& data-rawheight=&2027& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&3657& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-f1e686ba0b75bc67d0dad_r.jpg&&&/figure&&p&PS：双曲线中焦点三角形的面积公式： &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=S%3D%5Cfrac%7Bb%5E%7B2%7D%7D%7Btan%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D%7D& alt=&S=\frac{b^{2}}{tan\frac{\theta}{2}}& eeimg=&1&&&/p&&blockquote&例：双曲线 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x%5E%7B2%7D-%5Cfrac%7By%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D%3D1& alt=&x^{2}-\frac{y^{2}}{2}=1& eeimg=&1&& 的焦点为 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=F_%7B1%7D%E3%80%81F_%7B2%7D& alt=&F_{1}、F_{2}& eeimg=&1&& ，点M在双曲线上且向量&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=MF_%7B1%7D%5Ccdot+MF_%7B2%7D%3D0& alt=&MF_{1}\cdot MF_{2}=0& eeimg=&1&&，则点M到x轴的距离为________.&/blockquote&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-a8dbd77f82a4a88134ea_b.jpg& data-caption=&& data-size=&small& data-rawwidth=&2181& data-rawheight=&2301& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2181& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-a8dbd77f82a4a88134ea_r.jpg&&&/figure&&ul&&li&&b&焦点三角形的角平分线&/b&&/li&&/ul&&p&开始说明之前，问你一哈，&b&角平分线定理&/b&还记得不？&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-cd42e16aa2bcb37cbf09cc_b.jpg& data-caption=&& data-size=&small& data-rawwidth=&3291& data-rawheight=&2979& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&3291& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-cd42e16aa2bcb37cbf09cc_r.jpg&&&/figure&&blockquote&例：已知 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=F_%7B1%7D%E3%80%81F_%7B2%7D& alt=&F_{1}、F_{2}& eeimg=&1&& 为椭圆 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B16%7D%2B%5Cfrac%7By%5E%7B2%7D%7D%7B12%7D%3D1& alt=&\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1& eeimg=&1&& 的两个焦点，P（2，3）在椭圆上，求 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cangle+F_%7B1%7DPF_%7B2%7D& alt=&\angle F_{1}PF_{2}& eeimg=&1&& 的角平分线所在直线方程。&br&分析：通常这样的题目计算非常复杂，现在咱们从角平分线的角度处理。&/blockquote&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-d7b699b38baa18a0054dd2_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&4032& data-rawheight=&2669& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&4032& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-d7b699b38baa18a0054dd2_r.jpg&&&/figure&&p&PS：传统做法是利用角平分线上的点到两边的距离相等求解。&/p&&ul&&li&&b&中位线：O是特殊的中点&/b&&/li&&/ul&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-3f0ee7bae7de8a0ed850e59_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&720& data-rawheight=&100& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-3f0ee7bae7de8a0ed850e59_r.jpg&&&/figure&&p&担心文章太长你不愿意看，还有两道例题就放在公主号辣&/p&&p&&b&Inner peace~&/b&&/p&
今天要讲的是椭圆和双曲线中的焦点三角形的一些结论。常考的焦点三角形是下面三种。焦点三角形的周长考查频率较高的是第三种，周长为4a.焦点三角形的面积PS：双曲线中焦点三角形的面积公式： S=\frac{b^{2}}{tan\frac{\theta}{2}} 例：双曲线 x^{2}-\frac{y…
&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-eef1e87b143c361deaf8225_b.jpg& data-rawwidth=&604& data-rawheight=&340& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&604& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-eef1e87b143c361deaf8225_r.jpg&&&/figure&&p&接下来的内容会围绕解析几何展开讲解，在上一篇《&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&走过最简单的路是圆锥曲线里的套路&/a&》中有提到说，解析几何部分都是套路啊！你都想回农村了有没有！&/p&&p&徒儿，套路再多又怎样，咱们见招拆招，总结无数前辈惨痛经验教训，现将套路宝典传授给你！&/p&&h2&斜率常见定值总结：&/h2&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-119f4adcc92ecce04c72ee1db1401cdc_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&844& data-rawheight=&764& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&844& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-119f4adcc92ecce04c72ee1db1401cdc_r.jpg&&&/figure&&p&PS：（1）若焦点在y轴上，则 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=k_%7BAB%7D%5Ccdot+k_%7BOM%7D%3D-%5Cfrac%7Ba%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D& alt=&k_{AB}\cdot k_{OM}=-\frac{a^{2}}{b^{2}}& eeimg=&1&& ;&/p&&p&（1）若曲线为焦点在x轴上的双曲线，则 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=k_%7BAB%7D%5Ccdot+k_%7BOM%7D%3D%5Cfrac%7Bb%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D& alt=&k_{AB}\cdot k_{OM}=\frac{b^{2}}{a^{2}}& eeimg=&1&& .&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-3cd4f71f9befcb2d14ca2eea4ec42a6f_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&3882& data-rawheight=&2529& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&3882& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-3cd4f71f9befcb2d14ca2eea4ec42a6f_r.jpg&&&/figure&&blockquote&例：椭圆C： &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=x%5E%7B2%7D%2B%5Cfrac%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bm%5E%7B2%7D%7D%3D1& alt=&x^{2}+\frac{y^{2}}{m^{2}}=1& eeimg=&1&& ，直线l过原点，斜率为k，且交椭圆于P,Q两点。P在第一象限，PN &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbot& alt=&\bot& eeimg=&1&& y轴，直线QN交椭圆于H。问：是否存在m使得k&0时，PQ &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbot& alt=&\bot& eeimg=&1&& PH？&/blockquote&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-8f1676bd0cfc9c4f1ac859_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&3886& data-rawheight=&1936& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&3886& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-8f1676bd0cfc9c4f1ac859_r.jpg&&&/figure&&p&再注：结论不能拿来主义，一定要在试卷上写出证明过程。&/p&&p&未完待续&/p&&p&&b&Inner peace~&/b&&/p&
接下来的内容会围绕解析几何展开讲解，在上一篇《》中有提到说，解析几何部分都是套路啊！你都想回农村了有没有！徒儿，套路再多又怎样，咱们见招拆招，总结无数前辈惨痛经验教训，现将套路宝典传授给你！斜率常见定值总结…
&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-f90e09ad161d2a6c8109b_b.jpg& data-rawwidth=&1920& data-rawheight=&1080& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1920& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-f90e09ad161d2a6c8109b_r.jpg&&&/figure&&p&希望大家不要只收藏不点赞，也当作是对我的小小的支持了~&/p&&p&喜欢的话可以关注一下我的专栏，会持续更新!&/p&&p&&br&&/p&&blockquote&圆锥曲线硬解定理，又称CGY-EH定理(The CGY Ellipse & Hyperbola Theorem)或JZQ-EH定理(The JZQ Ellipse & Hyperbola Theorem)，其是一套求解椭圆（或双曲线）与直线相交时，联立方程求判别式、韦达定理与相交弦长的简便算法，常应用于解析几何。&/blockquote&&p&这是网上找得到的东西。&/p&&p&我另外整理，亲自算了一遍，并把结果写在下面，希望方便大家学习~&/p&&p&由于大部分是自己算的，可能会出现错误，如果有误欢迎指出！&/p&&p&但是应该特别注意的是，&b&定理并不能直接用于高考&/b&，可以把计算的过程，也就是下面推导的过程写出来。&/p&&p&&br&&/p&&p&原定理内容：&/p&&blockquote&若曲线 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Bm%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bn%7D%3D1& alt=&\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}=1& eeimg=&1&& 与直线 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Ax%2BBy%2BC%3D0& alt=&Ax+By+C=0& eeimg=&1&& 相交于 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=E%2CF& alt=&E,F& eeimg=&1&& 两点，则：&br&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=x_1%2Bx_2%3D%5Cfrac%7B-2ACm%7D%7B%5Cvarepsilon%7D& alt=&x_1+x_2=\frac{-2ACm}{\varepsilon}& eeimg=&1&& ，&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=x_1x_2%3D%5Cfrac%7Bm%28C%5E2-B%5E2n%29%7D%7B%5Cvarepsilon%7D& alt=&x_1x_2=\frac{m(C^2-B^2n)}{\varepsilon}& eeimg=&1&&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta%27%3Dmn%28%5Cvarepsilon-C%5E2%29& alt=&\Delta'=mn(\varepsilon-C^2)& eeimg=&1&& ， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%7CEF%7C%3D%5Cfrac%7B2%5Csqrt%7B%28A%5E2%2BB%5E2%29%5CDelta%27%7D%7D%7B%7C%5Cvarepsilon%7C%7D& alt=&|EF|=\frac{2\sqrt{(A^2+B^2)\Delta'}}{|\varepsilon|}& eeimg=&1&&&br&其中 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvarepsilon%3DA%5E2m%2BB%5E2n& alt=&\varepsilon=A^2m+B^2n& eeimg=&1&& ， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta%27%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B4B%5E2%7D%5CDelta& alt=&\Delta'=\frac{1}{4B^2}\Delta& eeimg=&1&&&/blockquote&&p&原定理内容并不适合高考中常见的模型，因此在这里另外给出一套计算公式。&/p&&p&&b&如果不想看计算过程的话可以直接跳到文章的结尾，有完整的总结~&/b&&/p&&p&&br&&/p&&h2&一、抛物线情形&/h2&&p&设抛物线 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=C%3Ay%5E2%3D2px& alt=&C:y^2=2px& eeimg=&1&& ，直线 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=l%3Ax%3Dmy%2Bt& alt=&l:x=my+t& eeimg=&1&& ，联立得：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=y%5E2-2pmy-2pt%3D0& alt=&y^2-2pmy-2pt=0& eeimg=&1&& ，由韦达定理：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=y_1%2By_2%3D2pm& alt=&y_1+y_2=2pm& eeimg=&1&& ， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=y_1y_2%3D-2pt& alt=&y_1y_2=-2pt& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta%3D& alt=&\Delta=& eeimg=&1&&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%28-2pm%29%5E2-4%28-2pt%29%3D4p%5E2m%5E2%2B8pt& alt=&(-2pm)^2-4(-2pt)=4p^2m^2+8pt& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%7Cy_1-y_2%7C%3D%5Csqrt%7B%28y_1%2By_2%29%5E2-4y_1y_2%7D%3D%5Csqrt%7B%282pm%29%5E2-4%28-2pt%29%7D& alt=&|y_1-y_2|=\sqrt{(y_1+y_2)^2-4y_1y_2}=\sqrt{(2pm)^2-4(-2pt)}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%3D%5Csqrt%7B%5CDelta%7D& alt=&=\sqrt{\Delta}& eeimg=&1&&&/p&&p&抛物线的计算量较小，通常选择消去一次项。&/p&&p&其他情形的抛物线可以类比，在这里不再列出。&/p&&p&&br&&/p&&h2&二、椭圆情形 &/h2&&p&（1）设椭圆 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=C%3A%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D1& alt=&C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1& eeimg=&1&&，直线 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=l%3Ay%3Dkx%2Bm& alt=&l:y=kx+m& eeimg=&1&& ，将椭圆方程变形为：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=b%5E2x%5E2%2Ba%5E2y%5E2%3Da%5E2b%5E2& alt=&b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2& eeimg=&1&& ，与直线联立： &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%28a%5E2k%5E2%2Bb%5E2%29x%5E2%2B2a%5E2kmx%2Ba%5E2%28m%5E2-b%5E2%29%3D0& alt=&(a^2k^2+b^2)x^2+2a^2kmx+a^2(m^2-b^2)=0& eeimg=&1&&&/p&&p&由韦达定理： &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=x_1%2Bx_2%3D%5Cfrac%7B-2a%5E2km%7D%7Ba%5E2k%5E2%2Bb%5E2%7D& alt=&x_1+x_2=\frac{-2a^2km}{a^2k^2+b^2}& eeimg=&1&& ， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=x_1x_2%3D%5Cfrac%7Ba%5E2%28m%5E2-b%5E2%29%7D%7Ba%5E2k%5E2%2Bb%5E2%7D& alt=&x_1x_2=\frac{a^2(m^2-b^2)}{a^2k^2+b^2}& eeimg=&1&& ，&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta%3D%282a%5E2km%29%5E2-4%28a%5E2k%5E2%2Bb%5E2%29%5Ccdot+a%5E2%28m%5E2-b%5E2%29& alt=&\Delta=(2a^2km)^2-4(a^2k^2+b^2)\cdot a^2(m^2-b^2)& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%3D4a%5E4k%5E2m%5E2-%284a%5E4k%5E2m%5E2%2B4a%5E2b%5E2m%5E2-4a%5E4b%5E2k%5E2-4a%5E2b%5E4%29& alt=&=4a^4k^2m^2-(4a^4k^2m^2+4a^2b^2m^2-4a^4b^2k^2-4a^2b^4)& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%3D4a%5E4b%5E2k%5E2%2B4a%5E2b%5E4-4a%5E2b%5E2m%5E2& alt=&=4a^4b^2k^2+4a^2b^4-4a^2b^2m^2& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%3D4a%5E2b%5E2%28a%5E2k%5E2%2Bb%5E2-m%5E2%29& alt=&=4a^2b^2(a^2k^2+b^2-m^2)& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%7Cx_1-x_2%7C%3D%5Csqrt%7B%28x_1%2Bx_2%29%5E2-4x_1x_2%7D%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B%28-2a%5E2km%29%5E2%7D%7B%28a%5E2k%5E2%2Bb%5E2%29%5E2%7D-4%5Cfrac%7Ba%5E2%28m%5E2-b%5E2%29%7D%7Ba%5E2k%5E2%2Bb%5E2%7D%7D& alt=&|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{\frac{(-2a^2km)^2}{(a^2k^2+b^2)^2}-4\frac{a^2(m^2-b^2)}{a^2k^2+b^2}}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B%282a%5E2km%29%5E2-4a%5E2%28m%5E2-b%5E2%29%5Ccdot+%28a%5E2k%5E2%2Bb%5E2%29%7D%7B%28a%5E2k%5E2%2Bb%5E2%29%5E2%7D%7D%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B%5CDelta%7D%7D%7Ba%5E2k%5E2%2Bb%5E2%7D& alt=&=\sqrt{\frac{(2a^2km)^2-4a^2(m^2-b^2)\cdot (a^2k^2+b^2)}{(a^2k^2+b^2)^2}}=\frac{\sqrt{\Delta}}{a^2k^2+b^2}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%3D%5Cfrac%7B2ab%5Csqrt%7Ba%5E2k%5E2%2Bb%5E2-m%5E2%7D%7D%7Ba%5E2k%5E2%2Bb%5E2%7D& alt=&=\frac{2ab\sqrt{a^2k^2+b^2-m^2}}{a^2k^2+b^2}& eeimg=&1&&&/p&&p&令 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A%3Da%5E2k%5E2%2Bb%5E2& alt=&A=a^2k^2+b^2& eeimg=&1&& ，则：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=x_1%2Bx_2%3D%5Cfrac%7B-2a%5E2km%7D%7BA%7D& alt=&x_1+x_2=\frac{-2a^2km}{A}& eeimg=&1&& ， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=x_1x_2%3D%5Cfrac%7Ba%5E2%28m%5E2-b%5E2%29%7D%7BA%7D& alt=&x_1x_2=\frac{a^2(m^2-b^2)}{A}& eeimg=&1&& ， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%7Cx_1-x_2%7C%3D%5Cfrac%7B2ab%5Csqrt%7BA-m%5E2%7D%7D%7BA%7D& alt=&|x_1-x_2|=\frac{2ab\sqrt{A-m^2}}{A}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta%3E0%5CLeftrightarrow+a%5E2k%5E2%2Bb%5E2-m%5E2%3E0%5CLeftrightarrow+A-m%5E2%3E0& alt=&\Delta&0\Leftrightarrow a^2k^2+b^2-m^2&0\Leftrightarrow A-m^2&0& eeimg=&1&&&/p&&p&&br&&/p&&p&交换上式中的 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=a%2Cb& alt=&a,b& eeimg=&1&& 可以得到焦点在 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=y& alt=&y& eeimg=&1&& 轴上的椭圆：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=x_1%2Bx_2%3D%5Cfrac%7B-2b%5E2km%7D%7BA%7D& alt=&x_1+x_2=\frac{-2b^2km}{A}& eeimg=&1&& ， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=x_1x_2%3D%5Cfrac%7Bb%5E2%28m%5E2-a%5E2%29%7D%7BA%7D& alt=&x_1x_2=\frac{b^2(m^2-a^2)}{A}& eeimg=&1&& ， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%7Cx_1-x_2%7C%3D%5Cfrac%7B2ab%5Csqrt%7BA-m%5E2%7D%7D%7BA%7D& alt=&|x_1-x_2|=\frac{2ab\sqrt{A-m^2}}{A}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta%3E0%5CLeftrightarrow+A-m%5E2%3E0& alt=&\Delta&0\Leftrightarrow A-m^2&0& eeimg=&1&& ，其中 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A%3Da%5E2%2Bb%5E2k%5E2& alt=&A=a^2+b^2k^2& eeimg=&1&&&/p&&p&&br&&/p&&p&（2）设椭圆 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=C%3A%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D1& alt=&C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1& eeimg=&1&&，直线 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=l%3Ax%3Dmy%2Bt& alt=&l:x=my+t& eeimg=&1&& ，将椭圆方程变形为：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=b%5E2x%5E2%2Ba%5E2y%5E2%3Da%5E2b%5E2& alt=&b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2& eeimg=&1&& ，与直线联立： &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%28a%5E2%2Bb%5E2m%5E2%29y%5E2%2B2b%5E2mty%2Bb%5E2%28t%5E2-a%5E2%29%3D0& alt=&(a^2+b^2m^2)y^2+2b^2mty+b^2(t^2-a^2)=0& eeimg=&1&&&/p&&p&由韦达定理： &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=y_1%2By_2%3D%5Cfrac%7B-2b%5E2mt%7D%7Ba%5E2%2Bb%5E2m%5E2%7D& alt=&y_1+y_2=\frac{-2b^2mt}{a^2+b^2m^2}& eeimg=&1&& ， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=y_1y_2%3D%5Cfrac%7Bb%5E2%28t%5E2-a%5E2%29%7D%7Ba%5E2%2Bb%5E2m%5E2%7D& alt=&y_1y_2=\frac{b^2(t^2-a^2)}{a^2+b^2m^2}& eeimg=&1&& ，&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta+%3D%282b%5E2mt%29%5E2-4%28a%5E2%2Bb%5E2m%5E2%29%5Ccdot+b%5E2%28t%5E2-a%5E2%29& alt=&\Delta =(2b^2mt)^2-4(a^2+b^2m^2)\cdot b^2(t^2-a^2)& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%3D4b%5E4m%5E2t%5E2-%284b%5E4m%5E2t%5E2-4a%5E2b%5E4m%5E2%2B4a%5E2b%5E2t%5E2-4a%5E4b%5E2%29& alt=&=4b^4m^2t^2-(4b^4m^2t^2-4a^2b^4m^2+4a^2b^2t^2-4a^4b^2)& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%3D4a%5E2b%5E4m%5E2%2B4a%5E4b%5E2-4a%5E2b%5E2t%5E2& alt=&=4a^2b^4m^2+4a^4b^2-4a^2b^2t^2& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%3D4a%5E2b%5E2%28a%5E2%2Bb%5E2m%5E2-t%5E2%29& alt=&=4a^2b^2(a^2+b^2m^2-t^2)& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%7Cy_1-y_2%7C%3D%5Csqrt%7B%28y_1%2By_2%29%5E2-4y_1y_2%7D%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B%28-2b%5E2mt%29%5E2%7D%7B%28a%5E2%2Bb%5E2m%5E2%29%5E2%7D-4%5Cfrac%7Bb%5E2%28t%5E2-a%5E2%29%7D%7Ba%5E2%2Bb%5E2m%5E2%7D%7D& alt=&|y_1-y_2|=\sqrt{(y_1+y_2)^2-4y_1y_2}=\sqrt{\frac{(-2b^2mt)^2}{(a^2+b^2m^2)^2}-4\frac{b^2(t^2-a^2)}{a^2+b^2m^2}}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B%282b%5E2mt%29%5E2-4%28a%5E2%2Bb%5E2m%5E2%29%5Ccdot+b%5E2%28t%5E2-a%5E2%29%7D%7B%28a%5E2%2Bb%5E2m%5E2%29%5E2%7D%7D%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B%5CDelta%7D%7D%7Ba%5E2%2Bb%5E2m%5E2%7D& alt=&=\sqrt{\frac{(2b^2mt)^2-4(a^2+b^2m^2)\cdot b^2(t^2-a^2)}{(a^2+b^2m^2)^2}}=\frac{\sqrt{\Delta}}{a^2+b^2m^2}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%3D%5Cfrac%7B2ab%5Csqrt%7Ba%5E2%2Bb%5E2m%5E2-t%5E2%7D%7D%7Ba%5E2%2Bb%5E2m%5E2%7D& alt=&=\frac{2ab\sqrt{a^2+b^2m^2-t^2}}{a^2+b^2m^2}& eeimg=&1&&&/p&&p&令 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A%3Da%5E2%2Bb%5E2m%5E2& alt=&A=a^2+b^2m^2& eeimg=&1&& ，则：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=y_1%2By_2%3D%5Cfrac%7B-2b%5E2mt%7D%7BA%7D& alt=&y_1+y_2=\frac{-2b^2mt}{A}& eeimg=&1&& ， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=y_1y_2%3D%5Cfrac%7Bb%5E2%28t%5E2-a%5E2%29%7D%7BA%7D& alt=&y_1y_2=\frac{b^2(t^2-a^2)}{A}& eeimg=&1&& ， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%7Cy_1-y_2%7C%3D%5Cfrac%7B2ab%5Csqrt%7BA-t%5E2%7D%7D%7BA%7D& alt=&|y_1-y_2|=\frac{2ab\sqrt{A-t^2}}{A}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta%3E0%5CLeftrightarrow+a%5E2%2Bb%5E2m%5E2-t%5E2%3E0%5CLeftrightarrow+A-t%5E2%3E0& alt=&\Delta&0\Leftrightarrow a^2+b^2m^2-t^2&0\Leftrightarrow A-t^2&0& eeimg=&1&&&/p&&p&&br&&/p&&p&交换上式中的 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=a%2Cb& alt=&a,b& eeimg=&1&& 可以得到焦点在 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=y& alt=&y& eeimg=&1&& 轴上的椭圆：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=y_1%2By_2%3D%5Cfrac%7B-2a%5E2mt%7D%7BA%7D& alt=&y_1+y_2=\frac{-2a^2mt}{A}& eeimg=&1&& ， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=y_1y_2%3D%5Cfrac%7Ba%5E2%28t%5E2-b%5E2%29%7D%7BA%7D& alt=&y_1y_2=\frac{a^2(t^2-b^2)}{A}& eeimg=&1&& ， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%7Cy_1-y_2%7C%3D%5Cfrac%7B2ab%5Csqrt%7BA-t%5E2%7D%7D%7BA%7D& alt=&|y_1-y_2|=\frac{2ab\sqrt{A-t^2}}{A}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta%3E0%5CLeftrightarrow+A-t%5E2%3E0& alt=&\Delta&0\Leftrightarrow A-t^2&0& eeimg=&1&& ，其中 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A%3Da%5E2m%5E2%2Bb%5E2& alt=&A=a^2m^2+b^2& eeimg=&1&&&/p&&p&&br&&/p&&p&由于高考比较常考的是椭圆，因此椭圆特地多列出了一种情形。&/p&&p&&br&&/p&&h2&三、双曲线情形&/h2&&p&设双曲线 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=C%3A%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D-%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D1& alt=&C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1& eeimg=&1&&，直线 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=l%3Ay%3Dkx%2Bm& alt=&l:y=kx+m& eeimg=&1&& ，将椭圆方程变形为：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=b%5E2x%5E2-a%5E2y%5E2%3Da%5E2b%5E2& alt=&b^2x^2-a^2y^2=a^2b^2& eeimg=&1&& ，与直线联立： &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%28b%5E2-a%5E2k%5E2%29x%5E2-2a%5E2kmx-a%5E2%28b%5E2%2Bm%5E2%29%3D0& alt=&(b^2-a^2k^2)x^2-2a^2kmx-a^2(b^2+m^2)=0& eeimg=&1&&&/p&&p&由韦达定理： &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=x_1%2Bx_2%3D%5Cfrac%7B2a%5E2km%7D%7Bb%5E2-a%5E2k%5E2%7D& alt=&x_1+x_2=\frac{2a^2km}{b^2-a^2k^2}& eeimg=&1&& ， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=x_1x_2%3D%5Cfrac%7B-a%5E2%28b%5E2%2Bm%5E2%29%7D%7Bb%5E2-a%5E2k%5E2%7D& alt=&x_1x_2=\frac{-a^2(b^2+m^2)}{b^2-a^2k^2}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta%3D%28-2a%5E2km%29%5E2%2B4%28b%5E2-a%5E2k%5E2%29%5Ccdot+a%5E2%28b%5E2%2Bm%5E2%29& alt=&\Delta=(-2a^2km)^2+4(b^2-a^2k^2)\cdot a^2(b^2+m^2)& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%3D4a%5E2b%5E4%2B4a%5E2b%5E2m%5E2-4a%5E4b%5E2k%5E2& alt=&=4a^2b^4+4a^2b^2m^2-4a^4b^2k^2& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%3D4a%5E2b%5E2%28b%5E2-a%5E2k%5E2%2Bm%5E2%29& alt=&=4a^2b^2(b^2-a^2k^2+m^2)& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%7Cx_1-x_2%7C%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B%5CDelta%7D%7D%7Bb%5E2-a%5E2k%5E2%7D%3D%5Cfrac%7B2ab%5Csqrt%7Bb%5E2-a%5E2k%5E2%2Bm%5E2%7D%7D%7Bb%5E2-a%5E2k%5E2%7D& alt=&|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{\Delta}}{b^2-a^2k^2}=\frac{2ab\sqrt{b^2-a^2k^2+m^2}}{b^2-a^2k^2}& eeimg=&1&&&/p&&p&令 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A%3Db%5E2-a%5E2k%5E2& alt=&A=b^2-a^2k^2& eeimg=&1&& ，则：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=x_1%2Bx_2%3D%5Cfrac%7B2a%5E2km%7D%7BA%7D& alt=&x_1+x_2=\frac{2a^2km}{A}& eeimg=&1&& ， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=x_1x_2%3D%5Cfrac%7B-a%5E2%28b%5E2%2Bm%5E2%29%7D%7BA%7D& alt=&x_1x_2=\frac{-a^2(b^2+m^2)}{A}& eeimg=&1&& , &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%7Cx_1-x_2%7C%3D%5Cfrac%7B2ab%5Csqrt%7BA%2Bm%5E2%7D%7D%7BA%7D& alt=&|x_1-x_2|=\frac{2ab\sqrt{A+m^2}}{A}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta%3E0%5CLeftrightarrow+b%5E2-a%5E2k%5E2%2Bm%5E2%5CLeftrightarrow+A%2Bm%5E2%3E0& alt=&\Delta&0\Leftrightarrow b^2-a^2k^2+m^2\Leftrightarrow A+m^2&0& eeimg=&1&&&/p&&p&&br&&/p&&p&用 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=-b%5E2& alt=&-b^2& eeimg=&1&& 代替 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=a%5E2& alt=&a^2& eeimg=&1&& ， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=-a%5E2& alt=&-a^2& eeimg=&1&& 代替 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=b%5E2& alt=&b^2& eeimg=&1&& 可以得到焦点在 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=y& alt=&y& eeimg=&1&& 轴上的双曲线：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=x_1%2Bx_2%3D%5Cfrac%7B-2b%5E2km%7D%7BA%7D& alt=&x_1+x_2=\frac{-2b^2km}{A}& eeimg=&1&& ， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=x_1x_2%3D%5Cfrac%7Bb%5E2%28m%5E2-a%5E2%29%7D%7BA%7D& alt=&x_1x_2=\frac{b^2(m^2-a^2)}{A}& eeimg=&1&& , &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%7Cx_1-x_2%7C%3D%5Cfrac%7B2ab%5Csqrt%7BA%2Bm%5E2%7D%7D%7BA%7D& alt=&|x_1-x_2|=\frac{2ab\sqrt{A+m^2}}{A}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta%3E0%5CLeftrightarrow+A%2Bm%5E2%3E0& alt=&\Delta&0\Leftrightarrow A+m^2&0& eeimg=&1&& ，其中 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A%3Db%5E2k%5E2-a%5E2& alt=&A=b^2k^2-a^2& eeimg=&1&&&/p&&p&&br&&/p&&h2&四、总结&/h2&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-406cc5dcff3a9e033cd3_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1700& data-rawheight=&960& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1700& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-406cc5dcff3a9e033cd3_r.jpg&&&/figure&&p&注：椭圆部分的 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& 算出来与原定理的 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvarepsilon& alt=&\varepsilon& eeimg=&1&& 一致&/p&&p&&br&&/p&&p&特别指出，直线也可能设为 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=x%3Dmy%2Bt& alt=&x=my+t& eeimg=&1&& 。&/p&&p&焦点在 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 轴上的椭圆：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=y_1%2By_2%3D%5Cfrac%7B-2b%5E2mt%7D%7BA%7D& alt=&y_1+y_2=\frac{-2b^2mt}{A}& eeimg=&1&& ， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=y_1y_2%3D%5Cfrac%7Bb%5E2%28t%5E2-a%5E2%29%7D%7BA%7D& alt=&y_1y_2=\frac{b^2(t^2-a^2)}{A}& eeimg=&1&& ， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%7Cy_1-y_2%7C%3D%5Cfrac%7B2ab%5Csqrt%7BA-t%5E2%7D%7D%7BA%7D& alt=&|y_1-y_2|=\frac{2ab\sqrt{A-t^2}}{A}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta%3E0%5CLeftrightarrow+A-t%5E2%3E0& alt=&\Delta&0\Leftrightarrow A-t^2&0& eeimg=&1&& ，其中 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A%3Da%5E2%2Bb%5E2m%5E2& alt=&A=a^2+b^2m^2& eeimg=&1&&&/p&&p&&br&&/p&&p&焦点在 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=y& alt=&y& eeimg=&1&& 轴上的椭圆：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=y_1%2By_2%3D%5Cfrac%7B-2a%5E2mt%7D%7BA%7D& alt=&y_1+y_2=\frac{-2a^2mt}{A}& eeimg=&1&& ， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=y_1y_2%3D%5Cfrac%7Ba%5E2%28t%5E2-b%5E2%29%7D%7BA%7D& alt=&y_1y_2=\frac{a^2(t^2-b^2)}{A}& eeimg=&1&& ， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%7Cy_1-y_2%7C%3D%5Cfrac%7B2ab%5Csqrt%7BA-t%5E2%7D%7D%7BA%7D& alt=&|y_1-y_2|=\frac{2ab\sqrt{A-t^2}}{A}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta%3E0%5CLeftrightarrow+A-t%5E2%3E0& alt=&\Delta&0\Leftrightarrow A-t^2&0& eeimg=&1&& ，其中 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A%3Da%5E2m%5E2%2Bb%5E2& alt=&A=a^2m^2+b^2& eeimg=&1&&&/p&
希望大家不要只收藏不点赞，也当作是对我的小小的支持了~喜欢的话可以关注一下我的专栏，会持续更新! 圆锥曲线硬解定理，又称CGY-EH定理(The CGY Ellipse & Hyperbola Theorem)或JZQ-EH定理(The JZQ Ellipse & Hyperbola Theorem)，其是一套求解椭圆（或双…
&p&中法之四元即西法之代數也，諸元諸乘方諸互乘積四元別以為依次，代數別以記號，法雖殊理無異也。康熙時西國&u&來本&/u&之&u&奈端&/u&二家又創立微積分二術，其法借經於代數，其理實發於古來未有之奇秘。先前諸算學之書多以甲乙丙丁天地人物諸元代未知數，然今吾等維繫於四海，以拉丁、希臘、以色列諸國之字母代未知數，以其變體異體代算符算子。本文以國標為準，供讀者以閱讀之便。&/p&&p&今之高考理數中，其壓軸之題多考以錐曲，雖思維無跳躍之意，其運算之繁雜令人慨歎。吾常於上課欲睡之時，自設橢圓直線方程，聯立求德爾塔等以解乏，今將草稿整理如下。&/p&&p&設橢圓&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D1& alt=&\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1& eeimg=&1&&及直綫&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=Ax%2BBy%2BC%3D0& alt=&Ax+By+C=0& eeimg=&1&&即&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=y%3D-%5Cfrac%7BA%7D%7BB%7Dx-%5Cfrac%7BC%7D%7BB%7D& alt=&y=-\frac{A}{B}x-\frac{C}{B}& eeimg=&1&&，聯立得到&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%5E2%7Dx%5E2%2B%5Cfrac%7BA%5E2%7D%7Bb%5E2B%5E2%7Dx%5E2%2B%5Cfrac%7B2AC%7D%7Bb%5E2B%5E2%7Dx%2B%5Cfrac%7BC%5E2%7D%7Bb%5E2B%5E2%7D-1%3D0& alt=&\frac{1}{a^2}x^2+\frac{A^2}{b^2B^2}x^2+\frac{2AC}{b^2B^2}x+\frac{C^2}{b^2B^2}-1=0& eeimg=&1&&，即&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bb%5E2B%5E2%7D%7Ba%5E2%7Dx%5E2%2BA%5E2x%5E2%2B2ACx%2BC%5E2-b%5E2B%5E2%3D0& alt=&\frac{b^2B^2}{a^2}x^2+A^2x^2+2ACx+C^2-b^2B^2=0& eeimg=&1&&。&/p&&p&其一，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta%3D0& alt=&\Delta=0& eeimg=&1&&時&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%282AC%29%5E2-4%28+A%5E2%2B%5Cfrac%7Bb%5E2B%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%29+%28C%5E2-b%5E2B%5E2%29%3D0& alt=&(2AC)^2-4( A^2+\frac{b^2B^2}{a^2}) (C^2-b^2B^2)=0& eeimg=&1&&，即&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A%5E2C%5E2%3DA%5E2C%5E2-A%5E2b%5E2B%5E2%2B%5Cfrac%7Bb%5E2B%5E2C%5E2%7D%7Ba%5E2%7D-%5Cfrac%7Bb%5E4B%5E4%7D%7Ba%5E2%7D& alt=&A^2C^2=A^2C^2-A^2b^2B^2+\frac{b^2B^2C^2}{a^2}-\frac{b^4B^4}{a^2}& eeimg=&1&&，即&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a%5E2A%5E2%2Bb%5E2B%5E2%3DC%5E2& alt=&a^2A^2+b^2B^2=C^2& eeimg=&1&&。&br&&/p&&p&因而，&b&直橢相切時，橫縱二數所處系數積和為直線之常數項之平方，即&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a%5E2A%5E2%2Bb%5E2B%5E2%3DC%5E2& alt=&a^2A^2+b^2B^2=C^2& eeimg=&1&&。&/b&&/p&&p&其二，由韋達定理知，若直橢相交時，設其二交點為&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28x_1%2Cy_1%29& alt=&(x_1,y_1)& eeimg=&1&&、&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28x_2%2Cy_2%29& alt=&(x_2,y_2)& eeimg=&1&&，則有&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x_1%2Bx_2%3D%5Cfrac%7B-2Aa%5E2C%7D%7Ba%5E2A%5E2%2Bb%5E2B%5E2%7D& alt=&x_1+x_2=\frac{-2Aa^2C}{a^2A^2+b^2B^2}& eeimg=&1&&，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x_1x_2%3D%5Cfrac%7Ba%5E2C%5E2-a%5E2b%5E2B%5E2%7D%7Ba%5E2A%5E2%2Bb%5E2B%5E2%7D& alt=&x_1x_2=\frac{a^2C^2-a^2b^2B^2}{a^2A^2+b^2B^2}& eeimg=&1&&，故有其二交點所連之弦長為&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=l%3D%5Csqrt%7B1%2Bk_l%5E2%7D%5Csqrt%7B%28x_1%2Bx_2%29%5E2-4x_1x_2%7D& alt=&l=\sqrt{1+k_l^2}\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}& eeimg=&1&&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BA%5E2%2BB%5E2%7D%7BB%5E2%7D%7D%5Csqrt%7B%5Cleft%28+-%5Cfrac%7B-2Aa%5E2C%7D%7Ba%5E2A%5E2%2Bb%5E2B%5E2%7D+%5Cright%29%5E2-4%5Cfrac%7Ba%5E2C%5E2-a%5E2b%5E2B%5E2%7D%7Ba%5E2A%5E2%2Bb%5E2B%5E2%7D%7D& alt=&=\sqrt{\frac{A^2+B^2}{B^2}}\sqrt{\left( -\frac{-2Aa^2C}{a^2A^2+b^2B^2} \right)^2-4\frac{a^2C^2-a^2b^2B^2}{a^2A^2+b^2B^2}}& eeimg=&1&&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BA%5E2%2BB%5E2%7D%7BB%5E2%7D%7D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B-4a%5E2b%5E2B%5E2C%5E2%2B4a%5E4A%5E2b%5E2B%5E2%2B4a%5E2b%5E4B%5E4%7D%7B%28a%5E2A%5E2%2Bb%5E2B%5E2%29%5E2%7D%7D& alt=&=\sqrt{\frac{A^2+B^2}{B^2}}\sqrt{\frac{-4a^2b^2B^2C^2+4a^4A^2b^2B^2+4a^2b^4B^4}{(a^2A^2+b^2B^2)^2}}& eeimg=&1&&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%3D%5Cfrac%7B2%5Csqrt%7B%28A%5E2%2BB%5E2%29%28a%5E4A%5E2b%5E2%2Ba%5E2b%5E4B%5E2-a%5E2b%5E2C%5E2%29%7D%7D%7Ba%5E2A%5E2%2Bb%5E2B%5E2%7D& alt=&=\frac{2\sqrt{(A^2+B^2)(a^4A^2b^2+a^2b^4B^2-a^2b^2C^2)}}{a^2A^2+b^2B^2}& eeimg=&1&&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%3D%5Cfrac%7B2%5Csqrt%7Ba%5E2b%5E2%28A%5E2%2BB%5E2%29%28a%5E2A%5E2%2Bb%5E2B%5E2-C%5E2%29%7D%7D%7Ba%5E2A%5E2%2Bb%5E2B%5E2%7D& alt=&=\frac{2\sqrt{a^2b^2(A^2+B^2)(a^2A^2+b^2B^2-C^2)}}{a^2A^2+b^2B^2}& eeimg=&1&&。&/p&&p&因而，&b&直橢相交時，其弦長為小方之積、大方之和與相應和減常數方之積之算方二倍除以相應和減常數方，即&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=l%3D%5Cfrac%7B2%5Csqrt%7Ba%5E2b%5E2%28A%5E2%2BB%5E2%29%28a%5E2A%5E2%2Bb%5E2B%5E2-C%5E2%29%7D%7D%7Ba%5E2A%5E2%2Bb%5E2B%5E2%7D& alt=&l=\frac{2\sqrt{a^2b^2(A^2+B^2)(a^2A^2+b^2B^2-C^2)}}{a^2A^2+b^2B^2}& eeimg=&1&&。&/b&&/p&&p&其三， 此時考慮原點至該弦之距離&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=d%3D%5Cfrac%7B%7CC%7C%7D%7B%5Csqrt%7BA%5E2%2BB%5E2%7D%7D& alt=&d=\frac{|C|}{\sqrt{A^2+B^2}}& eeimg=&1&&，有原點至二交點所成三角形之面積為&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=S%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dld%3D%5Cfrac%7Bab%5Csqrt%7B%28a%5E2A%5E2%2Bb%5E2B%5E2-C%5E2%29C%5E2%7D%7D%7Ba%5E2A%5E2%2Bb%5E2B%5E2%7D& alt=&S=\frac{1}{2}ld=\frac{ab\sqrt{(a^2A^2+b^2B^2-C^2)C^2}}{a^2A^2+b^2B^2}& eeimg=&1&&，考慮基本不等式，有&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=S%5Cleq%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dld%3D%5Cfrac%7Bab%7D%7Ba%5E2A%5E2%2Bb%5E2B%5E2%7D%5Ccdot%5Cfrac%7Ba%5E2A%5E2%2Bb%5E2B%5E2-C%5E2%2BC%5E2%7D%7B2%7D& alt=&S\leq\frac{1}{2}ld=\frac{ab}{a^2A^2+b^2B^2}\cdot\frac{a^2A^2+b^2B^2-C^2+C^2}{2}& eeimg=&1&&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dab& alt=&=\frac{1}{2}ab& eeimg=&1&&，當且僅當&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a%5E2A%5E2%2Bb%5E2B%5E2-C%5E2%3DC%5E2& alt=&a^2A^2+b^2B^2-C^2=C^2& eeimg=&1&&即&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a%5E2A%5E2%2Bb%5E2B%5E2%3D2C%5E2& alt=&a^2A^2+b^2B^2=2C^2& eeimg=&1&&時取等號。&br&&/p&&p&因而，&b&原點至二交點所成三角形面積之最大值為半長短軸長度積，當且僅當對應方績之和為直綫中常數方之二倍時成立&/b&（否則在特殊處取得，不在此詳述）&b&。即&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=S%5Cleq%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dab& alt=&S\leq\frac{1}{2}ab& eeimg=&1&&，當且僅當&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a%5E2A%5E2%2Bb%5E2B%5E2%3D2C%5E2& alt=&a^2A^2+b^2B^2=2C^2& eeimg=&1&&時取等號。&/b&&/p&&p&設圓錐曲綫&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Calpha+x%5E2%2B%5Cbeta+y%5E2%3D%5Cgamma& alt=&\alpha x^2+\beta y^2=\gamma& eeimg=&1&&及直綫&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=Ax%2BBy%2BC%3D0& alt=&Ax+By+C=0& eeimg=&1&&即&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=y%3D-%5Cfrac%7BA%7D%7BB%7Dx-%5Cfrac%7BC%7D%7BB%7D& alt=&y=-\frac{A}{B}x-\frac{C}{B}& eeimg=&1&&，聯立得到&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28%5Calpha+B%5E2%2B%5Cbeta+A%5E2%29x%5E2%2B2%5Cbeta+ACx%2B%28%5Cbeta+C%5E2-%5Cgamma+B%5E2%29%3D0& alt=&(\alpha B^2+\beta A^2)x^2+2\beta ACx+(\beta C^2-\gamma B^2)=0& eeimg=&1&&，考慮到六元於&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+%5Calpha+%26+%5Cbeta+%26+%5Cgamma%5C%5C+A+%26+B+%26+C+%5Cend%7Bbmatrix%7D& alt=&\begin{bmatrix} \alpha & \beta & \gamma\\ A & B & C \end{bmatrix}& eeimg=&1&&中之位，&b&簡記為&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverleftarrow%7B%5Ctimes_2%5E%2B%7Dx%5E2%2B2%5Cbigtriangleup+x%2B%5Coverrightarrow%7B%5Ctimes_2%5E-%7D%3D0& alt=&\overleftarrow{\times_2^+}x^2+2\bigtriangleup x+\overrightarrow{\times_2^-}=0& eeimg=&1&&。&/b&&/p&&p&其一，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta%3D0& alt=&\Delta=0& eeimg=&1&&時&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbeta%5E2A%5E2C%5E2%3D%28%5Calpha+B%5E2%2B%5Cbeta+A%5E2%29%28%5Cbeta+C%5E2-%5Cgamma+B%5E2%29& alt=&\beta^2A^2C^2=(\alpha B^2+\beta A^2)(\beta C^2-\gamma B^2)& eeimg=&1&&，即&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A%5E2%5Cbeta%5Cgamma%2B%5Calpha+B%5E2%5Cgamma%3D%5Calpha%5Cbeta+C%5E2& alt=&A^2\beta\gamma+\alpha B^2\gamma=\alpha\beta C^2& eeimg=&1&&。&/p&&p&其二，原點至二交點所成三角形之面積為&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=S%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dld%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B%28A%5E2%5Cbeta%5Cgamma%2B%5Calpha+B%5E2%5Cgamma-%5Calpha%5Cbeta+C%5E2%29C%5E2%7D%7D%7B%5Calpha+B%5E2%2B%5Cbeta+A%5E2%7D& alt=&S=\frac{1}{2}ld=\frac{\sqrt{(A^2\beta\gamma+\alpha B^2\gamma-\alpha\beta C^2)C^2}}{\alpha B^2+\beta A^2}& eeimg=&1&&，當該圓錐曲綫為橢圓時，由基本不等式可得&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=S%5Cleq%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Calpha%5Cbeta%7D%7D%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Csqrt%7B%5Calpha%5Cbeta%7D%7D& alt=&S\leq\frac{\sqrt{\frac{1}{\alpha\beta}}}{2}=\frac{1}{2\sqrt{\alpha\beta}}& eeimg=&1&&，當且僅當&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A%5E2%5Cbeta%5Cgamma%2B%5Calpha+B%5E2%5Cgamma%5E2%3D%5Calpha%5Cbeta+C%5E2& alt=&A^2\beta\gamma+\alpha B^2\gamma^2=\alpha\beta C^2& eeimg=&1&&時取等號。當該圓錐曲綫為雙曲綫時，考慮直綫傾角從正無窮趨於漸近綫斜率時，三角形之底邊長趨於正無窮而高趨於平行綫間公垂綫之距，故其面積無最大值。&br&&/p&&p&其三，由韋達定理知，若直錐相交時，設其二交點為&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28x_1%2Cy_1%29& alt=&(x_1,y_1)& eeimg=&1&&、&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28x_2%2Cy_2%29& alt=&(x_2,y_2)& eeimg=&1&&，&b&則有&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x_1%2Bx_2%3D%5Cfrac%7B-2%5Cbeta+AC%7D%7B%5Calpha+B%5E2%2B%5Cbeta+A%5E2%7D& alt=&x_1+x_2=\frac{-2\beta AC}{\alpha B^2+\beta A^2}& eeimg=&1&&，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x_1x_2%3D%5Cfrac%7B%5Cbeta+C%5E2-%5Cgamma+B%5E2%7D%7B%5Calpha+B%5E2%2B%5Cbeta+A%5E2%7D& alt=&x_1x_2=\frac{\beta C^2-\gamma B^2}{\alpha B^2+\beta A^2}& eeimg=&1&&&/b&，考慮到六元於&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+%5Calpha+%26+%5Cbeta+%26+%5Cgamma%5C%5C+A+%26+B+%26+C+%5Cend%7Bbmatrix%7D& alt=&\begin{bmatrix} \alpha & \beta & \gamma\\ A & B & C \end{bmatrix}& eeimg=&1&&中之位，&b&簡記為&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x_1%2Bx_2%3D%5Cfrac%7B-2%5Cbigtriangleup%7D%7B%5Coverleftarrow%7B%5Ctimes_2%5E%2B%7D%7D%2C%5C+x_1x_2%3D%5Cfrac%7B%5Coverrightarrow%7B%5Ctimes_2%5E-%7D%7D%7B%5Coverleftarrow%7B%5Ctimes_2%5E%2B%7D%7D& alt=&x_1+x_2=\frac{-2\bigtriangleup}{\overleftarrow{\times_2^+}},\ x_1x_2=\frac{\overrightarrow{\times_2^-}}{\overleftarrow{\times_2^+}}& eeimg=&1&&。&/b&此時該弦中點橫座標為&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x_M%3D%5Cfrac%7Bx_1%2Bx_2%7D%7B2%7D%3D-%5Cfrac%7B%5Cbeta+AC%7D%7B%5Calpha+B%5E2%2B%5Cbeta+A%5E2%7D& alt=&x_M=\frac{x_1+x_2}{2}=-\frac{\beta AC}{\alpha B^2+\beta A^2}& eeimg=&1&&，其縱座標為&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=y_M%3D-%5Cfrac%7BA%7D%7BB%7Dx_M-%5Cfrac%7BC%7D%7BB%7D%3D-%5Cfrac%7B%5Calpha+BC%7D%7B%5Calpha+B%5E2%2B%5Cbeta+A%5E2%7D& alt=&y_M=-\frac{A}{B}x_M-\frac{C}{B}=-\frac{\alpha BC}{\alpha B^2+\beta A^2}& eeimg=&1&&，&b&即有弦中點座標為&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=M%28-%5Cfrac%7BC%5Cbeta+A%7D%7B%5Calpha+B%5E2%2B%5Cbeta+A%5E2%7D%2C-%5Cfrac%7BC%5Calpha+B%7D%7B%5Calpha+B%5E2%2B%5Cbeta+A%5E2%7D%29& alt=&M(-\frac{C\beta A}{\alpha B^2+\beta A^2},-\frac{C\alpha B}{\alpha B^2+\beta A^2})& eeimg=&1&&&/b&，考慮到六元於&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+%5Calpha+%26+%5Cbeta+%26+%5Cgamma%5C%5C+A+%26+B+%26+C+%5Cend%7Bbmatrix%7D& alt=&\begin{bmatrix} \alpha & \beta & \gamma\\ A & B & C \end{bmatrix}& eeimg=&1&&中之位，&b&簡記為&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=M%28-%5Cfrac%7BC%2F%7D%7B%5Coverleftarrow%7B%5Ctimes_2%5E%2B%7D%7D%2C-%5Cfrac%7BC%5Csetminus%7D%7B%5Coverleftarrow%7B%5Ctimes_2%5E%2B%7D%7D%29& alt=&M(-\frac{C/}{\overleftarrow{\times_2^+}},-\frac{C\setminus}{\overleftarrow{\times_2^+}})& eeimg=&1&&或&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=-%5Cfrac%7BC%E5%85%AB%7D%7B%5Coverleftarrow%7B%5Ctimes_2%5E%2B%7D%7D& alt=&-\frac{C八}{\overleftarrow{\times_2^+}}& eeimg=&1&&。&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&其四，考慮&b&原點到該中點之連綫斜率&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=k_%7BOM%7D%3D%5Cfrac%7B%5Calpha+B%7D%7B%5Cbeta+A%7D& alt=&k_{OM}=\frac{\alpha B}{\beta A}& eeimg=&1&&，得到直綫斜率與連綫斜率積為&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=k_%7BOM%7Dk_l%3D%5Cfrac%7B%5Calpha+B%7D%7B%5Cbeta+A%7D%5Ccdot%28-%5Cfrac%7BA%7D%7BB%7D%29%3D-%5Cfrac%7B%5Calpha%7D%7B%5Cbeta%7D& alt=&k_{OM}k_l=\frac{\alpha B}{\beta A}\cdot(-\frac{A}{B})=-\frac{\alpha}{\beta}& eeimg=&1&&&/b&，發現其與點差法得到相同結果，且統一了橢圓與雙曲線在焦點位置不同所致四種情況的結果。&/p&&p&其五，過中點可寫出弦之中垂綫為&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=y%2B%5Cfrac%7BC%5Calpha+B%7D%7B%5Calpha+B%5E2%2B%5Cbeta+A%5E2%7D%3D%5Cfrac%7BB%7D%7BA%7Dx%2B%5Cfrac%7BC%5Cbeta+B%7D%7B%5Calpha+B%5E2%2B%5Cbeta+A%5E2%7D& alt=&y+\frac{C\alpha B}{\alpha B^2+\beta A^2}=\frac{B}{A}x+\frac{C\beta B}{\alpha B^2+\beta A^2}& eeimg=&1&&，&b&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=y%3D0& alt=&y=0& eeimg=&1&&時&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x%3D%5Cfrac%7BCA%28%5Calpha-%5Cbeta%29%7D%7B%5Calpha+B%5E2%2B%5Cbeta+A%5E2%7D& alt=&x=\frac{CA(\alpha-\beta)}{\alpha B^2+\beta A^2}& eeimg=&1&&，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x%3D0& alt=&x=0& eeimg=&1&&時&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=y%3D%5Cfrac%7BCB%28%5Cbeta-%5Calpha%29%7D%7B%5Calpha+B%5E2%2B%5Cbeta+A%5E2%7D& alt=&y=\frac{CB(\beta-\alpha)}{\alpha B^2+\beta A^2}& eeimg=&1&&，考慮到六元於&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+%5Calpha+%26+%5Cbeta+%26+%5Cgamma%5C%5C+A+%26+B+%26+C+%5Cend%7Bbmatrix%7D& alt=&\begin{bmatrix} \alpha & \beta & \gamma\\ A & B & C \end{bmatrix}& eeimg=&1&&中之位，簡記為&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=y%3D0%2Cx%3D%5Cfrac%7BC%5CRsh%7D%7B%5Coverleftarrow%7B%5Ctimes_2%5E%2B%7D%7D%3Bx%3D0%2Cy%3D%5Cfrac%7BC%5CLsh%7D%7B%5Coverleftarrow%7B%5Ctimes_2%5E%2B%7D%7D& alt=&y=0,x=\frac{C\Rsh}{\overleftarrow{\times_2^+}};x=0,y=\frac{C\Lsh}{\overleftarrow{\times_2^+}}& eeimg=&1&&。&/b& &/p&&p&將&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Calpha+x%5E2%2B%5Cbeta+y%5E2%3D%5Cgamma& alt=&\alpha x^2+\beta y^2=\gamma& eeimg=&1&&與直綫&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=Ax%2BBy%2BC%3D0& alt=&Ax+By+C=0& eeimg=&1&&聯立後，吾等不僅可得到&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x_1%2Bx_2%3D%5Cfrac%7B-2%5Cbeta+AC%7D%7B%5Calpha+B%5E2%2B%5Cbeta+A%5E2%7D& alt=&x_1+x_2=\frac{-2\beta AC}{\alpha B^2+\beta A^2}& eeimg=&1&&，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x_1x_2%3D%5Cfrac%7B%5Cbeta+C%5E2-%5Cgamma+B%5E2%7D%7B%5Calpha+B%5E2%2B%5Cbeta+A%5E2%7D& alt=&x_1x_2=\frac{\beta C^2-\gamma B^2}{\alpha B^2+\beta A^2}& eeimg=&1&&，同理可得&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=y_1%2By_2%3D%5Cfrac%7B-2%5Calpha+BC%7D%7B%5Calpha+B%5E2%2B%5Cbeta+A%5E2%7D& alt=&y_1+y_2=\frac{-2\alpha BC}{\alpha B^2+\beta A^2}& eeimg=&1&&，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=y_1y_2%3D%5Cfrac%7B%5Calpha+C%5E2-%5Cgamma+A%5E2%7D%7B%5Calpha+B%5E2%2B%5Cbeta+A%5E2%7D& alt=&y_1y_2=\frac{\alpha C^2-\gamma A^2}{\alpha B^2+\beta A^2}& eeimg=&1&&。考慮定點&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P%28x_0%2Cy_0%29& alt=&P(x_0,y_0)& eeimg=&1&&與二交點&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A%28x_1%2Cy_1%29& alt=&A(x_1,y_1)& eeimg=&1&&、&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=B%28x_2%2Cy_2%29& alt=&B(x_2,y_2)& eeimg=&1&&，則有&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BPA%7D%5Ccdot%5Coverrightarrow%7BPB%7D%3Dx_1x_2-%28x_1%2Bx_2%29x_0%2Bx_0%5E2%2By_1y_2-%28y_1%2By_2%29y_0%2By_0%5E2& alt=&\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=x_1x_2-(x_1+x_2)x_0+x_0^2+y_1y_2-(y_1+y_2)y_0+y_0^2& eeimg=&1&&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%3D%5Cfrac%7B%5Cbeta+C%5E2-%5Cgamma+B%5E2%7D%7B%5Calpha+B%5E2%2B%5Cbeta+A%5E2%7D%2Bx_0%5Cfrac%7B2%5Cbeta+AC%7D%7B%5Calpha+B%5E2%2B%5Cbeta+A%5E2%7D%2Bx_0%5E2%2B%5Cfrac%7B%5Calpha+C%5E2-%5Cgamma+A%5E2%7D%7B%5Calpha+B%5E2%2B%5Cbeta+A%5E2%7D%2By_0%5Cfrac%7B2%5Calpha+BC%7D%7B%5Calpha+B%5E2%2B%5Cbeta+A%5E2%7D%2By_0%5E2& alt=&=\frac{\beta C^2-\gamma B^2}{\alpha B^2+\beta A^2}+x_0\frac{2\beta AC}{\alpha B^2+\beta A^2}+x_0^2+\frac{\alpha C^2-\gamma A^2}{\alpha B^2+\beta A^2}+y_0\frac{2\alpha BC}{\alpha B^2+\beta A^2}+y_0^2& eeimg=&1&&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%3D%5Cfrac%7B%5Cbeta+C%5E2-%5Cgamma+B%5E2%2B2%5Cbeta+ACx_0%2B%5Calpha+B%5E2x_0%5E2%2B%5Cbeta+A%5E2x_0%5E2%7D%7B%5Calpha+B%5E2%2B%5Cbeta+A%5E2%7D%2B%5Cfrac%7B%5Calpha+C%5E2-%5Cgamma+A%5E2%2B2%5Calpha+BCy_0%2B%5Calpha+B%5E2y_0%5E2%2B%5Cbeta+A%5E2y_0%5E2%7D%7B%5Calpha+B%5E2%2B%5Cbeta+A%5E2%7D& alt=&=\frac{\beta C^2-\gamma B^2+2\beta ACx_0+\alpha B^2x_0^2+\beta A^2x_0^2}{\alpha B^2+\beta A^2}+\frac{\alpha C^2-\gamma A^2+2\alpha BCy_0+\alpha B^2y_0^2+\beta A^2y_0^2}{\alpha B^2+\beta A^2}& eeimg=&1&&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%3D%5Cfrac%7B%5Calpha%28x_0B%29%5E2%2B%5Cbeta%28x_0A%2BC%29%5E2-%5Cgamma+B%5E2%7D%7B%5Calpha+B%5E2%2B%5Cbeta+A%5E2%7D%2B%5Cfrac%7B%5Calpha%28y_0B%2BC%29%5E2%2B%5Cbeta%28y_0A%29%5E2-%5Cgamma+A%5E2%7D%7B%5Calpha+B%5E2%2B%5Cbeta+A%5E2%7D& alt=&=\frac{\alpha(x_0B)^2+\beta(x_0A+C)^2-\gamma B^2}{\alpha B^2+\beta A^2}+\frac{\alpha(y_0B+C)^2+\beta(y_0A)^2-\gamma A^2}{\alpha B^2+\beta A^2}& eeimg=&1&&。&br&&/p&&p&因而，&b&定點至二交点之點積為錐曲三數後置負，直綫系數配上橫系、其餘兩系之和以及前二項中之單項系，最後將橫座標乘于前。對於縱向，直綫系數配上其餘兩系只和、縱系以及前二項中之單項系，最後將縱座標乘于前。即&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BPA%7D%5Ccdot%5Coverrightarrow%7BPB%7D%3D%5Cfrac%7B%5Calpha%28x_0B%29%5E2%2B%5Cbeta%28x_0A%2BC%29%5E2-%5Cgamma+B%5E2%7D%7B%5Calpha+B%5E2%2B%5Cbeta+A%5E2%7D%2B%5Cfrac%7B%5Calpha%28y_0B%2BC%29%5E2%2B%5Cbeta%28y_0A%29%5E2-%5Cgamma+A%5E2%7D%7B%5Calpha+B%5E2%2B%5Cbeta+A%5E2%7D& alt=&\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=\frac{\alpha(x_0B)^2+\beta(x_0A+C)^2-\gamma B^2}{\alpha B^2+\beta A^2}+\frac{\alpha(y_0B+C)^2+\beta(y_0A)^2-\gamma A^2}{\alpha B^2+\beta A^2}& eeimg=&1&&。&/b& &/p&&p&同時可考慮定點與二交點連綫之斜率和為&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=k_%7BPA%7D%2Bk_%7BPB%7D%3D%5Cfrac%7By_1-y_0%7D%7Bx_1-x_0%7D%2B%5Cfrac%7By_2-y_0%7D%7Bx_2-x_0%7D& alt=&k_{PA}+k_{PB}=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}+\frac{y_2-y_0}{x_2-x_0}& eeimg=&1&&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%3D%5Cfrac%7B2x_0y_0%2Bx_1%28y_2-y_0%29%2Bx_2%28y_1-y_0%29-x_0%28y_1%2By_2%29%7D%7Bx_1x_2-%28x_1%2Bx_2%29x_0%2Bx_0%5E2%7D& alt=&=\frac{2x_0y_0+x_1(y_2-y_0)+x_2(y_1-y_0)-x_0(y_1+y_2)}{x_1x_2-(x_1+x_2)x_0+x_0^2}& eeimg=&1&&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%3D%5Cfrac%7B2x_0y_0%2Bx_1%28-%5Cfrac%7BA%7D%7BB%7Dx_2-%5Cfrac%7BC%7D%7BB%7D-y_0%29%2Bx_2%28-%5Cfrac%7BA%7D%7BB%7Dx_1-%5Cfrac%7BC%7D%7BB%7D-y_0%29-x_0%28y_1%2By_2%29%7D%7Bx_1x_2-%28x_1%2Bx_2%29x_0%2Bx_0%5E2%7D& alt=&=\frac{2x_0y_0+x_1(-\frac{A}{B}x_2-\frac{C}{B}-y_0)+x_2(-\frac{A}{B}x_1-\frac{C}{B}-y_0)-x_0(y_1+y_2)}{x_1x_2-(x_1+x_2)x_0+x_0^2}& eeimg=&1&&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%3D%5Cfrac%7B2x_0y_0-%5Cfrac%7B2A%7D%7BB%7Dx_1x_2-%5Cfrac%7BC%7D%7BB%7D%28x_1%2Bx_2%29-y_0%28x_1%2Bx_2%29-x_0%28y_1%2By_2%29%7D%7Bx_1x_2-%28x_1%2Bx_2%29x_0%2Bx_0%5E2%7D& alt=&=\frac{2x_0y_0-\frac{2A}{B}x_1x_2-\frac{C}{B}(x_1+x_2)-y_0(x_1+x_2)-x_0(y_1+y_2)}{x_1x_2-(x_1+x_2)x_0+x_0^2}& eeimg=&1&&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%3D%5Cfrac%7B2x_0y_0-%5Cfrac%7B2A%7D%7BB%7D%5Cfrac%7B%5Cbeta+C%5E2-%5Cgamma+B%5E2%7D%7B%5Calpha+B%5E2%2B%5Cbeta+A%5E2%7D%2B%5Cfrac%7BC%7D%7BB%7D%5Cfrac%7B2%5Cbeta+AC%7D%7B%5Calpha+B%5E2%2B%5Cbeta+A%5E2%7D%2By_0%5Cfrac%7B2%5Cbeta+AC%7D%7B%5Calpha+B%5E2%2B%5Cbeta+A%5E2%7D%2Bx_0%5Cfrac%7B2%5Calpha+BC%7D%7B%5Calpha+B%5E2%2B%5Cbeta+A%5E2%7D%7D%7B%5Cfrac%7B%5Calpha%28x_0B%29%5E2%2B%5Cbeta%28x_0A%2BC%29%5E2-%5Cgamma+B%5E2%7D%7B%5Calpha+B%5E2%2B%5Cbeta+A%5E2%7D%7D& alt=&=\frac{2x_0y_0-\frac{2A}{B}\frac{\beta C^2-\gamma B^2}{\alpha B^2+\beta A^2}+\frac{C}{B}\frac{2\beta AC}{\alpha B^2+\beta A^2}+y_0\frac{2\beta AC}{\alpha B^2+\beta A^2}+x_0\frac{2\alpha BC}{\alpha B^2+\beta A^2}}{\frac{\alpha(x_0B)^2+\beta(x_0A+C)^2-\gamma B^2}{\alpha B^2+\beta A^2}}& eeimg=&1&&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%3D%5Cfrac%7B2x_0y_0%28%5Calpha+B%5E2%2B%5Cbeta+A%5E2%29-%7B2A%7D%7BB%7D%28%5Cbeta+C%5E2-%5Cgamma+B%5E2%29%2B%5Cfrac%7B2C%7D%7BB%7D%5Cbeta+AC%2B2%5Cbeta+ACy_0%2B2%5Calpha+BCx_0%7D%7B%5Calpha%28x_0B%29%5E2%2B%5Cbeta%28x_0A%2BC%29%5E2-%5Cgamma+B%5E2%7D& alt=&=\frac{2x_0y_0(\alpha B^2+\beta A^2)-{2A}{B}(\beta C^2-\gamma B^2)+\frac{2C}{B}\beta AC+2\beta ACy_0+2\alpha BCx_0}{\alpha(x_0B)^2+\beta(x_0A+C)^2-\gamma B^2}& eeimg=&1&&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%3D2%5Ccdot%5Cfrac%7B%5Calpha+B%5E2x_0y_0%2B%5Cbeta+A%5E2x_0y_0-%5Cfrac%7BA%5Cbeta%7D%7BB%7DC%5E2%2BA%5Cgamma+B%2B%5Cfrac%7BC%7D%7BB%7D%5Cbeta+AC%2B%5Cbeta+ACy_0%2B%5Calpha+BCx_0%7D%7B%5Calpha%28x_0B%29%5E2%2B%5Cbeta%28x_0A%2BC%29%5E2-%5Cgamma+B%5E2%7D& alt=&=2\cdot\frac{\alpha B^2x_0y_0+\beta A^2x_0y_0-\frac{A\beta}{B}C^2+A\gamma B+\frac{C}{B}\beta AC+\beta ACy_0+\alpha BCx_0}{\alpha(x_0B)^2+\beta(x_0A+C)^2-\gamma B^2}& eeimg=&1&&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%3D%5Cfrac%7B2%5Bx_0y_0%28%5Calpha+B%5E2%2B%5Cbeta+A%5E2%29%2BABC%28%5Cfrac%7B%5Calpha+x_0%7D%7BA%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cbeta+y_0%7D%7BB%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cgamma%7D%7BC%7D%29%5D%7D%7B%5Calpha%28x_0B%29%5E2%2B%5Cbeta%28x_0A%2BC%29%5E2-%5Cgamma+B%5E2%7D& alt=&=\frac{2[x_0y_0(\alpha B^2+\beta A^2)+ABC(\frac{\alpha x_0}{A}+\frac{\beta y_0}{B}+\frac{\gamma}{C})]}{\alpha(x_0B)^2+\beta(x_0A+C)^2-\gamma B^2}& eeimg=&1&&。&/p&&p&因而，&b&欲求定點與二交點連綫之斜率和，分子為點座標積乘相對項系數方積和加上直綫系數積乘對應系數之分式和，分母為向量積中之橫向部分，即。&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=k_%7BPA%7D%2Bk_%7BPB%7D%3D%5Cfrac%7B2%5Bx_0y_0%28%5Calpha+B%5E2%2B%5Cbeta+A%5E2%29%2BABC%28%5Cfrac%7B%5Calpha+x_0%7D%7BA%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cbeta+y_0%7D%7BB%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cgamma%7D%7BC%7D%29%5D%7D%7B%5Calpha%28x_0B%29%5E2%2B%5Cbeta%28x_0A%2BC%29%5E2-%5Cgamma+B%5E2%7D& alt=&k_{PA}+k_{PB}=\frac{2[x_0y_0(\alpha B^2+\beta A^2)+ABC(\frac{\alpha x_0}{A}+\frac{\beta y_0}{B}+\frac{\gamma}{C})]}{\alpha(x_0B)^2+\beta(x_0A+C)^2-\gamma B^2}& eeimg=&1&&。&/b& &/p&&p&相信在下，牢記以上結論將對今後錐曲類型之解題毫無幫助。&/p&
中法之四元即西法之代數也，諸元諸乘方諸互乘積四元別以為依次，代數別以記號，法雖殊理無異也。康熙時西國來本之奈端二家又創立微積分二術，其法借經於代數，其理實發於古來未有之奇秘。先前諸算學之書多以甲乙丙丁天地人物諸元代未知數，然今吾等維繫於四…
&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-1d1ddd03a88eeb630f91c0_b.jpg& data-rawwidth=&1920& data-rawheight=&1080& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1920& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-1d1ddd03a88eeb630f91c0_r.jpg&&&/figure&&h2&&b&阅读须知（Instructions）：&/b&&/h2&&ol&&li&&b&这是一个目录，大家可以根据自己的需求寻找自己需要的部分，若在目录中未找到您所需要的内容，请在评论区留言，我们会尽快更新您想要的内容。&/b&&/li&&li&&b&好方法也不如烂笔头，在阅读文章过程中，小伙伴们拿出笔和纸，先演算一遍，把方法积累下来，希望能帮到大家，你们的进步，我们的动力，谢谢支持。&/b&&/li&&li&如有错误，欢迎更正。如有更优解，欢迎分享。&/li&&li&欢迎有想法的小伙伴投稿到专栏。&/li&&li&欢迎关注专栏：&/li&&/ol&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/mathcat& data-draft-node=&block& data-draft-type=&link-card& data-image=&https://pic4.zhimg.com/v2-c0b460dd82e3010ab14f_ipico.jpg& data-image-width=&1017& data-image-height=&1017& class=&internal&&超级高考生&/a&&hr&&h2&&b&编辑(Editor)&/b&&/h2&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/people/mathfun& class=&internal&&超级高考生app&/a&：&/p&&blockquote&专栏合伙人，其隶属于福州兰老师教育科技有限公司，由蘭老师创办。公司与苏承心、琪琪等高中数学界许多大佬均有合作，他们的使命是：“帮助中国高老师高效率创收，帮助中国高考生高效率学习提分”，他们的口号是：“一群人，一个价值观，一起走”。&/blockquote&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/people/songtoki-duan/activities& class=&internal&&薛定谔的死亡猫&/a&：&/p&&blockquote&本专栏创始人，于日创建本专栏，并命名为“高中数学的奇淫技巧”，后改名“高中数学的奇技淫巧”，现名“超级高考生”。于日创建学习讨论QQ群Zzmath，群内大佬云集，资料丰盛，群号为&b&&/b&，目前群人数最大1000人，目前群里有700+，愿意赞助我们扩群的小伙伴可以赞赏我们。&/blockquote&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/people/zinstany/activities& class=&internal&&Zinstany&/a&：&/p&&blockquote&专栏最初合伙人之一，拿过奥赛省一，数学扣了两分，内心从不服输，如今投身教育，加入新东方，誓要做出一番事业。&/blockquote&&hr&&h2&&b&集合(Set)&/b&&/h2&&ol&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&充分条件与必要条件之辩&/a& &/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&容斥原理有哪些妙用？几个小窍门为你答疑解惑&/a& &/li&&/ol&&hr&&h2&&b&向量与复数(Vector and complex number)&/b&&/h2&&ol&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&一题多解之向量大合集&/a& &/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&恒等式解决问题&/a& &/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&极化恒等式秒解高考例题大全&/a& &/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&等高线妙解高考向量题&/a& &/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&向量的一些知识&/a& &/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&极化恒等式在高考数学中的应用&/a& &/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&一类向量题的解法&/a& &/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&你可能不会的特殊值技巧&/a& &/li&&li&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&复数在高中数学中的应用&/a& &a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&利用斜坐标系解决向量难题上&/a& &a